Man kan både avgöra
om en funktion har en och
vilken den i så fall är genom att undersöka funktionens beteende då
x→±∞. Vi börjar med
x→∞limf(x)=x→∞lim(x+11−2).
När
x går mot oändligheten gör även nämnaren
x+1 det. Eftersom täljaren är en konstant leder detta till att kvoten går mot
0.
x→∞limf(x)=x→∞lim(x+11−2)
x→∞limf(x)=0−2
x→∞limf(x)=-2
Funktionen har därmed den horisontella asymptoten
y=-2. Vi undersöker även gränsvärdet då
x går mot
negativa oändligheten för att bestämma om funktionen har en annan horisontell asymptot:
x→-∞limf(x)=x→-∞lim(x+11−2).
Kvoten går mot
0 även här, eftersom nämnaren går mot negativa oändligheten.
x→-∞limf(x)=x→-∞lim(x+11−2)
x→-∞limf(x)=0−2
x→-∞limf(x)=-2
Grafen till funktionen rör sig alltså asymptotiskt mot
y=-2 både då
x går mot positiva och negativa oändligheten.
uppkommer då funktionens värde sticker iväg mot antingen positiva eller negativa oändligheten när
x närmar sig något specifikt värde. När
x=-1 är nämnaren
0 och funktionen därmed . Vi undersöker därför funktionens beteende då
x går mot
-1. Eftersom täljaren är en konstant och nämnaren går mot
0 kommer kvoten, och därmed funktionen, gå mot oändligheten. Vi bekräftar detta numeriskt.
x |
-0.9 |
-0.99 |
-0.999 |
-0.9999 |
→-1+
|
x+11−2
|
8 |
98 |
998 |
9998 |
→∞
|
Linjen x=-1 är alltså en vertikal asymptot till f(x).
Vi kan nu grafiskt verifiera att asymptoterna vi hittat stämmer. Det gör vi genom att rita upp funktionens graf samt asymptoterna med valfritt grafritande verktyg.