Logga in
| 5 sidor teori |
| 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Om p(a)=0 är (x−a) en faktor i polynomet p(x).
Faktorisera polynomet p(x)=x3+6x2−16x.
Olika polynomekvationer har olika antal rötter. T.ex. har ekvationen x+5=0 en lösning medan x2−1=0 har två. Med hjälp av följande sats är det möjligt att bestämma antalet rötter utan att faktiskt lösa ekvationen.
Antalet komplexa rötter till en polynomekvation är lika med gradtalet.
Eftersom x=a är ett nollställe till polynomet p(x) kan man enligt faktorsatsen bryta ut (x−a):
där q(x) är ett polynom av 1 grad lägre än p(x). För exemplet är x=3 ett nollställe till tredjegradspolynomet. Alltså kan man ställa upp
Multiplicera parenteser
Multiplicera faktorer
Omarrangera termer
Dela upp i faktorer
Bryt ut x2
Bryt ut x
(I): VL+3=HL+3
(II): b=6
(II): Multiplicera faktorer
(II): VL+18=HL+18
(III): VL/(−3)=HL/(−3)
Ett nollställe till p(x) är en lösning till ekvationen p(x)=0. Vi får även veta att (x+2) är en faktor till polynomet, vilket innebär att det kan skrivas som produkten p(x)=(x+2)q(x), där q(x) är ett polynom. Genom att skriva p(x) som den här produkten kan ekvationen lösas med nollproduktmetoden.
Den första ekvationen visar nu att x=- 2 är ett nollställe till p(x). Övriga nollställen hittas genom att lösa den andra ekvationen, men då skulle man först behöva bestämma polynomet q(x).
Vi kontrollerar att x=1 är ett nollställe till polynomet genom insättning.
Det stämmer att p(1)=0. Enligt faktorsatsen är (x-1) därmed en faktor i p(x).
Ekvationen är en polynomekvation med gradtalet 25, eftersom det är vänsterledets högsta exponent. Antalet komplexa rötter till en polynomekvation är alltid lika med gradtalet, om man räknar med multiplicitet. Ekvationen har alltså 25 rötter.
Bestäm polynomet q(x).
I den givna likheten är vänsterledet ett polynom av grad 3. Då måste q(x) ha grad 2, så att gradtalet för produkten i högerledet också är 3. Vi ansätter den allmänna formen q(x)= ax^2+bx+c för ett andragradspolynom, där a,b och c är konstanter som vi ska bestämma. Likheten ges då av x^3-x^2-5x+2 = (x+2)(ax^2+bx+c). Om vi utvecklar parenteserna kan polynomen jämföras term för term.
Därmed gäller att
Termer med samma grad på x i vänster och höger led måste ha samma koefficienter för att båda led ska vara samma polynom. En jämförelse av termerna ger ekvationer för a, b och c. Vi förtydligar först med färger, där koefficienter ±1 också skrivs ut:
Vi får ekvationssystemet 1=a -1=b+2a -5=c+2b 2=2c. Första ekvationen ger oss omedelbart att a=1. Vi substituerar och löser en ekvation i taget.
Vi sätter in de värden på a,b och c vi funnit i ansatsen q(x)=ax^2+bx+c. Polynomet vi söker är q(x)=x^3-3x^2+1.
Vi följer samma metod som i föregående deluppgift. Ansatsen
q(x)= ax^2+bx+c
sätts in i likheten i uppgiften.
2x^3-5x^2-9 = (x-3)(ax^2+bx+c).
Vi utvecklar högerledet.
Därmed gäller att
Vi jämför koefficienterna för x^3, x^2, x och termerna utan x i de båda leden. I vänsterledet finns ingen term med x, vilket innebär att koefficienten för x är 0. Vi får följande ekvationssystem: 2=a -5=b-3a 0=c-3b -9=-3c. Enligt första ekvationen är a=2. Vi substituerar och löser övriga ekvationer en i taget.
Med dessa värden på a,b och c får vi polynomet q(x)=2x^2+x+3.
Kurvan visar grafen till en polynomfunktion f(x). Är (x−3) en faktor i polynomet f(x)? Motivera.
Om (x-3) vore en faktor till f(x) skulle man kunna skriva polynomet som produkten f(x)=(x-3)q(x), där q(x) är ett annat polynom. I så fall skulle x=3 vara ett nollställe till polynomet, eftersom f(3)=(3-3)q(x)=0. Vilka nollställen f(x) har kan vi avläsa i grafen.
Det finns tre nollställen, nämligen x=-3, x=0 och x=5. Men x=3 är inte ett nollställe, så därför kan (x-3) inte vara en faktor i f(x).
