{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Deriveringsregler

Välj kurs
Matte 4
Deriveringsregler
Sammansatta funktioner

Sammansatta funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En sammansatt funktion är, som namnet antyder, en sorts sammanslagning av två eller flera funktioner. Vanligtvis skrivs funktioner på formen f(x),f(x), där funktionen ff beror på variabeln x.x. Om man ersätter xx med ett tal kan man beräkna värdet för olika x,x, t.ex. betyder det att f(x)=x2+3x−1⇒f(2)=22+3⋅2−1=9. f(x)=x^2+3x-1 \quad \Rightarrow \quad f(2)=2^2+3\cdot2-1=9. Men vad händer om man istället sätter in en annan funktion, g(x)?g(x)? Det är då man får en sammansatt funktion. T.ex. är funktionen tan⁡(9x)\tan(9x) sammansatt av 9x9x och tan⁡(x),\tan(x), där den inre funktionen, 9x,9x, har satts in i den yttre funktionen, tan⁡(x).\tan(x). f(x)=tan⁡(x)⇒f(9x)=tan⁡(9x) f(x)=\tan(x) \quad \Rightarrow \quad f(9x)=\tan(9x) I tabellen visas några fler exempel.

Yttre funktion Inre funktion Sammansatt funktion
y=cos⁡(u)y=\cos(u) u=7xu=7x y=cos⁡(7x)y=\cos(7x)
y=u4y=u^4 u=x−6u=x-6 y=(x−6)4y=(x-6)^4
y=ln⁡(u)y=\ln(u) u=3x−5u=3x-5 y=ln⁡(3x−5)y=\ln(3x-5)
y=euy=e^u u=2xu=2x y=e2xy=e^{2x}

I det här fallet kallas den inre funktionen för uu och den yttre för y,y, men det finns flera olika notationer för sammansatta funktioner.

Notation
Sammansatt funktion

För att markera att en funktion är sammansatt finns det olika alternativ. I några av dem tar man med den oberoende variabeln x,x, och i andra inte.

Yttre funktion Inre funktion Sammansatt funktion Utläses
yy uu y(u)y(u) "yy av uu"
f(x)f(x) g(x)g(x) f(g(x))f(g(x)) "ff av gg av xx"
ff gg f∘gf\circ g "ff boll gg"
Uppgift

Givet funktionerna f(x)=x2f(x)=x^2 och g(x)=4x−1,g(x)=4x-1, skapa den sammansatta funktionen f(g(x))f(g(x)) och förenkla.

Lösning

Uttrycket f(g(x))f(g(x)) betyder att vi ska sätta in g(x)g(x) i f(x).f(x).

f(x)=x2f(x)=x^2
Sätt in g(x)g(x)
f(g(x))=(g(x))2f(g(x))=(g(x))^2
g(x)=4x−1g(x)={\color{#0000FF}{4x-1}}
f(g(x))=(4x−1)2f(g(x))=({\color{#0000FF}{4x-1}})^2

Nu kan vi utveckla funktionsuttrycket i högerledet med andra kvadreringsregeln.

(4x−1)2(4x-1)^2
Utveckla med andra kvadreringsregeln
(4x)2−2⋅4x⋅1+12(4x)^2-2\cdot4x\cdot1 +1^2
Beräkna potens & produkt
(4x)2−8x+1(4x)^2-8x +1
(ab)c=acbc \left(a b\right)^{c}=a^c b^c
16x2−8x+116x^2-8x +1
Den sammansatta funktionen är alltså f(g(x))=16x2−8x+1.f(g(x))=16x^2-8x +1.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm en inre och en yttre funktion som ger den sammansatta funktionen f(g(x))=(x2+9x−7)6. f(g(x)) = \left( x^2 + 9x - 7 \right)^6.

Lösning

Om det är svårt att se vilken del av ett uttryck som är den yttre funktionen och vilken som är den inre kan det vara en god idé att börja utifrån och arbeta sig inåt. I det här fallet ser vi att det finns en parentes och att innehållet i den upphöjs till 6.6. Den yttre funktionen skulle därför kunna vara f(x)=x6. f(x) = x^6. Det som står innanför parentesen måste då vara den inre funktionen: g(x)=x2+9x−7. g(x) = x^2 + 9x - 7.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Egenskaper hos sammansatta funktioner

En sammansatt funktion får egenskaper som beror både på den inre och yttre funktionen. De kan t.ex. påverka grafens utseende samt definitions- och värdemängden.

Begrepp

Graf

Om den inre funktionen har formen g(x)=x+a,g(x) = x + a, där aa är en konstant, kommer grafen till den sammansatta funktionen vara likadan som till den yttre funktionen, men förskjuten i xx-led. Grafen förskjuts åt vänster om aa är positivt och åt höger om aa är negativt.

Om den inre funktionen istället har formen g(x)=axg(x) = ax kommer grafen till den sammansatta funktionen att se ut som den för den yttre funktionen, men "ihopklämd" eller "utdragen" i xx-led.

