Polynomdivision

För att utföra polynomdivisionen använder vi en uppställning som kallas liggande stolen. Täljaren sätts först till vänster längs med stolsryggen och nämnaren skrivs sedan mellan benen på stolen. l r x^3+3x^2+4x+12 & |lx+3 När vi har ställt upp divisionen med liggande stolen börjar vi med att dividera täljarens första term med nämnarens första term. Det ger oss kvotens första term, som vi skriver ovanför stolen.

Nästa steg är att multiplicera kvoten vi fick med nämnaren. Vi får då x^2( x+3)=x^3+3x^2. Nu subtraherar vi denna produkten från täljaren. Det ger oss ett nytt polynom som vi ersätter täljaren med.

Vi upprepar sedan denna procedur tills täljaren har lägre grad än nämnaren.

Polynomdivisionen gick jämnt ut och kvoten blev alltså x^2+4 med rest 0.

Vi utför divisionen på samma sätt som i förra uppgiften, med metoden för polynomdivision. Först ställer vi upp bråket med liggande stolen. l r x^3-2x^2-9x+4 & |lx-4 Vi börjar sedan med att dividera första termen i täljaren med första i nämnaren.

Vi fortsätter med att multiplicera kvoten med nämnaren för att sedan subtrahera resultatet från täljaren.

Nu har vi minskat täljaren med en grad. Vi upprepar proceduren tills täljaren har lägre grad än nämnaren.

Det är nu samma gradtal i täljaren som nämnaren, så vi kan alltså utföra proceduren en gång till.

Polynomdivisionen gick jämnt ut och kvoten blev x^2+2x-1 med rest 0.

Vi ställer upp och löser polynomdivisionen med liggande stolen.

Vi är nu klara med divisionen, eftersom täljaren 0 är av lägre gradtal än nämnaren x + 2. Resultatet är alltså 2x^2 + x + 3.

Som i föregående deluppgift använder vi liggande stolen för att ställa upp och lösa polynomdivisionen.

Vi har nu beräknat kvoten x^3 + 3x^2 + 2x + 6.

När två polynom divideras med varandra kan kvoten beräknas med den liggande stolen. Första steget är att ställa upp täljaren, 5x^3-x^2-10, och nämnaren, x+2. l r 5x^3-x^2-10 & |lx+2 Nu dividerar vi första termen i täljaren med första termen i nämnaren, och skriver kvoten ovanför stolsryggen.

Nästa steg är att multiplicera 5x^2 med nämnaren. 5x^2(x+2)=5x^3+10x^2 Nu subtraherar vi produkten från täljaren.

Nu har vi minskat gradtalet i täljaren och kan upprepa proceduren tills gradtalet är lägre än nämnaren.

Nu har täljare och nämnare samma grad och vi kan alltså göra proceduren en sista gång.

Resultatet av divisionen blir summan av kvoten, 5x^2-11x+22, och restbråket, -54x+2. 5x^2-11x+22-54/x+2

Vi börjar med att ställa upp divisionen med liggande stolen. l r 4x^2-3x+1 & |lx+2 Nu dividerar vi första termen i täljaren med första termen i nämnaren.

Nästa steg är att multiplicera kvoten med nämnaren och sen subtrahera från täljaren.

Nu har vi utfört divisionen en gång och kan återupprepa den så täljaren får lägre gradtal än nämnaren.

Resultatet av divisionen blir summan av kvoten, 4x-11, och restbråket, 23x+2. 4x-11+23/x+2

Enligt faktorsatsen är (x-a) en faktor till ett visst polynom om a är ett nollställe till polynomet. Om vi hittar ett nollställe a kan vi då skriva om ekvationen till (x-a)q(x) = 0, där q(x) är ett polynom av grad 2. Denna ekvation kan lösas med nollproduktmetoden om vi bestämmer q(x), men först behöver vi bestämma a. Vi tittar på koefficienterna och ser att deras summa är 0, vilket innebär att x = 1 löser ekvationen. Vi bekräftar detta.

Genom att likställa de två uttrycken för vänsterledet, med a = 1, kan q(x) lösas ut. &x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x-1)q(x) & ⇔ q(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2/x - 1 Vi kan nu utföra en polynomdivision för att bestämma q(x).

Vi har nu fått kvoten x^2 - x - 2, vilket innebär att q(x) = x^2 - x - 2, som vi nu kan sätta in i ekvationen.

Lösningen på den övre ekvationen har vi sedan tidigare, x = 1, så vi löser den nedre med pq-formeln.

Vi har nu sammanlagt hittat de tre rötterna x = - 1, x = 1 och x = 2 till den ursprungliga ekvationen.

För att undersöka om divisionen går jämnt ut kan vi kolla om nollstället till nämnaren är ett nollställe till täljaren, sambandet kallas för faktorsatsen. Först tar vi reda på nollstället till nämnaren. x-2=0 ⇔ x=2 Det betyder att x=2 är ett nollställe till x-2. Vi kallar täljarens polynom för p(x) och vill nu undersöka om x=2 är ett nollställe, dvs. om p(2)=0.

Det visar sig att x=2 inte är ett nollställe och divisionen går därför inte jämnt ut. Det vi har beräknat kallas för divisionens rest.

För att undersöka om divisionen går jämnt ut kan vi utföra polynomdivision med liggande stolen och se om vi får någon rest eller inte. Om resten är 0 går divisionen jämnt ut. Vi ställer upp divisionen. l r x^4+2x^3-7x-20 & |lx-2 Första steget är att dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren.

Nästa steg är att multiplicera kvoten vi just beräknade med nämnaren. x^3( x-2)=x^4-2x^3 Nu subtraherar vi produkten från täljaren.

Vi återupprepar proceduren tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren.

Gradtalet är fortfarande högre i täljaren och vi fortsätter dividera.

Nu har täljare och nämnare samma gradtal och vi kan utföra divisionen en gång till.

Divisionen går alltså inte jämnt ut eftersom vi får en rest på -2.