mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Polynomekvationer

Faktorsatsen

Polynomekvationer av högre grad än t.ex. tredjegradsekvationer, är ofta svåra att lösa. Om man kan faktorisera dem eller känner till någon rot kan man dock använda polynomens egenskaper för att bestämma fler rötter.
Regel

Faktorsatsen

Om ett polynom är skrivet på faktorform kan dess nollställen bestämmas med nollproduktmetoden. Exempelvis har funktionen nollställena och eftersom de löser ekvationen Det här gäller även åt andra hållet — om man känner till ett nollställe, t.ex. vet man att är en faktor i polynomet. Sambandet gäller för alla polynom och kallas faktorsatsen. Den kan formuleras på följande sätt.

Om är en faktor i polynomet

En följd av detta är att om är ett nollställe till kan polynomet skrivas som produkten

där är ett annat polynom med ett gradtal som är mindre än för .
fullscreen
Uppgift

Faktorisera polynomet

Visa Lösning
Lösning
Vi noterar först att finns i alla termer, så vi bryter ut det. Nu har vi faktoriserat lite, men kan vi göra mer? Ja, i parentesen finns ett andragradspolynom. Genom att bestämma nollställena till det kan vi använda faktorsatsen för att bestämma ytterligare faktorer. Vi ska alltså lösa ekvationen Det kan vi göra med -formeln.
Lös med -formeln
Nollställena till är alltså och Enligt faktorsatsen är då och dvs. faktorer i polynomet. Tillsammans med faktorn som vi bestämt sedan tidigare kan alltså skrivas som produkten Svaret kan kontrolleras genom att utveckla parenteserna och se att det verkligen ger det ursprungliga polynomet.
Regel

Antal komplexa rötter till polynomekvationer

Olika polynomekvationer har olika antal rötter. T.ex. har ekvationen en lösning medan har två. Med hjälp av följande sats är det möjligt att bestämma antalet rötter utan att faktiskt lösa ekvationen.

Antalet komplexa rötter till en polynomekvation är lika med gradtalet.

Sambandet kan motiveras med hjälp av algebrans fundamentalsats som säger att ett polynom av åtminstone grad har minst ett komplext nollställe. Om man känner till ett sådant nollställe kan faktorsatsen användas för att skriva som produkten för något polynom Nu har man brutit ut en faktor av grad alltså måste gradtalet av vara mindre än för Så länge gradtalet av -polynomet är minst kan man bryta ut ytterligare faktorer: Uppdelningen fortsätter tills -polynomet är av grad alltså en konstant man kan kalla För ett polynom av gradtal får man till slut en produkt med faktorer: Eftersom det finns faktorer med termen som alla motsvarar en komplex rot måste ha komplexa rötter.

Extra

Multiplicitet

En alert läsare kanske undrar hur man förklarar ekvationer som t.ex. Gradtalet är men här finns väl ingen annan rot än Nej, det stämmer — men polynomet kan faktoriseras till Faktorsatsen gör en koppling mellan polynomets faktorer och nollställen, så eftersom faktorn förekommer två gånger kan man säga att nollstället förekommer två gånger. kallas då en dubbelrot, eller en rot med multiplicitet

Metod

Faktorisera polynom genom att identifiera koefficienter

Ibland har man en polynomekvation som man inte kan lösa som den är — den kan t.ex. ha för stort gradtal. Om det går att faktorisera polynomet kan man använda nollproduktmetoden för att minska gradtalet av ekvationen, vilket kan göra den enklare att lösa. Med hjälp av faktorsatsen kan man faktorisera ett polynom om man redan känner till en av polynomens nollställen, T.ex. kan man faktorisera som har nollstället

1

Ställ upp en faktorisering med hjälp av faktorsatsen


Eftersom är ett nollställe till polynomet kan man enligt faktorsatsen bryta ut

där är ett polynom av grad lägre än . För exemplet är ett nollställe till tredjegradspolynomet. Alltså kan man ställa upp

där är ett polynom av grad

2

Ställ upp ett allmänt uttryck för

Nu ersätter man i uttrycket för med en allmän form av polynomet. Eftersom har graden i exemplet kan man ersätta det med det generella uttrycket för ett andragradspolynom, Vid insättning får man då

3

Likställ polynomets faktorform och allmänna form
Man har nu två uttryck för som man kan likställa: en på faktorform och en på allmän form. För exemplet är uttrycken Högerleden beskriver samma polynom, och därför likställer man dessa som ett första steg för att bestämma . Multiplicerar man ihop parenteserna får man tredjegradspolynomet på allmän form i båda led.
Utveckla och förenkla
Det här ger ekvationen

4

Likställ och bestäm polynomets koefficienter
För att likheten ska gälla måste koefficienterna i vänsterledet vara samma som de i högerledet. Man jämför dem alltså term för term, vilket ger ett ekvationssystem som är möjligt att lösa. För termen av grad i exemplet gäller Detta ger att På samma sätt jämförs övriga termers koefficienter. Nu ser man att och att Eftersom detta är en samling av ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem. Genom att lösa detta bestämmer man och När det finns fler ekvationer än obekanta säger man att ekvationssystemet är överbestämt. Det påverkar inte hur man löser det men man måste kontrollera att ekvationerna inte ger en motsägelse.
Lös ekvationssystemet
Nu är koefficenterna som utgör polynomet bestämda.

5

Sätt in koefficienterna i polynomets faktorform

Nu kvarstår det att sätta in koefficienterna i det faktoriserade uttrycket. För exemplet är det Det gäller att , och . Vid insättning får man då vilket är en faktorisering av det ursprungliga uttrycket för .

Nu när polynomet faktoriserats är det lättare att lösa ekvationer på formen , alltså Om man istället använder det faktoriserade blir ekvationen, som kan lösas med nollproduktmetoden. Den ena ekvationen man får är av grad och den andra är av grad , och kan lösas fullständigt med hjälp av -formeln.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward