Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Sammansatta funktioner

En sammansatt funktion är, som namnet antyder, en sorts sammanslagning av två eller flera funktioner. Vanligtvis skrivs funktioner på formen f(x),f(x), där funktionen ff beror på variabeln x.x. Om man ersätter xx med ett tal kan man beräkna värdet för olika x,x, t.ex. betyder det att f(x)=x2+3x1f(2)=22+321=9. f(x)=x^2+3x-1 \quad \Rightarrow \quad f(2)=2^2+3\cdot2-1=9. Men vad händer om man istället sätter in en annan funktion, g(x)?g(x)? Det är då man får en sammansatt funktion. T.ex. är funktionen tan(9x)\tan(9x) sammansatt av 9x9x och tan(x),\tan(x), där den inre funktionen, 9x,9x, har satts in i den yttre funktionen, tan(x).\tan(x). f(x)=tan(x)f(9x)=tan(9x) f(x)=\tan(x) \quad \Rightarrow \quad f(9x)=\tan(9x) I tabellen visas några fler exempel.

Yttre funktion Inre funktion Sammansatt funktion
y=cos(u)y=\cos(u) u=7xu=7x y=cos(7x)y=\cos(7x)
y=u4y=u^4 u=x6u=x-6 y=(x6)4y=(x-6)^4
y=ln(u)y=\ln(u) u=3x5u=3x-5 y=ln(3x5)y=\ln(3x-5)
y=euy=e^u u=2xu=2x y=e2xy=e^{2x}

I det här fallet kallas den inre funktionen för uu och den yttre för y,y, men det finns flera olika notationer för sammansatta funktioner.

Notation

info
Sammansatt funktion

För att markera att en funktion är sammansatt finns det olika alternativ. I några av dem tar man med den oberoende variabeln x,x, och i andra inte.

Yttre funktion Inre funktion Sammansatt funktion Utläses
yy uu y(u)y(u) "yy av uu"
f(x)f(x) g(x)g(x) f(g(x))f(g(x)) "ff av gg av xx"
ff gg fgf\circ g "ff boll gg"
Uppgift

Givet funktionerna f(x)=x2f(x)=x^2 och g(x)=4x1,g(x)=4x-1, skapa den sammansatta funktionen f(g(x))f(g(x)) och förenkla.

Lösning

Uttrycket f(g(x))f(g(x)) betyder att vi ska sätta in g(x)g(x) i f(x).f(x).

f(x)=x2f(x)=x^2
Sätt in g(x)g(x)
f(g(x))=(g(x))2f(g(x))=(g(x))^2
f(g(x))=(4x1)2f(g(x))=({\color{#0000FF}{4x-1}})^2

Nu kan vi utveckla funktionsuttrycket i högerledet med andra kvadreringsregeln.

(4x1)2(4x-1)^2
(4x)224x1+12(4x)^2-2\cdot4x\cdot1 +1^2
(4x)28x+1(4x)^2-8x +1
16x28x+116x^2-8x +1
Den sammansatta funktionen är alltså f(g(x))=16x28x+1.f(g(x))=16x^2-8x +1.
info Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm en inre och en yttre funktion som ger den sammansatta funktionen f(g(x))=(x2+9x7)6. f(g(x)) = \left( x^2 + 9x - 7 \right)^6.

Lösning

Om det är svårt att se vilken del av ett uttryck som är den yttre funktionen och vilken som är den inre kan det vara en god idé att börja utifrån och arbeta sig inåt. I det här fallet ser vi att det finns en parentes och att innehållet i den upphöjs till 6.6. Den yttre funktionen skulle därför kunna vara f(x)=x6. f(x) = x^6. Det som står innanför parentesen måste då vara den inre funktionen: g(x)=x2+9x7. g(x) = x^2 + 9x - 7.

info Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Egenskaper hos sammansatta funktioner

En sammansatt funktion får egenskaper som beror både på den inre och yttre funktionen. De kan t.ex. påverka grafens utseende samt definitions- och värdemängden.

Begrepp

Graf

Om den inre funktionen har formen g(x)=x+a,g(x) = x + a, där aa är en konstant, kommer grafen till den sammansatta funktionen vara likadan som till den yttre funktionen, men förskjuten i xx-led. Grafen förskjuts åt vänster om aa är positivt och åt höger om aa är negativt.

Om den inre funktionen istället har formen g(x)=axg(x) = ax kommer grafen till den sammansatta funktionen att se ut som den för den yttre funktionen, men "ihopklämd" eller "utdragen" i xx-led.

Begrepp

Definitions- och värdemängd

Man kan bestämma definitions- och värdemängden för en sammansatt funktion med hjälp av den inre och yttre funktionen. Som exempel kan man titta på y=ln(x+5). y = \ln(x + 5). Den inre funktionen u=x+5u=x+5 har värdemängden alla reella tal, men i den yttre funktionen y=ln(u)y=\ln(u) kan man enbart sätta in positiva tal. Definitionsmängden för den sammansatta funktionen måste därför vara de xx som gör att u>0:u>0\text{:} x+5>0x>-5. x + 5>0 \quad \Leftrightarrow \quad x>\text{-}5. Grafen till funktionen ln(x+5)\ln(x+5) ser likadan ut som den till ln(x)\ln(x) men den är förskjuten i sidled. Man kan därför få ut samma funktionsvärden som för ln(x),\ln(x), dvs. alla reella tal.

Sammanfattningsvis får man alltså Dy:  x>-5ochVy:  Alla reella tal. D_y\text{:}\ \ x>\text{-}5 \quad \text{och} \quad V_y\text{:}\ \ \text{Alla reella tal.}

I det här exemplet blev funktionernas definitionsmängder olika, men värdemängderna samma. Beroende på vilka funktioner som är inblandade kan dessa samband bli mer eller mindre komplicerade och man får tolka varje fall för sig.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward