mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
article Artikel
menu_book Lösningar till böcker
school eKurser
question_answer Community
description Uppgiftsblad
calculate Math Solver
arrow_back arrow_forward
En väl använd formel inom trigonometrin är den så kallade trigonometriska ettan, som anger ett samband mellan sinus och cosinus. Detta kan bl.a. nyttjas för att bevisa andra praktiska formler, t.ex. de för beräkningar av trigonometriska värden för summor och differenser av vinklar.

Bevis

Trigonometriska ettan

Trigonometriska ettan är ett samband mellan sinus och cosinus som anger att summan av de kvadrerade sinus- och cosinusvärdena för en vinkel alltid är lika med

Bevis

Sambandet kan härledas med t.ex. cirkelns ekvation. Alla punkter på randen till en cirkel med radien och medelpunkten uppfyller cirkelns ekvation: Vad är denna ekvation för enhetscirkeln, dvs. cirkeln med radien och medelpunkt i origo?

Man kan bestämma ekvationen genom att sätta in och i cirkelns ekvation.
Eftersom en punkt på enhetscirkeln kan definieras med sinus och cosinus kan man göra ersättningarna och i ekvationen. Det är vanligt att exponenterna skrivs innan argumentet. Då får man trigonometriska ettan på den form som är vanligast:
fullscreen
Uppgift

Använd trigonometriska ettan för att bestämma sinusvärdet för vinkeln givet att cosinusvärdet för vinkeln är Svara exakt.

Visa Lösning
Lösning
Vi ska alltså bestämma givet att Till vår hjälp har vi trigonometriska ettan: Vi sätter nu in det kända cosinusvärdet i formeln och löser ut Kom ihåg att är samma sak som
Eftersom vinkeln vi ska bestämma sinusvärdet för ligger ovanför axeln måste dess sinusvärde vara positivt, så vi förkastar det negativa värdet. Det innebär att sinusvärdet vi söker är

Bevis

Additions- och subtraktionsformler

Sinus- eller cosinusvärdet av en summa eller differens av vinklar kan delas upp som en kombination av de enskilda vinklarnas sinus- och cosinusvärden. Dessa formler kan vara lätta att blanda ihop, men det finns minnesregler.

  • cos ger couscous: Båda cosinusformler börjar med Sinusformlerna börjar istället med
  • Sinus minus ger minus: Båda sinusformler bevarar tecknet: Är det minus i parentesen ska det även vara minus mellan produkterna. Cosinusformlerna byter tecknet istället.
  • sin-byte i halvtid: Efter mittentecknet skrivs samma sak igen, men byts mot och byts mot
Vilken vinkel som hamnar var är det lättaste: Behåll bara ordningen de har i första parentesen!

Bevis

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, och i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas och Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, mellan punkterna och kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för
Medelpunktsvinkeln mellan och är skillnaden mellan och dvs.

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i hamnar på -axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet är fortfarande samma. Låt och beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för och
De två uttrycken för längden kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.
Cosinusvärdet av en differens är alltså
Q.E.D.

Bevis

Man kan bevisa denna formel med utgångspunkt i subtraktionsformeln för cosinus. För att kunna använda den behöver man först skriva om summan som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal.
Uttrycket kan förenklas med de trigonometriska sambanden
Cosinusvärdet av en summa kan alltså skrivas som
Q.E.D.

Bevis

Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden

     och     .
Med hjälp av det första sambandet kan skrivas om som cosinus av en differens.
Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.
Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas
Q.E.D.

Bevis

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen som en addition med ett negativt tal.
Uttrycket kan nu förenklas med sambanden och
Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som
Q.E.D.
fullscreen
Uppgift

Beräkna genom att dela upp argumentet som en summa av två standardvinklar. Svara exakt.

Visa Lösning
Lösning

För att dela upp argumentet i standardvinklar tar vi hjälp av tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar.

(grader)
De enda standardvinklar som summeras till är och Med den uppdelningen kan skrivas om med additionsformeln för cosinus.
Dessa sinus- och cosinusvärden kan vi hämta från tabellen.
Nu kan vi konstatera att

{{ 'ml-article-textbook-solutions-heading' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-description' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-expert-solutions' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-math-solver-scanner' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-answers-hints-steps' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-heading' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-description' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-interactive' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-chapter-tests' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-exercise-levels' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-rank-stats' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-video-lessons' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-course-theory' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-join-classroom' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-graphing-calculator' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-quiz-games' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-study-together' | message }}

{{ 'ml-article-community-heading' | message }}

{{ 'ml-article-community-description' | message }}

{{ 'ml-article-community-create-and-share-channels' | message }}

{{ 'ml-article-community-share-content-and-challenge' | message }}

{{ 'ml-article-community-cooperate-with-friends' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-heading' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-description' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course1' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course2' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course3' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course4' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-heading' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-description' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-photo-scan-solve' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-step-by-step' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-graph-math-problem' | message }}