Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner: Teori och räkneexempel

Om derivatan av en funktion F(x) är lika med f(x), säger man att F(x) hör ihop med f(x) på ett sätt som gör att derivering leder tillbaka till f(x). Till exempel blir derivatan av x^2 just 2x. För att hitta sådana funktioner kan man använda deriveringsreglerna baklänges.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Primitiv funktion

Förkunskaper

Regel

Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner

Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av sin(x) är cos(x), vilket innebär att sin(x) måste vara en primitiv funktion till cos(x).

Regel

D^(-1)(cos(x))=sin(x) +C

Man kan visa denna regel genom att derivera F(x)=sin(x)+C. Värdet på konstanten C spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.

F(x)=sin(x)+C

Derive

Derivera funktion

F'(x)=D(sin(x))+D(C)

DeriveConst

D(a) = 0

F'(x)=D(sin(x))

DeriveSin

D( sin(v) ) = cos(v)

F'(x)=cos(x)

Derivatan blir cos(x), så sin(x) är en primitiv funktion till cos(x).

På samma sätt måste en primitiv funktion till sin(x) vara - cos(x), eftersom derivatan av cos(x) är - sin(x).

Regel

D^(- 1)(sin(x))=-cos(x)+C

Genom att derivera F(x)=-cos(x)+C visar man denna regel.

F(x)=-cos(x) +C

Derive

Derivera funktion

F'(x)=- D(cos(x))+D(C)

DeriveConst

D(a) = 0

F'(x)=- D(cos(x))

DeriveCos

D( cos(v) ) = - sin(v)

F'(x)=- (-sin(x))

NegNeg

- (- a)=a

F'(x)=sin(x)

Eftersom man får sin(x) när man deriverar - cos(x) måste det vara en primitiv funktion.

Men vad blir den primitiva funktionen om det står en konstant framför x, som i cos(2x)? Då måste man kompensera för den inre derivatan genom att dividera med konstanten.

Regel

D^(-1)(cos(kx))=sin(kx)/k+C

Man kan motivera att detta är en primitiv funktion genom att derivera högerledet.

F(x)=sin(kx)/k+C

MoveNumRight

a/b=1/b* a

F(x)=1/k*sin(kx)+C

Derive

Derivera funktion

F'(x)=D(1/k*sin(kx))+D(C)

DeriveConst

D(a) = 0

F'(x)=D(1/k*sin(kx))

DeriveSinAmpFreq

D( asin(kv) ) = akcos(kv)

F'(x)=1/k* k * cos(kx)

FracMultDenomToNumber

a/k* k = a

F'(x)=cos(kx)

Derivatan blir cos(kx), så sin(kx)k+C är de primitiva funktionerna till cos(kx). Regeln gäller för k≠0.

Regel

D^(- 1)(sin(kx))=-cos(kx)/k+C

Även här deriverar man högerledet för att visa regeln.

F(x)=-cos(kx)/k+C

MoveNumRight

a/b=1/b* a

F(x)=-1/k*cos(kx)+C

Derive

Derivera funktion

F'(x)=- D(1/k*cos(kx))+D(C)

DeriveConst

D(a) = 0

F'(x)=- D(1/k*cos(kx))

DeriveCosAmpFreq

D( acos(kv) ) = - aksin(kv)

F'(x)=- ( - 1/k* k * sin(kx) )

NegNeg

- (- a)=a

F'(x)= 1/k* k * sin(kx)

FracMultDenomToNumber

a/k* k = a

F'(x)= sin(kx)

Eftersom derivatan är sin(kx) måste - cos(kx)k + C vara alla primitiva funktioner. Även den här regeln gäller så länge k≠0.

Regel

Primitiv funktion till 1x

Derivatan av ln(x) är 1x, vilket innebär att ln(x) måste vara en primitiv funktion till 1x.

Regel

D^(- 1)(1/x)=ln(x)+C

Man kan visa att regeln stämmer genom att derivera ln(x)+C.

F(x)=ln(x)+C

Derive

Derivera funktion

F'(x)=D(ln(x))+D(C)

DeriveConst

D(a) = 0

F'(x)=D(ln(x))

DeriveLn

D\left( \ln(x) \right) =\dfrac 1 x

F'(x)=1/x

Derivatan är 1x, så ln(x)+C måste vara de primitiva funktionerna till 1x. Regeln gäller för x>0.

Memo

Regler för primitiva funktioner

Primitiva funktioner
Funktion	Primitiv funktion
k	kx+C
x^n	x^(n+1)/n+1+C
e^x	e^x+C
e^(kx)	e^(kx)/k+C
a^x	a^x/ln(a)+C

Bestäm den specifika primitiva funktionen

fullscreen

Bestäm den primitiva funktionen till f(x)=1/x+sin(7x), givet att F(π)=4.

Visa Lösning

Vi ska bestämma en viss specifik primitiv funktion till f(x), men för att göra det måste vi först bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=1/x+sin(7x)

AntiderivativeAll

Bestäm alla primitiva funktioner

F(x)=D^(- 1)(1/x)+D^(- 1)(sin(7x))+C

AntideriveDivOneByX

D^(- 1)(1/x)=ln(x)

F(x)=ln(x)+D^(- 1)(sin(7x))+C

AntideriveSinFreq

D^(- 1)(sin(kv))=-cos(kv)/k

F(x)=ln(x)+(-cos(7x)/7)+C

AddNeg

a+(- b)=a-b

F(x)=ln(x)-cos(7x)/7+C

Nu använder vi den givna informationen F(π)=4 för att bestämma C.

F(x)=ln(x)-cos(7x)/7+C

Substitute

x= π

F( π)=ln( π)-cos(7 π)/7+C

Substitute

F(π)= 4

4=ln(π)-cos(7π)/7+C

▼

Lös ekvationen

CosSubtractPeriod

Dra bort 3 3 1periodperioder

4=ln(π)-cos(π)/7+C

CosRad

\ifnumequal{180}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{180}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{180}{\cos\left(\pi\right)=- 1}{}\ifnumequal{180}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{180}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{180}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}

4=ln(π)--1/7+C

RemoveNegFracAndNum

- - a/b= a/b

4=ln(π)+1/7+C

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

ln(π)+1/7+C=4

SubEqn

VL-1/7=HL-1/7

ln(π)+C=4-1/7

SubEqn

VL-ln(π)=HL-ln(π)