4. Trigonometrisk polär form
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
4.
Trigonometrisk polär form
Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 4 sidor teori |
| | 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Trigonometrisk polär form
Sida av 4
Begrepp
Dela
Rapportera fel
Polär form
För ett komplext tal på rektangulär form, z = a+bi, kan man använda real- och imaginärdelen för att beskriva talets koordinater i det komplexa talplanet. Men hur kan talet skrivas om man istället känner till dess polära koordinater, r och v?
Om man ritar en cirkel centrerad i origo och som går genom z får den radien r. Denna cirkel kan jämföras med enhetscirkeln, där punkter på randen har x-koordinaten cos(v) och y-koordinaten sin(v). Nu är dock radien r, vilket innebär att koordinaterna för punkten kommer att vara rcos(v) respektive rsin(v).
Det komplexa talet som representeras av punkten har då realdelen a=rcos(v) och imaginärdelen b=rsin(v), vilket innebär att det kan skrivas som z=rcos(v) + rsin(v)* i. Bryter man ut r får man talet på så kallad trigonometrisk form.
z = r( cos(v) + isin(v) )
Metod
Dela
Rapportera fel
Omvandla till polär form
För att skriva om ett tal från rektangulär till polär form måste man bestämma dess polära koordinater, r och v, dvs. absolutbeloppet och argumentet. Exempelvis kan man skriva om z=1+sqrt(3)i.
1
Bestäm absolutbeloppet
expand_more Absolutbeloppet, r, för ett komplext tal kan beräknas med formeln
|a+bi| = sqrt(a^2 +b^2).
I det här fallet är a=1 och b=sqrt(3).
Talets absolutbelopp är alltså r=2.
r = |1+sqrt(3)i|
CompCartAbs
|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)
r = sqrt(1^2 + (sqrt(3))^2)
CalcPow
Beräkna potens
r = sqrt(1 + 3)
AddTerms
Addera termerna
r = sqrt(4)
CalcRoot
Beräkna rot
r = 2
2
Bestäm argumentet
expand_more Talets argument v betecknas arg(z) och kan beräknas med formeln
arg(z) = b≥ 0 -3pt: arccos( a|a+bi|) [0.5em] b<0 -3pt: -arccos( a|a+bi|).
Den kan härledas med hjälp av ett komplext tals vektorrepresentation och trigonometriska samband. I det här fallet är imaginärdelen b = sqrt(3), dvs. ett positivt tal. Enligt formeln får man då argumentet direkt från arccos-värdet, utan något teckenbyte.
Absolutbeloppet i nämnaren har redan beräknats i förra steget och kan alltså användas här.
Talets argument v är alltså π3 radianer eller 60^(∘).
v = arccos(1/|1+sqrt(3)i|)
Substitute
|1+sqrt(3)i|= 2
v = arccos(1/2)
ArcCosRad
\ifnumequal{60}{0}{\arccos\left(1\right)=0}{}\ifnumequal{60}{30}{\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}6}{}\ifnumequal{60}{45}{\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}4}{}\ifnumequal{60}{60}{\arccos\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}3}{}\ifnumequal{60}{90}{\arccos\left(0\right)=\dfrac{\pi}2}{}\ifnumequal{60}{120}{\arccos\left(- \dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}3}{}\ifnumequal{60}{135}{\arccos\left(- \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{3\pi}4}{}\ifnumequal{60}{150}{\arccos\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{5\pi}6}{}\ifnumequal{60}{180}{\arccos\left(- 1\right)=\pi}{}
v = π/3
3
Skriv talet på polär form
expand_more Till sist sätter man in r och v i den polära form man vill använda, t.ex. trigonometrisk form.
Talet z = 1 + sqrt(3)i på trigonometrisk polär form skrivs alltså z = 2( cos(π/3) + isin(π/3) ).Regel
Dela
Rapportera fel
Räkneregler för komplexa tal på polär form
Att multiplicera och dividera komplexa tal på rektangulär form kan ibland vara krångligt och kräva många beräkningssteg. Då kan det vara enklare att göra uträkningen på polär form.
Regel
Dela
Rapportera fel
Multiplikation
|z_1 z_2| = |z_1| * |z_2|
arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)
Man kan visa detta genom att multiplicera ihop två komplexa tal på trigonometrisk form och använda trigonometriska samband för att förenkla produkten. Nedan finns ett exempel där resultatet av multiplikationen z_1 z_2 visas tillsammans med de ursprungliga talen.
Om ett komplext tal på trigonometrisk form, z_1=r_1(cos(v_1)+isin(v_1)), multipliceras med ett annat tal, z_2=r_2(cos(v_2)+isin(v_2)), kan produkten därför skrivas på följande sätt.
z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(v_1 + v_2) + isin(v_1 + v_2) )
Regel
Dela
Rapportera fel
Division
| z_1/z_2 | = |z_1|/|z_2|
arg( z_1/z_2 ) = arg(z_1) - arg(z_2)
För att bevisa detta dividerar man två komplexa tal på trigonometrisk form. Med hjälp av trigonometriska ettan och andra trigonometriska samband kan man sedan förenkla uttrycket. Ett exempel visas nedan med resultatet av divisionen z_1z_2 samt de ursprungliga talen.
