Eulers Formel: En Djupdykning i Exponentiell Polär Form

På $1700 -$ talet upptäckte matematikern Leonhard Euler ett samband mellan komplexa tal och talet $e$ . Han visade att om man sätter en imaginär exponent, $i v,$ på $e$ kan man med hjälp av trigonometriska funktioner skriva potensen på följande sätt.

$e^{i v} = cos (v) + i sin (v)$

Detta samband kallas Eulers formel. Jämför man högerledet med ett komplext tal på trigonometrisk form, $r (cos (v) + i sin (v)),$ ser man att det enda som skiljer dem åt är absolutbeloppet $r .$ Genom att multiplicera båda led i Eulers formel med $r$ får man ett nytt sätt att representera de komplexa talen.

$r e^{i v} = r (cos (v) + i sin (v))$

Detta kompakta sätt att skriva ett komplext tal,

z = r e^{i v},

kallas exponentiell form och är en typ av polär form eftersom den använder de polära koordinaterna

r

och

v .

Skriv de komplexa talen på exponentiell form

fullscreen

Skriv följande tal på exponentiell form.

z = 73 (cos (\frac{3 π}{5}) + i sin (\frac{3 π}{5}))

w = 5 i

Visa Lösning

För att skriva ett tal på exponentiell form behöver man de polära koordinaterna

r

och

v,

dvs. absolutbeloppet och argumentet. Det första talet,

z,

är skrivet på trigonometrisk polär form, och då går det att läsa av dessa värden direkt. Absolutbeloppet är

73

och argumentet är

\frac{3 π}{5},

vilket vi sätter in i

r e^{i v} .

Vi får då

z = 73 e^{i \frac{3 π}{5}} .

För det andra talet,

w = 5 i,

kan vi inte läsa av

r

och

v

direkt i uttrycket, men om vi markerar

w

i det komplexa talplanet kan man göra en grafisk avläsning. Det går även att använda mer generella metoder men i det här fallet är den grafiska metoden enklare.

Absolutbeloppet är avståndet mellan origo och punkten, så

r = 5 .

Vi ser också att det bildas en rät vinkel mot den positiva

x

-axeln vilket ger argumentet

v = \frac{π}{2} .

Vi sätter in

r

och

v

r e^{i v}

för att få talet på exponentiell form.

w = 5 e^{i \frac{π}{2}}

Regel

Räkna på exponentiell form

Man multiplicerar och dividerar tal på exponentiell form med samma räkneregler som vid multiplikation och division av tal på trigonometrisk form. Det är dock lättare att motivera reglerna när talen är skrivna på exponentiell form eftersom man då kan utnyttja att de är potenser och använda potenslagarna.

Regel

Multiplikation

Man multiplicerar de komplexa talen

r_{1} e^{i v_{1}}

och

r_{2} e^{i v_{2}},

där

r_{1}

och

r_{2}

är absolutbelopp och

v_{1}

och

v_{2}

är argument, genom att addera exponenterna och multiplicera koefficienterna.

r_{1} e^{i v_{1}} \cdot r_{2} e^{i v_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i v_{1} + i v_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i (v_{1} + v_{2})}

Det som står framför

e

är absolutbeloppet:

r_{1} r_{2} .

Argumentet är det som multipliceras med

i,

dvs.

v_{1} + v_{2} .

Man kan alltså se att absolutbeloppen multipliceras och argumenten adderas.

Regel

Division

Vid division av

r_{1} e^{i v_{1}}

och

r_{2} e^{i v_{2}}

subtraherar man exponenterna och dividerar koefficienterna.

\frac{r _{1} e ^{i v_{1}}}{r _{2} e ^{i v_{2}}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot e^{i v_{1} - i v_{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot e^{i (v_{1} - v_{2})}

Absolutbeloppet är även nu det som står framför

e,

dvs.

\frac{r _{1}}{r _{2}},

och argumentet är det som multiplicerats med

i,

alltså

v_{1} - v_{2} .

Absolutbeloppen divideras alltså och argumenten subtraheras.

Utför beräkningen på exponentiell form

fullscreen

Beräkna

\frac{z _{1} \cdot z _{2}}{z _{3}}

för följande komplexa tal.

z_{1} = 3 e^{i π} z_{2} = 6 e^{i 2 π / 3} z_{3} = 9 e^{i π / 3}

Visa Lösning

Vi börjar med att bestämma täljaren. Det är multiplikation så absolutbeloppen multipliceras och argumenten adderas.

z_{1} \cdot z_{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

3 e^{i π} \cdot 6 e^{i 2 π / 3}

CompEulerMult

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} \cdot e^{i (v_{1} + v_{2})}$

3 \cdot 6 e^{i (π + 2 π / 3)}

Multiply

Multiplicera faktorer

18 e^{i (π + 2 π / 3)}

NumberToFrac

$a = \frac{3 \cdot a}{3}$

18 e^{i (3 π / 3 + 2 π / 3)}

AddFrac

Addera bråk

18 e^{i 5 π / 3}

Nu dividerar vi täljaren med

z_{3}

genom att dividera absolutbeloppen och subtrahera argumenten.

\frac{z _{1} \cdot z _{2}}{z _{3}}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

\frac{1 8 e ^{i 5 π / 3}}{9 e ^{i π / 3}}

CompEulerDiv

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot e^{i (v_{1} - v_{2})}$

\frac{1 8}{9} \cdot e^{i (5 π / 3 - π / 3)}

CalcQuot

Beräkna kvot

2 e^{i (5 π / 3 - π / 3)}

SubFrac

Subtrahera bråk

2 e^{i 4 π / 3}

Resultatet av beräkningen blir alltså

2 e^{i 4 π / 3} .

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Skriv de komplexa talen på exponentiell form

Räkna på exponentiell form

Multiplikation

Division

Exempel

Utför beräkningen på exponentiell form

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}