Faktorsatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Polynomekvationer av högre grad än 2,2, t.ex. tredjegradsekvationer, är ofta svåra att lösa. Om man kan faktorisera dem eller känner till någon rot kan man dock använda polynomens egenskaper för att bestämma fler rötter.
Regel

Faktorsatsen

Om ett polynom är skrivet på faktorform kan dess nollställen bestämmas med nollproduktmetoden. Exempelvis har funktionen p(x)=(x5)(x2) p(x)=(x-5)(x-2) nollställena x=5x=5 och x=2x=2 eftersom de löser ekvationen (x5)(x2)=0.(x-5)(x-2)=0. Det här gäller även åt andra hållet — om man känner till ett nollställe, t.ex. x=5,x = 5, vet man att (x5)(x - 5) är en faktor i polynomet. Nollstllen:a¨x=2ochx=5Faktorer:(x2)och(x5)\begin{aligned} \text{Nollställen:}& & x&={\color{#0000FF}{2}} & &\text{och} & x&={\color{#FF0000}{5}} \\ \text{Faktorer:}& & (x&-{\color{#0000FF}{2}}) & &\text{och} & (x&-{\color{#FF0000}{5}}) \end{aligned} Sambandet gäller för alla polynom och kallas faktorsatsen. Den kan formuleras på följande sätt.

Om p(a)=0p(a)=0 är (xa)(x-a) en faktor i polynomet p(x).p(x).

En följd av detta är att om x=ax=a är ett nollställe till p(x)p(x) kan polynomet skrivas som produkten p(x)=(xa)q(x), p(x)=(x-a)q(x),

där q(x)q(x) är ett annat polynom med ett gradtal som är 11 mindre än för p(x)p(x).
Uppgift

Faktorisera polynomet p(x)=x3+6x216x.p(x)=x^3+6x^2-16x.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Antal komplexa rötter till polynomekvationer

Olika polynomekvationer har olika antal rötter. T.ex. har ekvationen x+5=0x + 5 = 0 en lösning medan x21=0x^2 - 1 = 0 har två. Med hjälp av följande sats är det möjligt att bestämma antalet rötter utan att faktiskt lösa ekvationen.

Antalet komplexa rötter till en polynomekvation är lika med gradtalet.

Sambandet kan motiveras med hjälp av algebrans fundamentalsats som säger att ett polynom p(x)p(x) av åtminstone grad 11 har minst ett komplext nollställe. Om man känner till ett sådant nollställe x=a1x=a_1 kan faktorsatsen användas för att skriva p(x)p(x) som produkten p(x)=(xa1)q1(x), p(x) = (x-a_1)q_1(x), för något polynom q1(x).q_1(x). Nu har man brutit ut en faktor av grad 1,1, alltså måste gradtalet av q1(x)q_1(x) vara 11 mindre än för p(x).p(x). Så länge gradtalet av qq-polynomet är minst 11 kan man bryta ut ytterligare faktorer: p(x)=(xa1)(xa2)q2(x). p(x) = (x-a_1)(x-a_2)q_2(x). Uppdelningen fortsätter tills qq-polynomet är av grad 0,0, alltså en konstant man kan kalla qn.q_n. För ett polynom p(x)p(x) av gradtal nn får man till slut en produkt med n+1n + 1 faktorer: p(x)=(xa1)(xa2)(xan)qn. p(x) = (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n)q_n. Eftersom det finns nn faktorer med termen xx som alla motsvarar en komplex rot måste p(x)p(x) ha nn komplexa rötter.

Extra

Multiplicitet
Metod

Faktorisera polynom genom att identifiera koefficienter

Ibland har man en polynomekvation som man inte kan lösa som den är — den kan t.ex. ha för stort gradtal. Om det går att faktorisera polynomet kan man använda nollproduktmetoden för att minska gradtalet av ekvationen, vilket kan göra den enklare att lösa. Med hjälp av faktorsatsen kan man faktorisera ett polynom p(x)p(x) om man redan känner till en av polynomens nollställen, x=a.x = a. T.ex. kan man faktorisera p(x)=x3+3x25x39, p(x) = x^3 + 3x^2 - 5x - 39, som har nollstället x=3.x = 3.