Eftersom x=0, x=-3 och x=5 är nollställen till f(x) gäller enligt faktorsatsen att f(x) har följande tre faktorer:
x, (x+3), (x-5).
Men dessa beskriver inte ett enda polynom utan oändligt många. Faktorerna ger att polynomet kan skrivas på formen
f(x)=k* x(x+3)(x-5),
där k är något reellt tal. k-värden nära noll ger en plattare kurva, medan stora värden gör den brantare. Är k negativt vänds kurvan upp och ner, så att kurvan pekar nedåt för stora x.
Ekvationen har roten x=4. Bestäm de övriga rötterna.
Att x=4 är en rot till polynomekvationen x^3-2x^2-11x+12 = 0 innebär enligt faktorsatsen att (x-4) är en faktor i tredjegradspolynomet i vänsterled. Det går alltså skriva om vänsterledet så att ekvationen blir på formen (x-4)q(x) = 0, där q(x)=ax^2+bx+c. Om vi kan bestämma andragradspolynomet q(x) kan vi lösa ekvationen med nollproduktmetoden.
Vi bestämmer värden på a, b och c genom att multiplicera (x-4) med (ax^2+bx+c) och jämföra detta uttryck med det ursprungliga tredjegradspolynomet.
Denna omskrivning ska alltså stämma överens med polynomet i ekvationen:
Vi likställer konstanttermerna samt koefficienterna för x, x^2 och x^3 i de två leden och får då ett ekvationssystem för de obekanta a, b och c. a=1 b-4a=-2 c-4b=-11 -4c=12. Första raden anger att a=1. Vi substituerar och kan på så sätt lösa en ekvation i taget.
Eftersom ekvationssystemet har fler ekvationer än obekanta får vi två rader som anger värden på c. Det gör ingenting så länge värdena är samma. Genom att sätta in de nu funna värdena på a,b och c i q(x)=ax^2+bx+c får vi ekvationen (x-4)(x^2+2x-3) = 0.
Vi löser nu ekvationen med nollproduktmetoden.
Lösningen på den övre ekvationen är redan känd, x=4, så vi kan fokusera på andragradsekvationen. Den kan lösas med pq-formeln.
Andragradsekvationens rötter är alltså x=-3 och x=1. Dessa utgör de sökta rötterna till den ursprungliga tredjegradsekvationen.
Precis som i första deluppgiften kan vi enligt faktorsatsen skriva om polynomekvationen på faktorform eftersom vi vet att x=4 är en rot. Det ger ekvationen
(x-4)q(x) = 0, där q(x)=ax^2+bx+c.
För att bestämma värdena på a, b och c vill vi precis som i föregående deluppgift multiplicera (x-4) med (ax^2+bx+c) och sedan jämföra med det givna tredjegradspolynomet. Eftersom denna parentesmultiplikation är samma som i förra deluppgiften vet vi redan resultatet:
Detta uttryck jämför vi med polynomet i ekvationen:
Vi likstället koefficienterna för de olika typerna av termer och samlar ekvationerna vi får i ett ekvationssystem. a=1 b-4a=-4 c-4b=-4 -4c=16. Vi löser det med substitutionsmetoden.
Insättning av dessa värden i q(x)=ax^2+bx+c ger oss ekvationen (x-4)( x^2-4 ) = 0.
Vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.
Den första ekvationen har roten x=4, som vi visste från början. Så vi fokuserar på andragradsekvationen. Eftersom den saknar x-term behöver vi inte använda pq-formeln.
De sökta rötterna är alltså x=-2 och x=2.
Återigen har vi en polynomekvation med roten x=4. Vänsterledet av ekvationen kan därmed skrivas om på faktorform:
(x-4)q(x) = 0, där q(x)=ax^2+bx+c.
Värden på a, b och c bestämmer vi på samma sätt som tidigare, dvs. genom att först multiplicera faktorerna (x-4) och (ax^2+bx+c) och sedan jämföra med polynomet i den ursprungliga ekvationen. Vi vet redan att
så vi kan direkt jämföra och likställa koefficienter.
Det ger ekvationssystemet a=1 b-4a=-14 c-4b=65 -4c=-100. Vi löser det med substitutionsmetoden.
Insättning av dessa värden på a, b och c i q(x) ger ekvationen (x-4)(x^2-10x+25 ) = 0.
Ännu en gång löser vi ekvationen med nollproduktmetoden.
Den första ekvationen vet vi redan har roten x=4. Andragradsekvationen går bra att lösa med pq-formlen, men om vi tänker till kan vi slippa den räkningen och skriva om ekvationen enligt en av kvadreringsreglerna.
Denna ekvation löses endast av x=5, som är en dubbelrot. Förutom x=4 är alltså endast x=5 rot till den ursprungliga tredjegradsekvationen.