Logga in
Trigonometri är ett område som redan behandlats både i kurs 1 och 3, och som nu återkommer flera gånger i kurs 4. Tidigare har de trigonometriska sambanden främst använts för att bestämma sidlängder och vinklar i trianglar men nu läggs fokus istället på periodiska förlopp. De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens följer upprepade mönster, vilket innebär att ekvationer där de ingår oftast har oändligt många lösningar.
Kapitlet inleds med en repetition av de grundläggande koncepten inom trigonometrin. Dessa utvidgas sedan med det nya vinkelmåttet radianer samt ett antal nya samband, t.ex. trigonometriska ettan och formler för dubbla vinkeln. Trigonometriska ekvationer utgör också en stor del av kapitlet och det finns separata delkapitel för cosinus-, sinus- och tangensekvationer. I dessa behandlas även koncept som som periodicitet och lösningsmängder.
Kapitlet behandlar följande delar av det centrala innehållet i kurs 4.
A11. Hantering av trigonometriska uttryck samt bevis och användning av trigonometriska
formler inklusive trigonometriska ettan och additionsformler.
A12. Algebraiska och grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer, såväl med
som utan numeriska och symbolhanterande verktyg.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer,
såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
1.1 - Repetition av trigonometri
1.2 - Radianer
1.3 - Arcusfunktioner och speglingar
1.4 - Cosinusekvationer
1.5 - Sinusekvationer
1.6 - Tangensekvationer
1.7 - Trigonometriska ettan och additionsformler
1.8 - Formler för dubbla vinkeln
För ekvationer på formen x2=−1 räcker inte de reella talen till, men genom att införa den imaginära enheten i blev det möjligt att lösa dessa typer ekvationer. Alla tal som kan beskrivas med hjälp av i och/eller ett reellt tal kallas komplexa. Dessa tal introducerades kortfattat i kurs 2, men här ges en mer grundläggande genomgång samt användningsområden för dessa nya tal.
Kapitlet inleds med en kort repetition av de komplexa talen samt relevanta räkneregler. Vidare visas hur man kan representera de komplexa talen i ett koordinatsystem kallat det komplexa talplanet. Med hjälp av detta utvecklas sedan hur man kan beskriva alla komplexa tal med hjälp av så kallade polära koordinater. Kapitlet avslutas med hur man kan använda denna nya framställning för att utföra beräkningar samt lösa potensekvationer av högre grad fullständigt.
Dessa punkter i det centrala innehållet för kurs 4 behandlas helt eller delvis i kapitlet.
A6. Metoder för beräkningar med komplexa tal skrivna på olika former inklusive
rektangulär och polär form, såväl med som utan digitala verktyg.
A7. Komplexa talplanet, representation av komplext tal som punkt och vektor.
A8. Konjugat och absolutbelopp av ett komplext tal.
A9. Användning och bevis av de Moivres formel.
A10. Algebraiska och grafiska metoder för att lösa enkla polynomekvationer med
komplexa rötter och reella polynomekvationer av högre grad, även med hjälp av
faktorsatsen. Användning av numeriska och symbolhanterande verktyg för att lösa
polynomekvationer.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer,
såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
2.1 - Introduktion till komplexa tal
2.2 - Räkna med komplexa tal
2.3 - Komplexa talplanet
2.4 - Trigonometrisk polär form
2.5 - Exponentiell polär form
2.6 - de Moivres formel
Polynomekvationer är något som ständigt återkommer inom matematiken. Tidigare har de problem som gått att lösa främst varit begränsade till andragrads- och potensekvationer, men i det här kapitlet introduceras nya samband och metoder för att lösa polynomekvationer av högre grad.
Kapitlet består av två delar: faktorsatsen och polynomdivision. Om man känner till en lösning till en polynomekvation ger faktorsatsen en väg för att reducera problemet till en ny ekvation av lägre grad. Polynomdivision, som är en metod för att dividera polynom med varandra, ger sedan ett sätt att faktiskt utföra denna reduktion.
Kapitlet behandlar följande delar av det centrala innehållet i kurs 4.
A10. Algebraiska och grafiska metoder för att lösa enkla polynomekvationer med
komplexa rötter och reella polynomekvationer av högre grad, även med hjälp av
faktorsatsen. Användning av numeriska och symbolhanterande verktyg för att lösa
polynomekvationer.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer,
såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
3.1 - Faktorsatsen
3.2 - Polynomdivision
Matematiska funktioner kan användas för att beskriva och modellera olika typer av förlopp i flera olika ämnesområden, t.ex. inom natur- och samhällsvetenskap. Funktioner har behandlats i tidigare kurser men här diskuteras egenskaper och grafer hos olika typer av funktioner samt hur olika förändringar påverkar deras utseende.
Först beskrivs logaritm- och absolutbeloppsfunktioner och deras karaktäristiska utseende. Sedan går man vidare med hur man även kan ses de trigonometriska begreppen sinus, cosinus och tangens som matematiska funktioner. Här kopplas tolkningen i enhetscirkeln ihop med deras definitions- och värdemängd, samt hur graferna ser ut. Avslutningsvis undersöks olika egenskaper, t.ex. period och amplitud, hos de trigonometriska funktionerna samt hur man kan koppla samman olika funktioner med varandra.
