Ibland har man en som man inte kan lösa som den är — den kan t.ex. ha för stort . Om det går att faktorisera polynomet kan man använda för att minska gradtalet av ekvationen, vilket kan göra den enklare att lösa. Med hjälp av faktorsatsen kan man faktorisera ett polynom
p(x) om man redan känner till en av polynomens nollställen,
x=a. T.ex. kan man faktorisera
p(x)=x3+3x2−5x−39,
som har nollstället
x=3.
Ställ upp en faktorisering med hjälp av faktorsatsen
expand_more
Eftersom x=a är ett nollställe till polynomet p(x) kan man enligt faktorsatsen bryta ut (x−a):
p(x)=(x−a)q(x),
där q(x) är ett polynom av 1 grad lägre än p(x). För exemplet är x=3 ett nollställe till tredjegradspolynomet. Alltså kan man ställa upp
p(x)=(x−3)q(x),
där
q(x) är ett polynom av grad
2.
Ställ upp ett allmänt uttryck för q(x)
expand_more Nu ersätter man
q(x) i uttrycket för
p(x) med en av polynomet. Eftersom
q(x) har graden
2 i exemplet kan man ersätta det med det generella uttrycket för ett andragradspolynom,
ax2+bx+c. Vid insättning får man då
Likställ polynomets faktorform och allmänna form
expand_more Man har nu två uttryck för
p(x) som man kan likställa: en på och en på allmän form. För exemplet är uttrycken
Högerleden beskriver samma polynom, och därför likställer man dessa som ett första steg för att bestämma
q(x).
Multiplicerar man ihop parenteserna får man tredjegradspolynomet på allmän form i båda led.
(x−3)(ax2+bx+c)
x⋅ax2+x⋅bx+x⋅c−3⋅ax2−3⋅bx−3⋅c
ax3+bx2+cx−3ax2−3bx−3c
ax3+bx2−3ax2+cx−3bx−3c
ax3+b⋅x2−3a⋅x2+c⋅x−3b⋅x−3c
ax3+(b−3a)x2+c⋅x−3b⋅x−3c
ax3+(b−3a)x2+(c−3b)x−3c
Det här ger ekvationen
Likställ och bestäm polynomets koefficienter
expand_more För att likheten ska gälla måste i vänsterledet vara samma som de i högerledet. Man jämför dem alltså term för term, vilket ger ett ekvationssystem som är möjligt att lösa. För termen av grad
3 i exemplet gäller
ax3=x3.
Detta ger att
a=1. På samma sätt jämförs övriga termers koefficienter.
Nu ser man att
b−3=3, c−3b=-5 och att
-3c=-39. Eftersom detta är en samling av ekvationer kan man ställa upp ett .
Genom att lösa detta bestämmer man
b och
c. När det finns fler ekvationer än obekanta säger man att ekvationssystemet är
överbestämt. Det påverkar inte hur man löser det men man måste kontrollera att ekvationerna inte ger en motsägelse.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b−3=3c−3b=-5-3c=-39(I)(II)(III)
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b=6c−3b=-5-3c=-39
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b=6c−3⋅6=-5-3c=-39
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b=6c−18=-5-3c=-39
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b=6c=13-3c=-39
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b=6c=13c=13
Nu är koefficenterna som utgör polynomet
q(x) bestämda.
Sätt in koefficienterna i polynomets faktorform
expand_more Nu kvarstår det att sätta in koefficienterna i det faktoriserade uttrycket. För exemplet är det
Det gäller att
a=1,
b=6 och
c=13. Vid insättning får man då
vilket är en faktorisering av det ursprungliga uttrycket för
p(x).
Nu när polynomet
p(x) faktoriserats är det lättare att lösa ekvationer på formen
p(x)=0, alltså
x3+3x2−5x−39=0
Om man istället använder det faktoriserade blir ekvationen,
som kan lösas med . Den ena ekvationen man får är av grad
1 och den andra är av grad
2, och kan lösas fullständigt med hjälp av
pq-formeln.