Asymptoter

För att skissa grafen till en funktion behöver man ta reda på hur funktionen beter sig för olika

x\text{-}

värden. Nollställen och stationära punkter ger information om eventuella skärningspunkter med

x\text{-}

axeln och om funktionen "vänder" någonstans. Genom att undersöka så kallade asymptoter kan man få information om hur grafen beter sig när avståndet till origo blir väldigt stort.

Begrepp

Horisontell asymptot

En horisontell asymptot är en vågrät linje som en funktion närmar sig då $x$ går mot antingen positiva eller negativa oändligheten. Detta definieras formellt med hjälp av gränsvärden.

Funktionen

f(x)

har en horisontell asymptot

y = m

om

$\lim\limits_{x\to\text{-}\infty}f(x) = m \quad \text{eller} \quad \lim\limits_{x\to\infty}f(x) = m.$

Ett exempel på en funktion med en horisontell asymptot är $f(x) = \frac{1}{2^x} + 1.$

När

x

går mot positiva oändligheten växer nämnaren

2^x

mot oändligheten, vilket leder till att kvoten närmar sig

0.

Funktionsvärdet närmar sig därför

1

när

x\to\infty.

Det innebär att funktionen har asymptoten

y = 1.

Begrepp

Vertikal asymptot

Om en funktion går mot $\pm\infty$ när den närmar sig ett $x$ -värde $a$ är $x=a$ en vertikal asymptot.

Funktionen $f(x)$ har en vertikal asymptot $x=a$ om

f(x) \to \pm\infty \quad

då

\quad x \to a^-\quad

eller

\quad x \to a^+.

I figuren visas funktionen $f(x),$ som går mot oändligheten när $x$ går mot $3.$ Den har därför den vertikala asymptoten $x=3.$

Funktionen och asymptoten kommer oändligt nära varandra men sammanfaller aldrig eftersom $f(x)$ är odefinierad i $x=3.$ Det är vanligt att en funktion som har en vertikal asymptot är odefinierad för asymptotens $x\text{-}$ värde, men det finns undantag. Exempelvis har den styckvis definierade funktionen $g(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{(x-3)^2}+5, & x\neq3 \\ 0, &x=3 \end{cases}$ både en asymptot och ett funktionsvärde i $x=3.$

Bestäm funktionens horisontella och vertikala asymptoter

fullscreen

Uppgift

Bestäm de horisontella och vertikala asymptoterna till funktionen $f(x) = \frac{1}{x + 1} - 2.$

Visa Lösning

Lösning

Exempel

Horisontell asymptot

Man kan både avgöra om en funktion har en horisontell asymptot och vilken den i så fall är genom att undersöka funktionens beteende då

x\to\pm\infty.

Vi börjar med gränsvärdet

\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to\infty} \left( \dfrac{1}{x+1} - 2 \right).

När

x

går mot oändligheten gör även nämnaren

x + 1

det. Eftersom täljaren är en konstant leder detta till att kvoten går mot

0.

\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to\infty} \left( \dfrac{1}{x+1} - 2 \right)

To

x \to \infty

\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = 0 - 2

SubTermFörenkla termer

\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = \text{-} 2

Funktionen har därmed den horisontella asymptoten

y = \text{-} 2.

Vi undersöker även gränsvärdet då

x

går mot negativa oändligheten för att bestämma om funktionen har en annan horisontell asymptot:

\lim\limits_{x\to\text{-} \infty} f(x) = \lim\limits_{x\to\text{-} \infty} \left( \dfrac{1}{x+1} - 2 \right).

Kvoten går mot

0

även här, eftersom nämnaren går mot negativa oändligheten.

\lim\limits_{x\to\text{-} \infty} f(x) = \lim\limits_{x\to\text{-} \infty} \left( \dfrac{1}{x+1} - 2 \right)

To

x \to \text{-} \infty

\lim\limits_{x\to\text{-} \infty} f(x) = 0 - 2

SubTermFörenkla termer

\lim\limits_{x\to\text{-} \infty} f(x) = \text{-} 2

Grafen till funktionen rör sig alltså asymptotiskt mot

y = \text{-} 2

både då

x

går mot positiva och negativa oändligheten.

Exempel

Vertikal asymptot

Vertikala asymptoter uppkommer då funktionens värde sticker iväg mot antingen positiva eller negativa oändligheten när $x$ närmar sig något specifikt värde. När $x = \text{-} 1$ är nämnaren $0$ och funktionen därmed odefinierad. Vi undersöker därför funktionens beteende då $x$ går mot $\text{-} 1.$ Eftersom täljaren är en konstant och nämnaren går mot $0$ kommer kvoten, och därmed funktionen, gå mot oändligheten. Vi bekräftar detta numeriskt.

$x$	$\text{-}0.9$	$\text{-}0.99$	$\text{-}0.999$	$\text{-}0.9999$	$\to \text{-}1^+$
$\dfrac{1}{x+1} - 2$	$8$	$98$	$998$	$9998$	$\to \infty$

Linjen $x = \text{-} 1$ är alltså en vertikal asymptot till $f(x).$

Exempel

Grafisk verifiering

Vi kan nu grafiskt verifiera att asymptoterna vi hittat stämmer. Det gör vi genom att rita upp funktionens graf samt asymptoterna med valfritt grafritande verktyg.