Polynomdivision

För att primtalsfaktorisera ett sammansatt tal, exempelvis

42

, kan man först hitta en primtalsfaktor, t.ex.

2

. Om man sedan dividerar

42

med

2

får man kvoten

21

, som innehåller övriga primtalsfaktorer. Polynom kan faktoriseras på liknande sätt: Efter att en faktor hittats divideras den bort för att ge en kvot som innehåller de andra faktorerna. Vid polynomdivision används liggande stolen, en metod som tidigare lärdes ut i grundskolan för vanliga divisionsberäkningar.

Förklaring

Hur tolkas liggande stolen?

I uppställningen för liggande stolen sätter man bråkets täljare på "stolens" sits och nämnaren mellan stolsbenen. Bilden visar hur man ställer upp $\frac{1 3}{2},$ samt hur metoden fått sitt namn.

När divisionen är klar finns ett tal på stolsryggen, och en ny täljare.

Resultatet kan skrivas om på den mer välbekanta formen $6 + \frac{1}{2} .$ Talet som skrivs på stolens rygg är alltså divisionens heltalskvot, eller ofta bara "kvot". Den säger att talet $2$ går $6$ hela gånger i talet $13 .$ Men $2 \cdot 6 = 12,$ så det "fattas" $1$ vilket kallas divisionens rest. Är resten $0$ har divisionen gått jämnt upp.

Begrepp

Terminologi för polynomdivision

Begreppen täljare, nämnare, kvot och rest används även när det är polynom som divideras. Om man exempelvis dividerar $x^{2} + 4$ med $x - 1$ ställer man upp divisionen så här. $x + 1 x^{2} + 4 x - 1 h e j$ När divisionen är klar får man följande uttryck. $h e j x + 1 3 x - 1 h e j$ Detta kan också skrivas på ett mer bekant sätt: $(x + 1) + \frac{3}{x - 1} .$ Namnen på de olika delarna av resultatet specificeras i bilden.

Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex.

\frac{x ^{3} + 7 x - 2 - 3 x ^{2}}{x - 4},

använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.

1

Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen

Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck. $x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4$

2

Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren

Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att

x^{3}

divideras med

x .

Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.

x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivQuot

\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}

x^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

3

Multiplicera kvottermen från steg

2

med nämnaren

Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger $x^{2} (x - 4) = x^{3} - 4 x^{2} .$

4

Subtrahera produkten från steg

3

från täljaren

Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.

x^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivSubSubtrahera

x^{2} \cdot (x - 4) = x^{3} - 4 x^{2}

x^{2} x^{3} - (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2}) + 7 x - 2 x - 4

RemoveParSignsTa bort parentes & byt tecken

x^{2} x^{3} - x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

SimpTermsFörenkla termer

x^{2} x^{2} + 7 x - 2 x - 4

Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.

Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som $x^{2} + \frac{x ^{2} + 7 x - 2}{x - 4} .$ Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg $2,$ $3$ och $4$ igen.

5

Upprepa steg

2 - 4

tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren

Steg

2 - 4

upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.

x^{2} x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivQuot

\frac{x ^{2}}{x} = x

x^{2} + x x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivSubSubtrahera

x \cdot (x - 4) = x^{2} - 4 x

x^{2} + x x^{2} - (x^{2} + 7 x - 4 x) - 2 x - 4

RemoveParSignsTa bort parentes & byt tecken

x^{2} + x x^{2} - x^{2} + 7 x + 4 x - 2 x - 4

SimpTermsFörenkla termer

x^{2} + x 11 x - 2 x - 4

Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg

2 - 4

utförs ytterligare en gång.

x^{2} + x 11 x - 2 x - 4

PolDivQuot

\frac{1 1 x}{x} = 11

x^{2} + x + 11 11 x - 2 x - 4

PolDivSubSubtrahera

11 \cdot (x - 4) = 11 x - 44

x^{2} + x + 11 11 x - (11 x - 2 - 44) x - 4

RemoveParSignsTa bort parentes & byt tecken

x^{2} + x + 11 11 x - 11 x - 2 + 44 x - 4

SimpTermsFörenkla termer

x^{2} + x + 11 42 x - 4

Talet

42

är av grad

0

(precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs

42 x^{0} .

Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.

Resultatet av divisionen $\frac{x ^{3} + 7 x - 2 - 3 x ^{2}}{x - 4}$ är summan av kvoten och restbråket, dvs. $(x^{2} + x + 11) + \frac{4 2}{x - 4} .$

Lös ekvationen med polynomdivision

fullscreen

Uppgift

$x = 2$ är en rot till ekvationen $x^{3} - 19 x + 30 = 0 .$ Använd polynomdivision för att hitta de två andra rötterna.

Visa Lösning

Lösning

Att $x = 2$ löser ekvationen innebär att det är ett nollställe till polynomet $x^{3} - 19 x + 30 .$ Enligt faktorsatsen kan nollstället användas för att skriva om polynomet som en produkt. Ekvationen blir då $(x - 2) q (x) = 0,$ där $q (x)$ är ett annat polynom. Om vi kan bestämma $q (x)$ kan ekvationen lösas med nollproduktmetoden. Genom att likställa de två vänsterleden kan $q (x)$ lösas ut. $x^{3} - 19 x \Leftrightarrow q (x) + 30 = (x - 2) q (x) = \frac{x ^{3} - 1 9 x + 3 0}{x - 2}$ Polynomet $q (x)$ kan alltså bestämmas med en polynomdivision.

x^{3} - 19 x + 30 x - 2

PolDivQuot

\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}

x^{2} x^{3} - 19 x + 30 x - 2

PolDivSubSubtrahera

x^{2} \cdot (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}

x^{2} x^{3} - (x^{3} - 2 x^{2}) - 19 x + 30 x - 2

RemoveParSignsTa bort parentes & byt tecken

x^{2} x^{3} - x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 30 x - 2

SimpTermsFörenkla termer

x^{2} 2 x^{2} - 19 x + 30 x - 2

PolDivQuot

\frac{2 x ^{2}}{x} = 2 x

x^{2} + 2 x 2 x^{2} - 19 x + 30 x - 2

PolDivSubSubtrahera

2 x \cdot (x - 2) = 2 x^{2} - 4 x

x^{2} + 2 x 2 x^{2} - (2 x^{2} - 19 x - 4 x) + 30 x - 2

RemoveParSignsTa bort parentes & byt tecken

x^{2} + 2 x 2 x^{2} - 2 x^{2} - 19 x + 4 x + 30 x - 2

SimpTermsFörenkla termer

x^{2} + 2 x - 15 x + 30 x - 2

PolDivQuot

\frac{- 1 5 x}{x} = - 15

x^{2} + 2 x - 15 - 15 x + 30 x - 2

PolDivSubSubtrahera

- 15 \cdot (x - 2) = - 15 x + 30

x^{2} + 2 x - 15 - 15 x - (- 15 x + 30 + 30) x - 2

RemoveParSignsTa bort parentes & byt tecken

x^{2} + 2 x - 15 - 15 x + 15 x + 30 - 30 x - 2

SimpTermsFörenkla termer

x^{2} + 2 x - 15 m 0 x - 2

Eftersom man får resten $0$ går divisionen jämnt upp. Det bekräftar att $x - 2$ är en faktor till polynomet. Vi ser nu att $q (x) = x^{2} + 2 x - 15,$ vilket kan sättas in i ekvationen.

(x - 2) q (x) = 0

SubstituteExpressionsSätt in uttryck

(x - 2) (x^{2} + 2 x - 15) = 0

ZeroProdPropAnvänd nollproduktmetoden

x - 2 = 0 x^{2} + 2 x - 15 = 0

Lösningen på den övre ekvationen är redan känd, $x = 2$ , så man kan fokusera på andragradsekvationen. Den kan lösas med $p q -$ formeln.

x^{2} + 2 x - 15 = 0

Lös med

p q

-formeln

UsePQAnvänd

p q

-formeln:

p = 2, q = - 15

x = - \frac{2}{2} \pm (\frac{2}{2})^{2} - (- 15)

CalcQuotBeräkna kvot

x = - 1 \pm 1^{2} - (- 15)

CalcPowBeräkna potens

x = - 1 \pm 1 - (- 15)

SubNeg

a - (- b) = a + b

x = - 1 \pm 16

CalcRootBeräkna rot

x = - 1 \pm 4

StateSolAnge lösningar

x_{1} = - 5 x_{2} = 3

Ekvationen $x^{3} - 19 x + 30 = 0$ har alltså rötterna $x = - 5$ , $x = 2$ och $x = 3$ .

1

2

3

4

5

Exempel

Lös ekvationen med polynomdivision