{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Trigonometriska samband och ekvationer

Välj kurs
Matte 4
Trigonometriska samband och ekvationer
Cosinusekvationer

Cosinusekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Cosinusekvationer är trigonometriska ekvationer där man börjar med ett cosinusvärde och ska hitta motsvarande vinkel. Det finns dock oändligt många vinklar med samma cosinusvärde, och därför har cosinusekvationer ofta oändligt många lösningar. Genom att utnyttja periodiciteten för cosinus kan man bestämma alla dessa.
Regel

Period för cosinus

För att hitta samtliga rötter till en cosinusekvation behöver man förstå hur cosinusvärdet för en vinkel påverkas när den blir mindre än 0∘0^\circ eller större än 360∘.360^\circ.

Regel

Vinklar utanför intervallet 0∘−360∘0^\circ - 360^\circ

Vilka värden kan en vinkel ha? Rent geometriskt beskrivs en vinkel med hjälp av linjer vilket betyder att de oftast anges mellan 0∘0^\circ och 360∘.360^\circ. I enhetscirkeln hanteras även negativa vinklar, där tecknet avgör vinkelns "riktning" — positiva vinklar dras moturs i enhetscirkeln medan negativa vinklar dras medurs.

Men om den nedre gränsen 0∘0^\circ kan passeras, hur är det då med den övre? Kan en vinkel vara större än 360∘?360^\circ? Den som är bekant med t.ex. snowboard vet svaret: Det går fint, eftersom 360∘360^\circ beskriver ett varvs rotation i det sammanhanget. Och det går att rotera mer än ett varv, även om det kan vara svårt.

SnowboardareNoText.svg

I bilden har den ena åkaren roterat ett varv, 360∘,360^\circ, medan den andra har roterat två varv, 2⋅360∘=720∘.2\cdot 360^\circ=720^\circ.

Regel

Perioden 360∘360^\circ

Snowboardåkarnas tolkning av dessa vinklar kan överföras till enhetscirkeln. Varje vinkel motsvarar en punkt i enhetscirkeln, där xx-koordinaten för punkten är vinkelns cosinusvärde. Genom att snurra ett varv till hamnar man på samma punkt, men vinkeln är 360∘360^\circ större.

Cosinusekvationer.svg

Eftersom det är samma punkt är cosinusvärdet också samma. Det betyder att man kan lägga till eller dra bort 360∘360^\circ från en vinkel utan att cosinusvärdet förändras. Man säger att cosinus har perioden 360∘,360^\circ, eller 2π2\pi om man använder radianer. I enhetscirkeln nedan är punkten som motsvarar 60∘60^\circ markerad. Genom att lägga till eller dra ifrån 360∘360^\circ hittar man fler vinklar för samma punkt och som därmed har samma cosinusvärde.

Återställ

Det finns ingen övre eller undre gräns för storleken på vinkeln, så det finns oändligt många med samma cosinusvärde.
Metod

Lösa cosinusekvationer

I en cosinusekvation av typen cos⁡(v)=0.4\cos(v) = 0.4 är man ute efter alla vinklar vv som har cosinusvärdet 0.4.0.4.

Förutom de två vinklarna som visas i enhetscirkeln finns oändligt många fler eftersom cosinusfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår tre moment, men när man själv löser ekvationen bör alla tre göras i samma beräkningssteg.

1

Hitta en lösning med arccos

Med funktionen arcuscosinus bestämmer man en vinkel som har cosinusvärdet 0.4.0.4. arccos⁡(0.4)\arccos(0.4)

2

Lägg till spegellösningen med ±\pm

Arcuscosinus ger alltid en positiv vinkel, men som bilden visar bör det även finnas en negativ lösning. Den får man genom att spegla vinkeln i xx-axeln. För att ange båda lösningarna samtidigt används tecknet ±.\pm. ±arccos⁡(0.4)\pm \arccos(0.4)

3

Lägg till perioder

Nu har man hittat de två lösningar som syns i enhetscirkeln. Men cosinus har perioden 360∘360^\circ (eller 2π2\pi) så genom att lägga till ett varv hittar man ytterligare två: arccos⁡(0.4)+360∘och-arccos⁡(0.4)+360∘. \arccos(0.4) + 360^\circ \quad \text{och}\quad \text{-}\arccos(0.4) + 360^\circ. På samma sätt kan man lägga till eller dra bort ett godtyckligt antal hela varv för att hitta fler lösningar. Ekvationens samtliga lösningar kan därför skrivas v=±arccos⁡(0.4)+n⋅360∘, v = \pm \arccos(0.4) + n\cdot 360^\circ, där nn är ett heltal.

