mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Polynomekvationer

Polynomdivision

För att primtalsfaktorisera ett sammansatt tal, exempelvis , kan man först hitta en primtalsfaktor, t.ex. . Om man sedan dividerar med får man kvoten , som innehåller övriga primtalsfaktorer. Polynom kan faktoriseras på liknande sätt: Efter att en faktor hittats divideras den bort för att ge en kvot som innehåller de andra faktorerna. Vid polynomdivision används liggande stolen, en metod som tidigare lärdes ut i grundskolan för vanliga divisionsberäkningar.

Förklaring

Hur tolkas liggande stolen?

I uppställningen för liggande stolen sätter man bråkets täljare på "stolens" sits och nämnaren mellan stolsbenen. Bilden visar hur man ställer upp samt hur metoden fått sitt namn.

Stol till polynomdivision20.svg

När divisionen är klar finns ett tal på stolsryggen, och en ny täljare.

Heltalsdivision2.svg

Resultatet kan skrivas om på den mer välbekanta formen Talet som skrivs på stolens rygg är alltså divisionens heltalskvot, eller ofta bara "kvot". Den säger att talet går hela gånger i talet Men så det "fattas" vilket kallas divisionens rest. Är resten har divisionen gått jämnt upp.

Begrepp

Terminologi för polynomdivision

Begreppen täljare, nämnare, kvot och rest används även när det är polynom som divideras. Om man exempelvis dividerar med ställer man upp divisionen så här. När divisionen är klar får man följande uttryck. Detta kan också skrivas på ett mer bekant sätt: Namnen på de olika delarna av resultatet specificeras i bilden.

Specificering av kvot rest restbråk.svg

Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex. använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.

1

Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen

Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck.

2

Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren
Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att divideras med Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.

3

Multiplicera kvottermen från steg med nämnaren

Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger

4

Subtrahera produkten från steg från täljaren
Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.
Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.
Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg och igen.

5

Upprepa steg tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren
Steg upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.
Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg utförs ytterligare en gång.
Talet är av grad (precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.
Rutat papper med polynomdivision2.svg

Resultatet av divisionen är summan av kvoten och restbråket, dvs.

fullscreen
Uppgift


är en rot till ekvationen Använd polynomdivision för att hitta de två andra rötterna.

Visa Lösning
Lösning

Att löser ekvationen innebär att det är ett nollställe till polynomet Enligt faktorsatsen kan nollstället användas för att skriva om polynomet som en produkt. Ekvationen blir då där är ett annat polynom. Om vi kan bestämma kan ekvationen lösas med nollproduktmetoden. Genom att likställa de två vänsterleden kan lösas ut. Polynomet kan alltså bestämmas med en polynomdivision.

Eftersom man får resten går divisionen jämnt upp. Det bekräftar att är en faktor till polynomet. Vi ser nu att vilket kan sättas in i ekvationen.

Lösningen på den övre ekvationen är redan känd, , så man kan fokusera på andragradsekvationen. Den kan lösas med formeln.

Lös med -formeln

Ekvationen har alltså rötterna , och .

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward