{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Polynomekvationer

Välj kurs
Matte 4
Polynomekvationer
Polynomdivision

Polynomdivision

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
För att primtalsfaktorisera ett sammansatt tal, exempelvis 4242, kan man först hitta en primtalsfaktor, t.ex. 22. Om man sedan dividerar 4242 med 22 får man kvoten 2121, som innehåller övriga primtalsfaktorer. Polynom kan faktoriseras på liknande sätt: Efter att en faktor hittats divideras den bort för att ge en kvot som innehåller de andra faktorerna. Vid polynomdivision används liggande stolen, en metod som tidigare lärdes ut i grundskolan för vanliga divisionsberäkningar.
Förklaring

Hur tolkas liggande stolen?

I uppställningen för liggande stolen sätter man bråkets täljare på "stolens" sits och nämnaren mellan stolsbenen. Bilden visar hur man ställer upp 132,\frac{13}{2}, samt hur metoden fått sitt namn.

Stol till polynomdivision20.svg

När divisionen är klar finns ett tal på stolsryggen, och en ny täljare.

Heltalsdivision2.svg

Resultatet kan skrivas om på den mer välbekanta formen 6+12.\begin{aligned} 6+\dfrac{1}{2}. \end{aligned} Talet som skrivs på stolens rygg är alltså divisionens heltalskvot, eller ofta bara "kvot". Den säger att talet 22 går 66 hela gånger i talet 13.13. Men 2⋅6=12,2\cdot 6 = 12, så det "fattas" 11 vilket kallas divisionens rest. Är resten 00 har divisionen gått jämnt upp.

Begrepp

Terminologi för polynomdivision

Begreppen täljare, nämnare, kvot och rest används även när det är polynom som divideras. Om man exempelvis dividerar x2+4x^2 + 4 med x−1x-1 ställer man upp divisionen så här. x+1x2+4x−1hej\begin{aligned} \begin{array}{l}\phantom{x+1} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^2+4 & \begin{array}{|l}x-1 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}\\ \phantom{hej} \end{aligned} När divisionen är klar får man följande uttryck. hejx+13x−1hej\begin{aligned} \phantom{hej}\\ \begin{array}{l}x+1 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 3 & \begin{array}{|l}x-1 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}\\ \phantom{hej} \end{aligned} Detta kan också skrivas på ett mer bekant sätt: (x+1)+3x−1.\begin{aligned} (x+1)+\dfrac{3}{x-1}. \end{aligned} Namnen på de olika delarna av resultatet specificeras i bilden.

Specificering av kvot rest restbråk.svg
Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex. x3+7x−2−3x2x−4, \dfrac{x^3+7x-2-3x^2}{x-4}, använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.

1

Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen

Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck. x3−3x2+7x−2x−4 \begin{array}{l}\begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

2

Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren
Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att x3x^3 divideras med x.x. Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.
x3−3x2+7x−2x−4\begin{array}{l}\begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{x^3}}-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
x3x=x2\dfrac{{\color{#0000FF}{x^3}}}{{\color{#0000FF}{x}}}= x^2
x2x3−3x2+7x−2x−4\begin{array}{l}{\color{#FF0000}{x^2}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

3

Multiplicera kvottermen från steg 22 med nämnaren

Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger x2(x−4)=x3−4x2. {\color{#FF0000}{x^2}}({\color{#FF0000}{x-4}})=x^3-4x^2.

4

Subtrahera produkten från steg 33 från täljaren
Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.
x2x3−3x2+7x−2x−4\begin{array}{l}{\color{#FF0000}{x^2}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Subtrahera x2⋅(x−4)=x3−4x2{\color{#FF0000}{x^2}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = x^3-4x^2
x2x3−3x2+7x−2x−4−(x3−4x2)\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 &- 3x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(x^3 & -4x^2\big) \end{array}\end{array}
Ta bort parentes & byt tecken
x2x3−3x2+7x−2x−4−x3+4x2\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 &- 3x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -x^3 & +4x^2 \end{array}\end{array}
Förenkla termer
x2x2+7x−2x−4\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.
Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som x2+x2+7x−2x−4. x^2+\dfrac{x^2+7x-2}{x-4}. Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg 2,2, 33 och 44 igen.

