| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Det finns många sätt att påverka trigonometriska kurvors utseende. Man kan till exempel ändra deras amplitud, deras period eller förskjuta dem i x- eller y-led. För sinus- och cosinuskurvor görs detta genom att variera konstanterna i deras generella funktioner.
y=Asin(B(x+C))+D
y=Acos(B(x+C))+D
Amplituden för en sinus- eller cosinusfunktion är definierad som avståndet i y-led mellan jämviktslinjen som funktionen pendlar kring och någon av dess minimi- eller maximipunkter. Eftersom amplituden är ett avstånd är den alltid positiv. Konstanten A i det generella funktionsuttrycket kan dock vara negativ. Funktionens amplitud motsvaras därför av absolutbeloppet av A.
Differensen mellan maximi- och minimivärdet för funktionen motsvarar dubbla amplituden. Detta ger en formel för att beräkna amplituden.
∣A∣=2ymax−ymin
Konstanten A påverkar kurvans utsträckning i y-led utan att dess nollställen, period eller jämviktslinje ändras.
Perioden för en funktion är det kortaste avståndet i x-led mellan två motsvarande punkter på funktionens graf. För en sinus- eller cosinusfunktion mäter man ofta detta mellan närliggande toppar, dalar eller motsvarande nollställen. I det generella funktionsuttrycket påverkar man perioden genom att ändra värdet på konstanten B.
Från grafen kan man läsa av perioderna 2π och π för y=sin(x) respektive y=sin(2x). Funktionens period halveras alltså om B fördubblas. Generellt kan man beräkna perioden P hos en sinus- eller cosinusfunktion genom att dividera 2π eller 360∘ med absolutbeloppet av B.
P=∣B∣2π
P=∣B∣360∘
Vilken formel man väljer beror på vinkelenheten som används. Att det ska divideras med just absolutbeloppet av B beror på att B kan vara ett negativt tal medan en period är en längd — den måste vara positiv. Konstanten B påverkar funktionens period utan att dess amplitud eller jämviktslinje förändras.
Ange en funktion på formen f(x)=Asin(Bx), där A och B är positiva konstanter, vars graf ser ut som den i figuren.
ymax=1.5, ymin=-1.5
Subtrahera term
Skriv i decimalform
P=45π
VL⋅∣B∣=HL⋅∣B∣
VL/45π=HL/45π
a/cb=ba⋅c
Förkorta
Multiplicera faktorer
Skriv i decimalform
Genom att lägga till en konstant till funktionsuttrycket förskjuter man dess graf i y-led. I det generella uttrycket betecknas denna konstant D. Om man till exempelvis adderar 2 förskjuts kurvan uppåt 2 längdenheter. På samma sätt förskjuts den nedåt om man subtraherar en konstant.
För att läsa av förskjutningar i y-led mäter man avståndet från x-axeln till jämviktslinjen. Om det är lättare att läsa av minimi- och maximivärdena för grafen går det också bra att räkna ut förskjutningen som medelvärdet av dessa.
D=2ymin+ymax
Konstanten D ändrar funktionens nollställen men påverkar varken dess amplitud eller dess period.
För periodiska funktioner finns det ett oändligt antal sådana punkter, men oftast väljer man den som ligger närmast origo. För att bestämma förskjutningen mäter man sedan avståndet i x-led från punkten till origo. Konstanten C motsvarar detta avstånd om punkten ligger till vänster om origo och det negativa värdet av avståndet om punkten ligger till höger om origo.
Vi börjar med att bestämma konstanten D, som avgör förskjutningen i y-led. Det kan man göra genom att mäta avståndet från x-axeln till jämviktslinjen. I det här fallet kan vi läsa av det värdet som y=1.
Förskjutningen är uppåt så konstanten D ska vara positiv, vilket ger D=1. Vi hade också kunnat beräkna detta som medelvärdet av funktionens minsta värde, ymin=0, och dess största värde, ymax=2.I figuren kan man ändra på de olika konstanterna i den generella funktionen för en sinuskurva och se hur de påverkar grafen.