{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
{{ "ml-topbar-info-01" | message }} {{ "ml-topbar-info-02" | message }} {{ "ml-topbar-info-03" | message }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Polynomekvationer

Polynomdivision

För att primtalsfaktorisera ett sammansatt tal, exempelvis 42, kan man först hitta en primtalsfaktor, t.ex. 2. Om man sedan dividerar 42 med 2 får man kvoten 21, som innehåller övriga primtalsfaktorer. Polynom kan faktoriseras på liknande sätt: Efter att en faktor hittats divideras den bort för att ge en kvot som innehåller de andra faktorerna. Vid polynomdivision används liggande stolen, en metod som tidigare lärdes ut i grundskolan för vanliga divisionsberäkningar.

Förklaring

Hur tolkas liggande stolen?

I uppställningen för liggande stolen sätter man bråkets täljare på "stolens" sits och nämnaren mellan stolsbenen. Bilden visar hur man ställer upp samt hur metoden fått sitt namn.

Stol till polynomdivision20.svg

När divisionen är klar finns ett tal på stolsryggen, och en ny täljare.

Heltalsdivision2.svg
Resultatet kan skrivas om på den mer välbekanta formen
Talet som skrivs på stolens rygg är alltså divisionens heltalskvot, eller ofta bara "kvot". Den säger att talet 2 går 6 hela gånger i talet 13. Men 26=12, så det "fattas" 1 vilket kallas divisionens rest. Är resten 0 har divisionen gått jämnt upp.

Begrepp

Terminologi för polynomdivision

Begreppen täljare, nämnare, kvot och rest används även när det är polynom som divideras. Om man exempelvis dividerar x2+4 med x1 ställer man upp divisionen så här.
När divisionen är klar får man följande uttryck.
Detta kan också skrivas på ett mer bekant sätt:
Namnen på de olika delarna av resultatet specificeras i bilden.
Specificering av kvot rest restbråk.svg

Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex.
använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.
1
Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen
expand_more
Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck.

2
Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren
expand_more
Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att x3 divideras med x. Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.
3
Multiplicera kvottermen från steg 2 med nämnaren
expand_more
Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger
x2(x4)=x34x2.
4
Subtrahera produkten från steg 3 från täljaren
expand_more
Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.
Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.
Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som
Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg 2, 3 och 4 igen.
5
Upprepa steg 24 tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren
expand_more
Steg 24 upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.
Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg 24 utförs ytterligare en gång.
Talet 42 är av grad 0 (precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs 42x0. Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.
Rutat papper med polynomdivision2.svg
Resultatet av divisionen
är summan av kvoten och restbråket, dvs.

Exempel

Lös ekvationen med polynomdivision

fullscreen

x=2 är en rot till ekvationen
Använd polynomdivision för att hitta de två andra rötterna.
Visa Lösning expand_more
Att x=2 löser ekvationen innebär att det är ett nollställe till polynomet x319x+30. Enligt faktorsatsen kan nollstället användas för att skriva om polynomet som en produkt. Ekvationen blir då
där q(x) är ett annat polynom. Om vi kan bestämma q(x) kan ekvationen lösas med nollproduktmetoden. Genom att likställa de två vänsterleden kan q(x) lösas ut.
Polynomet q(x) kan alltså bestämmas med en polynomdivision.
Eftersom man får resten 0 går divisionen jämnt upp. Det bekräftar att x2 är en faktor till polynomet. Vi ser nu att
vilket kan sättas in i ekvationen.
(x2)q(x)=0

Lösningen på den övre ekvationen är redan känd, x=2, så man kan fokusera på andragradsekvationen. Den kan lösas med pq-formeln.

x2+2x15=0
Lös med pq-formeln
x=-1±4

Ekvationen x319x+30=0 har alltså rötterna x=-5, x=2 och x=3.

arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community