Tangenskurvor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Tangensfunktioner

Tangens har flera geometriska tolkningar, bl.a. som förhållandet mellan kateterna i en rätvinklig triangel. På samma sätt som sinus och cosinus är tangens även en matematisk funktion: y=tan(x). y = \tan(x).

Begrepp

Definitionsmängd

För att bestämma definitionsmängden till tan(x)\tan(x) kan man utnyttja att funktionen definieras av kvoten tan(x)=sin(x)cos(x). \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Definitionsmängderna för både sin(x)\sin(x) och cos(x)\cos(x) är alla reella tal, så det går att sätta in vilket xx som helst i dem. I det här fallet får dock cos(x)\cos(x) inte vara lika med 00 eftersom det då skulle leda till nolldivision. Detta sker när x=π2+nπ,x = \frac{\pi}{2} + n\cdot \pi, där nn är ett heltal, vilket innebär att definitionsmängden till tan(x)\tan(x) kan skrivas xπ2+nπ. x \neq \dfrac{\pi}{2} + n\cdot \pi.

Begrepp

Värdemängd

I närheten av de odefinierade xx-värdena går nämnaren mot 0,0, vilket innebär att den är ett mycket litet positivt eller negativt tal. Samtidigt går täljaren mot -1\text{-}1 eller 1,1, vilket innebär att hela bråket går mot positiva eller negativa oändligheten. Funktionsvärdena för tan(x)\tan(x) kan därför vara vilket tal som helst. Det innebär att värdemängden för funktionen är alla reella tal.
Begrepp

Tangenskurvor

Man kan avgöra hur grafen till y=tan(x)y=\tan(x) ser ut genom att först markera några punkter som grafen går genom, t.ex. baserat på följande värdetabell.

Om man sammanbinder punkterna får man en avlång S-liknande kurva.

Man kan se att grafen går mot -\text{-}\infty när xx går mot -π2\text{-}\frac{\pi}{2} och mot \infty när xx går mot π2.\frac{\pi}{2}. Detta mönster upprepas med perioden π\pi, vilket innebär att grafen till tan(x)\tan(x) består av oändligt många kurvor.

Notera att det finns avbrott i grafen för xx-värdena där funktionen är odefinierad, t.ex. -π2\text{-}\frac{\pi}{2} och π2.\frac{\pi}{2}. Om man ritar tan(x)\tan(x) med grafräknare kan man få vertikala linjer vid de odefinierade xx-värdena. Detta betyder inte att grafen är sammanhängande, utan det är en konsekvens av hur räknaren hanterar funktioner.
Uppgift

Lös ekvationen 8tan(2x)12=08\tan(2x)-12=0 grafiskt.

Lösning
För att lösa ekvationen grafiskt börjar vi med att lösa ut tan(2x)\tan(2x) genom att flytta över 1212 till högerledet och sedan dividera med 8.8.
8tan(2x)12=08\tan(2x)-12=0
\AddEkv{12}
8tan(2x)=128\tan(2x)=12
\DivEkv{8}
tan(2x)=1.5\tan(2x)=1.5
Genom att rita upp y=tan(2x)y=\tan(2x) och y=1.5y=1.5 med grafräknare kan vi undersöka skärningspunkterna. Tänk på att de vertikala linjerna som visas på skärmen inte är en del av grafen, utan bara en konsekvens av hur räknaren hanterar funktioner.
tangenskurva och linje på TI-82-räknare

Vi använder kommandot intersect för att bestämma xx-värdet i första skärningspunkten till höger om yy-axeln.

tangenskurva och linje på TI-82-räknare

En lösning på ekvationen är alltså x0.49.x\approx0.49. Det finns dock oändligt många lösningar, eftersom det finns oändligt många skärningspunkter, och för att kunna ange hela lösningsmängden behöver vi veta perioden för tan(2x).\tan(2x). Den tar vi reda på genom att även bestämma xx-värdet för efterföljande skärningspunkt och sedan beräkna avståndet mellan de kända punkterna.

