Polynomdivision

För att primtalsfaktorisera ett sammansatt tal, exempelvis

42

, kan man först hitta en primtalsfaktor, t.ex.

2

. Om man sedan dividerar

42

med

2

får man kvoten

21

, som innehåller övriga primtalsfaktorer. Polynom kan faktoriseras på liknande sätt: Efter att en faktor hittats divideras den bort för att ge en kvot som innehåller de andra faktorerna. Vid polynomdivision används liggande stolen, en metod som tidigare lärdes ut i grundskolan för vanliga divisionsberäkningar.

Förklaring

Hur tolkas liggande stolen?

I uppställningen för liggande stolen sätter man bråkets täljare på "stolens" sits och nämnaren mellan stolsbenen. Bilden visar hur man ställer upp $\frac{13}{2},$ samt hur metoden fått sitt namn.

När divisionen är klar finns ett tal på stolsryggen, och en ny täljare.

Resultatet kan skrivas om på den mer välbekanta formen $\begin{aligned} 6+\dfrac{1}{2}. \end{aligned}$ Talet som skrivs på stolens rygg är alltså divisionens heltalskvot, eller ofta bara "kvot". Den säger att talet $2$ går $6$ hela gånger i talet $13.$ Men $2\cdot 6 = 12,$ så det "fattas" $1$ vilket kallas divisionens rest. Är resten $0$ har divisionen gått jämnt upp.

Begrepp

Terminologi för polynomdivision

Begreppen täljare, nämnare, kvot och rest används även när det är polynom som divideras. Om man exempelvis dividerar $x^2 + 4$ med $x-1$ ställer man upp divisionen så här. $\begin{aligned} \begin{array}{l}\phantom{x+1} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^2+4 & \begin{array}{|l}x-1 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}\\ \phantom{hej} \end{aligned}$ När divisionen är klar får man följande uttryck. $\begin{aligned} \phantom{hej}\\ \begin{array}{l}x+1 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 3 & \begin{array}{|l}x-1 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}\\ \phantom{hej} \end{aligned}$ Detta kan också skrivas på ett mer bekant sätt: $\begin{aligned} (x+1)+\dfrac{3}{x-1}. \end{aligned}$ Namnen på de olika delarna av resultatet specificeras i bilden.

Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex.

\dfrac{x^3+7x-2-3x^2}{x-4},

använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.

1

Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen

Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck. $\begin{array}{l}\begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}$

2

Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren

Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att

x^3

divideras med

x.

Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.

\begin{array}{l}\begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{x^3}}-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

\dfrac{{\color{#0000FF}{x^3}}}{{\color{#0000FF}{x}}}= x^2

\begin{array}{l}{\color{#FF0000}{x^2}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

3

Multiplicera kvottermen från steg

2

med nämnaren

Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger ${\color{#FF0000}{x^2}}({\color{#FF0000}{x-4}})=x^3-4x^2.$

4

Subtrahera produkten från steg

3

från täljaren

Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.

\begin{array}{l}{\color{#FF0000}{x^2}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Subtrahera

{\color{#FF0000}{x^2}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = x^3-4x^2

\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 &- 3x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(x^3 & -4x^2\big) \end{array}\end{array}

Ta bort parentes & byt tecken

\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 &- 3x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -x^3 & +4x^2 \end{array}\end{array}

Förenkla termer

\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.

Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som $x^2+\dfrac{x^2+7x-2}{x-4}.$ Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg $2,$ $3$ och $4$ igen.

5

Upprepa steg

2-4

tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren

Steg

2-4

upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.

\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{x^2}}+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

\dfrac{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x^2}}}}}{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x}}}}}= x

\begin{array}{l}x^2{\color{#FF0000}{\phantom{}+x}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Subtrahera

{\color{#FF0000}{x}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = x^2-4x

\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(x^2 & -4x\big) \end{array}\end{array}

Ta bort parentes & byt tecken

\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -x^2 & +4x \end{array}\end{array}

Förenkla termer

\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 11x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg

2-4

utförs ytterligare en gång.

\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{11x}}-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

\dfrac{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{11x}}}}}{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x}}}}}= 11

\begin{array}{l}x^2+x{\color{#FF0000}{\phantom{}+11}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 11x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Subtrahera

{\color{#FF0000}{11}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = 11x-44

\begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 11x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(11x & -44\big) \end{array}\end{array}

Ta bort parentes & byt tecken

\begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 11x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -11x & +44 \end{array}\end{array}

Förenkla termer

\begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 42 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Talet

42

är av grad

0

(precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs

42x^0.

Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.

Resultatet av divisionen $\dfrac{x^3+7x-2-3x^2}{x-4}$ är summan av kvoten och restbråket, dvs. $(x^2+x+11)+\dfrac{42}{x-4}.$

Lös ekvationen med polynomdivision

fullscreen

Uppgift

$x=2$ är en rot till ekvationen $\begin{aligned} x^3 - 19x + 30 = 0. \end{aligned}$ Använd polynomdivision för att hitta de två andra rötterna.

