| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Trigonometriska ettan är ett samband mellan sinus och cosinus som anger att summan av de kvadrerade sinus- och cosinusvärdena för en vinkel alltid är lika med 1.
Sätt in värden
Förenkla potens & termer
Använd trigonometriska ettan för att bestämma sinusvärdet för vinkeln v, givet att cosinusvärdet för vinkeln är 0.87. Svara exakt.
cos(v)=0.87
Slå in på räknare
VL−0.7569=HL−0.7569
Subtrahera term
VL=HL
Sinus- eller cosinusvärdet av en summa eller differens av vinklar kan delas upp som en kombination av de enskilda vinklarnas sinus- och cosinusvärden. Dessa formler kan vara lätta att blanda ihop, men det finns minnesregler.
För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, u och v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas P och Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.
Avståndet, d, mellan punkterna P och Q kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.
Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d.Sätt in uttryck
Utveckla med andra kvadreringsregeln
Omarrangera termer
sin2(v)+cos2(v)=1
Addera termer
Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i P hamnar på x-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet d är fortfarande samma. Låt P′ och Q′ beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.
Nu kan man beräkna d med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för P′ och Q′.Sätt in uttryck
Subtrahera term
Utveckla med andra kvadreringsregeln
Beräkna potens & produkt
Omarrangera termer
sin2(v)+cos2(v)=1
Addera termer
VL2=HL2
VL−2=HL−2
Omarrangera ekvation
Byt tecken
VL/2=HL/2
a+b=a−(-b)
cos(u−v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)
cos(-v)=cos(v)
sin(-v)=-sin(v)
a(-b)=-a⋅b
Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden
sin(v)=cos(90∘−v)
Ta bort parentes & byt tecken
Lägg till parentes
cos(u−v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)
cos(90∘−v)=sin(v)
sin(90∘−v)=cos(v)
a−b=a+(-b)
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
cos(-v)=cos(v)
sin(-v)=-sin(v)
a(-b)=-a⋅b
Beräkna cos(75∘) genom att dela upp argumentet som en summa av två standardvinklar. Svara exakt.
För att dela upp argumentet 75∘ i standardvinklar tar vi hjälp av tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar.
v (grader) | 0∘ | 30∘ | 45∘ | 60∘ | ... |
---|---|---|---|---|---|
sin(v) | 0 | 21 | 21 | 23 | ... |
cos(v) | 1 | 23 | 21 | 21 | ... |
Dela upp i termer
cos(u+v)=cos(u)cos(v)−sin(u)sin(v)
Sätt in värden
Multiplicera bråk
Subtrahera bråk