Begrepp

Definitions- och värdemängd

Man kan bestämma definitions- och värdemängden för en sammansatt funktion med hjälp av den inre och yttre funktionen. Som exempel kan man titta på y=ln⁡(x+5). y = \ln(x + 5). Den inre funktionen u=x+5u=x+5 har värdemängden alla reella tal, men i den yttre funktionen y=ln⁡(u)y=\ln(u) kan man enbart sätta in positiva tal. Definitionsmängden för den sammansatta funktionen måste därför vara de xx som gör att u>0:u>0\text{:} x+5>0⇔x>-5. x + 5>0 \quad \Leftrightarrow \quad x>\text{-}5. Grafen till funktionen ln⁡(x+5)\ln(x+5) ser likadan ut som den till ln⁡(x)\ln(x) men den är förskjuten i sidled. Man kan därför få ut samma funktionsvärden som för ln⁡(x),\ln(x), dvs. alla reella tal.

Sammanfattningsvis får man alltså Dy:  x>-5ochVy:  Alla reella tal. D_y\text{:}\ \ x>\text{-}5 \quad \text{och} \quad V_y\text{:}\ \ \text{Alla reella tal.}

I det här exemplet blev funktionernas definitionsmängder olika, men värdemängderna samma. Beroende på vilka funktioner som är inblandade kan dessa samband bli mer eller mindre komplicerade och man får tolka varje fall för sig.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bilda den sammansatta funktionen f(g(x)),f(g(x)), givet att

a

g(x)=3x2−1g(x)=3x^2-1 och f(x)=exf(x)=e^x

b

g(x)=4x−5g(x)=4x-5 och f(x)=xf(x)=\sqrt{x}

c

g(x)=sin⁡(x)g(x)=\sin(x) och f(x)=x4.5.f(x)=x^{4.5}.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Om f(x)=2x+1f(x)=2x+1 och g(x)=ex,g(x)=e^x, bestäm

a

f(g(x))f(g(x))

b

g(f(x))g(f(x))

c

f(f(x))f(f(x))

d

g(g(x)).g(g(x)).

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Dela upp följande funktioner i en inre och en yttre funktion.

a

h(x)=(6x4−7)4h(x)=(6x^4-7)^4

b

h(x)=e4x+7h(x)=e^{4x+7}

c

h(x)=31/xh(x)=3^{1/x}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan finns ett koordinatsystem med fem stycken grafer i. En graf är markerad f(x).f(x). De övriga är markerade med I, II, III och IV och är graferna till f(x+5),f(x+5), f(x−5),f(x-5), f(2x)f(2x) och f(0.7x).f(0.7x).

Para ihop graferna med rätt funktion.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bilda den sammansatta funktionen f(g(x))f(g(x)) givet följande funktioner f(x)f(x) och g(x).g(x). Förenkla funktionsuttrycket så långt som möjligt.

a

f(x)=x2+5x−4f(x)=x^2+5x-4 och g(x)=x+1g(x)=x+1

b

f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 och g(x)=sin⁡(x)+cos⁡(x)g(x)=\sin(x)+\cos(x)

c

f(x)=x2−4x−3f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-3} och g(x)=x−4g(x)=x-4

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen f(g(x))=g(f(x))f(g(x))=g(f(x)) då f(x)=x3+6f(x)=x^3+6 och g(x)=x+1.g(x)=x+1.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Mary och Max diskuterar den sammansatta funktionen f(g(x))=(x3+1)2.f(g(x))=(x^3+1)^2. De kan inte komma överens om vilken funktion som är den inre funktionen. Mary påstår att det är x3+1x^3+1 medan Max menar att det är x3.x^3. Marita blir inkallad som medlare. Vem av dem har rätt? Hjälp Marita att lösa tvisten.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm definitions- och värdemängd för y=-x2+2x+3.y=\sqrt{\text{-} x^2+2x+3}.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den sammansatta funktionen f(g(x))=(x+1)3+x−1f(g(x)) = (x + 1)^3 + x - 1 har den inre funktionen g(x)=x+1.g(x) = x + 1. Bestäm den yttre funktionen f(x).f(x).

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En liten sten kastas i en damm. Då skapas en våg i form av en cirkel på vattenytan. Enligt en förenklad modell kan man anta att cirkelns radie ökar med den konstanta hastigheten 1.51.5 m/s.
Med vilken hastighet ändras cirkelytans area 6.06.0 sekunder efter det att stenen träffat vattenytan?

Nationella provet VT05 MaE
 Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemen syns graferna till funktionerna f(x)f(x) och g(x).g(x).

En tredje funktion, h(x),h(x), är definierad som den sammansatta funktionen h(x)=f(g(x)).h(x)=f(g(x)). Använd graferna för att bestämma

a

h(1)h(1)

b

h(f(4)).h(f(4)).

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två funktioner är definierade som f(x)=xf(x)=\sqrt{x} och g(x)=4sin⁡(x).g(x)=4\sin(x). Låt nu en tredje funktion vara definierad som h(x)=f(g(x)).h(x)=f(g(x)). Vad är definitions- och värdemängden för h(x)?h(x)?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}