Trigonometriska ettan och additionsformler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En väl använd formel inom trigonometrin är den så kallade trigonometriska ettan, som anger ett samband mellan sinus och cosinus. Detta kan bl.a. nyttjas för att bevisa andra praktiska formler, t.ex. de för beräkningar av trigonometriska värden för summor och differenser av vinklar.
Bevis

Trigonometriska ettan

Trigonometriska ettan är ett samband mellan sinus och cosinus som anger att summan av de kvadrerade sinus- och cosinusvärdena för en vinkel alltid är lika med 1.1.

Bevis

sin2(v)+cos2(v)=1\sin^2(v)+\cos^2(v)=1

Sambandet kan härledas med t.ex. cirkelns ekvation. Alla punkter (x,y)(x,y) på randen till en cirkel med radien rr och medelpunkten (a,b)(a,b) uppfyller cirkelns ekvation: (xa)2+(yb)2=r2. (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Vad är denna ekvation för enhetscirkeln, dvs. cirkeln med radien 11 och medelpunkt i origo?

Man kan bestämma ekvationen genom att sätta in r=1,r=1, a=0a=0 och b=0b=0 i cirkelns ekvation.
(xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(x0)2+(y0)2=12(x-0)^2+(y-0)^2=1^2
x2+y2=1x^2+y^2=1
Eftersom en punkt på enhetscirkeln kan definieras med sinus och cosinus kan man göra ersättningarna x=cos(v)x=\cos(v) och y=sin(v)y=\sin(v) i ekvationen. (cos(v))2+(sin(v))2=1 (\cos(v))^2+(\sin(v))^2=1 Det är vanligt att exponenterna skrivs innan argumentet. Då får man trigonometriska ettan på den form som är vanligast: sin2(v)+cos2(v)=1. \sin^2(v)+\cos^2(v)=1.
Uppgift

Använd trigonometriska ettan för att bestämma sinusvärdet för vinkeln v,v, givet att cosinusvärdet för vinkeln är 0.87.0.87. Svara exakt.

Lösning
Vi ska alltså bestämma sin(v)\sin(v) givet att cos(v)=0.87.\cos(v)=0.87. Till vår hjälp har vi trigonometriska ettan: sin2(v)+cos2(v)=1. \sin^2(v)+\cos^2(v)=1. Vi sätter nu in det kända cosinusvärdet i formeln och löser ut sin(v).\sin(v). Kom ihåg att cos2(v)\cos^2(v) är samma sak som (cos(v))2.(\cos(v))^2.
sin2(v)+cos2(v)=1\sin^2(v)+\cos^2(v)=1
sin2(v)+0.872=1\sin^2(v)+{\color{#0000FF}{0.87}}^2=1
sin2(v)+0.7569=1\sin^2(v)+0.7569=1
sin2(v)=10.7569\sin^2(v)=1-0.7569
sin2(v)=0.2431\sin^2(v)=0.2431
sin(v)=±0.2431\sin(v)=\pm\sqrt{0.2431}
Eftersom vinkeln vi ska bestämma sinusvärdet för ligger ovanför x-x\text{-}axeln måste dess sinusvärde vara positivt, så vi förkastar det negativa värdet. Det innebär att sinusvärdet vi söker är sin(v)=0.2431. \sin(v)=\sqrt{0.2431}.
Visa lösning Visa lösning
Bevis

Additions- och subtraktionsformler

Sinus- eller cosinusvärdet av en summa eller differens av vinklar kan delas upp som en kombination av de enskilda vinklarnas sinus- och cosinusvärden. Dessa formler kan vara lätta att blanda ihop, men det finns minnesregler.

  • cos ger couscous: Båda cosinusformler börjar med cos(u)cos(v).\cos(u)\cos(v). Sinusformlerna börjar istället med sin(u)cos(v).\sin(u)\cos(v).
  • Sinus minus ger minus: Båda sinusformler bevarar tecknet: Är det minus i parentesen ska det även vara minus mellan produkterna. Cosinusformlerna byter tecknet istället.
  • sin-byte i halvtid: Efter mittentecknet skrivs samma sak igen, men sin\sin byts mot cos\cos och cos\cos byts mot sin.\sin.
Vilken vinkel som hamnar var är det lättaste: Behåll bara ordningen de har i första parentesen!

Bevis

cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, uu och v,v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas PP och Q.Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, d,d, mellan punkterna PP och QQ kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d.d.
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(cos(u)cos(v))2+(sin(u)sin(v))2d=\sqrt{(\cos(u)-\cos(v))^2+(\sin(u)-\sin(v))^2}
d=cos2(u)2cos(u)cos(v)+cos2(v)+sin2(u)2sin(u)sin(v)+sin2(v)d=\sqrt{\cos^2(u)-2\cos(u)\cos(v)+\cos^2(v)+\sin^2(u)-2\sin(u)\sin(v)+\sin^2(v)}
d=sin2(u)+cos2(u)+sin2(v)+cos2(v)2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{\sin^2(u)+\cos^2(u)+\sin^2(v)+\cos^2(v)-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
sin2(v)+cos2(v)=1 \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1
d=1+12cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{1+1-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
d=22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
Medelpunktsvinkeln mellan PP och QQ är skillnaden mellan uu och v,v, dvs. uv.u-v.

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i PP hamnar på xx-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet dd är fortfarande samma. Låt PP' och QQ' beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna dd med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för PP' och Q.Q'.
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(cos(uv)1)2+(sin(uv)0)2d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+(\sin(u-v)-0)^2}
d=(cos(uv)1)2+sin2(uv)d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+\sin^2(u-v)}
d=cos2(uv)2cos(uv)1+12+sin2(uv)d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cdot\cos(u-v)\cdot 1+1^2+\sin^2(u-v)}
d=cos2(uv)2cos(uv)+1+sin2(uv)d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cos(u-v)+1+\sin^2(u-v)}
d=sin2(uv)+cos2(uv)+12cos(uv)d=\sqrt{\sin^2(u-v)+\cos^2(u-v)+1-2\cos(u-v)}
sin2(v)+cos2(v)=1 \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1
d=1+12cos(uv)d=\sqrt{1+1-2\cos(u-v)}
d=22cos(uv)d=\sqrt{2-2\cos(u-v)}
De två uttrycken för längden dd kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.
22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=22cos(uv)\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}=\sqrt{2-2\cos(u-v)}
22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=22cos(uv)2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=2-2\cos(u-v)
-2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=-2cos(uv)\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=\text{-} 2\cos(u-v)
-2cos(uv)=-2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)\text{-} 2\cos(u-v)=\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)
2cos(uv)=2cos(u)cos(v)+2sin(u)sin(v)2\cos(u-v)= 2\cos(u)\cos(v)+2\sin(u)\sin(v)
cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)\cos(u-v)= \cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)
Cosinusvärdet av en differens är alltså cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v). \cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v).
Q.E.D.

Bevis

cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)
Man kan bevisa denna formel med utgångspunkt i subtraktionsformeln för cosinus. För att kunna använda den behöver man först skriva om summan u+vu+v som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal.
cos(u+v)\cos(u+v)
cos(u(-v))\cos(u-(\text{-} v))
cos(u)cos(-v)+sin(u)sin(-v)\cos(u)\cos(\text{-} v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)
Uttrycket kan förenklas med de trigonometriska sambanden cos(-v)=cos(v)ochsin(-v)=-sin(v). \cos(\text{-} v)=\cos(v)\quad\text{och}\quad\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v).
cos(u)cos(-v)+sin(u)sin(-v)\cos(u)\cos(\text{-} v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)
cos(u)cos(v)+sin(u)sin(-v)\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)
cos(u)cos(v)+sin(u)(-sin(v))\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\left( \text{-} \sin(v)\right)
cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)\cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)
Cosinusvärdet av en summa kan alltså skrivas som cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v). \cos(u+v)=\cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v).
Q.E.D.

Bevis

sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)

Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden

sin(v)=cos(90v)\sin(v)=\cos(90^\circ-v)     och     cos(v)=sin(90v)\cos(v)=\sin(90^\circ-v).
Med hjälp av det första sambandet kan sin(u+v)\sin(u+v) skrivas om som cosinus av en differens.
sin(u+v)\sin(u+v)
cos(90(u+v))\cos(90^\circ-(u+v))
cos(90uv)\cos(90^\circ-u-v)
cos((90u)v)\cos((90^\circ-u)-v)
Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.
cos((90u)v)\cos((90^\circ-u)-v)
cos(90u)cos(v)+sin(90u)sin(v)\cos(90^\circ-u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)
sin(u)cos(v)+sin(90u)sin(v)\sin(u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)
sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)
Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v). \sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v).
Q.E.D.

Bevis

sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)\sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)
Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen uvu-v som en addition med ett negativt tal.
sin(uv)\sin(u-v)
sin(u+(-v))\sin(u+ (\text{-} v))
sin(u)cos(-v)+cos(u)sin(-v)\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)
Uttrycket kan nu förenklas med sambanden cos(-v)=cos(v)\cos(\text{-} v)=\cos(v) och sin(-v)=-sin(v).\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v).
sin(u)cos(-v)+cos(u)sin(-v)\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)
sin(u)cos(v)+cos(u)sin(-v)\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)
sin(u)cos(v)+cos(u)(-sin(v))\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\left( \text{-} \sin(v)\right)
sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)
Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v). \sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v).
Q.E.D.
Uppgift

Beräkna cos(75)\cos(75^\circ) genom att dela upp argumentet som en summa av två standardvinklar. Svara exakt.

Lösning

För att dela upp argumentet 7575^\circ i standardvinklar tar vi hjälp av tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar.

vv (grader) 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ ......
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} ......
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} ......
De enda standardvinklar som summeras till 7575^\circ är 3030^\circ och 45.45^\circ. Med den uppdelningen kan cos(75)\cos(75^\circ) skrivas om med additionsformeln för cosinus.
cos(75)\cos(75^\circ)
cos(30+45)\cos(30^\circ+45^\circ)
cos(30)cos(45)sin(30)sin(45)\cos(30^\circ)\cos(45^\circ)-\sin(30^\circ)\sin(45^\circ)
Dessa sinus- och cosinusvärden kan vi hämta från tabellen.
cos(30)cos(45)sin(30)sin(45)\cos(30^\circ)\cos(45^\circ)-\sin(30^\circ)\sin(45^\circ)
32121212\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}
322122\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}
3122\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}
Nu kan vi konstatera att cos(75)=3122. \cos(75^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}