Eftersom x=ax = a är ett nollställe till polynomet p(x)p(x) kan man enligt faktorsatsen bryta ut (xa):(x - a)\text{:}

p(x)=(xa)q(x), p(x) = (x - a)q(x),

där q(x)q(x) är ett polynom av 11 grad lägre än p(x)p(x). För exemplet är x=3x = 3 ett nollställe till tredjegradspolynomet. Alltså kan man ställa upp

p(x)=(x3)q(x), p(x) = (x - 3)q(x), där q(x)q(x) är ett polynom av grad 2.2.

Nu ersätter man q(x)q(x) i uttrycket för p(x)p(x) med en allmän form av polynomet. Eftersom q(x)q(x) har graden 22 i exemplet kan man ersätta det med det generella uttrycket för ett andragradspolynom, ax2+bx+c.ax^2+bx+c. Vid insättning får man då p(x)=(x3)(ax2+bx+c). p(x) = (x-3)\left(ax^2+bx+c\right).

Man har nu två uttryck för p(x)p(x) som man kan likställa: en på faktorform och en på allmän form. För exemplet är uttrycken p(x)=(x3)(ax2+bx+c)p(x)=x3+3x25x39.\begin{aligned} p(x) &= (x-3)\left(ax^2+bx+c\right)\\ p(x) &= x^3+3x^2-5x-39. \end{aligned} Högerleden beskriver samma polynom, och därför likställer man dessa som ett första steg för att bestämma q(x)q(x). (x3)(ax2+bx+c)=x3+3x25x39 (x-3)\left(ax^2+bx+c\right)=x^3+3x^2-5x-39 Multiplicerar man ihop parenteserna får man tredjegradspolynomet på allmän form i båda led.

(x3)(ax2+bx+c)(x-3)\left(ax^2+bx+c\right)
ax3+(b3a)x2+(c3b)x3cax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3c

Det här ger ekvationen iax3+(b3a)x2+(c3b)x3c=x3+3x25x39.\begin{aligned} &\phantom{i}ax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3c\\ &= x^3 + 3x^2 - 5x - 39. \end{aligned}

För att likheten ska gälla måste koefficienterna i vänsterledet vara samma som de i högerledet. Man jämför dem alltså term för term, vilket ger ett ekvationssystem som är möjligt att lösa. För termen av grad 33 i exemplet gäller ax3=x3. ax^3=x^3. Detta ger att a=1.a=1. På samma sätt jämförs övriga termers koefficienter. x3+(b3)x2+(c3b)x3cx3+3x25x39\begin{aligned} &x^3{\color{#0000FF}{\,+\,(b-3)}}x^2{\color{#009600}{\,+\,(c-3b)}}x{\color{#FF0000}{\,-\,3c}}\\ &x^3{\color{#0000FF}{\,+\,3}}x^2{\color{#009600}{\,-\,5}}x{\color{#FF0000}{\,-\,39}} \end{aligned} Nu ser man att b3=3,b-3=3, c3b=-5c-3b=\text{-}5 och att -3c=-39.\text{-} 3c = \text{-} 39. Eftersom detta är en samling av ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem. {b3=3c3b=-5-3c=-39 \begin{cases}b-3=3 \\ c-3b=\text{-}5 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases} Genom att lösa detta bestämmer man bb och c.c. När det finns fler ekvationer än obekanta säger man att ekvationssystemet är överbestämt. Det påverkar inte hur man löser det men man måste kontrollera att ekvationerna inte ger en motsägelse.