Visa Lösning

Lösning

Att $x=2$ löser ekvationen innebär att det är ett nollställe till polynomet $x^3 - 19x + 30.$ Enligt faktorsatsen kan nollstället användas för att skriva om polynomet som en produkt. Ekvationen blir då $\begin{aligned} (x-2)q(x) = 0, \end{aligned}$ där $q(x)$ är ett annat polynom. Om vi kan bestämma $q(x)$ kan ekvationen lösas med nollproduktmetoden. Genom att likställa de två vänsterleden kan $q(x)$ lösas ut. $\begin{aligned} x^3 - 19x & + 30 = (x-2)q(x) \\ \Leftrightarrow \ \ q(x) & = \dfrac{x^3 - 19x + 30}{x-2} \end{aligned}$ Polynomet $q(x)$ kan alltså bestämmas med en polynomdivision.

\begin{array}{l}\begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{x^3}} - 19x + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-2 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

\dfrac{{\color{#0000FF}{x^3}}}{{\color{#0000FF}{x}}}= x^2

\begin{array}{l}{\color{#FF0000}{x^2}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^3 - 19x + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-2}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Subtrahera

{\color{#FF0000}{x^2}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-2}}\right) = x^3-2x^2

\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 & &- 19x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ -\big(x^3 & -2x^2\big) \end{array}\end{array}

Ta bort parentes & byt tecken

\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 & &- 19x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ -x^3 & +2x^2 \end{array}\end{array}

Förenkla termer

\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{2x^2}} - 19x + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-2 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

\dfrac{{\color{#0000FF}{2x^2}}}{{\color{#0000FF}{x}}}= 2x

\begin{array}{l}x^2{\color{#FF0000}{\phantom{}+2x}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 2x^2 - 19x + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-2}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Subtrahera

{\color{#FF0000}{2x}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-2}}\right) = 2x^2-4x

\begin{array}{l}x^2+2x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 2x^2 &- 19x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ -\big(2x^2 & -4x\big) \end{array}\end{array}

Ta bort parentes & byt tecken

\begin{array}{l}x^2+2x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 2x^2 &- 19x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ -2x^2 & +4x \end{array}\end{array}

Förenkla termer

\begin{array}{l}x^2+2x \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{\text{-} 15x}} + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-2 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

\dfrac{{\color{#0000FF}{\text{-} 15x}}}{{\color{#0000FF}{x}}}= \text{-} 15

\begin{array}{l}x^2+2x{\color{#FF0000}{\phantom{}-15}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline \text{-} 15x + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-2}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Subtrahera

{\color{#FF0000}{\text{-} 15}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-2}}\right) = \text{-} 15 x + 30

\begin{array}{l}x^2+2x-15 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline \text{-} 15x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ -\big(\text{-} 15x & +30\big) \end{array}\end{array}

Ta bort parentes & byt tecken

\begin{array}{l}x^2+2x-15 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline \text{-} 15x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ +15x & -30 \end{array}\end{array}

Förenkla termer

\begin{array}{l}x^2+2x-15 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline \phantom{m}0 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Eftersom man får resten $0$ går divisionen jämnt upp. Det bekräftar att $x-2$ är en faktor till polynomet. Vi ser nu att $\begin{aligned} q(x) = x^2+2x-15, \end{aligned}$ vilket kan sättas in i ekvationen.

(x-2)q(x) = 0

Sätt in uttryck

(x-2)\left(x^2+2x-15\right) = 0

Använd nollproduktmetoden

\begin{array}{l}x-2=0 \\ x^2+2x-15=0 \end{array}

Lösningen på den övre ekvationen är redan känd, $x=2$ , så man kan fokusera på andragradsekvationen. Den kan lösas med $pq\text{-}$ formeln.

x^2+2x-15 = 0

Lös med

pq

-formeln

Använd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{2}}, \, q={\color{#009600}{\text{-} 15}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{2}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{2}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-} 15}}\right)}

Beräkna kvot

x=\text{-} 1\pm\sqrt{1^2- (\text{-} 15)}

Beräkna potens

x=\text{-} 1\pm\sqrt{1- (\text{-} 15)}

a-(\text{-} b)=a+b

x=\text{-} 1\pm\sqrt{16}

Beräkna rot

x = \text{-}1 \pm 4

Ange lösningar

\begin{array}{l}x_1=\text{-} 5 \\ x_2=3 \end{array}

Ekvationen $x^3 - 19x + 30 = 0$ har alltså rötterna $x=\text{-}5$ , $x=2$ och $x=3$ .

Videohandledningar

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

Formelsamling

Kurs 1

Kurs 2

Kurs 3

Kurs 4

Kurs 5

Polynomdivision

Hur tolkas liggande stolen?

Terminologi för polynomdivision

Polynomdivision

1

2

3

4

5

Exempel

Lös ekvationen med polynomdivision