mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Asymptoter och grafer

Asymptoter

För att skissa grafen till en funktion behöver man ta reda på hur funktionen beter sig för olika värden. Nollställen och stationära punkter ger information om eventuella skärningspunkter med axeln och om funktionen "vänder" någonstans. Genom att undersöka så kallade asymptoter kan man få information om hur grafen beter sig när avståndet till origo blir väldigt stort.
Begrepp

Horisontell asymptot

En horisontell asymptot är en vågrät linje som en funktion närmar sig då går mot antingen positiva eller negativa oändligheten. Detta definieras formellt med hjälp av gränsvärden.

Funktionen har en horisontell asymptot om

Ett exempel på en funktion med en horisontell asymptot är

När går mot positiva oändligheten växer nämnaren mot oändligheten, vilket leder till att kvoten närmar sig Funktionsvärdet närmar sig därför när Det innebär att funktionen har asymptoten
Begrepp

Vertikal asymptot

Om en funktion går mot när den närmar sig ett -värde är en vertikal asymptot.

Funktionen har en vertikal asymptot om

eller

I figuren visas funktionen som går mot oändligheten när går mot Den har därför den vertikala asymptoten

Funktionen och asymptoten kommer oändligt nära varandra men sammanfaller aldrig eftersom är odefinierad i Det är vanligt att en funktion som har en vertikal asymptot är odefinierad för asymptotens värde, men det finns undantag. Exempelvis har den styckvis definierade funktionen både en asymptot och ett funktionsvärde i

fullscreen
Uppgift

Bestäm de horisontella och vertikala asymptoterna till funktionen

Visa Lösning
Lösning
Exempel

Horisontell asymptot

Man kan både avgöra om en funktion har en horisontell asymptot och vilken den i så fall är genom att undersöka funktionens beteende då Vi börjar med gränsvärdet När går mot oändligheten gör även nämnaren det. Eftersom täljaren är en konstant leder detta till att kvoten går mot
Funktionen har därmed den horisontella asymptoten Vi undersöker även gränsvärdet då går mot negativa oändligheten för att bestämma om funktionen har en annan horisontell asymptot: Kvoten går mot även här, eftersom nämnaren går mot negativa oändligheten.
Grafen till funktionen rör sig alltså asymptotiskt mot både då går mot positiva och negativa oändligheten.
Exempel

Vertikal asymptot

Vertikala asymptoter uppkommer då funktionens värde sticker iväg mot antingen positiva eller negativa oändligheten när närmar sig något specifikt värde. När är nämnaren och funktionen därmed odefinierad. Vi undersöker därför funktionens beteende då går mot Eftersom täljaren är en konstant och nämnaren går mot kommer kvoten, och därmed funktionen, gå mot oändligheten. Vi bekräftar detta numeriskt.

Linjen är alltså en vertikal asymptot till

Exempel

Grafisk verifiering

Vi kan nu grafiskt verifiera att asymptoterna vi hittat stämmer. Det gör vi genom att rita upp funktionens graf samt asymptoterna med valfritt grafritande verktyg.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward