Trigonometrisk polär form

Begrepp

Polär form

För ett komplext tal på rektangulär form, $z = a+bi,$ kan man använda real- och imaginärdelen för att beskriva talets koordinater i det komplexa talplanet. Men hur kan talet skrivas om man istället känner till dess polära koordinater, $r$ och $v?$

Om man ritar en cirkel centrerad i origo och som går genom $z$ får den radien $r.$ Denna cirkel kan jämföras med enhetscirkeln, där punkter på randen har $x\text{-}$ koordinaten $\cos(v)$ och $y\text{-}$ koordinaten $\sin(v).$ Nu är dock radien $r,$ vilket innebär att koordinaterna för punkten kommer att vara $r\cos(v)$ respektive $r\sin(v).$

Det komplexa talet som representeras av punkten har då realdelen $a=r\cos(v)$ och imaginärdelen $b=r\sin(v),$ vilket innebär att det kan skrivas som $z=r\cos(v) + r\sin(v)\cdot i.$ Bryter man ut $r$ får man talet på så kallad trigonometrisk form.

$z = r\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)$

När man skriver komplexa tal med polära koordinater säger man att de är på polär form. Trigonometrisk form är en sådan, men det finns även andra sätt att skriva komplexa tal på polär form.

Metod

Omvandla till polär form

För att skriva om ett tal från rektangulär till polär form måste man bestämma dess polära koordinater, $r$ och $v,$ dvs. absolutbeloppet och argumentet. Exempelvis kan man skriva om $z=1+\sqrt{3}i.$

1

Bestäm absolutbeloppet

Absolutbeloppet,

r,

för ett komplext tal kan beräknas med formeln

|a+bi| = \sqrt{a^2 +b^2}.

I det här fallet är

a=1

och

b=\sqrt{3}.

r = \left|1+\sqrt{3}i\right|

CompCartAbs

\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}

r = \sqrt{1^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2}

CalcPowBeräkna potens

r = \sqrt{1 + 3}

AddTermsFörenkla termer

r = \sqrt{4}

CalcRootBeräkna rot

r = 2

Talets absolutbelopp är alltså

r=2.

2

Bestäm argumentet

Talets argument

v

betecknas

\arg(z)

och kan beräknas med formeln

\arg(z) = \begin{cases} {\color{#8C8C8C}{b\geq 0\hspace{-3pt}:}}\ \phantom{\text{-}} \arccos\left(\frac{a}{|a+bi|}\right) \\[0.5em] {\color{#8C8C8C}{b<0\hspace{-3pt}:}}\ \text{-}\arccos\left(\frac{a}{|a+bi|}\right).\end{cases}

Den kan härledas med hjälp av ett komplext tals vektorrepresentation och trigonometriska samband. I det här fallet är imaginärdelen

b = \sqrt{3},

dvs. ett positivt tal. Enligt formeln får man då argumentet direkt från

\arccos\text{-}

värdet, utan något teckenbyte.

v = \arg(1+\sqrt{3}i)

CompArgCartPos

{\color{#8C8C8C}{b\geq 0\hspace{-2pt}:}}\ \arg(a+bi) = \arccos\left(\dfrac{a}{|a+bi|}\right)

v = \arccos\left(\dfrac{1}{\left|1+\sqrt{3}i\right|}\right)

Absolutbeloppet i nämnaren har redan beräknats i förra steget och kan alltså användas här.

v = \arccos\left(\dfrac{1}{\left|1+\sqrt{3}i\right|}\right)

Substitute

\left|1+\sqrt{3}i\right|={\color{#0000FF}{2}}

v = \arccos\left(\dfrac{1}{{\color{#0000FF}{2}}}\right)

ArcCosRad

v = \dfrac{\pi}{3}

Talets argument

v

är alltså

\frac{\pi}{3}

radianer eller

60^\circ.

