Cosinusekvationer

När vinkeln är 90^(∘) står vinkelpekaren rakt upp i enhetscirkeln.

En vinkels cosinusvärde kan läsas av som x-koordinaten i punkten där vinkelpekaren möter enhetscirkeln. Det innebär att cos(90^(∘)) = 0.

Vinkeln 2π3 är en av de trigonometriska standardvinklarna, så vi kan läsa av cosinusvärdet för den i tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar.

Då ser vi att cos(2π/3) = - 1/2.

Vinkeln 390^(∘) är större än ett varv. Vi kan dra bort ett varv utan att cosinusvärdet påverkas eftersom vinkeln 390^(∘) pekar på samma ställe i enhetscirkeln som vinkeln 390^(∘) - 360^(∘) = 30^(∘). Detta är också en trigonometrisk standardvinkel så vi kan läsa av cosinusvärdet för den i samma tabell som ovan: cos(30^(∘)) = sqrt(3)/2. Det betyder att även cos(390^(∘)) är sqrt(3)2.

Vinkeln - 3π4 finns inte i tabellen över standardvinklar men däremot finns den positiva motsvarigheten, 3π4. Och eftersom cos(- v) = cos(v) kan vi läsa av cosinusvärdet för 3π4 för att bestämma cosinusvärdet för - 3π4. Det ger att cos(- 3π/4) = - 1/sqrt(2).

En lösning ges av arccos(0.725). Men även -arccos(0.725) är en lösning, eftersom cos(- x)=cos(x). Vi får inte heller glömma perioden 360^(∘). Vi använder detta för att lösa ekvationen.

Ekvationen har alltså lösningarna x≈±43.5^(∘)+n* 360^(∘), där n är ett heltal.

Vi gör på samma sätt och använder arccos för att lösa ekvationen.

Ekvationen har lösningarna x≈±111.2^(∘)+n* 360^(∘), där n är ett heltal.

En vinkel som har cosinusvärdet - 12 är 2π3, det är den vinkel som arccos ger: arccos(- 12)= 2π3.

Med enhetscirkeln till hands är det också lättare att se lösningen som har motsatt tecken. Vi ser i figuren att även - 2π3 har cosinusvärdet - 12. Slutligen måste vi komma ihåg perioden 2π. Lösningarna är alltså v= ± 2π3+n* 2π, där n är ett heltal.

De punkter på enhetscirkeln som har x-koordinat 0, och därmed representerar vinklar med cosinusvärde 0, är punkterna längst upp och längs ned. Dessa motsvaras av vinkeln π2 och speglingen - π2.

Vi måste också ta hänsyn till perioden för cosinus, att man kan lägga till eller dra ifrån godtyckligt antal varv på 2π. Lösningarna till ekvationen är v = ± π2+n*2π, där n är ett heltal. Alla dessa vinklar motsvaras i enhetscirkeln av punkterna längst upp och längst ner. Ett alternativt sätt att beskriva alla dessa vinklar är att utgå från π2 och lägga till eller drar ifrån ett halvt varv ett godtyckligt antal gånger. Alltså kan lösningarna även skrivas på formen v = π2+n*π. Det är bra att ha i minnet att samma lösningar ibland kan beskrivas med olika formler.

Intervallet börjar vid vinkeln 0, vilket är rakt åt höger längs med x-axeln i enhetscirkeln. Intervallet slutar vid vinkeln π2 som motsvarar ett fjärdedels varv, vilket i enhetscirkeln är rakt upp längs med y-axeln. När vi markerar intervallet får vi följande.

Vinkeln 2π är ett helt varv, intervallet börjar därmed vid positiva x-axeln. 5π2 kan skrivas om till 2π + π2. Vinkeln motsvarar alltså ett helt varv och sedan ett fjärdedels varv till, så intervallet slutar därmed vid positiva y-axeln. Vi markerar intervallet.

Intervallets startvinkel π motsvarar ett halvt varv, som ligger vid negativa x-axeln. Vinkeln 3π2 motsvarar tre fjärdedelar av ett varv, intervallet slutar alltså vid negativa y-axeln. Vi markerar nu intervallet i enhetscirkeln.

Vinkeln - π motsvarar ett halvt varv medurs, intervallet startar därför vid negativa x-axeln. Vinkeln - π2 motsvarar ett fjärdedels varv medurs. Intervallet slutar alltså vid negativa y-axeln. Vi markerar det här intervallet.