{b3=3(I)c3b=-5(II)-3c=-39(III)\begin{cases}b-3=3 & \, \, \text {(I)}\\ c-3b=\text{-}5 & \, \text {(II)}\\ \text{-}3c=\text{-}39 & \text {(III)}\end{cases}
{b=6c=13c=13\begin{cases}b=6 \\ c=13 \\ c=13 \end{cases}

Nu är koefficenterna som utgör polynomet q(x)q(x) bestämda.

Nu kvarstår det att sätta in koefficienterna i det faktoriserade uttrycket. För exemplet är det p(x)=(x3)(ax2+bx+c). p(x) = (x - 3)\left(ax^2+bx+c\right). Det gäller att a=1a=1, b=6b=6 och c=13c=13. Vid insättning får man då p(x)=(x3)(x2+6x+13) p(x) = (x-3)\left(x^2+6x+13\right) vilket är en faktorisering av det ursprungliga uttrycket för p(x)p(x).

Nu när polynomet p(x)p(x) faktoriserats är det lättare att lösa ekvationer på formen p(x)=0p(x) = 0, alltså x3+3x25x39=0 x^3 + 3x^2 - 5x - 39 = 0 Om man istället använder det faktoriserade blir ekvationen, (x3)(x2+6x+13)=0 (x-3)\left(x^2+6x+13\right) = 0

som kan lösas med nollproduktmetoden. Den ena ekvationen man får är av grad 11 och den andra är av grad 22, och kan lösas fullständigt med hjälp av pqpq-formeln.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Polynomet p(x)p(x) ges av p(x)=x3+4x2+x6. p(x)=x^3+4x^2+x-6.

a

(x+2)(x+2) är en faktor i p(x).p(x). Ange ett nollställe till p(x).p(x).

b

Kontrollera att p(1)=0p(1)=0 och ange motsvarande faktor till polynomet.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många rötter har z25(4i+3)z+10=0?z^{25}-(4i+3)z+10=0?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm polynomet q(x)q(x) så att

a

x3x25x+2=(x+2)q(x)x^3-x^2-5x+2 = (x+2)q(x)

b

2x35x29=(x3)q(x).2x^3-5x^2-9 = (x-3)q(x).

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kurvan visar grafen till en polynomfunktion f(x).f(x). Är (x3)(x-3) en faktor i polynomet f(x)f(x)? Motivera.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande ekvationer har roten x=4.x=4. Bestäm de övriga rötterna.

a

x32x211x+12=0x^3-2x^2-11x+12 = 0

b

x34x24x+16=0x^3-4x^2-4x+16 = 0

c

x314x2+65x100=0x^3-14x^2+65x-100 = 0

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att (x+4)(x+4) är en faktor i polynomet p(x)=x5+2x48x3+2x2+7x4. p(x)=x^5 + 2 x^4 - 8 x^3 + 2 x^2 + 7 x - 4.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket tredjegradspolynom p(x)p(x) beskriver kurvan?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm det värde på konstanten kk för vilket ekvationen x3+kx2+8x+14=0 x^3+kx^2+8x+14 = 0 har roten x=-1.x=\text{-}1. Lös därefter ekvationen fullständigt.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar grafen till polynomet p(x)=x3+3x2+4x+12.p(x)=x^3+3x^2+4x+12.

a

Använd grafen för att bestämma ett reellt värde aa sådant att (xa)(x-a) är en faktor i polynomet.

b

Skriv polynomet som en produkt av två polynom med reella koefficienter.

c

Ange ett annat tredjegradspolynom r(x)r(x) med samma nollställen.

d

Ange ett fjärdegradspolynom s(x)s(x) sådant att ekvationerna s(x)s(x) och det ursprungliga polynomet p(x)p(x) har samma nollställen.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Polynomet p(x)=x42x3+6x28x+8 p(x) = x^4-2x^3+6x^2-8x+8 har faktorn x2+4.x^2+4. Bestäm polynomets nollställen.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Komplexa nollställen till polynom med reella koefficienter kommer alltid i konjugerade par. Visa att detta gäller för

a

andragradspolynom

b

tredjegradspolynom.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}