mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Trigonometriska samband och ekvationer

Arcusfunktioner och speglingar

Regel

Arcusfunktioner

Om man känner till en vinkel kan man räkna ut sinus-, cosinus- och tangensvärdet för den. Men man kan också gå åt andra hållet och beräkna vinklar baserat på trigonometriska värden. Det gör man med arcusfunktionerna (arcsin, arccos och arctan), vilka kan ses som motsatser till de trigonometriska funktionerna. T.ex. är Om man tittar på standardvinklarna ser man dock att det finns flera vinklar som ger sinusvärdet Exempelvis kan man se att både och är Så varför får man inte tillbaka om man beräknar arcsin för Jo, för att man har valt att varje invärde till en arcusfunktion ska ge en specifik vinkel inom ett visst intervall så att resultatet blir entydigt. Dessa intervall är funktionernas värdemängder.

Funktion Värdemängd (grader) Värdemängd (radianer)
arcsin
arccos
arctan
fullscreen
Uppgift

Bestäm alla vinklar i triangeln Svara i radianer och avrunda till decimaler.

Visa Lösning
Lösning
Vinkeln är markerad som en rät vinkel så den måste vara vilket motsvarar Eftersom är en rätvinklig triangel kan vi använda definitionerna av de trigonometriska funktionerna för att beräkna sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för vinklarna och Vi kan t.ex. bestämma cosinusvärdet för När vi nu vet cosinusvärdet kan vi bestämma vinkeln genom att använda arccos. Se till att räknaren är inställd på radianer så att vinkeln får rätt enhet.
Nu skulle vi kunna göra på samma sätt för att bestämma den sista vinkeln, men det går lika bra att använda att vinkelsumman i en triangel är alltså radianer. Vi subtraherar de redan bestämda vinklarna från och behåller då deras exakta värden för att undvika avrundningsfel. Med hjälp av räknaren får vi att den sista vinkeln är Nu har vi bestämt alla tre vinklar i triangeln.


Metod

Trigonometriska ekvationer

Trigonometriska ekvationer är ekvationer där den obekanta variabeln finns i argumentet till en trigonometrisk funktion, t.ex. Ekvationens rötter är samtliga värden som gör att likheten är uppfylld. Ibland får man dock ett intervall som ekvationen ska lösas på och då är det bara vissa av dessa värden som ska anges. Om intervallet motsvarar värdemängden för den arcusfunktion som behövs för att lösa ekvationen finns bara en rot: den vinkel som ges av arcusfunktionen. Om ekvationen ovan ska lösas på intervallet kommer alltså den enda roten vara För att hitta ytterligare rötter på andra intervall kan man använda trigonometriska speglingssamband.


Till exempel kan man använda det övre sambandet för att bestämma en till rot till ekvationen på intervallet Då får man även roten Med enhetscirkeln kan man se att dessa två rötter faktiskt motsvarar samma trigonometriska värde.

fullscreen
Uppgift

Lös ekvationen på intervallet Svara i grader.

Visa Lösning
Lösning

Vi ska bestämma de vinklar på intervallet som svarar mot cosinusvärdet Med hjälp av enhetscirkeln kan vi se att det finns två sådana vinklar.

Vinkeln kan bestämmas med arccos, som ger en vinkel på intervallet Vi använder räknaren för att utföra beräkningen För att få svaret i rätt enhet ser vi till att ha räknaren inställd på grader.

arcsin på TI-räknare

Vinkeln är alltså

Nu kan vi använda sambandet för att bestämma Sambandet säger att vinklarna och har samma cosinusvärde, så vinkel måste vara

Ekvationen har alltså rötterna och på intervallet

Regel

Fler speglingssamband

Det finns fler speglingssamband än de som används vid ekvationslösning. Bland annat följande två, som kan vara användbara vid förenklingar och omskrivningar av trigonometriska uttryck.


Det övre sambandet kan ses som en spegling i -axeln och det undre sambandet kan ses som en spegling i -axeln.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward