Faktorsatsen

Polynomekvationer av högre grad än

2,

t.ex. tredjegradsekvationer, är ofta svåra att lösa. Om man kan faktorisera dem eller känner till någon rot kan man dock använda polynomens egenskaper för att bestämma fler rötter.

Regel

Faktorsatsen

Om ett polynom är skrivet på faktorform kan dess nollställen bestämmas med nollproduktmetoden. Exempelvis har funktionen $p(x)=(x-5)(x-2)$ nollställena $x=5$ och $x=2$ eftersom de löser ekvationen $(x-5)(x-2)=0.$ Det här gäller även åt andra hållet — om man känner till ett nollställe, t.ex. $x = 5,$ vet man att $(x - 5)$ är en faktor i polynomet. $\begin{aligned} \text{Nollställen:}& & x&={\color{#0000FF}{2}} & &\text{och} & x&={\color{#FF0000}{5}} \\ \text{Faktorer:}& & (x&-{\color{#0000FF}{2}}) & &\text{och} & (x&-{\color{#FF0000}{5}}) \end{aligned}$ Sambandet gäller för alla polynom och kallas faktorsatsen. Den kan formuleras på följande sätt.

Om $p(a)=0$ är $(x-a)$ en faktor i polynomet $p(x).$

En följd av detta är att om $x=a$ är ett nollställe till $p(x)$ kan polynomet skrivas som produkten $p(x)=(x-a)q(x),$

där

q(x)

är ett annat polynom med ett gradtal som är

1

mindre än för

p(x)

.

Faktorisera polynomet med faktorsatsen

Uppgift

Faktorisera polynomet $p(x)=x^3+6x^2-16x.$

Lösning

Vi noterar först att $x$ finns i alla termer, så vi bryter ut det. $p(x)=x^3+6x^2+16x=x\left(x^2+6x-16\right)$ Nu har vi faktoriserat lite, men kan vi göra mer? Ja, i parentesen finns ett andragradspolynom. Genom att bestämma nollställena till det kan vi använda faktorsatsen för att bestämma ytterligare faktorer. Vi ska alltså lösa ekvationen $x^2+6x+16=0.$ Det kan vi göra med $pq$ -formeln.

x^2+6x+16=0

Lös med

pq

-formeln

Använd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{6}}, \, q={\color{#009600}{\text{-}16}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{6}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{6}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}16}}\right)}

Beräkna kvot

x=\text{-}3\pm\sqrt{3^2-(\text{-}16)}

Beräkna potens

x=\text{-}3\pm\sqrt{9-(\text{-}16)}

a-(\text{-} b)=a+b

x=\text{-}3\pm\sqrt{25}

Beräkna rot

x=\text{-}3\pm5

Ange lösningar

\begin{array}{l}x_1=\text{-}8 \\ x_2=2 \end{array}

Nollställena till $x^2+6x+16$ är alltså $x=2$ och $x=\text{-} 8.$ Enligt faktorsatsen är då $(x - 2)$ och $(x-(\text{-}8)),$ dvs. $(x+8),$ faktorer i polynomet. Tillsammans med faktorn $x$ som vi bestämt sedan tidigare kan $p(x)$ alltså skrivas som produkten $p(x)=x(x+8)(x-2).$ Svaret kan kontrolleras genom att utveckla parenteserna och se att det verkligen ger det ursprungliga polynomet.

Visa lösning

Regel

Antal komplexa rötter till polynomekvationer

Olika polynomekvationer har olika antal rötter. T.ex. har ekvationen $x + 5 = 0$ en lösning medan $x^2 - 1 = 0$ har två. Med hjälp av följande sats är det möjligt att bestämma antalet rötter utan att faktiskt lösa ekvationen.

Antalet komplexa rötter till en polynomekvation är lika med gradtalet.

Sambandet kan motiveras med hjälp av algebrans fundamentalsats som säger att ett polynom $p(x)$ av åtminstone grad $1$ har minst ett komplext nollställe. Om man känner till ett sådant nollställe $x=a_1$ kan faktorsatsen användas för att skriva $p(x)$ som produkten $p(x) = (x-a_1)q_1(x),$ för något polynom $q_1(x).$ Nu har man brutit ut en faktor av grad $1,$ alltså måste gradtalet av $q_1(x)$ vara $1$ mindre än för $p(x).$ Så länge gradtalet av $q$ -polynomet är minst $1$ kan man bryta ut ytterligare faktorer: $p(x) = (x-a_1)(x-a_2)q_2(x).$ Uppdelningen fortsätter tills $q$ -polynomet är av grad $0,$ alltså en konstant man kan kalla $q_n.$ För ett polynom $p(x)$ av gradtal $n$ får man till slut en produkt med $n + 1$ faktorer: $p(x) = (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n)q_n.$ Eftersom det finns $n$ faktorer med termen $x$ som alla motsvarar en komplex rot måste $p(x)$ ha $n$ komplexa rötter.

Extra
Multiplicitet

En alert läsare kanske undrar hur man förklarar ekvationer som t.ex. $x^2 = 0.$ Gradtalet är $2,$ men här finns väl ingen annan rot än $0?$ Nej, det stämmer — men polynomet $x^2$ kan faktoriseras till $(x-0)(x-0).$ Faktorsatsen gör en koppling mellan polynomets faktorer och nollställen, så eftersom faktorn $(x-0)$ förekommer två gånger kan man säga att nollstället $0$ förekommer två gånger. $x=0$ kallas då en dubbelrot, eller en rot med multiplicitet $2.$

Metod

Faktorisera polynom genom att identifiera koefficienter

Ibland har man en polynomekvation som man inte kan lösa som den är — den kan t.ex. ha för stort gradtal. Om det går att faktorisera polynomet kan man använda nollproduktmetoden för att minska gradtalet av ekvationen, vilket kan göra den enklare att lösa. Med hjälp av faktorsatsen kan man faktorisera ett polynom $p(x)$ om man redan känner till en av polynomens nollställen, $x = a.$ T.ex. kan man faktorisera $p(x) = x^3 + 3x^2 - 5x - 39,$ som har nollstället $x = 3.$

1

Ställ upp en faktorisering med hjälp av faktorsatsen

Eftersom $x = a$ är ett nollställe till polynomet $p(x)$ kan man enligt faktorsatsen bryta ut $(x - a)\text{:}$

$p(x) = (x - a)q(x),$

där $q(x)$ är ett polynom av $1$ grad lägre än $p(x)$ . För exemplet är $x = 3$ ett nollställe till tredjegradspolynomet. Alltså kan man ställa upp

$p(x) = (x - 3)q(x),$ där $q(x)$ är ett polynom av grad $2.$

2

Ställ upp ett allmänt uttryck för

q(x)

Nu ersätter man $q(x)$ i uttrycket för $p(x)$ med en allmän form av polynomet. Eftersom $q(x)$ har graden $2$ i exemplet kan man ersätta det med det generella uttrycket för ett andragradspolynom, $ax^2+bx+c.$ Vid insättning får man då $p(x) = (x-3)\left(ax^2+bx+c\right).$

3

Likställ polynomets faktorform och allmänna form

Man har nu två uttryck för $p(x)$ som man kan likställa: en på faktorform och en på allmän form. För exemplet är uttrycken $\begin{aligned} p(x) &= (x-3)\left(ax^2+bx+c\right)\\ p(x) &= x^3+3x^2-5x-39. \end{aligned}$ Högerleden beskriver samma polynom, och därför likställer man dessa som ett första steg för att bestämma $q(x)$ . $(x-3)\left(ax^2+bx+c\right)=x^3+3x^2-5x-39$ Multiplicerar man ihop parenteserna får man tredjegradspolynomet på allmän form i båda led.

(x-3)\left(ax^2+bx+c\right)

Utveckla och förenkla

Multiplicera parenteser

x\cdot ax^2+x\cdot bx+x\cdot c-3\cdot ax^2 -3\cdot bx-3\cdot c

Multiplicera faktorer

ax^3+bx^2+cx-3ax^2-3bx-3c

Omarrangera termer

ax^3+bx^2-3ax^2+cx-3bx-3c

Dela upp i faktorer

ax^3+b\cdot x^2-3a\cdot x^2+c\cdot x-3b\cdot x-3c

Bryt ut

x^2

ax^3+(b-3a)x^2+c\cdot x-3b\cdot x-3c

Bryt ut

x

ax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3c

Det här ger ekvationen $\begin{aligned} &\phantom{i}ax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3c\\ &= x^3 + 3x^2 - 5x - 39. \end{aligned}$

4

Likställ och bestäm polynomets koefficienter

För att likheten ska gälla måste koefficienterna i vänsterledet vara samma som de i högerledet. Man jämför dem alltså term för term, vilket ger ett ekvationssystem som är möjligt att lösa. För termen av grad $3$ i exemplet gäller $ax^3=x^3.$ Detta ger att $a=1.$ På samma sätt jämförs övriga termers koefficienter. $\begin{aligned} &x^3{\color{#0000FF}{\,+\,(b-3)}}x^2{\color{#009600}{\,+\,(c-3b)}}x{\color{#FF0000}{\,-\,3c}}\\ &x^3{\color{#0000FF}{\,+\,3}}x^2{\color{#009600}{\,-\,5}}x{\color{#FF0000}{\,-\,39}} \end{aligned}$ Nu ser man att $b-3=3,$ $c-3b=\text{-}5$ och att $\text{-} 3c = \text{-} 39.$ Eftersom detta är en samling av ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem. $\begin{cases}b-3=3 \\ c-3b=\text{-}5 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases}$ Genom att lösa detta bestämmer man $b$ och $c.$ När det finns fler ekvationer än obekanta säger man att ekvationssystemet är överbestämt. Det påverkar inte hur man löser det men man måste kontrollera att ekvationerna inte ger en motsägelse.

\begin{cases}b-3=3 & \, \, \text {(I)}\\ c-3b=\text{-}5 & \, \text {(II)}\\ \text{-}3c=\text{-}39 & \text {(III)}\end{cases}

Lös ekvationssystemet

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

\text{VL}+3=\text{HL}+3

\begin{cases}b=6 \\ c-3b=\text{-}5 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

b={\color{#0000FF}{6}}

\begin{cases}b=6 \\ c-3\cdot {\color{#0000FF}{6}}=\text{-}5 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

Multiplicera faktorer

\begin{cases}b=6 \\ c-18=\text{-}5 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\text{VL}+18=\text{HL}+18

\begin{cases}b=6 \\ c=13 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(III): }}}

\left.\text{VL}\middle/(\text{-}3)\right.=\left.\text{HL}\middle/(\text{-}3)\right.

\begin{cases}b=6 \\ c=13 \\ c=13 \end{cases}

Nu är koefficenterna som utgör polynomet $q(x)$ bestämda.

5

Sätt in koefficienterna i polynomets faktorform

Nu kvarstår det att sätta in koefficienterna i det faktoriserade uttrycket. För exemplet är det $p(x) = (x - 3)\left(ax^2+bx+c\right).$ Det gäller att $a=1$ , $b=6$ och $c=13$ . Vid insättning får man då $p(x) = (x-3)\left(x^2+6x+13\right)$ vilket är en faktorisering av det ursprungliga uttrycket för $p(x)$ .

Nu när polynomet $p(x)$ faktoriserats är det lättare att lösa ekvationer på formen $p(x) = 0$ , alltså $x^3 + 3x^2 - 5x - 39 = 0$ Om man istället använder det faktoriserade blir ekvationen, $(x-3)\left(x^2+6x+13\right) = 0$

som kan lösas med nollproduktmetoden. Den ena ekvationen man får är av grad

1

och den andra är av grad

2

, och kan lösas fullständigt med hjälp av

pq

-formeln.

Faktorsatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Faktorsatsen

Exempel

Faktorisera polynomet med faktorsatsen

Antal komplexa rötter till polynomekvationer

Extra

Faktorisera polynom genom att identifiera koefficienter

1

2

3

4

5

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}