Dessa punkter i det centrala innehållet för kurs 4 behandlas helt eller delvis i kapitlet.
A11. Hantering av trigonometriska uttryck samt bevis och användning av trigonometriska
formler inklusive trigonometriska ettan och additionsformler.
F17. Egenskaper hos trigonometriska funktioner, logaritmfunktioner, sammansatta funktioner
och absolutbeloppet som funktion.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer,
såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
4.1 - Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner
4.2 - Sinus- och cosinuskurvor
4.3 - Tangenskurvor
4.4 - Trigonometriska kurvors egenskaper
4.5 - Samband mellan sinus och cosinus
Derivata är ett kraftfullt verktyg inom för att beskriva hur saker förändras. I det här kapitlet utökas de grundläggande koncepten och reglerna från kurs 3 med ytterligare samband. Dessa ger möjligheten att derivera en bredare mängd funktioner och analysera deras beteende.
Kapitlet inleds med sammansatta funktioner, alltså funktioner som beror på andra funktioner, följt av kedjeregeln, som används för att derivera denna sorts funktioner. Utöver det ges deriveringsregler för exponentialfunktioner, logaritmer samt trigonometriska funktioner. Detta följs av metoder för att derivera produkter och kvoter av funktioner. Kapitlet avslutas med att introducera konceptet differentialekvation, som är ekvationer som anger samband mellan derivator av olika grad.
Kapitlet behandlar följande delar av det centrala innehållet i kurs 4.
F19. Härledning och användning av deriveringsregler för trigonometriska, logaritm-,
exponential- och sammansatta funktioner samt produkt och kvot av funktioner.
F21. Begreppet differentialekvation och dess egenskaper i enkla tillämpningar som är
relevanta för karaktärsämnena.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer,
såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
5.1 - Sammansatta funktioner
5.2 - Kedjeregeln
5.3 - Derivator av exponential- och logaritmfunktioner
5.4 - Derivatan av en produkt
5.5 - Derivatan av en kvot
5.6 - Derivator av trigonometriska funktioner
5.7 - Differentialekvationer
Grafer som befinner sig långt från origo liknar ibland räta linjer. Dessa linjer kallas för asymptoter och kan vara vertikala, horisontella eller sneda.
I det här kapitlet visar man hur man använder gränsvärden för att bestämma asymptoter till olika typer av funktioner samt hur man kan använda dem för att skissa grafer.
Dessa punkter i det centrala innehållet för kurs 4 behandlas helt eller delvis i kapitlet.
F18. Skissning av grafer och tillhörande asymptoter utan digitala verktyg.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer,
såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
6.1 - Asymptoter
6.2 - Sneda asymptoter
6.3 - Skissa grafer med hjälp av asymptoter
Integraler kan tolkas som arean mellan en graf och x-axeln. Hur man använder primitiva funktioner för att beräkna dem behandlades redan i kurs 3.
Här utökas kunskapen om primitiva funktioner, framförallt för de trigonometriska funktioner men också den rationella funktionen x1. Vidare visas hur, och varför, man kan slå ihop och dela upp integraler beroende på deras gränser och integrander. Avslutningsvis går man igenom hur dessa regler kan användas för att beräkna areor mellan kurvor.
Dessa punkter i det centrala innehållet för kurs 4 behandlas helt eller delvis i kapitlet.
F20. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av integraler inklusive beräkningar av
storheter och sannolikhetsfördelning, såväl med som utan numeriska och
symbolhanterande verktyg.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer,
såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
7.1 - Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner
7.2 - Integreringsregler
7.3 - Area mellan kurvor
Det finns många användningsområden för integraler och i det här kapitlet tas två av dessa upp: beräkningar av volymer och sannolikheter.
Kapitlet inleds med en genomgång av hur man använder digitala verktyg som grafräknare eller Geogebra för att beräkna integraler. Sedan beskrivs metoder för att beräkna rotationsvolymer, alltså volymer som skapas genom att rotera tvådimensionella figurer runt en symmetriaxel. Den andra halvan av kapitlet går igenom olika sorters sannolikhetsfördelningar, bland annat exponential- och normalfördelningar, samt hur man kan använda integraler och täthetsfunktioner för att beräkna sannolikheter.
Kapitlet behandlar följande delar av det centrala innehållet i kurs 4.
F20. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av integraler inklusive beräkningar av
storheter och sannolikhetsfördelning, såväl med som utan numeriska och
symbolhanterande verktyg. "
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer,
såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
5.1 - Integraler och digitala verktyg
5.2 - Rotationskroppar
5.3 - Rotationsvolymer
5.4 - Sannolikhetsfördelningar
5.5 - Sannolikheter för normalfördelningar
Matematiken är uppbyggd av flera satser, t.ex. Pythagoras sats, men innan en sats accepteras måste den bevisas, dvs. att man måste kunna visa att den alltid gäller. För att göra det använder man sig av logik, som är läran om hur man drar korrekta slutsatser givet vissa premisser.
Här visas tekniker för hur man för och kommunicerar matematiska bevis, bl.a. med hjälp av logiska symboler.
Dessa punkter i det centrala innehållet för kurs 4 behandlas helt eller delvis i kapitlet.
A13. Olika bevismetoder inom matematiken med exempel från områdena aritmetik,
algebra eller geometri.
9.1 - Matematisk bevisföring