För ett komplext tal på rektangulär form, z=a+bi, kan man använda real- och imaginärdelen för att beskriva talets koordinater i det komplexa talplanet. Men hur kan talet skrivas om man istället känner till dess polära koordinater, r och v?
Om man ritar en cirkel centrerad i origo och som går genom z får den radien r. Denna cirkel kan jämföras med enhetscirkeln, där punkter på randen har x-koordinaten cos(v) och y-koordinaten sin(v). Nu är dock radien r, vilket innebär att koordinaterna för punkten kommer att vara rcos(v) respektive rsin(v).
Det komplexa talet som representeras av punkten har då realdelen a=rcos(v) och imaginärdelen b=rsin(v), vilket innebär att det kan skrivas som z=rcos(v)+rsin(v)⋅i. Bryter man ut r får man talet på så kallad trigonometrisk form.
z=r(cos(v)+isin(v))
För att skriva om ett tal från rektangulär till polär form måste man bestämma dess polära koordinater, r och v, dvs. absolutbeloppet och argumentet. Exempelvis kan man skriva om z=1+3i.
Till sist sätter man in r och v i den polära form man vill använda, t.ex. trigonometrisk form.
Talet z=1+3i på trigonometrisk polär form skrivs alltså z=2(cos(3π)+isin(3π)).Att multiplicera och dividera komplexa tal på rektangulär form kan ibland vara krångligt och kräva många beräkningssteg. Då kan det vara enklare att göra uträkningen på polär form.
För att bestämma resultatet när man multiplicerar två tal på polär form multiplicerar man absolutbeloppen och adderar argumenten.
∣z1z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)
Man kan visa detta genom att multiplicera ihop två komplexa tal på trigonometrisk form och använda trigonometriska samband för att förenkla produkten. Nedan finns ett exempel där resultatet av multiplikationen z1z2 visas tillsammans med de ursprungliga talen.
Om ett komplext tal på trigonometrisk form, z1=r1(cos(v1)+isin(v1)), multipliceras med ett annat tal, z2=r2(cos(v2)+isin(v2)), kan produkten därför skrivas på följande sätt.
z1z2=r1r2(cos(v1+v2)+isin(v1+v2))
När man dividerar två komplexa tal på polär form dividerar man absolutbeloppen och subtraherar argumenten.
∣∣∣∣∣z2z1∣∣∣∣∣=∣z2∣∣z1∣
arg(z2z1)=arg(z1)−arg(z2)
För att bevisa detta dividerar man två komplexa tal på trigonometrisk form. Med hjälp av trigonometriska ettan och andra trigonometriska samband kan man sedan förenkla uttrycket. Ett exempel visas nedan med resultatet av divisionen z2z1 samt de ursprungliga talen.
Om ett komplext tal på trigonometrisk form, z1=r1(cos(v1)+isin(v1)), divideras med ett annat tal, z2=r2(cos(v2)+isin(v2)), kan kvoten därför skrivas på följande sätt.
z2z1=r2r1(cos(v1−v2)+isin(v1−v2))
Beräkna absolutbelopp och argument för z3z1z2, där de komplexa talen ges av z1=21(cos(47∘)+isin(47∘))z2=15(cos(219∘)+isin(219∘))z3=35(cos(125∘)+isin(125∘)).
Vi bestämmer absolutbelopp och argument, var för sig.
Absolutbeloppet av täljaren, z1z2, får man genom multiplicera absolutbeloppen för z1 och z2. ∣z1z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=21⋅15=315 När man dividerar komplexa tal delas även absolutbeloppen. Vi dividerar alltså ∣z1z2∣ med ∣z3∣. ∣∣∣∣∣z3z1z2∣∣∣∣∣=∣z3∣∣z1z2∣=35315=9 Det nya talets absolutbelopp är alltså 9.
På samma sätt som tidigare börjar vi med täljaren. När två komplexa tal multipliceras lägger man ihop argumenten. arg(z1)+arg(z2)=47∘+219∘=266∘ För komplexa tal som divideras subtraherar man nämnarens argument från täljarens. Vi subtraherar därför 125∘ från 266∘. arg(z1z2)−arg(z3)=266∘−125∘=141∘ Det nya argumentet är 141∘.