Om ett komplext tal på trigonometrisk form, z_1=r_1(cos(v_1)+isin(v_1)), divideras med ett annat tal, z_2=r_2(cos(v_2)+isin(v_2)), kan kvoten därför skrivas på följande sätt.
z_1/z_2 = r_1/r_2 (cos(v_1 - v_2) + isin(v_1 - v_2) )
Exempel
Beräkna absolutbelopp och argument för det komplexa talet
Beräkna absolutbelopp och argument för z_1 z_2/z_3, där de komplexa talen ges av &z_1 = 21( cos(47^(∘)) + isin(47^(∘)) ) &z_2 = 15( cos(219^(∘)) + isin(219^(∘)) ) &z_3 = 35( cos(125^(∘)) + isin(125^(∘)) ).
Visa Lösning expand_more
Vi bestämmer absolutbelopp och argument, var för sig.
Absolutbeloppet av täljaren, z_1z_2, får man genom multiplicera absolutbeloppen för z_1 och z_2.
|z_1 z_2| = |z_1|* |z_2| = 21 * 15 = 315
När man dividerar komplexa tal delas även absolutbeloppen. Vi dividerar alltså |z_1 z_2| med |z_3|.
| z_1z_2/z_3 | = |z_1z_2|/|z_3| = 315/35 = 9
Det nya talets absolutbelopp är alltså 9.
På samma sätt som tidigare börjar vi med täljaren. När två komplexa tal multipliceras lägger man ihop argumenten.
arg(z_1)+arg(z_2)=47^(∘) + 219^(∘) = 266^(∘)
För komplexa tal som divideras subtraherar man nämnarens argument från täljarens. Vi subtraherar därför 125^(∘) från 266^(∘).
arg(z_1z_2)-arg(z_3)=266^(∘) - 125^(∘) = 141^(∘)
Det nya argumentet är 141^(∘).
Exempel
Dela
Rapportera fel
Absolutbelopp
Exempel
Dela
Rapportera fel
Argument
Trigonometrisk polär form
Övningar
Skriv talet z i trigonometrisk polär form, givet att |z|=2.5 och arg(z)=60^(∘).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"z=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2.5(\\cos(60)+i\\sin(60))"]}}
security
report
code
security
report
code
För att skriva ett tal på polär form måste vi veta talets absolutbelopp och argument. Absolutbeloppet betecknas med r, så uppgiften ger att r=2.5, medan argumentet är v=60^(∘). Vi sätter in värdena i den trigonometriska formen.
Talet z kan alltså skrivas som 2.5(cos(60^(∘))+isin(60^(∘))).
security
report
code
Skriv talet på rektangulär form. Svara exakt på enklaste form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-1 + \\sqrt{3}i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{\\dfrac{3}{2}} + \\dfrac{i}{\\sqrt{2}}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2-2*\\sqrt{3}i"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver om ett tal på trigonometrisk form till formen a + bi genom att beräkna de trigonometriska uttrycken och förenkla.
Talet är alltså - 1 + sqrt(3)i när det skrivs på rektangulär form.
Vi beräknar och förenklar talet på samma sätt som i föregående deluppgift.
Talet kan alltså skrivas om till
sqrt(3/2) + 1/sqrt(2) i.
Notera att det finns andra sätt att förenkla uttrycket på.
Vinkeln - 2π3 finns inte med bland standardvinklarna. Vi löser detta genom att använda trigonometriska spegelsamband för att få vinkeln positiv.
Vi har nu skrivit om talet på rektangulär form och fick - 2 - 2sqrt(3)i.
security
report
code
Låt z_1=3(cos(10^(∘))+isin(10^(∘))) och z_2=4.5(cos(95^(∘))+isin(95^(∘))) och bestäm följande.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4.5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["10"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1.5(\\cos(85)+i\\sin(85))"]}}
security
report
code
security
report
code
Absolutbeloppet av ett komplext tal motsvarar avståndet från origo till talet. Om ett tal står på trigonometrisk polär form så är absolutbeloppet talet framför parentesen. z_2 = 4.5(cos(95^(∘))+isin(95^(∘))) Absolutbeloppet av z_2 är alltså 4.5.
Argumentet av ett komplext tal motsvarar vinkeln mellan den positiva reella axeln och talets vektor. Om talet står på trigonometrisk polär form kan argumentet avläsas ur sinus- och cosinusuttrycken.
z_1=3(cos( 10^(∘))+isin( 10^(∘)))
Argumentet för z_1 är alltså arg(z_1)=10^(∘).
När man multiplicerar två tal som står på trigonometrisk polär form så multipliceras absolutbeloppen, medan argumenten adderas:
z_1z_2 = r_1r_2(cos(v_1+v_2)+isin(v_1+v_2)).
Talet z_1 har absolutbeloppet 3 och argumentet 10^(∘), medan z_2 har 4.5 respektive 95^(∘). Vi sätter in värdena och beräknar.
Resultatet av multiplikationen blir alltså z_1z_2 = 13.5(cos(105^(∘))+isin(105^(∘))).
När man dividerar två tal som står på trigonometrisk polär form så ska täljarens absolutbelopp divideras med nämnarens, medan täljarens argument subtraheras med nämnarens:
z_1z_2= r_1r_2(cos(v_1-v_2)+isin(v_1-v_2)).
I vår beräkning är det z_2 som står i täljaren, så samma regel ger att
z_2z_1= r_2r_1(cos(v_2-v_1)+isin(v_2-v_1)).
Talet z_1 har absolutbeloppet 3 och argumentet 10^(∘), medan z_2 har 4.5 respektive 95^(∘). Vi sätter in värdena och beräknar.
Kvoten z_2z_1 blir alltså 1.5(cos(85^(∘))+isin(85^(∘))).
security
report
code
Använd talen z&=7(cos( π6)+isin( π6)) w&=2(cos( 2π3)+isin( 2π3)) och skriv följande tal på polär form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["28(\\cos(\\dfrac{5\\pi}{6})+i\\sin(\\dfrac{5\\pi}{6}))"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2}{7}(\\cos(\\dfrac{\\pi}{2})+i\\sin(\\dfrac{\\pi}{2}))"]}}
security
report
code
security
report
code
För att multiplicera komplexa tal på polär form multipliceras absolutbeloppen med varandra, medan argumenten adderas: z_1z_2 = r_1r_2(cos(v_1 + v_2)+isin(v_1 + v_2)). Talet z har absolutbeloppet 7 och argumentet π6, medan w har 2 respektive 2π3. Vi sätter in värdena i formeln ovan och får inte glömma bort att multiplicera med 2.
Produkten 2zw är alltså 28(cos( 5π6)+isin( 5π6)).
För division med komplexa tal på polär form divideras absolutbeloppen, medan argumenten subtraheras:
z_1z_2= r_1r_2(cos(v_1-v_2)+isin(v_1-v_2)).
Talet w har absolutbeloppet 2 och argumentet 2π3 medan z har 7 respektive π6. Vi sätter in värdena och beräknar.
Kvoten wz är alltså 27(cos( π2)+isin( π2)).
security
report
code
Skriv talet på trigonometrisk polär form. Ange argumentet i radianer.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3\\sqrt{2}(\\cos(-\\dfrac{\\pi}{4}) + i\\sin(-\\dfrac{\\pi}{4}))"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2(\\cos(\\dfrac{2\\pi}{3}) + i\\sin(\\dfrac{2\\pi}{3}))"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["i"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{3}(\\cos(-\\dfrac{5\\pi}{6}) + i\\sin(-\\dfrac{5\\pi}{6}))"]}}
security
report
code
security
report
code
För att skriva talet på trigonometrisk form måste vi först beräkna talets absolutbelopp och argument. Vi börjar med absolutbeloppet r.
Talets absolutbelopp är alltså r = 3sqrt(2). Nu behöver vi endast beräkna talets argument v för att kunna skriva talet på trigonometrisk form.
Vi känner nu till argumentet v = - π4. Detta sätts in tillsammans med r=3sqrt(2) i det generella uttrycket för ett komplext tal på trigonometrisk form.
Alltså är 3 - 3i = 3sqrt(2)(cos(- π/4) + i sin(- π/4)).
Som i föregående deluppgift börjar vi genom att beräkna absolutbeloppet r.
Vi har nu beräknat absolutbeloppet r = 2 och kan gå vidare genom att beräkna talets argument v.
Nu när vi har talets absolutbelopp och argument kan det skrivas på trigonometrisk form. 2(cos(2π/3)+isin(2π/3))
För det här talet gör vi först omskrivningen
- 3 + sqrt(3)i/2 = - 3/2 - sqrt(3)/2i
för att lättare kunna identifiera talets real- och imaginärdel. Vi är nu redo att beräkna talets absolutbelopp.
Vidare beräknar vi även talets argument.
Vi kan nu slutligen skriva talet på trigonometrisk form. sqrt(3)(cos(- 5π/6) + i sin(- 5π/6))
security
report
code
Bestäm arg(z) givet z.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"arg(z)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0.32"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"arg(z)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0.46"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna argumentet av ett komplext tal på formen a+bi kan vi använda formeln arg(a+bi) = b≥ 0 -3pt: arccos( a|a+bi|) b<0 -3pt: -arccos( a|a+bi|). Vi börjar med arg(z).
Argumentet till z är alltså 0.32 radianer.
Vi använder återigen formeln för att bestämma argumentet. Vi börjar med arg(z)=arg(4+2i).
Argumentet för z är alltså 0.46.
security
report
code
Trigonometrisk polär form
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll