Sammansatta funktioner

En sammansatt funktion är, som namnet antyder, en sorts sammanslagning av två eller flera funktioner. Vanligtvis skrivs funktioner på formen $f(x),$ där funktionen $f$ beror på variabeln $x.$ Om man ersätter $x$ med ett tal kan man beräkna värdet för olika $x,$ t.ex. betyder det att $f(x)=x^2+3x-1 \quad \Rightarrow \quad f(2)=2^2+3\cdot2-1=9.$ Men vad händer om man istället sätter in en annan funktion, $g(x)?$ Det är då man får en sammansatt funktion. T.ex. är funktionen $\tan(9x)$ sammansatt av $9x$ och $\tan(x),$ där den inre funktionen, $9x,$ har satts in i den yttre funktionen, $\tan(x).$ $f(x)=\tan(x) \quad \Rightarrow \quad f(9x)=\tan(9x)$ I tabellen visas några fler exempel.

Yttre funktion	Inre funktion	Sammansatt funktion
$y=\cos(u)$	$u=7x$	$y=\cos(7x)$
$y=u^4$	$u=x-6$	$y=(x-6)^4$
$y=\ln(u)$	$u=3x-5$	$y=\ln(3x-5)$
$y=e^u$	$u=2x$	$y=e^{2x}$

I det här fallet kallas den inre funktionen för $u$ och den yttre för $y,$ men det finns flera olika notationer för sammansatta funktioner.

Notation
Sammansatt funktion

För att markera att en funktion är sammansatt finns det olika alternativ. I några av dem tar man med den oberoende variabeln $x,$ och i andra inte.

Yttre funktion	Inre funktion	Sammansatt funktion	Utläses
$y$	$u$	$y(u)$	" $y$ av $u$ "
$f(x)$	$g(x)$	$f(g(x))$	" $f$ av $g$ av $x$ "
$f$	$g$	$f\circ g$	" $f$ boll $g$ "

Bilda den sammansatta funktionen

Uppgift

Givet funktionerna $f(x)=x^2$ och $g(x)=4x-1,$ skapa den sammansatta funktionen $f(g(x))$ och förenkla.

Lösning

Uttrycket $f(g(x))$ betyder att vi ska sätta in $g(x)$ i $f(x).$

f(x)=x^2

Sätt in

g(x)

f(g(x))=(g(x))^2

g(x)={\color{#0000FF}{4x-1}}

f(g(x))=({\color{#0000FF}{4x-1}})^2

Nu kan vi utveckla funktionsuttrycket i högerledet med andra kvadreringsregeln.

(4x-1)^2

Utveckla med andra kvadreringsregeln

(4x)^2-2\cdot4x\cdot1 +1^2

Beräkna potens & produkt

(4x)^2-8x +1

\left(a b\right)^{c}=a^c b^c

16x^2-8x +1

Den sammansatta funktionen är alltså

f(g(x))=16x^2-8x +1.

Visa lösning

Identifiera den inre och yttre funktionen

Uppgift

Bestäm en inre och en yttre funktion som ger den sammansatta funktionen $f(g(x)) = \left( x^2 + 9x - 7 \right)^6.$

Lösning

Om det är svårt att se vilken del av ett uttryck som är den yttre funktionen och vilken som är den inre kan det vara en god idé att börja utifrån och arbeta sig inåt. I det här fallet ser vi att det finns en parentes och att innehållet i den upphöjs till $6.$ Den yttre funktionen skulle därför kunna vara $f(x) = x^6.$ Det som står innanför parentesen måste då vara den inre funktionen: $g(x) = x^2 + 9x - 7.$

Visa lösning

Begrepp

Egenskaper hos sammansatta funktioner

En sammansatt funktion får egenskaper som beror både på den inre och yttre funktionen. De kan t.ex. påverka grafens utseende samt definitions- och värdemängden.

Begrepp

Graf

Om den inre funktionen har formen $g(x) = x + a,$ där $a$ är en konstant, kommer grafen till den sammansatta funktionen vara likadan som till den yttre funktionen, men förskjuten i $x$ -led. Grafen förskjuts åt vänster om $a$ är positivt och åt höger om $a$ är negativt.

Om den inre funktionen istället har formen $g(x) = ax$ kommer grafen till den sammansatta funktionen att se ut som den för den yttre funktionen, men "ihopklämd" eller "utdragen" i $x$ -led.

Begrepp

Definitions- och värdemängd

Man kan bestämma definitions- och värdemängden för en sammansatt funktion med hjälp av den inre och yttre funktionen. Som exempel kan man titta på $y = \ln(x + 5).$ Den inre funktionen $u=x+5$ har värdemängden alla reella tal, men i den yttre funktionen $y=\ln(u)$ kan man enbart sätta in positiva tal. Definitionsmängden för den sammansatta funktionen måste därför vara de $x$ som gör att $u>0\text{:}$ $x + 5>0 \quad \Leftrightarrow \quad x>\text{-}5.$ Grafen till funktionen $\ln(x+5)$ ser likadan ut som den till $\ln(x)$ men den är förskjuten i sidled. Man kan därför få ut samma funktionsvärden som för $\ln(x),$ dvs. alla reella tal.

Sammanfattningsvis får man alltså $D_y\text{:}\ \ x>\text{-}5 \quad \text{och} \quad V_y\text{:}\ \ \text{Alla reella tal.}$

I det här exemplet blev funktionernas definitionsmängder olika, men värdemängderna samma. Beroende på vilka funktioner som är inblandade kan dessa samband bli mer eller mindre komplicerade och man får tolka varje fall för sig.

Sammansatta funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Notation

Exempel

Bilda den sammansatta funktionen

Exempel

Identifiera den inre och yttre funktionen

Egenskaper hos sammansatta funktioner

Graf

Definitions- och värdemängd

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Deriveringsregler

Notation

Exempel

Bilda den sammansatta funktionen

Exempel

Identifiera den inre och yttre funktionen

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}