Arcusfunktioner och speglingar

Regel

Arcusfunktioner

Om man känner till en vinkel kan man räkna ut sinus-, cosinus- och tangensvärdet för den. Men man kan också gå åt andra hållet och beräkna vinklar baserat på trigonometriska värden. Det gör man med arcusfunktionerna (arcsin, arccos och arctan), vilka kan ses som motsatser till de trigonometriska funktionerna. T.ex. är $\sin(45^\circ) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{och} \quad \arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ.$ Om man tittar på standardvinklarna ser man dock att det finns flera vinklar som ger sinusvärdet $\frac{1}{\sqrt{2}}.$ Exempelvis kan man se att både $\sin(45^\circ)$ och $\sin(135^\circ)$ är $\frac{1}{\sqrt{2}}.$ Så varför får man inte tillbaka $135^\circ$ om man beräknar arcsin för $\frac{1}{\sqrt{2}}?$ Jo, för att man har valt att varje invärde till en arcusfunktion ska ge en specifik vinkel inom ett visst intervall så att resultatet blir entydigt. Dessa intervall är funktionernas värdemängder.

Funktion	Värdemängd (grader)	Värdemängd (radianer)
arcsin	$\text{-}90^\circ\leq v\leq90^\circ$	$\text{-}\frac{\pi}{2}\leq v\leq\frac{\pi}{2}$
arccos	$0^\circ\leq v\leq180^\circ$	$0\leq v\leq\pi$
arctan	$\text{-}90^\circ<v<90^\circ$	$\text{-}\frac{\pi}{2}<v<\frac{\pi}{2}$

Bestäm vinklarna i triangeln

Uppgift

Bestäm alla vinklar i triangeln $ABC.$ Svara i radianer och avrunda till $3$ decimaler.

Lösning

Vinkeln

C

är markerad som en rät vinkel så den måste vara

90^\circ,

vilket motsvarar

90 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{2} \approx 1.571\text{ rad.}

Eftersom

ABC

är en rätvinklig triangel kan vi använda definitionerna av de trigonometriska funktionerna för att beräkna sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för vinklarna

A

och

B.

Vi kan t.ex. bestämma cosinusvärdet för

A.

\cos(A) = \dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}} = \dfrac{36}{85}

När vi nu vet cosinusvärdet kan vi bestämma vinkeln

A

genom att använda arccos. Se till att räknaren är inställd på radianer så att vinkeln får rätt enhet.

\arccos\left(\dfrac{36}{85}\right)

Slå in på räknare

1.13345\ldots

Avrunda till

3

\sim 1.133

Nu skulle vi kunna göra på samma sätt för att bestämma den sista vinkeln,

B,

men det går lika bra att använda att vinkelsumman i en triangel är

180^\circ,

alltså

\pi

radianer. Vi subtraherar de redan bestämda vinklarna från

\pi,

och behåller då deras exakta värden för att undvika avrundningsfel. Med hjälp av räknaren får vi att den sista vinkeln är

\pi - \dfrac{\pi}{2} - \arccos\left(\dfrac{36}{85}\right) \approx 0.438\text{ rad.}

Nu har vi bestämt alla tre vinklar i triangeln.

Visa lösning

Metod

Trigonometriska ekvationer

Trigonometriska ekvationer är ekvationer där den obekanta variabeln finns i argumentet till en trigonometrisk funktion, t.ex. $\sin(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$ Ekvationens rötter är samtliga värden som gör att likheten är uppfylld. Ibland får man dock ett intervall som ekvationen ska lösas på och då är det bara vissa av dessa värden som ska anges. Om intervallet motsvarar värdemängden för den arcusfunktion som behövs för att lösa ekvationen finns bara en rot: den vinkel som ges av arcusfunktionen. Om ekvationen ovan ska lösas på intervallet $\text{-}90^\circ\leq x\leq90^\circ$ kommer alltså den enda roten vara $x=\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=45^\circ.$ För att hitta ytterligare rötter på andra intervall kan man använda trigonometriska speglingssamband.

$\sin(v)=\sin(180^\circ-v)$
$\cos(v)=\cos(\text{-} v)$

Till exempel kan man använda det övre sambandet för att bestämma en till rot till ekvationen $\sin(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ på intervallet $0^\circ\leq x\leq360^\circ.$ Då får man även roten $x=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$ Med enhetscirkeln kan man se att dessa två rötter faktiskt motsvarar samma trigonometriska värde.

Lös den trigonometriska ekvationen på intervallet

Uppgift

Lös ekvationen $\cos(v) = 0.5$ på intervallet $\text{-}180^\circ \leq v \leq 180^\circ.$ Svara i grader.

Lösning

Vi ska bestämma de vinklar på intervallet $\text{-}180^\circ \leq v \leq 180^\circ$ som svarar mot cosinusvärdet $0.5.$ Med hjälp av enhetscirkeln kan vi se att det finns två sådana vinklar.

Vinkeln $v_1$ kan bestämmas med arccos, som ger en vinkel på intervallet $0^\circ \leq v \leq 180^\circ.$ Vi använder räknaren för att utföra beräkningen $\arccos(0.5).$ För att få svaret i rätt enhet ser vi till att ha räknaren inställd på grader.

Vinkeln $v_1$ är alltså $60^\circ.$

Nu kan vi använda sambandet $\cos(v)=\cos(\text{-} v)$ för att bestämma $v_2.$ Sambandet säger att vinklarna $v$ och $\text{-} v$ har samma cosinusvärde, så vinkel $v_2$ måste vara $\text{-}60^\circ.$

Ekvationen $\cos(v) = 0.5$ har alltså rötterna $v=60^\circ$ och $v=\text{-}60^\circ$ på intervallet $\text{-}180^\circ \leq v \leq 180^\circ.$

Visa lösning

Regel

Fler speglingssamband

Det finns fler speglingssamband än de som används vid ekvationslösning. Bland annat följande två, som kan vara användbara vid förenklingar och omskrivningar av trigonometriska uttryck.

$\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)$
$\cos(v) = \text{-}\cos(180-v)$

Det övre sambandet kan ses som en spegling i

x

-axeln och det undre sambandet kan ses som en spegling i

y

-axeln.

Arcusfunktioner och speglingar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}