Ibland används begreppet lösningsmängd när man samlar ihop alla, eller en delmängd av, en ekvations lösningar. Det är särskilt användbart för trigonometriska ekvationer där man ofta vill beskriva oändligt många lösningar. I det här fallet är v=arccos⁡(0.4)+n⋅360∘v=\arccos(0.4) + n\cdot 360^\circ en lösningsmängd och v=-arccos⁡(0.4)+n⋅360∘v=\text{-} \arccos(0.4) + n\cdot 360^\circ en annan.
Uppgift

Lös ekvationen cos⁡(2v)=12.\cos(2v)=\frac{1}{2}. Svara i grader.

Lösning
Vi använder arcuscosinus för att lösa ekvationen. Glöm inte att lägga till spegellösningen samt perioden 360∘.360^\circ.
cos⁡(2v)=12\cos(2v)=\dfrac{1}{2}
arccos⁡(VL)=arccos⁡(HL)\arccos(\text{VL}) = \arccos(\text{HL})
2v=±arccos⁡(12)+n⋅360∘2v=\pm\arccos\left(\dfrac{1}{2}\right)+n\cdot 360^\circ
\ArcCos{60}
2v=±60∘+n⋅360∘2v=\pm60^\circ+n\cdot 360^\circ
Nu har vi blivit av med cosinusuttrycket, men det står ju 2v2v i vänsterledet. Vi dividerar därför med 22 på båda sidor. Tänk på att både 60∘60^\circ och n⋅360∘n \cdot 360^\circ delas med 2.2.
2v=±60∘+n⋅360∘2v=\pm60^\circ+n\cdot 360^\circ
VL/2=HL/2\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.
v=±60∘2+n⋅360∘2v=\dfrac{\pm60^\circ}{2}+\dfrac{n\cdot 360^\circ}{2}
Beräkna kvot
v=±30∘+n⋅180∘v=\pm30^\circ+n\cdot 180^\circ
Det finns alltså oändligt många lösningar till ekvationen och de kan alla beskrivas med formeln v=±30∘+n⋅180∘, v=\pm30^\circ+n\cdot 180^\circ, där nn är ett heltal. Det är en sammanslagning av lösningsmängderna v=-30∘+n⋅180∘ochv=30∘+n⋅180∘. v=\text{-}30^\circ + n\cdot 180^\circ \quad \text{och} \quad v=30^\circ + n\cdot 180^\circ. Nu är vi egentligen klara, men för att visa några vinklar som löser ekvationen kan vi genom sätta in olika värden på n.n.
nn -30∘+n⋅180∘\text{-}30^\circ+n\cdot 180^\circ v1v_1 30∘+n⋅180∘30^\circ+n\cdot 180^\circ v2v_2
-2{\color{#0000FF}{\text{-}2}} -30∘−2⋅180∘\text{-}30^\circ{\color{#0000FF}{-2}}\cdot180^\circ -390∘\text{-}390^\circ 30∘−2⋅180∘30^\circ{\color{#0000FF}{-2}}\cdot180^\circ -330∘\text{-}330^\circ
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} -30∘−1⋅180∘\text{-}30^\circ{\color{#0000FF}{-1}}\cdot180^\circ -210∘\text{-}210^\circ 30∘−1⋅180∘30^\circ{\color{#0000FF}{-1}}\cdot180^\circ -150∘\text{-}150^\circ
0{\color{#0000FF}{0}} -30∘+0⋅180∘\text{-}30^\circ+{\color{#0000FF}{0}}\cdot180^\circ -30∘\text{-}30^\circ 30∘+0⋅180∘30^\circ+{\color{#0000FF}{0}}\cdot180^\circ 30∘30^\circ
1{\color{#0000FF}{1}} -30∘+1⋅180∘\text{-}30^\circ+{\color{#0000FF}{1}}\cdot180^\circ 150∘150^\circ 30∘+1⋅180∘30^\circ+{\color{#0000FF}{1}}\cdot180^\circ 210∘210^\circ
2{\color{#0000FF}{2}} -30∘+2⋅180∘\text{-}30^\circ+{\color{#0000FF}{2}}\cdot180^\circ 330∘330^\circ 30∘+2⋅180∘30^\circ+{\color{#0000FF}{2}}\cdot180^\circ 390∘390^\circ
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}