Logga in
Aritmetiken har heltal, algebran har polynom. Det är de enklaste uttryck man kan bilda med en variabel och utgör därför ett fundament inom bokstavsräkningen. I det här kapitlet sätts denna ofta återkommande uttrycksform under lupp, tillsammans med utbyggnader på funktionsbegreppet som kontinuitet och gränsvärden.
Kapitlet inleds med definitionen av polynom och några enkla räkneregler för dessa. Reglerna utvecklas sedan med begreppet rationella uttryck, dvs. division av polynom, vilket öppnar en diskussion om diskontinuitet som fördjupas mot slutet av kapitlet. Spår c gör en avstickare till absolutbelopp medan spår b löser polynomekvationer av grad 3 och uppåt såväl grafiskt som digitalt, men även algebraiskt där det är möjligt. Polynomen vinkas av med grafstudier och begrepp som terrasspunkt och kapitlet landar slutligen i en introduktion till gränsvärden.
Dessa punkter i det centrala innehållet för kurs 3b och 3c behandlas helt eller delvis i kapitlet.
A1. Begreppen polynom och rationella uttryck samt generalisering av aritmetikens lagar till hantering av dessa begrepp.
A2. Algebraiska och grafiska metoder för att lösa polynomekvationer av högre grad. (kurs 3b)
A3. Begreppet absolutbelopp. (kurs 3c)
F7. Orientering kring kontinuerlig och diskret funktion samt begreppet gränsvärde.
F8. Egenskaper hos polynomfunktioner av högre grad.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
P3. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
1.1 - Polynom
1.2 - Rationella uttryck
1.3 - Räkna med rationella uttryck
1.4 - Absolutbelopp (kurs 3c)
1.4 - Polynomekvationer av högre grad (kurs 3b)
1.5 - Polynomfunktioner
1.6 - Diskontinuerliga funktioner
1.7 - Gränsvärden
Derivata är ett koncept som har många tillämpningar inom både matematik och andra områden, t.ex. fysik och ekonomi, och är centralt inom kurserna 3b och 3c. Begreppet handlar om momentan förändring, dvs. hur snabbt något förändras vid en specifik tidpunkt. Derivata kan både tolkas som lutningen i en specifik punkt på en graf eller som den funktion som beskriver förändringshastigheten för alla punkter hos en annan funktion.
Kapitlet inleds med de förberedande begreppen lutning, sekant och ändringskvot. Därefter förklaras begreppet tangent samt skillnaden mellan genomsnittlig och momentan förändring. I det tredje delkapitel presenteras derivata som lutningen i en punkt och man introducerar den koppling som finns mellan derivatans tecken, dess nollställen och funktionens utseende. Här lär man sig också en metod för att bestämma derivatan grafiskt med hjälp av tangenter. Till sist presenteras det gränsvärde som utgör derivatans definition, med vilken man bl.a. kan beräkna derivatans värde i en punkt algebraiskt.
Kapitlet behandlar följande delar av det centrala innehållet i kurs 3b och 3c.
F9. Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion.
F12. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
2.1 - Medellutning
2.2 - Lutning i en punkt
2.3 - Vad är derivata
2.4 - Derivatans definition
Derivata är ett mycket kraftfullt verktyg inom matematisk analys, men derivatans definition blir snabbt väldigt omständlig att ha att göra med, särskilt för polynomfunktioner av högre grad. I det här kapitlet presenteras därför ett antal så kallade deriveringsregler, vars syfte är att förenkla beräkningarna i problem kopplade till derivata. Sådana problem presenteras i detta kapitel, och i dessa ligger fokus på hur derivata används för att räkna på saker som förändras. I samband med detta beskrivs konceptet förändringshastighet, som handlar om derivator knutna till verkliga situationer.
Ett annat matematiskt koncept som underlättar i samband med derivator är talet e, Eulers tal, som brukar användas för att skapa modeller för exponentiella förändringar. Exponentialfunktioner med basen e är nämligen mycket enkla att derivera och därför väldigt användbara om man t.ex. vill bestämma en exponentiell förändringshastighet vid en viss tidpunkt.
Följande delar av det centrala innehållet i kurs 3c och 3b behandlas, helt eller delvis, i kapitlet.
F10. Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner.
F11. Introduktion av talet e och dess egenskaper.
F12. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion.
F14. Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
P3. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
P4. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
3.1 - Deriveringsregler för potensfunktioner
3.2 - Generella deriveringsregler
3.3 - Använda derivata
3.4 - Derivatans graf
3.5 - Talet e
3.6 - Deriveringsregler för exponentialfunktioner
3.7 - Exponentiell förändringshastighet
En av de absolut vanligaste tillämpningarna av derivata är att använda det för att lösa extremvärdesproblem, dvs. problem som går ut på att bestämma när något når sitt största eller minsta värde. Det kan exempelvis handla om för vilka sidlängder som en flyttkartong har sin största volym, vilken mängd av gödsel som ger den största skörden eller hur många kattleksaker en fabrik ska producera för att minimera tillverkningskostnaderna.
Målet med det här kapitlet är alltså att kunna lösa denna typ av extremvärdesproblem. För att komma dit behövs kunskap om hur derivatan kan användas för att avgöra om en funktion har maximipunkter eller minimipunkter. Det krävs även förståelse för begreppet terrasspunkt och vad som händer om en funktion är definierad på ett intervall där både lokala och globala extrempunkter kan förekomma. Arbetet med detta förenklas avsevärt med hjälp av konceptet andraderivata, som kan användas för att avgöra var en graf är konvex respektive konkav. Kapitlet innehåller även ett avsnitt där man med hjälp av dessa kunskaper skissar grafer.
Följande delar av det centrala innehållet i kurs 3c och 3b behandlas, helt eller delvis, i kapitlet.
F13. Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem inklusive teckenstudium och andraderivatan.
F14. Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
P3. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
4.1 - Grafens utseende och derivatans tecken
4.2 - Extrempunkter och derivatans nollställen
4.3 - Lokala och globala extrempunkter
4.4 - Andraderivata
4.5 - Skissa grafer
4.6 - Extremvärdesproblem
Integraler är en central del inom kurserna 3b och 3c. De är användbara för att beskriva och beräkna något som förändras, och kan ses som en summa av oändligt många och oändligt små termer. En integral kan tolkas som arean under en graf i ett koordinatsystem och är användbart när man vet hur snabbt något förändras, men inte nödvändigtvis hur mycket. Exempelvis kan man beräkna sträckan en bil har färdats under en viss tid om man känner till hur hastigheten beror av tiden.
Kapitlet inleds med primitiva funktioner som kan tolkas som motsatsen till derivata. Därefter förklaras hur man bestämmer primitiva funktioner, både med och utan villkor. I det fjärde delkapitlet presenteras hur man grafiskt kan tolka integraler som en area, och sedan hur man använder primitiva funktioner för att beräkna dem med integralkalkylens huvudsats. Slutligen visas hur man använder integraler för att lösa problem i verkliga livet.
Kapitlet behandlar följande delar av det centrala innehållet i kurs 3b och 3c.
F15. Begreppen primitiv funktion och bestämd integral samt sambandet mellan integral och derivata.
F16. Bestämning av enkla integraler i tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
P3. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
5.1 - Primitiva funktioner
5.2 - Bestämma primitiva funktioner
5.3 - Primitiva funktioner med villkor
5.4 - Area och integraler
5.5 - Räkna med integraler
5.6 - Tolka integraler
Med hjälp av dagens kraftulla datorer kan man göra beräkningar och lösa problem som annars hade varit utom räckhåll med traditionella metoder. Men för att utnyttja den här kraften måste man kunna förklara för datorn vad den ska göra. Det gör man med programmering. Det här kapitlet är en introduktion till programmeringsspråket Python och hur man kan använda det som ett verktyg för att lösa matematiska problem.
Kapitlet börjar med träning i att skriva algoritmer för att utföra handlingar och lösa problem. Sedan börjar programmeringen på riktigt med en introduktion till programmeringsmiljön och en genomgång av utskrifter och felmeddelanden. Sedan behandlas hur man använder variabler inom programmering och hur man kan använda dem för att utföra matematiska beräkningar. Sedan kommer villkor som tillåter programmet att göra olika saker beroende på vilka invärden det får. Till slut avslutas kapitlet med loopar, som man kan använda för att upprepa uträkningar och instruktioner.
Följande delar av det centrala innehållet i kurs 1c, 2c, 3b och 3c behandlas, helt eller delvis, i kapitlet.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
1 - Algoritmer och programmering
2 - Utskrifter och fel
3 - Variabler i programmering
4 - Räkna med programmering
5 - Villkor
6 - Loopar
Trigonometri handlar om de samband som finns mellan vinklar och sidor i en triangel och används inom bl.a. lantmäteri och astronomi.
Kapitlet inleds med cirkelns ekvation, som beskriver hur en cirkel i ett koordinatsystem kan uttryckas. Därefter definieras de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens i rätvinkliga trianglar och det presenteras även några exakta värden för så kallade standardvinklar. I nästa delkapitel tittar man på enhetscirkeln, bl.a. hur man kan definiera en punkt på enhetscirkelns rand i termer av cosinus och sinus. De fyra sista delkapitlen behandlar de tre triangelsatserna, areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen, och hur dessa kan användas för att beräkna en godtycklig triangels area, sidor eller vinklar. Kapitlet avlutas med en förklaring av hur triangelsatserna kan användas inom triangulering.
Följande delar av det centrala innehållet i kurs 3c behandlas, helt eller delvis, i kapitlet.
A4. Egenskaper hos cirkelns ekvation och enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp.
A5. Bevis och användning av cosinus-, sinus- och areasatsen för en godtycklig triangel.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
P3. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
P4. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
6.1 - Cirkelns ekvation
6.2 - Trigonometriska funktioner
6.3 - Enhetscirkeln
6.4 - Areasatsen
6.5 - Sinussatsen
6.6 - Cosinussatsen
6.7 - Triangelsatserna som modeller