Arcusfunktioner och speglingar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Regel

Arcusfunktioner

Om man känner till en vinkel kan man räkna ut sinus-, cosinus- och tangensvärdet för den. Men man kan också gå åt andra hållet och beräkna vinklar baserat på trigonometriska värden. Det gör man med arcusfunktionerna (arcsin, arccos och arctan), vilka kan ses som motsatser till de trigonometriska funktionerna. T.ex. är sin(45)=12ocharcsin(12)=45. \sin(45^\circ) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{och} \quad \arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ. Om man tittar på standardvinklarna ser man dock att det finns flera vinklar som ger sinusvärdet 12.\frac{1}{\sqrt{2}}. Exempelvis kan man se att både sin(45)\sin(45^\circ) och sin(135)\sin(135^\circ) är 12.\frac{1}{\sqrt{2}}. Så varför får man inte tillbaka 135135^\circ om man beräknar arcsin för 12?\frac{1}{\sqrt{2}}? Jo, för att man har valt att varje invärde till en arcusfunktion ska ge en specifik vinkel inom ett visst intervall så att resultatet blir entydigt. Dessa intervall är funktionernas värdemängder.

Funktion Värdemängd (grader) Värdemängd (radianer)
arcsin -90v90\text{-}90^\circ\leq v\leq90^\circ -π2vπ2\text{-}\frac{\pi}{2}\leq v\leq\frac{\pi}{2}
arccos 0v1800^\circ\leq v\leq180^\circ 0vπ0\leq v\leq\pi
arctan -90<v<90\text{-}90^\circ<v<90^\circ -π2<v<π2\text{-}\frac{\pi}{2}<v<\frac{\pi}{2}
Uppgift

Bestäm alla vinklar i triangeln ABC.ABC. Svara i radianer och avrunda till 33 decimaler.

Lösning
Vinkeln CC är markerad som en rät vinkel så den måste vara 90,90^\circ, vilket motsvarar 90π180=π21.571 rad. 90 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{2} \approx 1.571\text{ rad.} Eftersom ABCABC är en rätvinklig triangel kan vi använda definitionerna av de trigonometriska funktionerna för att beräkna sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för vinklarna AA och B.B. Vi kan t.ex. bestämma cosinusvärdet för A.A. cos(A)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa=3685 \cos(A) = \dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}} = \dfrac{36}{85} När vi nu vet cosinusvärdet kan vi bestämma vinkeln AA genom att använda arccos. Se till att räknaren är inställd på radianer så att vinkeln får rätt enhet.
arccos(3685)\arccos\left(\dfrac{36}{85}\right)
1.133451.13345\ldots
1.133\sim 1.133
Nu skulle vi kunna göra på samma sätt för att bestämma den sista vinkeln, B,B, men det går lika bra att använda att vinkelsumman i en triangel är 180,180^\circ, alltså π\pi radianer. Vi subtraherar de redan bestämda vinklarna från π,\pi, och behåller då deras exakta värden för att undvika avrundningsfel. Med hjälp av räknaren får vi att den sista vinkeln är ππ2arccos(3685)0.438 rad. \pi - \dfrac{\pi}{2} - \arccos\left(\dfrac{36}{85}\right) \approx 0.438\text{ rad.} Nu har vi bestämt alla tre vinklar i triangeln.


Visa lösning Visa lösning
Metod

Trigonometriska ekvationer

Trigonometriska ekvationer är ekvationer där den obekanta variabeln finns i argumentet till en trigonometrisk funktion, t.ex. sin(x)=12. \sin(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Ekvationens rötter är samtliga värden som gör att likheten är uppfylld. Ibland får man dock ett intervall som ekvationen ska lösas på och då är det bara vissa av dessa värden som ska anges. Om intervallet motsvarar värdemängden för den arcusfunktion som behövs för att lösa ekvationen finns bara en rot: den vinkel som ges av arcusfunktionen. Om ekvationen ovan ska lösas på intervallet -90x90\text{-}90^\circ\leq x\leq90^\circ kommer alltså den enda roten vara x=arcsin(12)=45. x=\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=45^\circ. För att hitta ytterligare rötter på andra intervall kan man använda trigonometriska speglingssamband.

sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v)
cos(v)=cos(-v)\cos(v)=\cos(\text{-} v)

Till exempel kan man använda det övre sambandet för att bestämma en till rot till ekvationen sin(x)=12\sin(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} på intervallet 0x360.0^\circ\leq x\leq360^\circ. Då får man även roten x=18045=135. x=180^\circ-45^\circ=135^\circ. Med enhetscirkeln kan man se att dessa två rötter faktiskt motsvarar samma trigonometriska värde.

Uppgift

Lös ekvationen cos(v)=0.5\cos(v) = 0.5 på intervallet -180v180.\text{-}180^\circ \leq v \leq 180^\circ. Svara i grader.

Lösning

Vi ska bestämma de vinklar på intervallet -180v180\text{-}180^\circ \leq v \leq 180^\circ som svarar mot cosinusvärdet 0.5.0.5. Med hjälp av enhetscirkeln kan vi se att det finns två sådana vinklar.

Vinkeln v1v_1 kan bestämmas med arccos, som ger en vinkel på intervallet 0v180.0^\circ \leq v \leq 180^\circ. Vi använder räknaren för att utföra beräkningen arccos(0.5).\arccos(0.5). För att få svaret i rätt enhet ser vi till att ha räknaren inställd på grader.

arcsin på TI-räknare

Vinkeln v1v_1 är alltså 60.60^\circ.

Nu kan vi använda sambandet cos(v)=cos(-v) \cos(v)=\cos(\text{-} v) för att bestämma v2.v_2. Sambandet säger att vinklarna vv och -v\text{-} v har samma cosinusvärde, så vinkel v2v_2 måste vara -60.\text{-}60^\circ.

Ekvationen cos(v)=0.5\cos(v) = 0.5 har alltså rötterna v=60v=60^\circ och v=-60v=\text{-}60^\circ på intervallet -180v180.\text{-}180^\circ \leq v \leq 180^\circ.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Fler speglingssamband

Det finns fler speglingssamband än de som används vid ekvationslösning. Bland annat följande två, som kan vara användbara vid förenklingar och omskrivningar av trigonometriska uttryck.

sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)
cos(v)=-cos(180v)\cos(v) = \text{-}\cos(180-v)

Det övre sambandet kan ses som en spegling i xx-axeln och det undre sambandet kan ses som en spegling i yy-axeln.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln vv i radianer.

a
b
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln vv i radianer. Svara med två decimaler.

a
b
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm två lösningar till följande ekvationer. Svara i grader med en decimal.

a
sin(v)=-0.4\sin(v)=\text{-} 0.4
b
cos(v)=-0.67\cos(v)=\text{-} 0.67
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Lös ekvationen sin(v)=0.9\sin(v)=0.9 på intervallet -90v90.\text{-}90^\circ \leq v \leq90^\circ. Svara i grader med en decimal.

b

Lös ekvationen cos(v)=π5\cos(v)=\frac{\pi}{5} på intervallet 0vπ.0 \leq v \leq\pi. Svara i radianer med en decimal.

c

Lös ekvationen tan(v)=-2.3\tan(v)=\text{-}2.3 på intervallet -90<v<90.\text{-}90^\circ<v<90^\circ. Svara i grader med en decimal.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Essin har gjort några beräkningar med arcusfunktioner på sin räknare. Bestäm de arcusfunktioner han kan ha använt för att få resultaten -45,180och60. \text{-} 45^\circ, \quad 180^\circ \quad\text{och}\quad 60^\circ.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hitta alla lösningar till ekvationen cos(x)=-0.7\cos(x) = \text{-} 0.7 på intervallet -180x90.\text{-} 180^\circ \leq x \leq 90^\circ. Svara med en decimal.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ekvationen cos(v)=a\cos(v)=a har två lösningar v1v_1 och v2v_2 på intervallet -180v180.\text{-} 180^\circ \leq v \leq 180^\circ. Bestäm aa om v1v2=120.v_1 - v_2 = 120^\circ.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm två lösningar till ekvationen cos(πv)=-0.35\cos(\pi - v) = \text{-} 0.35 på intervallet -πvπ.\text{-} \pi \leq v \leq \pi.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Amir vet att ekvationen sin(x)=a\sin(x) = a har 0,0, 11 eller 22 lösningar på intervallet 0x<2π,0 \leq x < 2\pi, beroende på värdet på a.a. Amirs lärare Nelly är skeptisk till att det är så. Hjälp Amir att övertyga Nelly!
b
Nelly är nu så övertygad att hon ger Amir utmaningen att bestämma för vilka värden på aa som ekvationen har 0,0, 11 respektive 22 lösningar. Amir lyckas dock inte. Gör du?
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket eller vilka av följande påståenden är sanna?

  1. sin(x)=-0.7\sin(x) = \text{-} 0.7 har två lösningar på intervallet -180x180.\text{-} 180^\circ \leq x \leq 180^\circ.
  2. sin(x)=-0.7\sin(x) = \text{-} 0.7 har två lösningar på intervallet 0x360.0^\circ \leq x \leq 360^\circ.
  3. Ekvationen sin(v)=cos(v)\sin(v) = \cos(v) saknar lösningar.
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka vinklar vv gäller att sin(v)=sin(5v),\sin(v) = \sin(5v), givet att -1805v180.\text{-}180^\circ \leq 5v \leq 180^\circ.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tignar påstår att ekvationen sin(x)=0.5\sin(x) = 0.5 har tre lösningar på intervallet 0x5π2.0 \leq x \leq \frac{5\pi}{2}. Stämmer det? Motivera.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}