För att hitta samtliga rötter till en cosinusekvation behöver man förstå hur cosinusvärdet för en vinkel påverkas när den blir mindre än 0∘ eller större än 360∘.
Vilka värden kan en vinkel ha? Rent geometriskt beskrivs en vinkel med hjälp av linjer vilket betyder att de oftast anges mellan 0∘ och 360∘. I enhetscirkeln hanteras även negativa vinklar, där tecknet avgör vinkelns "riktning" — positiva vinklar dras moturs i enhetscirkeln medan negativa vinklar dras medurs.
Men om den nedre gränsen 0∘ kan passeras, hur är det då med den övre? Kan en vinkel vara större än 360∘? Den som är bekant med t.ex. snowboard vet svaret: Det går fint, eftersom 360∘ beskriver ett varvs rotation i det sammanhanget. Och det går att rotera mer än ett varv, även om det kan vara svårt.
I bilden har den ena åkaren roterat ett varv, 360∘, medan den andra har roterat två varv, 2⋅360∘=720∘.
Snowboardåkarnas tolkning av dessa vinklar kan överföras till enhetscirkeln. Varje vinkel motsvarar en punkt i enhetscirkeln, där x-koordinaten för punkten är vinkelns cosinusvärde. Genom att snurra ett varv till hamnar man på samma punkt, men vinkeln är 360∘ större.
Eftersom det är samma punkt är cosinusvärdet också samma. Det betyder att man kan lägga till eller dra bort 360∘ från en vinkel utan att cosinusvärdet förändras. Man säger att cosinus har perioden 360∘, eller 2π om man använder radianer. I enhetscirkeln nedan är punkten som motsvarar 60∘ markerad. Genom att lägga till eller dra ifrån 360∘ hittar man fler vinklar för samma punkt och som därmed har samma cosinusvärde.
I en cosinusekvation av typen cos(v)=0.4 är man ute efter alla vinklar v som har cosinusvärdet 0.4.
Förutom de två vinklarna som visas i enhetscirkeln finns oändligt många fler eftersom cosinusfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår tre moment, men när man själv löser ekvationen bör alla tre göras i samma beräkningssteg.
Med funktionen arcuscosinus bestämmer man en vinkel som har cosinusvärdet 0.4. arccos(0.4)
Arcuscosinus ger alltid en positiv vinkel, men som bilden visar bör det även finnas en negativ lösning. Den får man genom att spegla vinkeln i x-axeln. För att ange båda lösningarna samtidigt används tecknet ±. ±arccos(0.4)
Nu har man hittat de två lösningar som syns i enhetscirkeln. Men cosinus har perioden 360∘ (eller 2π) så genom att lägga till ett varv hittar man ytterligare två: arccos(0.4)+360∘och-arccos(0.4)+360∘. På samma sätt kan man lägga till eller dra bort ett godtyckligt antal hela varv för att hitta fler lösningar. Ekvationens samtliga lösningar kan därför skrivas v=±arccos(0.4)+n⋅360∘, där n är ett heltal.
Lös ekvationen cos(2v)=21. Svara i grader.
n | -30∘+n⋅180∘ | v1 | 30∘+n⋅180∘ | v2 |
---|---|---|---|---|
-2 | -30∘−2⋅180∘ | -390∘ | 30∘−2⋅180∘ | -330∘ |
-1 | -30∘−1⋅180∘ | -210∘ | 30∘−1⋅180∘ | -150∘ |
0 | -30∘+0⋅180∘ | -30∘ | 30∘+0⋅180∘ | 30∘ |
1 | -30∘+1⋅180∘ | 150∘ | 30∘+1⋅180∘ | 210∘ |
2 | -30∘+2⋅180∘ | 330∘ | 30∘+2⋅180∘ | 390∘ |