Tangenskurvor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Tangensfunktioner

Tangens har flera geometriska tolkningar, bl.a. som förhållandet mellan kateterna i en rätvinklig triangel. På samma sätt som sinus och cosinus är tangens även en matematisk funktion: y=tan(x). y = \tan(x).

Begrepp

Definitionsmängd

För att bestämma definitionsmängden till tan(x)\tan(x) kan man utnyttja att funktionen definieras av kvoten tan(x)=sin(x)cos(x). \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Definitionsmängderna för både sin(x)\sin(x) och cos(x)\cos(x) är alla reella tal, så det går att sätta in vilket xx som helst i dem. I det här fallet får dock cos(x)\cos(x) inte vara lika med 00 eftersom det då skulle leda till nolldivision. Detta sker när x=π2+nπ,x = \frac{\pi}{2} + n\cdot \pi, där nn är ett heltal, vilket innebär att definitionsmängden till tan(x)\tan(x) kan skrivas xπ2+nπ. x \neq \dfrac{\pi}{2} + n\cdot \pi.

Begrepp

Värdemängd

I närheten av de odefinierade xx-värdena går nämnaren mot 0,0, vilket innebär att den är ett mycket litet positivt eller negativt tal. Samtidigt går täljaren mot -1\text{-}1 eller 1,1, vilket innebär att hela bråket går mot positiva eller negativa oändligheten. Funktionsvärdena för tan(x)\tan(x) kan därför vara vilket tal som helst. Det innebär att värdemängden för funktionen är alla reella tal.
Begrepp

Tangenskurvor

Man kan avgöra hur grafen till y=tan(x)y=\tan(x) ser ut genom att först markera några punkter som grafen går genom, t.ex. baserat på följande värdetabell.

Om man sammanbinder punkterna får man en avlång S-liknande kurva.

Man kan se att grafen går mot -\text{-}\infty när xx går mot -π2\text{-}\frac{\pi}{2} och mot \infty när xx går mot π2.\frac{\pi}{2}. Detta mönster upprepas med perioden π\pi, vilket innebär att grafen till tan(x)\tan(x) består av oändligt många kurvor.

Notera att det finns avbrott i grafen för xx-värdena där funktionen är odefinierad, t.ex. -π2\text{-}\frac{\pi}{2} och π2.\frac{\pi}{2}. Om man ritar tan(x)\tan(x) med grafräknare kan man få vertikala linjer vid de odefinierade xx-värdena. Detta betyder inte att grafen är sammanhängande, utan det är en konsekvens av hur räknaren hanterar funktioner.
Uppgift

Lös ekvationen 8tan(2x)12=08\tan(2x)-12=0 grafiskt.

Lösning
För att lösa ekvationen grafiskt börjar vi med att lösa ut tan(2x)\tan(2x) genom att flytta över 1212 till högerledet och sedan dividera med 8.8.
8tan(2x)12=08\tan(2x)-12=0
\AddEkv{12}
8tan(2x)=128\tan(2x)=12
\DivEkv{8}
tan(2x)=1.5\tan(2x)=1.5
Genom att rita upp y=tan(2x)y=\tan(2x) och y=1.5y=1.5 med grafräknare kan vi undersöka skärningspunkterna. Tänk på att de vertikala linjerna som visas på skärmen inte är en del av grafen, utan bara en konsekvens av hur räknaren hanterar funktioner.
tangenskurva och linje på TI-82-räknare

Vi använder kommandot intersect för att bestämma xx-värdet i första skärningspunkten till höger om yy-axeln.

tangenskurva och linje på TI-82-räknare

En lösning på ekvationen är alltså x0.49.x\approx0.49. Det finns dock oändligt många lösningar, eftersom det finns oändligt många skärningspunkter, och för att kunna ange hela lösningsmängden behöver vi veta perioden för tan(2x).\tan(2x). Den tar vi reda på genom att även bestämma xx-värdet för efterföljande skärningspunkt och sedan beräkna avståndet mellan de kända punkterna.

tangenskurva och linje på TI-82-räknare

Avståndet mellan skärningspunkterna, och perioden för tan(2x),\tan(2x), är alltså ungefär 2.060.49=1.57π2. 2.06-0.49=1.57\approx\dfrac{\pi}{2}. Vi lägger nu till ett helt antal perioder till x0.49x\approx0.49 för att få samtliga lösningar till ekvationen: x0.49+nπ2, x\approx0.49+n\cdot\dfrac{\pi}{2}, där nn är ett heltal.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}