5

Upprepa steg 2−42-4 tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren
Steg 2−42-4 upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.
x2x2+7x−2x−4\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{x^2}}+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
x2x=x\dfrac{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x^2}}}}}{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x}}}}}= x
x2+xx2+7x−2x−4\begin{array}{l}x^2{\color{#FF0000}{\phantom{}+x}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Subtrahera x⋅(x−4)=x2−4x{\color{#FF0000}{x}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = x^2-4x
x2+xx2+7x−2x−4−(x2−4x)\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(x^2 & -4x\big) \end{array}\end{array}
Ta bort parentes & byt tecken
x2+xx2+7x−2x−4−x2+4x\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -x^2 & +4x \end{array}\end{array}
Förenkla termer
x2+x11x−2x−4\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 11x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg 2−42-4 utförs ytterligare en gång.
x2+x11x−2x−4\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{11x}}-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
11xx=11\dfrac{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{11x}}}}}{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x}}}}}= 11
x2+x+1111x−2x−4\begin{array}{l}x^2+x{\color{#FF0000}{\phantom{}+11}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 11x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Subtrahera 11⋅(x−4)=11x−44{\color{#FF0000}{11}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = 11x-44
x2+x+1111x−2x−4−(11x−44)\begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 11x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(11x & -44\big) \end{array}\end{array}
Ta bort parentes & byt tecken
x2+x+1111x−2x−4−11x+44\begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 11x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -11x & +44 \end{array}\end{array}
Förenkla termer
x2+x+1142x−4\begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 42 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Talet 4242 är av grad 00 (precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs 42x0.42x^0. Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.
Rutat papper med polynomdivision2.svg

Resultatet av divisionen x3+7x−2−3x2x−4 \dfrac{x^3+7x-2-3x^2}{x-4} är summan av kvoten och restbråket, dvs. (x2+x+11)+42x−4. (x^2+x+11)+\dfrac{42}{x-4}.

Uppgift


x=2x=2 är en rot till ekvationen x3−19x+30=0.\begin{aligned} x^3 - 19x + 30 = 0. \end{aligned} Använd polynomdivision för att hitta de två andra rötterna.

Lösning

Att x=2x=2 löser ekvationen innebär att det är ett nollställe till polynomet x3−19x+30.x^3 - 19x + 30. Enligt faktorsatsen kan nollstället användas för att skriva om polynomet som en produkt. Ekvationen blir då (x−2)q(x)=0,\begin{aligned} (x-2)q(x) = 0, \end{aligned} där q(x)q(x) är ett annat polynom. Om vi kan bestämma q(x)q(x) kan ekvationen lösas med nollproduktmetoden. Genom att likställa de två vänsterleden kan q(x)q(x) lösas ut. x3−19x+30=(x−2)q(x)⇔  q(x)=x3−19x+30x−2\begin{aligned} x^3 - 19x & + 30 = (x-2)q(x) \\ \Leftrightarrow \ \ q(x) & = \dfrac{x^3 - 19x + 30}{x-2} \end{aligned} Polynomet q(x)q(x) kan alltså bestämmas med en polynomdivision.

x3−19x+30x−2\begin{array}{l}\begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{x^3}} - 19x + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-2 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
x3x=x2\dfrac{{\color{#0000FF}{x^3}}}{{\color{#0000FF}{x}}}= x^2
x2x3−19x+30x−2\begin{array}{l}{\color{#FF0000}{x^2}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^3 - 19x + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-2}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Subtrahera x2⋅(x−2)=x3−2x2{\color{#FF0000}{x^2}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-2}}\right) = x^3-2x^2
x2x3−19x+30x−2−(x3−2x2)\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 & &- 19x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ -\big(x^3 & -2x^2\big) \end{array}\end{array}
Ta bort parentes & byt tecken
x2x3−19x+30x−2−x3+2x2\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 & &- 19x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ -x^3 & +2x^2 \end{array}\end{array}
Förenkla termer
x22x2−19x+30x−2\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{2x^2}} - 19x + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-2 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
2x2x=2x\dfrac{{\color{#0000FF}{2x^2}}}{{\color{#0000FF}{x}}}= 2x
x2+2x2x2−19x+30x−2\begin{array}{l}x^2{\color{#FF0000}{\phantom{}+2x}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 2x^2 - 19x + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-2}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Subtrahera 2x⋅(x−2)=2x2−4x{\color{#FF0000}{2x}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-2}}\right) = 2x^2-4x
x2+2x2x2−19x+30x−2−(2x2−4x)\begin{array}{l}x^2+2x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 2x^2 &- 19x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ -\big(2x^2 & -4x\big) \end{array}\end{array}
Ta bort parentes & byt tecken
x2+2x2x2−19x+30x−2−2x2+4x\begin{array}{l}x^2+2x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 2x^2 &- 19x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ -2x^2 & +4x \end{array}\end{array}
Förenkla termer
x2+2x-15x+30x−2\begin{array}{l}x^2+2x \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{\text{-} 15x}} + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-2 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
-15xx=-15\dfrac{{\color{#0000FF}{\text{-} 15x}}}{{\color{#0000FF}{x}}}= \text{-} 15
x2+2x−15-15x+30x−2\begin{array}{l}x^2+2x{\color{#FF0000}{\phantom{}-15}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline \text{-} 15x + 30 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-2}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Subtrahera -15⋅(x−2)=-15x+30{\color{#FF0000}{\text{-} 15}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-2}}\right) = \text{-} 15 x + 30
x2+2x−15-15x+30x−2−(-15x+30)\begin{array}{l}x^2+2x-15 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline \text{-} 15x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ -\big(\text{-} 15x & +30\big) \end{array}\end{array}
Ta bort parentes & byt tecken
x2+2x−15-15x+30x−2+15x−30\begin{array}{l}x^2+2x-15 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline \text{-} 15x &+ 30 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\\ +15x & -30 \end{array}\end{array}
Förenkla termer
x2+2x−15m0x−2\begin{array}{l}x^2+2x-15 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline \phantom{m}0 & \begin{array}{|l}x-2 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

Eftersom man får resten 00 går divisionen jämnt upp. Det bekräftar att x−2x-2 är en faktor till polynomet. Vi ser nu att q(x)=x2+2x−15,\begin{aligned} q(x) = x^2+2x-15, \end{aligned} vilket kan sättas in i ekvationen.

(x−2)q(x)=0(x-2)q(x) = 0
Sätt in uttryck
(x−2)(x2+2x−15)=0(x-2)\left(x^2+2x-15\right) = 0
Använd nollproduktmetoden
x−2=0x2+2x−15=0\begin{array}{l}x-2=0 \\ x^2+2x-15=0 \end{array}

Lösningen på den övre ekvationen är redan känd, x=2x=2, så man kan fokusera på andragradsekvationen. Den kan lösas med pq-pq\text{-}formeln.

x2+2x−15=0x^2+2x-15 = 0
Lös med pqpq-formeln
Använd pqpq-formeln: p=2, q=-15p = {\color{#0000FF}{2}}, \, q={\color{#009600}{\text{-} 15}}
x=-22±(22)2−(-15)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{2}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{2}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-} 15}}\right)}
Beräkna kvot
x=-1±12−(-15)x=\text{-} 1\pm\sqrt{1^2- (\text{-} 15)}
Beräkna potens
x=-1±1−(-15)x=\text{-} 1\pm\sqrt{1- (\text{-} 15)}
a−(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
x=-1±16x=\text{-} 1\pm\sqrt{16}
Beräkna rot
x=-1±4x = \text{-}1 \pm 4
Ange lösningar
x1=-5x2=3\begin{array}{l}x_1=\text{-} 5 \\ x_2=3 \end{array}

Ekvationen x3−19x+30=0x^3 - 19x + 30 = 0 har alltså rötterna x=-5x=\text{-}5, x=2x=2 och x=3x=3.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}