Vi observerar från tidigare deluppgifter att olika intervall kan motsvara samma område i enhetscirkeln. Anledningen till detta är att man kan lägga till eller dra bort hela varv från vinklar utan att påverka deras position i enhetscirkeln. Detsamma gäller för intervallens slut- och startvinklar. Ta t.ex. intervallen från de två första deluppgifterna: 0 ≤ v ≤ π/2 och 2π ≤ v ≤ 5π/2. Här skiljer det precis ett varv (2π) mellan de nedre gränserna, och ett varv (2π) mellan de övre. Trots att intervallen är olika markerar de därför samma område i enhetscirkeln, vilket bilderna också visade. Antonias har alltså rätt: Om deras intervall skiljer sig med något antal hela varv har båda gjort rätt.

Ett värde på v som uppfyller ekvationen är det man får med arccos: v = arccos( 1sqrt(2)) = 45^(∘). Samma vinkel med omvänt tecken är också en lösning eftersom cos(- v)=cos(v). Slutligen får vi inte glömma perioden 360^(∘).

Ekvationen har alltså lösningarna v = ± 45^(∘) + n *360^(∘), där n är ett heltal.

Ekvationen cos(5u)= 1sqrt(2) är lik den vi löste i föregående deluppgift, men istället för v har vi nu 5u. Från förra resultatet vet vi därför att 5u = ± 45^(∘) + n * 360^(∘), för heltal n. För att få u ensamt återstår nu att dividera båda led med 5.

Vi använder arccos för att hitta ekvationens lösningar. Se till att räknaren är inställd på grader.

x ≈ ± 36.3^(∘) + n * 180^(∘), där n är ett heltal, löser ekvationen.

Vi gör på samma sätt, men se till att räknaren är inställd på radianer.

x ≈ ±4.1 + n * 4π, där n är ett heltal, är alltså alla lösningar till ekvationen.

Om vi först skriver om ekvationen så att cos(x) blir ensamt i ena ledet kan vi sedan lösa den med med arccos.

Om man vill kan man svara så här om man vill svara exakt. Annars slår man in det på räknaren.

Vi dividerar först båda led med 4 för att få cos(x) ensamt i ena ledet.

Vi undersöker cosinusvärdena för 50^(∘) och 310^(∘) hör ihop genom att rita enhetscirkeln och markera vinklarna. I bilden ser vi att det verkar som om de har samma cosinusvärden, eftersom x-koordinaterna för punkterna är samma. Men detta räcker inte för att vi ska vara helt övertygade.

Eftersom punkterna tillhörande vinklarna är på varsin sida om x-axeln letar vi bland de trigonometriska speglingssambanden efter något vi kan använda. Sambandet cos(- v) = cos(v) är användbart i det här fallet eftersom det handlar om två olika vinklar med samma cosinusvärde. Det handlar dock om en vinkel som är positiv och en som är negativ, vilket vi inte har. Då kan vi dra bort ett varv från 310^(∘) eftersom det inte påverkar cosinusvärdet. Vi får då 310^(∘) - 360^(∘) = - 50^(∘), som har samma cosinusvärde som 310^(∘).

Vinklarna - 50^(∘) och 50^(∘) har samma cosinusvärde, 0.64. Det betyder även att vinkeln 310^(∘) också har cosinusvärdet 0.64.

Vi undersöker nu cosinusvärdena för vinklarna 50^(∘) och 230^(∘) på samma sätt. Skillnaden mellan 230^(∘) och 50^(∘) är ett halvt varv, vilket innebär att punkterna till vinklarna kommer hamna på motsatt sidor om origo.

När vi lägger på ett halvt varv på en vinkel ändras tecknet på både sinus- och cosinusvärdet för vinkeln. Detta kan visas genom att tänka på det som en spegling först i x-axeln och sedan i y-axeln.

Speglingen i x-axeln påverkar inte cosinusvärden eftersom cos(- v) = cos(v). Speglingen i y-axeln byter tecken på cosinusvärden enligt cos(v) = - cos(180^(∘) - v). Sammanfattningsvis byter alltså cosinusvärdet tecken av dessa två speglingar, som motsvarar att lägga till ett halvt varv. Vi får därför cosinusvärdet - 0.64 för vinkeln 230^(∘).

Valerie har löst ekvationen fel. Först och främst glömmer hon den andra lösningen med negativ vinkel. Det finns ju två vinklar per varv i enhetscirkeln med cosinusvärdet 0.5. Det stämmer det att 60^(∘) har cosinusvärdet 0.5 men enligt cos(- v) = cos(v), har även -60^(∘) det.

Det andra hon glömmer är att dela perioden med 3 när hon delar vänsterledet med 3. En fullständig och korrekt beräkning med samtliga lösningar visas nedan.