Tangenskurvor

Tangens har flera geometriska tolkningar, bl.a. som förhållandet mellan kateterna i en rätvinklig triangel. På samma sätt som sinus och cosinus är tangens även en matematisk funktion: $$y=\tan (x).$$

För att bestämma definitionsmängden till $\tan (x)$ kan man utnyttja att funktionen definieras av kvoten $$\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}.$$ Definitionsmängderna för både $\sin (x)$ och $\cos (x)$ är alla reella tal, så det går att sätta in vilket $x$ som helst i dem. I det här fallet får dock $\cos (x)$ inte vara lika med $0$ eftersom det då skulle leda till nolldivision. Detta sker när $x=\frac{\pi }{2}+n\cdot \pi ,$ där $n$ är ett heltal, vilket innebär att definitionsmängden till $\tan (x)$ kan skrivas $$x\ne \frac{\pi }{2}+n\cdot \pi .$$

I närheten av de odefinierade $x$-värdena går nämnaren mot $0,$ vilket innebär att den är ett mycket litet positivt eller negativt tal. Samtidigt går täljaren mot $\text{-}1$ eller $1,$ vilket innebär att hela bråket går mot positiva eller negativa oändligheten. Funktionsvärdena för $\tan (x)$ kan därför vara vilket tal som helst. Det innebär att värdemängden för funktionen är alla reella tal.

Man kan avgöra hur grafen till $y=\tan (x)$ ser ut genom att först markera några punkter som grafen går genom, t.ex. baserat på följande värdetabell.

Om man sammanbinder punkterna får man en avlång S-liknande kurva.

Man kan se att grafen går mot $\text{-}\infty$ när $x$ går mot $\text{-}\frac{\pi }{2}$ och mot $\infty$ när $x$ går mot $\frac{\pi }{2}.$ Detta mönster upprepas med perioden $\pi$, vilket innebär att grafen till $\tan (x)$ består av oändligt många kurvor.

Notera att det finns avbrott i grafen för $x$-värdena där funktionen är odefinierad, t.ex. $\text{-}\frac{\pi }{2}$ och $\frac{\pi }{2}.$ Om man ritar $\tan (x)$ med grafräknare kan man få vertikala linjer vid de odefinierade $x$-värdena. Detta betyder inte att grafen är sammanhängande, utan det är en konsekvens av hur räknaren hanterar funktioner.