Om man känner till en vinkel kan man räkna ut sinus-, cosinus- och tangensvärdet för den. Men man kan också gå åt andra hållet och beräkna vinklar baserat på trigonometriska värden. Det gör man med arcusfunktionerna (arcsin, arccos och arctan), vilka kan ses som motsatser till de trigonometriska funktionerna. T.ex. är sin(45∘)=21ocharcsin(21)=45∘. Om man tittar på standardvinklarna ser man dock att det finns flera vinklar som ger sinusvärdet 21. Exempelvis kan man se att både sin(45∘) och sin(135∘) är 21. Så varför får man inte tillbaka 135∘ om man beräknar arcsin för 21? Jo, för att man har valt att varje invärde till en arcusfunktion ska ge en specifik vinkel inom ett visst intervall så att resultatet blir entydigt. Dessa intervall är funktionernas värdemängder.
Funktion | Värdemängd (grader) | Värdemängd (radianer) |
---|---|---|
arcsin | -90∘≤v≤90∘ | -2π≤v≤2π |
arccos | 0∘≤v≤180∘ | 0≤v≤π |
arctan | -90∘<v<90∘ | -2π<v<2π |
Bestäm alla vinklar i triangeln ABC. Svara i radianer och avrunda till 3 decimaler.
Trigonometriska ekvationer är ekvationer där den obekanta variabeln finns i argumentet till en trigonometrisk funktion, t.ex. sin(x)=21. Ekvationens rötter är samtliga värden som gör att likheten är uppfylld. Ibland får man dock ett intervall som ekvationen ska lösas på och då är det bara vissa av dessa värden som ska anges. Om intervallet motsvarar värdemängden för den arcusfunktion som behövs för att lösa ekvationen finns bara en rot: den vinkel som ges av arcusfunktionen. Om ekvationen ovan ska lösas på intervallet -90∘≤x≤90∘ kommer alltså den enda roten vara x=arcsin(21)=45∘. För att hitta ytterligare rötter på andra intervall kan man använda trigonometriska speglingssamband.
sin(v)=sin(180∘−v)
cos(v)=cos(-v)
Till exempel kan man använda det övre sambandet för att bestämma en till rot till ekvationen sin(x)=21 på intervallet 0∘≤x≤360∘. Då får man även roten x=180∘−45∘=135∘. Med enhetscirkeln kan man se att dessa två rötter faktiskt motsvarar samma trigonometriska värde.
Lös ekvationen cos(v)=0.5 på intervallet -180∘≤v≤180∘. Svara i grader.
Vi ska bestämma de vinklar på intervallet -180∘≤v≤180∘ som svarar mot cosinusvärdet 0.5. Med hjälp av enhetscirkeln kan vi se att det finns två sådana vinklar.
Vinkeln v1 kan bestämmas med arccos, som ger en vinkel på intervallet 0∘≤v≤180∘. Vi använder räknaren för att utföra beräkningen arccos(0.5). För att få svaret i rätt enhet ser vi till att ha räknaren inställd på grader.
Vinkeln v1 är alltså 60∘.
Nu kan vi använda sambandet cos(v)=cos(-v) för att bestämma v2. Sambandet säger att vinklarna v och -v har samma cosinusvärde, så vinkel v2 måste vara -60∘.
Ekvationen cos(v)=0.5 har alltså rötterna v=60∘ och v=-60∘ på intervallet -180∘≤v≤180∘.
Det finns fler speglingssamband än de som används vid ekvationslösning. Bland annat följande två, som kan vara användbara vid förenklingar och omskrivningar av trigonometriska uttryck.
sin(-v)=-sin(v)
cos(v)=-cos(180−v)