3

Skriv talet på polär form

Till sist sätter man in $r$ och $v$ i den polära form man vill använda, t.ex. trigonometrisk form.

z = r\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)

SubstituteII

r={\color{#0000FF}{2}}

,

v={\color{#009600}{\dfrac{\pi}{3}}}

z = {\color{#0000FF}{2}}\left( \cos\left({\color{#009600}{\dfrac{\pi}{3}}}\right) + i\sin\left({\color{#009600}{\dfrac{\pi}{3}}}\right) \right)

Talet

z = 1 + \sqrt{3}i

på trigonometrisk polär form skrivs alltså

z = 2\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right).

Regel

Räkneregler för komplexa tal på polär form

Att multiplicera och dividera komplexa tal på rektangulär form kan ibland vara krångligt och kräva många beräkningssteg. Då kan det vara enklare att göra uträkningen på polär form.

Regel

Multiplikation

För att bestämma resultatet när man multiplicerar två tal på polär form multiplicerar man absolutbeloppen och adderar argumenten.

$|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$

Man kan visa detta genom att multiplicera ihop två komplexa tal på trigonometrisk form och använda trigonometriska samband för att förenkla produkten. Nedan finns ett exempel där resultatet av multiplikationen $z_1 z_2$ visas tillsammans med de ursprungliga talen.

Om ett komplext tal på trigonometrisk form, $z_1=r_1\left(\cos(v_1)+i\sin(v_1)\right),$ multipliceras med ett annat tal, $z_2=r_2\left(\cos(v_2)+i\sin(v_2)\right),$ kan produkten därför skrivas på följande sätt.

$z_1 z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1 + v_2) + i\sin(v_1 + v_2) \right)$

Regel

Division

När man dividerar två komplexa tal på polär form dividerar man absolutbeloppen och subtraherar argumenten.

$\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$
$\arg\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$

För att bevisa detta dividerar man två komplexa tal på trigonometrisk form. Med hjälp av trigonometriska ettan och andra trigonometriska samband kan man sedan förenkla uttrycket. Ett exempel visas nedan med resultatet av divisionen $\frac{z_1}{z_2}$ samt de ursprungliga talen.

Om ett komplext tal på trigonometrisk form, $z_1=r_1\left(\cos\left(v_1\right)+i\sin\left(v_1\right)\right),$ divideras med ett annat tal, $z_2=r_2\left(\cos(v_2)+i\sin(v_2)\right),$ kan kvoten därför skrivas på följande sätt.

$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \left(\cos(v_1 - v_2) + i\sin(v_1 - v_2) \right)$

Beräkna absolutbelopp och argument för det komplexa talet

fullscreen

Uppgift

Beräkna absolutbelopp och argument för $\dfrac{z_1 z_2}{z_3},$ där de komplexa talen ges av $\begin{aligned} &z_1 = 21\left( \cos(47^\circ) + i\sin(47^\circ) \right)\\ &z_2 = 15\left( \cos(219^\circ) + i\sin(219^\circ) \right)\\ &z_3 = 35\left( \cos(125^\circ) + i\sin(125^\circ) \right). \end{aligned}$

Visa Lösning

Lösning

Vi bestämmer absolutbelopp och argument, var för sig.

Exempel

Absolutbelopp

Absolutbeloppet av täljaren, $z_1z_2,$ får man genom multiplicera absolutbeloppen för $z_1$ och $z_2.$ $|z_1 z_2| = |z_1|\cdot |z_2| = 21 \cdot 15 = 315$ När man dividerar komplexa tal delas även absolutbeloppen. Vi dividerar alltså $|z_1 z_2|$ med $|z_3|.$ $\left| \dfrac{z_1z_2}{z_3} \right| = \dfrac{|z_1z_2|}{|z_3|} = \dfrac{315}{35} = 9$ Det nya talets absolutbelopp är alltså $9.$

Exempel

Argument

På samma sätt som tidigare börjar vi med täljaren. När två komplexa tal multipliceras lägger man ihop argumenten. $\arg(z_1)+\arg(z_2)=47^\circ + 219^\circ = 266^\circ$ För komplexa tal som divideras subtraherar man nämnarens argument från täljarens. Vi subtraherar därför $125^\circ$ från $266^\circ.$ $\arg(z_1z_2)-\arg(z_3)=266^\circ - 125^\circ = 141^\circ$ Det nya argumentet är $141^\circ.$