Arcusfunktioner och speglingar

Eftersom vi vet alla sidor i triangeln kan vi använda oss av sinus eller cosinus för att beräkna vinkeln v. Vi väljer sinus och behöver då den motstående kateten som är 5.4 m och hypotenusan som är 6 m. sin(v) = Motstående katet/Hypotenusa = 5.4/6 Nu har vi uttrycket sin(v)= 5.46 och kan räkna ut vinkeln v med arcsinus på räknaren. Se till att den är inställd på radianer, eftersom svaret ska vara i radianer. v = arcsin(5.4/6) = 1.11976... ≈ 1.1 Vinkeln v kommer alltså att vara cirka 1.1 radianer.

Vi vet längden på alla sidor i triangeln och väljer nu att räkna ut vinkeln v med cosinus. För att göra det behöver vi använda oss av att den närliggande kateten är 3 m och att hypotenusan är 9.1 m. cos(v) = Närliggande katet/Hypotenusa = 3/9.1 Nu har vi uttrycket cos(v)= 39.1 och kan räkna ut vinkeln v med arccosinus på räknaren. arccos(3/9.1) = 1.23484... ≈ 1.2 Vinkeln v kommer alltså att vara ungefär 1.2 radianer.

Eftersom vi vet motstående katet och hypotenusan kan vi räkna ut vinkeln v med sinus. Nu har vi bara uttryck för längderna, inte exakta värden. Om vi delar motstående katet på hypotenusan kan vi förkorta bort x. Motstående katet/Hypotenusa = x/2x = 1/2 Eftersom x försvinner får vi ett exakt värde och vi kan då beräkna vinkeln v med sinus.

Nu kan vi räkna ut vinkeln v med arcsinus. Slå in uttrycket på räknaren och se till att den är inställd på radianer, eftersom svaret ska vara i radianer. v = arcsin(1/2) = 0.52359... ≈ 0.52 Vinkeln v blir alltså 0.52 radianer.

Eftersom vi vet närliggande katet och hypotenusan kan vi räkna ut vinkeln v med cosinus. Nu har vi bara uttryck för längderna, inte exakta värden. Om vi delar motstående katet på hypotenusan kan vi förkorta bort y. Närliggande katet/Hypotenusa = 2.91y/4.12y = 2.91/4.12 Eftersom y försvinner får vi ett exakt värde och vi kan då beräkna vinkeln v med cosinus.

Nu kan vi räkna ut vinkeln v med arccos. Slå in uttrycket på en räknare. v=arccos(2.91/4.12) = 0.78652... ≈ 0.79 Vinkeln v blir alltså 0.79 radianer.

Vi kan bestämma en vinkel med sinusvärdet - 0.4 med hjälp av arcsin. Vi ser till att räknaren är inställd på grader.

En lösning till ekvationen är alltså v ≈ - 23.6^(∘). För att hitta ytterligare en lösning kan vi använda sambandet sin(v)=sin(180^(∘) - v), som säger att vinklarna v och 180^(∘)-v har samma sinusvärde. Vi subtraherar därför - 23.6^(∘) från 180^(∘) för att bestämma en andra lösning. 180^(∘)-(- 23.6^(∘))=203.6^(∘) Med enhetscirkeln kan vi se att dessa två vinklar faktiskt motsvarar samma sinusvärde, -0.4.

Två lösningar till ekvationen är alltså v ≈ - 23.6^(∘) och v ≈ 203.6^(∘).

Vi kan bestämma en vinkel med cosinusvärdet - 0.67 med hjälp av arccos. Vi ser till att räknaren är inställd på grader.

Vi vet nu att v ≈ 132.1^(∘) löser ekvationen. För att hitta en till lösning kan vi använda sambandet cos(v) = cos(- v). Det säger att vinklarna v och - v har samma cosinusvärde, så vår andra lösning måste vara v ≈ -132.1^(∘). I enhetscirkeln kan vi se båda dessa vinklar har cosinusvärdet -0.67.

Vinklarna v ≈ 132.1^(∘) och v ≈ - 132.1^(∘) är alltså två lösningar till ekvationen.

Om intervallet som en ekvation ska lösas på motsvarar värdemängden för den arcusfunktion som behövs för att lösa ekvationen finns bara en rot: den vinkel som ges av arcusfunktionen. Detta är precis fallet här eftersom intervallet -90^(∘)≤ v≤ 90^(∘) är värdemängden för arcsin, som behövs för att lösa ekvationen. Den har därför bara lösningen som ges av arcsin. Vi slår in arcsin(0.9) på räknaren och läser av svaret. Se till att räknaren är inställd på grader.

Avrundat till en decimal är lösningen till ekvationen på intervallet alltså v≈64.2^(∘).

Även här motsvarar intervallet värdemängden för den arcusfunktion som behövs för att lösa ekvationen. Vi kan därför direkt slå in arccos( π5) på räknaren och få svaret. Se till att räknaren är inställd på radianer.

Lösningen till ekvationen på intervallet är alltså v≈0.9.

Samma mönster fortsätter: intervallet som ekvationen ska lösas på motsvarar värdemängden för den arcusfunktion som behövs för att lösa ekvationen. Vi ser till att räknaren är inställd på grader och slår in arctan(-2.3).

Ekvationen har alltså lösningen v≈-66.5^(∘) på intervallet.

För att avgöra vilken eller vilka arcusfunktioner som kan ge respektive vinkel måste vi känna till arcusfunktionernas värdemängder, dvs. de vinklar man kan få som svar när man använder arcusfunktionerna. De visas i tabellen.

Nu tittar vi på en vinkel i taget och avgör i vilken eller vilka värdemängder den ingår. Vi börjar med - 45^(∘) och ser att den ingår i värdemängden för både arcsin och arctan. Vinkeln 180^(∘) ingår istället endast i värdemängden för arccos. Till sist kan vi se att 60^(∘) ingår i alla värdemängder. Vi sammanfattar detta i en tabell.