En horisontell asymptot är en vågrät linje som en funktion närmar sig då x går mot antingen positiva eller negativa oändligheten. Detta definieras formellt med hjälp av gränsvärden.
x→-∞limf(x)=mellerx→∞limf(x)=m.
Ett exempel på en funktion med en horisontell asymptot är f(x)=2x1+1.
Om en funktion går mot ±∞ när den närmar sig ett x-värde a är x=a en vertikal asymptot.
Funktionen f(x) har en vertikal asymptot x=a om
I figuren visas funktionen f(x), som går mot oändligheten när x går mot 3. Den har därför den vertikala asymptoten x=3.
Funktionen och asymptoten kommer oändligt nära varandra men sammanfaller aldrig eftersom f(x) är odefinierad i x=3. Det är vanligt att en funktion som har en vertikal asymptot är odefinierad för asymptotens x-värde, men det finns undantag. Exempelvis har den styckvis definierade funktionen g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧(x−3)21+5,0,x=3x=3 både en asymptot och ett funktionsvärde i x=3.
Bestäm de horisontella och vertikala asymptoterna till funktionen f(x)=x+11−2.
Vertikala asymptoter uppkommer då funktionens värde sticker iväg mot antingen positiva eller negativa oändligheten när x närmar sig något specifikt värde. När x=-1 är nämnaren 0 och funktionen därmed odefinierad. Vi undersöker därför funktionens beteende då x går mot -1. Eftersom täljaren är en konstant och nämnaren går mot 0 kommer kvoten, och därmed funktionen, gå mot oändligheten. Vi bekräftar detta numeriskt.
x | -0.9 | -0.99 | -0.999 | -0.9999 | →-1+ |
---|---|---|---|---|---|
x+11−2 | 8 | 98 | 998 | 9998 | →∞ |
Linjen x=-1 är alltså en vertikal asymptot till f(x).
Vi kan nu grafiskt verifiera att asymptoterna vi hittat stämmer. Det gör vi genom att rita upp funktionens graf samt asymptoterna med valfritt grafritande verktyg.