Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Tangenskurvor

Begrepp

Tangensfunktioner

Tangens har flera geometriska tolkningar, bl.a. som förhållandet mellan kateterna i en rätvinklig triangel. På samma sätt som sinus och cosinus är tangens även en matematisk funktion: y=tan(x). y = \tan(x).

Begrepp

Definitionsmängd

För att bestämma definitionsmängden till tan(x)\tan(x) kan man utnyttja att funktionen definieras av kvoten tan(x)=sin(x)cos(x). \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Definitionsmängderna för både sin(x)\sin(x) och cos(x)\cos(x) är alla reella tal, så det går att sätta in vilket xx som helst i dem. I det här fallet får dock cos(x)\cos(x) inte vara lika med 00 eftersom det då skulle leda till nolldivision. Detta sker när x=π2+nπ,x = \frac{\pi}{2} + n\cdot \pi, där nn är ett heltal, vilket innebär att definitionsmängden till tan(x)\tan(x) kan skrivas xπ2+nπ. x \neq \dfrac{\pi}{2} + n\cdot \pi.

Begrepp

Värdemängd

I närheten av de odefinierade xx-värdena går nämnaren mot 0,0, vilket innebär att den är ett mycket litet positivt eller negativt tal. Samtidigt går täljaren mot -1\text{-}1 eller 1,1, vilket innebär att hela bråket går mot positiva eller negativa oändligheten. Funktionsvärdena för tan(x)\tan(x) kan därför vara vilket tal som helst. Det innebär att värdemängden för funktionen är alla reella tal.
Begrepp

Tangenskurvor

Man kan avgöra hur grafen till y=tan(x)y=\tan(x) ser ut genom att först markera några punkter som grafen går genom, t.ex. baserat på följande värdetabell.

Om man sammanbinder punkterna får man en avlång S-liknande kurva.

Man kan se att grafen går mot -\text{-}\infty när xx går mot -π2\text{-}\frac{\pi}{2} och mot \infty när xx går mot π2.\frac{\pi}{2}. Detta mönster upprepas med perioden π\pi, vilket innebär att grafen till tan(x)\tan(x) består av oändligt många kurvor.

Notera att det finns avbrott i grafen för xx-värdena där funktionen är odefinierad, t.ex. -π2\text{-}\frac{\pi}{2} och π2.\frac{\pi}{2}. Om man ritar tan(x)\tan(x) med grafräknare kan man få vertikala linjer vid de odefinierade xx-värdena. Detta betyder inte att grafen är sammanhängande, utan det är en konsekvens av hur räknaren hanterar funktioner.
Uppgift

Lös ekvationen 8tan(2x)12=08\tan(2x)-12=0 grafiskt.

Lösning
För att lösa ekvationen grafiskt börjar vi med att lösa ut tan(2x)\tan(2x) genom att flytta över 1212 till högerledet och sedan dividera med 8.8.
8tan(2x)12=08\tan(2x)-12=0
\AddEkv{12}
8tan(2x)=128\tan(2x)=12
\DivEkv{8}
tan(2x)=1.5\tan(2x)=1.5
Genom att rita upp y=tan(2x)y=\tan(2x) och y=1.5y=1.5 med grafräknare kan vi undersöka skärningspunkterna. Tänk på att de vertikala linjerna som visas på skärmen inte är en del av grafen, utan bara en konsekvens av hur räknaren hanterar funktioner.
tangenskurva och linje på TI-82-räknare

Vi använder kommandot intersect för att bestämma xx-värdet i första skärningspunkten till höger om yy-axeln.

tangenskurva och linje på TI-82-räknare

En lösning på ekvationen är alltså x0.49.x\approx0.49. Det finns dock oändligt många lösningar, eftersom det finns oändligt många skärningspunkter, och för att kunna ange hela lösningsmängden behöver vi veta perioden för tan(2x).\tan(2x). Den tar vi reda på genom att även bestämma xx-värdet för efterföljande skärningspunkt och sedan beräkna avståndet mellan de kända punkterna.

tangenskurva och linje på TI-82-räknare

Avståndet mellan skärningspunkterna, och perioden för tan(2x),\tan(2x), är alltså ungefär 2.060.49=1.57π2. 2.06-0.49=1.57\approx\dfrac{\pi}{2}. Vi lägger nu till ett helt antal perioder till x0.49x\approx0.49 för att få samtliga lösningar till ekvationen: x0.49+nπ2, x\approx0.49+n\cdot\dfrac{\pi}{2}, där nn är ett heltal.

info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward