Sammansatta funktioner

En sammansatt funktion får egenskaper som beror både på den inre och yttre funktionen. De kan t.ex. påverka grafens utseende samt definitions- och värdemängden.

Om den inre funktionen har formen $g(x) = x + a,$ där $a$ är en konstant, kommer grafen till den sammansatta funktionen vara likadan som till den yttre funktionen, men förskjuten i $x$-led. Grafen förskjuts åt vänster om $a$ är positivt och åt höger om $a$ är negativt.

Om den inre funktionen istället har formen $g(x) = ax$ kommer grafen till den sammansatta funktionen att se ut som den för den yttre funktionen, men "ihopklämd" eller "utdragen" i $x$-led.

Man kan bestämma definitions- och värdemängden för en sammansatt funktion med hjälp av den inre och yttre funktionen. Som exempel kan man titta på $y = \ln(x + 5).$ Den inre funktionen $u=x+5$ har värdemängden alla reella tal, men i den yttre funktionen $y=\ln(u)$ kan man enbart sätta in positiva tal. Definitionsmängden för den sammansatta funktionen måste därför vara de $x$ som gör att $u>0\text{:}$ $x + 5>0 \quad \Leftrightarrow \quad x>\text{-}5.$ Grafen till funktionen $\ln(x+5)$ ser likadan ut som den till $\ln(x)$ men den är förskjuten i sidled. Man kan därför få ut samma funktionsvärden som för $\ln(x),$ dvs. alla reella tal.

Sammanfattningsvis får man alltså $D_y\text{:}\ \ x>\text{-}5 \quad \text{och} \quad V_y\text{:}\ \ \text{Alla reella tal.}$

I det här exemplet blev funktionernas definitionsmängder olika, men värdemängderna samma. Beroende på vilka funktioner som är inblandade kan dessa samband bli mer eller mindre komplicerade och man får tolka varje fall för sig.