Polynomdivision

För att primtalsfaktorisera ett sammansatt tal, exempelvis 42, kan man först hitta en primtalsfaktor, t.ex. 2. Om man sedan dividerar 42 med 2 får man kvoten 21, som innehåller övriga primtalsfaktorer. Polynom kan faktoriseras på liknande sätt: Efter att en faktor hittats divideras den bort för att ge en kvot som innehåller de andra faktorerna. Vid polynomdivision används liggande stolen, en metod som tidigare lärdes ut i grundskolan för vanliga divisionsberäkningar.

Förklaring

Hur tolkas liggande stolen?

I uppställningen för liggande stolen sätter man bråkets täljare på "stolens" sits och nämnaren mellan stolsbenen. Bilden visar hur man ställer upp $\frac{1 3}{2},$ samt hur metoden fått sitt namn.

När divisionen är klar finns ett tal på stolsryggen, och en ny täljare.

Resultatet kan skrivas om på den mer välbekanta formen

Talet som skrivs på stolens rygg är alltså divisionens heltalskvot, eller ofta bara "kvot". Den säger att talet 2 går 6 hela gånger i talet 13. Men 2⋅6=12, så det "fattas" 1 vilket kallas divisionens rest. Är resten 0 har divisionen gått jämnt upp.

Begrepp

Terminologi för polynomdivision

Begreppen täljare, nämnare, kvot och rest används även när det är polynom som divideras. Om man exempelvis dividerar x2+4 med x−1 ställer man upp divisionen så här.

x + 1 x^{2} + 4 x - 1 h e j

När divisionen är klar får man följande uttryck.

h e j x + 1 3 x - 1 h e j

Detta kan också skrivas på ett mer bekant sätt:

Namnen på de olika delarna av resultatet specificeras i bilden.

Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex.

använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.

1

Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen

Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck.

2

Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren

Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att x3 divideras med x. Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.

x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}$

x^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

3

Multiplicera kvottermen från steg 2 med nämnaren

Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger

x2(x−4)=x3−4x2.

4

Subtrahera produkten från steg 3 från täljaren

Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.

x^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $x^{2} \cdot (x - 4) = x^{3} - 4 x^{2}$

x^{2} x^{3} - (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2}) + 7 x - 2 x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} x^{3} - x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} x^{2} + 7 x - 2 x - 4

Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.

Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som

Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg 2, 3 och 4 igen.

5

Upprepa steg 2−4 tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren

Steg 2−4 upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.

x^{2} x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{x ^{2}}{x} = x$

x^{2} + x x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $x \cdot (x - 4) = x^{2} - 4 x$

x^{2} + x x^{2} - (x^{2} + 7 x - 4 x) - 2 x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} + x x^{2} - x^{2} + 7 x + 4 x - 2 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} + x 11 x - 2 x - 4

Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg 2−4 utförs ytterligare en gång.

x^{2} + x 11 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{1 1 x}{x} = 11$

x^{2} + x + 11 11 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $11 \cdot (x - 4) = 11 x - 44$

x^{2} + x + 11 11 x - (11 x - 2 - 44) x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} + x + 11 11 x - 11 x - 2 + 44 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} + x + 11 42 x - 4

Talet 42 är av grad 0 (precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs 42x0. Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.

Resultatet av divisionen

är summan av kvoten och restbråket, dvs.

Lös ekvationen med polynomdivision

fullscreen

x=2 är en rot till ekvationen

Använd polynomdivision för att hitta de två andra rötterna.

Visa Lösning

Att x=2 löser ekvationen innebär att det är ett nollställe till polynomet x3−19x+30. Enligt faktorsatsen kan nollstället användas för att skriva om polynomet som en produkt. Ekvationen blir då

där q(x) är ett annat polynom. Om vi kan bestämma q(x) kan ekvationen lösas med nollproduktmetoden. Genom att likställa de två vänsterleden kan q(x) lösas ut.

Polynomet q(x) kan alltså bestämmas med en polynomdivision.