Trigonometriska ettan och additionsformler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En väl använd formel inom trigonometrin är den så kallade trigonometriska ettan, som anger ett samband mellan sinus och cosinus. Detta kan bl.a. nyttjas för att bevisa andra praktiska formler, t.ex. de för beräkningar av trigonometriska värden för summor och differenser av vinklar.
Bevis

Trigonometriska ettan

Trigonometriska ettan är ett samband mellan sinus och cosinus som anger att summan av de kvadrerade sinus- och cosinusvärdena för en vinkel alltid är lika med 1.1.

Bevis

sin2(v)+cos2(v)=1\sin^2(v)+\cos^2(v)=1
Uppgift

Använd trigonometriska ettan för att bestämma sinusvärdet för vinkeln v,v, givet att cosinusvärdet för vinkeln är 0.87.0.87. Svara exakt.

Visa lösning Visa lösning
Bevis

Additions- och subtraktionsformler

Sinus- eller cosinusvärdet av en summa eller differens av vinklar kan delas upp som en kombination av de enskilda vinklarnas sinus- och cosinusvärden. Dessa formler kan vara lätta att blanda ihop, men det finns minnesregler.

  • cos ger couscous: Båda cosinusformler börjar med cos(u)cos(v).\cos(u)\cos(v). Sinusformlerna börjar istället med sin(u)cos(v).\sin(u)\cos(v).
  • Sinus minus ger minus: Båda sinusformler bevarar tecknet: Är det minus i parentesen ska det även vara minus mellan produkterna. Cosinusformlerna byter tecknet istället.
  • sin-byte i halvtid: Efter mittentecknet skrivs samma sak igen, men sin\sin byts mot cos\cos och cos\cos byts mot sin.\sin.
Vilken vinkel som hamnar var är det lättaste: Behåll bara ordningen de har i första parentesen!

Bevis

cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)

Bevis

cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)

Bevis

sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)

Bevis

sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)\sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)
Uppgift

Beräkna cos(75)\cos(75^\circ) genom att dela upp argumentet som en summa av två standardvinklar. Svara exakt.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla och förenkla följande uttryck.

a

sin(v+23)\sin(v+23^\circ)

b

cos(45+x)\cos(45^\circ+x)

c

sin(π5v)\sin\left(\dfrac{\pi}{5}-v\right)

d

cos(xπ2)\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Uveckla och förenkla uttrycken. Svara exakt.

a
sin(x+72)+sin(x72)\sin(x+72^\circ) + \sin(x-72^\circ)
b
cos(x+5π7)+cos(x5π7)\cos\left(x + \dfrac{5 \pi}{7}\right) + \cos\left(x - \dfrac{5 \pi}{7}\right)
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna de möjliga värdena för cos(v)\cos(v) om sin(v)=45.\sin(v)=\frac{4}{5}.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att cos2(v)(tan2(v)+1)=1. \cos^2(v)\left(\tan^2(v)+1 \right)=1.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Linnéa påstår att 2sin2(x)+cos(x+y)cos(xy)+2cos2(x) 2\sin^2(x)+\cos(x+y)-\cos(x-y)+2\cos^2(x) kan förenklas till 22sin(x)sin(y),2-2\sin(x)\sin(y), medan Malcolm säger att samma uttryck kan förenklas till 2.2. Vem har rätt? Och vilket misstag kan den som förenklat fel gjort?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Visa att cos(90)=0\cos(90^\circ)=0 genom att använda additionsformeln för cosinus samt de trigonometriska värdena för vinklarna 3030^\circ och 60.60^\circ.

b

Bestäm det exakta värdet av sin(15).\sin(15^\circ).

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken.

a

1cos2(u)sin(u)\dfrac{1-\cos^2(u)}{\sin(u)}

b

tan(v)+1tan(v)\tan(v)+\dfrac{1}{\tan(v)}

c

1tan2(x)1sin2(x)\dfrac{1}{\tan^2(x)}-\dfrac{1}{\sin^2(x)}

d

cos2(y)1+sin(y)\dfrac{\cos^2(y)}{1+\sin(y)}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en triangel är en vinkel 4545^\circ större än en av de andra vinklarna. Den motstående sidan till den större vinkeln är 14 cm14\text{ cm} och den motstående sidan till den mindre vinkeln är 8 cm8\text{ cm}. Bestäm triangelns vinklar med hjälp av sinussatsen.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd subtraktionsformeln för cosinus för att visa att cos(-v)=cos(v).\cos(\text{-} v)=\cos(v).

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en spetsvinklig triangeln med vinklarna aa, bb och cc är sin(a)=0.8.\sin(a)=0.8.

a

Bestäm värdet av sin(b+c).\sin(b+c).

b

Bestäm värdet av cos(b+c).\cos(b+c).

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Med hjälp av figuren kan man visa de trigonometriska additionsformlerna, i de fall då summan av vinklarna uu och vv är mindre än 90.90^\circ.


a

Hypotenusan i den orange triangeln har längd 1.1. Visa att kateternas längder är sin(u+v)\sin(u+v) och cos(u+v).\cos(u+v).

b

Använd nu de övriga trianglarna i figuren för att visa att sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v) \sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v) och att cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v). \cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v).

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}