tangenskurva och linje på TI-82-räknare

Avståndet mellan skärningspunkterna, och perioden för tan(2x),\tan(2x), är alltså ungefär 2.060.49=1.57π2. 2.06-0.49=1.57\approx\dfrac{\pi}{2}. Vi lägger nu till ett helt antal perioder till x0.49x\approx0.49 för att få samtliga lösningar till ekvationen: x0.49+nπ2, x\approx0.49+n\cdot\dfrac{\pi}{2}, där nn är ett heltal.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tangensfunktioner är liksom många andra trigonometriska funktioner periodiska. Bestäm perioden för de tangensfunktioner vars grafer finns återgivna nedan.

a
b
c
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka värden på xx är tangensfunktionerna f(x)f(x) respektive g(x),g(x), vars grafer finns återgivna nedan, inte definierade?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Lös ekvationen f(x)=5.f(x)=5.

b

Lös ekvationen g(x)=10.g(x)=10.

c

Lös ekvationen h(x)=-5.h(x)=\text{-}5.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer grafiskt.

a

tan(x)=3\tan(x)=\sqrt{3}

b

10.25tan(x55)=4\dfrac{1}{0.25}\tan(x-55^\circ)=4

c

3tan(2xπ4)=-33\tan \left(2x-\dfrac{\pi}{4} \right)=\text{-}\sqrt{3}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange funktionernas definitions- och värdemängd.

a

f(x)=6tan(x+45)f(x)=6\tan(x+45^\circ)

b

g(x)=tan(3xπ2)g(x)=\tan \left ( 3x-\dfrac{\pi}{2} \right)

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd en grafritande räknare eller annat digitalt hjälpmedel för att lösa följande ekvationer. Svara med 33 värdesiffror.

a

tan(2x)=5.2,-πxπ\tan(2x)=5.2, \quad \text{-} \pi \leq x \leq \pi

b

3tan(x20)=-10.3,0x7203\tan(x-20^\circ)=\text{-}10.3, \quad 0^\circ \leq x \leq 720^\circ

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hitta en tangensfunktion som inte är definierad för

a

x=40x=40^\circ

b

x=π4x=\dfrac{\pi}{4}

c

x=45+n90.x=45^\circ + n\cdot 90^\circ.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer grafiskt och svara med 33 värdesiffor.

a

tan(x)=sin(x+45)\tan(x)=\sin(x+45^\circ)

b

tan(x)=cos(2x)\tan(x)=\cos(2x)

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Forskargruppen Search for EXoplanets in Yohannelund studerar så kallade exoplaneter, planeter som finns i andra solsystem än vårt. De har under en tid mätt temperaturvariationer på exoplaneten Blora 7X, en exoplanet med två solar som går upp vid olika tidpunkter men som stiger lika snabbt på himlen. På grund av att en nebulosa mellan jorden och Blora 7X stör mätningarna kan forskarna endast göra mätningar från planetens gryning fram till dess att de båda solarna står som högst över horisonten. Under denna tid uppmäter de att temperaturen stiger från -200C\text{-} 200^\circ \text{C} till 300C300^\circ \text{C} enligt funktionen f(t)=50tan(0.39(t4))+50, f(t)=50\tan(0.39(t-4))+50, där tt är tiden i timmar. Deras första lyckade mätning av en "förmiddag" på Blora 7X finns återgiven i koordinatsystemet.

Efter 7575 timmars mätning hade de en längre mätserie.

a

Bestäm med hjälp av graferna hur långt är ett dygn på Blora 7X är.

b

Använd graferna och bestäm ungefär hur länge varje morgon bloristerna ser exakt 11 sol på himlen.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att tan(x)>sin(x)\tan(x)>\sin(x) för alla xx i intervallet 0<x<π2.0<x<\frac{\pi}{2}.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Utred hur många skärningspunkter en godtycklig rät linje kan ha med funktionen f(x)=tan(x).f(x)=\tan(x).

b

En godtycklig rät linje kan matematiskt skrivas ax+by+c=0.ax+by+c=0. Utred hur antalet skärningar beror på vilka värden a,a, bb och cc har.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}