Polynomdivision

För att primtalsfaktorisera ett sammansatt tal, exempelvis

42

, kan man först hitta en primtalsfaktor, t.ex.

2

. Om man sedan dividerar

42

med

2

får man kvoten

21

, som innehåller övriga primtalsfaktorer. Polynom kan faktoriseras på liknande sätt: Efter att en faktor hittats divideras den bort för att ge en kvot som innehåller de andra faktorerna. Vid polynomdivision används liggande stolen, en metod som tidigare lärdes ut i grundskolan för vanliga divisionsberäkningar.

Förklaring

Hur tolkas liggande stolen?

I uppställningen för liggande stolen sätter man bråkets täljare på "stolens" sits och nämnaren mellan stolsbenen. Bilden visar hur man ställer upp $\frac{1 3}{2},$ samt hur metoden fått sitt namn.

När divisionen är klar finns ett tal på stolsryggen, och en ny täljare.

Resultatet kan skrivas om på den mer välbekanta formen

6 + \frac{1}{2} .

Talet som skrivs på stolens rygg är alltså divisionens heltalskvot, eller ofta bara "kvot". Den säger att talet

2

går

6

hela gånger i talet

13 .

Men

2 \cdot 6 = 12,

så det "fattas"

1

vilket kallas divisionens rest. Är resten

0

har divisionen gått jämnt upp.

Begrepp

Terminologi för polynomdivision

Begreppen täljare, nämnare, kvot och rest används även när det är polynom som divideras. Om man exempelvis dividerar

x^{2} + 4

med

x - 1

ställer man upp divisionen så här.

x + 1 x^{2} + 4 x - 1 h e j

När divisionen är klar får man följande uttryck.

h e j x + 1 3 x - 1 h e j

Detta kan också skrivas på ett mer bekant sätt:

(x + 1) + \frac{3}{x - 1} .

Namnen på de olika delarna av resultatet specificeras i bilden.

Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex.

\frac{x ^{3} + 7 x - 2 - 3 x ^{2}}{x - 4},

använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.

1

Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen

Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck.

x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

2

Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren

Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att

x^{3}

divideras med

x .

Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.

x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}$

x^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

3

Multiplicera kvottermen från steg

2

med nämnaren

Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger

x^{2} (x - 4) = x^{3} - 4 x^{2} .

4

Subtrahera produkten från steg

3

från täljaren

Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.

x^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $x^{2} \cdot (x - 4) = x^{3} - 4 x^{2}$

x^{2} x^{3} - (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2}) + 7 x - 2 x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} x^{3} - x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} x^{2} + 7 x - 2 x - 4

Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.

Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som

x^{2} + \frac{x ^{2} + 7 x - 2}{x - 4} .

Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg

2,

3

och

4

igen.

5

Upprepa steg

2 - 4

tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren

Steg

2 - 4

upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.

x^{2} x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{x ^{2}}{x} = x$

x^{2} + x x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $x \cdot (x - 4) = x^{2} - 4 x$

x^{2} + x x^{2} - (x^{2} + 7 x - 4 x) - 2 x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} + x x^{2} - x^{2} + 7 x + 4 x - 2 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} + x 11 x - 2 x - 4

Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg

2 - 4

utförs ytterligare en gång.

x^{2} + x 11 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{1 1 x}{x} = 11$

x^{2} + x + 11 11 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $11 \cdot (x - 4) = 11 x - 44$

x^{2} + x + 11 11 x - (11 x - 2 - 44) x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} + x + 11 11 x - 11 x - 2 + 44 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} + x + 11 42 x - 4

Talet

42

är av grad

0

(precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs

42 x^{0} .

Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.