{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Trigonometriska samband och ekvationer

Arcusfunktioner och speglingar

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

Regel

Arcusfunktioner

Om man känner till en vinkel kan man räkna ut sinus-, cosinus- och tangensvärdet för den. Men man kan också gå åt andra hållet och beräkna vinklar baserat på trigonometriska värden. Det gör man med arcusfunktionerna (arcsin, arccos och arctan), vilka kan ses som motsatser till de trigonometriska funktionerna. T.ex. är
Om man tittar på standardvinklarna ser man dock att det finns flera vinklar som ger sinusvärdet Exempelvis kan man se att både och är Så varför får man inte tillbaka om man beräknar arcsin för Jo, för att man har valt att varje invärde till en arcusfunktion ska ge en specifik vinkel inom ett visst intervall så att resultatet blir entydigt. Dessa intervall är funktionernas värdemängder.
Funktion Värdemängd (grader) Värdemängd (radianer)
arcsin
arccos 0vπ
arctan

Exempel

Bestäm vinklarna i triangeln

fullscreen

Bestäm alla vinklar i triangeln ABC. Svara i radianer och avrunda till 3 decimaler.

Visa Lösning expand_more
Vinkeln C är markerad som en rät vinkel så den måste vara vilket motsvarar
Eftersom ABC är en rätvinklig triangel kan vi använda definitionerna av de trigonometriska funktionerna för att beräkna sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för vinklarna A och B. Vi kan t.ex. bestämma cosinusvärdet för A.
När vi nu vet cosinusvärdet kan vi bestämma vinkeln A genom att använda arccos. Se till att räknaren är inställd på radianer så att vinkeln får rätt enhet.
1.133
Nu skulle vi kunna göra på samma sätt för att bestämma den sista vinkeln, B, men det går lika bra att använda att vinkelsumman i en triangel är alltså π radianer. Vi subtraherar de redan bestämda vinklarna från π, och behåller då deras exakta värden för att undvika avrundningsfel. Med hjälp av räknaren får vi att den sista vinkeln är
Nu har vi bestämt alla tre vinklar i triangeln.


Metod

Trigonometriska ekvationer

Trigonometriska ekvationer är ekvationer där den obekanta variabeln finns i argumentet till en trigonometrisk funktion, t.ex.
Ekvationens rötter är samtliga värden som gör att likheten är uppfylld. Ibland får man dock ett intervall som ekvationen ska lösas på och då är det bara vissa av dessa värden som ska anges. Om intervallet motsvarar värdemängden för den arcusfunktion som behövs för att lösa ekvationen finns bara en rot: den vinkel som ges av arcusfunktionen. Om ekvationen ovan ska lösas på intervallet kommer alltså den enda roten vara
För att hitta ytterligare rötter på andra intervall kan man använda trigonometriska speglingssamband.


Till exempel kan man använda det övre sambandet för att bestämma en till rot till ekvationen på intervallet Då får man även roten
Med enhetscirkeln kan man se att dessa två rötter faktiskt motsvarar samma trigonometriska värde.

Exempel

Lös den trigonometriska ekvationen på intervallet

fullscreen

Lös ekvationen på intervallet Svara i grader.

Visa Lösning expand_more

Vi ska bestämma de vinklar på intervallet som svarar mot cosinusvärdet 0.5. Med hjälp av enhetscirkeln kan vi se att det finns två sådana vinklar.

Vinkeln v1 kan bestämmas med arccos, som ger en vinkel på intervallet Vi använder räknaren för att utföra beräkningen För att få svaret i rätt enhet ser vi till att ha räknaren inställd på grader.

arcsin på TI-räknare

Vinkeln v1 är alltså

Nu kan vi använda sambandet
för att bestämma v2. Sambandet säger att vinklarna v och -v har samma cosinusvärde, så vinkel v2 måste vara

Ekvationen har alltså rötterna och på intervallet

Regel

Fler speglingssamband

Det finns fler speglingssamband än de som används vid ekvationslösning. Bland annat följande två, som kan vara användbara vid förenklingar och omskrivningar av trigonometriska uttryck.


Det övre sambandet kan ses som en spegling i x-axeln och det undre sambandet kan ses som en spegling i y-axeln.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community