Asymptoter

Baserat på hur grafen ser ut verkar det finnas en horisontell asymptot vid y = 1 och en vertikal asymptot vid x = -4.

Vi bekräftar att det verkligen är så genom att undersöka funktionsuttrycket. När x går mot ∞ eller -∞ blir nämnaren i termen 1(x+4)^2 större och större och kvoten går mot 0. lim _(x→±∞) ( 1(x+4)^2 + 1 ) = 0 + 1 = 1 Funktionen går alltså mot 1 när x går mot ±∞ och har därför den horisontella asymptoteny=1. Funktionen är inte definierad när x = -4 eftersom nämnaren i bråket då är 0. Men om man låter x gå mot -4 kommer nämnaren aldrig bli 0, utan bara gå mot det, vilket gör att hela uttrycket går mot ∞. Det innebär att funktionen har den vertikala asymptotenx = -4.

I det här fallet ser det ut att finnas en horisontell asymptot vid y = 0, alltså x-axeln, och en vertikal asymptot x = 2.

Om vi låter x gå mot ∞ eller -∞ gör även nämnaren i bråket det, vilket gör att uttrycket går mot 0. Funktionen har alltså den horisontella asymptoteny = 0. Funktionen är inte definierad när x=2 eftersom nämnaren i bråket då är 0: 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2. När x går mot 2 går funktionen mot -∞ eller ∞ beroende på om man kommer från vänster eller höger. I båda fall närmar sig dock grafen den vertikala asymptotenx = 2.

Här verkar det finnas en horisontell asymptot vid y = -2, men det är lite mer oklart om det finns någon vertikal asymptot.

Vi börjar med att undersöka asymptoten som grafen går mot när man låter x gå mot -∞. Det gör vi genom att ställa upp gränsvärdet för funktionsuttrycket när x→-∞. lim _(x→-∞) ( e^x - 2 ) När en potens har en negativ exponent kan man skriva om den som ett bråk där potensen står i nämnaren enligt a^(- b) = 1/a^b. När vi låter x i e^x gå mot -∞ är det samma sak som att låta x i .1 /e^x. går mot ∞. Vi får alltså en division med något som går mot oändligheten och då kommer bråket att gå mot 0. För gränsvärdet får vi lim _(x→-∞) ( e^x - 2 ) = 0 - 2 = -2. Grafen har alltså mycket riktigt den horisontella asymptoteny = -2. Om vi istället låter x gå mot ∞ kommer e^x bara att växa och växa, så det finns ingen asymptot åt det hållet. Det finns dessutom inga vertikala asymptoter eftersom funktionen inte går mot oändligheten på något annat ställe. Funktionen har alltså bara den horisontella asymptot vi redan angivit.

För att para ihop funktioner och grafer kan vi utgå från att en funktion med vertikal asymptot, vilket alla givna grafer ser ut att ha, ofta är odefinierad för asymptotens x-värde. Vi undersöker därför om funktionerna är odefinierade för något x-värde och om någon graf har en vertikal asymptot för samma x. Vi kan börja med f(x)=1/x+1. När x=-1 är nämnaren i denna funktion 0, och eftersom nolldivision är otillåtet är funktionen odefinierad för detta x. Bland graferna ser vi att graf D har precis den vertikala asymptoten x=-1.

Funktionen f(x) ska alltså paras ihop med graf D. Vi fortsätter med g(x)=1/x-2-1. Denna funktion är odefinierad i x=2 eftersom nämnaren blir 0 då. Den enda grafen med vertikal asymptot i detta x-värde är graf C.

Vi parar därför ihop g(x) med graf C. Funktionen h(x)=1/x-1+1 har istället nämnaren 0 för x=1 och är därmed odefinierad för detta x. Vi ser att graf B har en matchande vertikal asymptot.

Funktionen h(x) hör alltså ihop med graf B. Nu återstår bara k(x)=1/x+2+1, och på grund av nolldivision ser vi att denna funktion är odefinierad i x=-2. Vi har bara en graf kvar att para ihop med: graf A. Den verkar passa bra.

Vi sammanfattar till sist hur funktionerna och graferna ska paras ihop. &A:k(x) &B:h(x) &C:g(x) &D:f(x)

Vertikala asymptoter uppkommer då funktionens värde går mot antingen positiva eller negativa oändligheten när x närmar sig ett specifikt värde. Vi ska bestämma vilket x-värde detta är för f(x)=80/9-x+1. Funktionen går mot ∞ eller -∞ när kvoten gör det. Om man dividerar en konstant med ett tal nära 0 kommer resultatet att bli ett stor positivt eller negativt tal. För x=9 är nämnaren exakt 0 och funktionen är odefinierad, men låter vi x gå mot 9 så kommer nämnaren bara väldigt nära 0. Det verkar alltså som att x=9 kan vara asymptoten vi söker. Om så är fallet kommer funktionen att gå mot ∞ eller -∞ när x går mot 9 från höger, vänster eller från båda hållen. Vi kan med en tabell undersöka vad som händer med funktionsvärdet när x går mot 9 från vänster genom att sätta in x-värden som är mindre än 9 och kommer närmare och närmare 9.

Funktionsvärdet går mot ∞ när x går mot 9 från vänster, så linjen x = 9är en vertikal asymptot tillf(x). Om vi hade valt att studera funktionsvärdet när x går mot 9 från höger hade vi istället fått att funktionen går mot -∞, men slutsatsen hade varit densamma. Ritar man grafen till funktionen med ett digitalt verktyg kan man också se att f(x) har en vertikal asymptot i x=9.

Här ska vi istället avgöra vilket värde man ska låta x gå mot för att funktionen g(x)=0.1/7x-0.7-10 ska gå mot positiva eller negativa oändligheten. Av samma anledning som i föregående deluppgift sker detta när nämnaren i kvoten går mot 0. Denna nämnare är lika med 0 för x=0.1, eftersom 7x-0.7=0 ⇔ x=0.1. Detta innebär att funktionen borde gå mot ∞ eller -∞ när x går mot 0.1 från höger eller vänster. Vi kontrollerar om detta stämmer när vi går från höger genom att sätta in x-värden som är större än 0.1 men som kommer närmare och närmare 0.1.

Funktionsvärdet går mot ∞ när x går mot 0.1 från höger, så x = 0.1är vertikal asymptot tillg(x). Studerar man funktionsvärdet när x går mot 0.1 från vänster får man att funktionen istället går mot -∞. Vi kan till sist rita upp grafen till g(x) för att bekräfta det vi har kommit fram till.

Till sist avgör vi vilket värde x ska gå mot för att funktionen h(x)=0.5/(x+5)^2-3 ska gå mot positiva eller negativa oändligheten. Vi löser uppgiften på samma sätt som i tidigare deluppgifter och börjar med att avgöra för vilket x nämnaren i funktionen är 0. Det gör vi genom att sätta nämnaren lika med 0 och lösa ekvationen.

Nämnaren är alltså 0 då x=-5, så funktionen bör gå mot ∞ eller -∞ när x går mot -5 från höger eller vänster. Vi kan undersöka om detta stämmer när vi går från vänster genom att sätta in x-värden mindre än -5 som kommer närmare och närmare -5.

Funktionsvärdet går mot ∞ när x går mot -5 från vänster, så x = -5är vertikal asymptot tillh(x). Undersöker man funktionsvärdet när x går mot -5 från höger får man att funktionen går mot ∞ även då. Detta ser man tydligt om man ritar grafen till funktionen.

Det finns mycket som kan leda till att en funktion inte är definierad för ett visst värde, men en vanlig anledning är nolldivision. Om det finns ett bråk i funktionsuttrycket och om nämnaren blir 0 för något x-värde kommer funktionen inte att vara definierad för det värdet. T.ex. är funktionen f(x) = 1/x-17 inte definierad för x = 17, vilket är det vi är ute efter. Det går dock att hitta oändligt många fler funktioner som är odefinierade för detta x genom att byta ut nämnaren mot något annat uttryck som är 0 när x = 17, t.ex. 17 - x eller 2x - 34.

Om en funktion går mot ∞ eller -∞ när man går mot något x-värde kommer funktionen att ha en vertikal asymptot i det värdet. Tittar vi på funktionen från förra uppgiften, f(x) = 1/x - 17, och sätter in några värden närmare och närmare 17 ser vi att funktionsvärdet blir större och större.

Om man istället närmar sig 17 från vänster går funktionsvärdet mot -∞ på samma sätt. Skulle man rita upp grafen ser den ut på följande sätt.

Ett exempel på en funktion som har den vertikala asymptoten x = 17 är alltså den som vi hittade i förra uppgiften: f(x) = 1x - 17. Man bör notera att bara för att en funktion är odefinierad för ett visst värde behöver det inte betyda att den har en asymptot där. Det är heller inte så att alla vertikala asymptoter ligger på x-värden där funktionen är odefinierad. Det är dock ofta på det sättet.

För att bestämma en horisontell asymptot undersöker man vad funktionen går mot när man låter x går mot ∞ eller - ∞. Vi tittar alltså på gränsvärdet lim _(x → ∞) ( 3 - 5/2x ). Eftersom nämnaren i bråket går mot oändligheten när x gör det kommer själva bråket att gå mot 0 och det enda vi får kvar är konstanttermen 3. Det blir på samma sätt om man låter x gå mot -∞. Funktionen går alltså mot 3 när x går mot oändligheten och vi får den horisontella asymptoten y = 3. Om man ritar upp funktionen kan man se att detta verkar stämma bra.

Vi gör på samma sätt med den här funktionen och undersöker hur den beter sig när x går mot ∞ och -∞. Det blir lite lättare att göra det om vi börjar med att skriva om den första termen. Den är en potens med negativ exponent, så vi kan skriva den som ett bråk. g(x) = 2^(- x) - 2/3 = 1/2^x - 2/3 Om vi nu låter x gå mot ∞ kommer nämnaren i första bråket att gå mot ∞ och själva bråket mot 0. Vi får då lim _(x→∞) ( 1/2^x - 2/3 ) = 0 - 2/3 = -2/3. När x → ∞ närmar sig alltså funktionen den horisontella asymptoten y = -2/3. Men vad händer om x går mot -∞? Då kommer x att vara negativ och exponenten i termen 2^(- x) blir positiv. Exponenten blir större och större allt eftersom x rör sig mot -∞, så första termen kommer bli oändligt stor. Det finns alltså ingen asymptot när x→ - ∞. Det kan vi även se om vi ritar ut grafen till funktionen.

Den här funktionen ser kanske jobbig ut, med x både i täljaren och nämnaren i det första bråket. Det visar sig dock inte vara så farligt om man börjar med att förenkla bråket lite. Om man bryter ut 4 ur täljaren ser man att det som blir kvar faktiskt är samma sak som står i nämnaren, vilket innebär att man kan förkorta bort det.

Vi har nu ett fall som är väldigt likt det vi hade i första deluppgiften. Låter vi x gå mot ∞ eller -∞ kommer 17x att gå mot 0 och det enda som blir kvar är konstanten. lim _(x→±∞) ( 4 - 1/7x ) = 4 - 0 = 4. Funktionen går alltså mot den horisontella asymptoten y = 4. Vi kan även se detta grafiskt.