Om ett polynom är skrivet på faktorform kan dess nollställen bestämmas med nollproduktmetoden. Exempelvis har funktionen p(x)=(x−5)(x−2) nollställena x=5 och x=2 eftersom de löser ekvationen (x−5)(x−2)=0. Det här gäller även åt andra hållet — om man känner till ett nollställe, t.ex. x=5, vet man att (x−5) är en faktor i polynomet. Nollsta¨llen:Faktorer:x(x=2−2)ochochx(x=5−5) Sambandet gäller för alla polynom och kallas faktorsatsen. Den kan formuleras på följande sätt.
Om p(a)=0 är (x−a) en faktor i polynomet p(x).
En följd av detta är att om x=a är ett nollställe till p(x) kan polynomet skrivas som produkten p(x)=(x−a)q(x),
där q(x) är ett annat polynom med ett gradtal som är 1 mindre än för p(x).Faktorisera polynomet p(x)=x3+6x2−16x.
Olika polynomekvationer har olika antal rötter. T.ex. har ekvationen x+5=0 en lösning medan x2−1=0 har två. Med hjälp av följande sats är det möjligt att bestämma antalet rötter utan att faktiskt lösa ekvationen.
Antalet komplexa rötter till en polynomekvation är lika med gradtalet.
Sambandet kan motiveras med hjälp av algebrans fundamentalsats som säger att ett polynom p(x) av åtminstone grad 1 har minst ett komplext nollställe. Om man känner till ett sådant nollställe x=a1 kan faktorsatsen användas för att skriva p(x) som produkten p(x)=(x−a1)q1(x), för något polynom q1(x). Nu har man brutit ut en faktor av grad 1, alltså måste gradtalet av q1(x) vara 1 mindre än för p(x). Så länge gradtalet av q-polynomet är minst 1 kan man bryta ut ytterligare faktorer: p(x)=(x−a1)(x−a2)q2(x). Uppdelningen fortsätter tills q-polynomet är av grad 0, alltså en konstant man kan kalla qn. För ett polynom p(x) av gradtal n får man till slut en produkt med n+1 faktorer: p(x)=(x−a1)(x−a2)…(x−an)qn. Eftersom det finns n faktorer med termen x som alla motsvarar en komplex rot måste p(x) ha n komplexa rötter.
En alert läsare kanske undrar hur man förklarar ekvationer som t.ex. x2=0. Gradtalet är 2, men här finns väl ingen annan rot än 0? Nej, det stämmer — men polynomet x2 kan faktoriseras till (x−0)(x−0). Faktorsatsen gör en koppling mellan polynomets faktorer och nollställen, så eftersom faktorn (x−0) förekommer två gånger kan man säga att nollstället 0 förekommer två gånger. x=0 kallas då en dubbelrot, eller en rot med multiplicitet 2.
Eftersom x=a är ett nollställe till polynomet p(x) kan man enligt faktorsatsen bryta ut (x−a):
p(x)=(x−a)q(x),
där q(x) är ett polynom av 1 grad lägre än p(x). För exemplet är x=3 ett nollställe till tredjegradspolynomet. Alltså kan man ställa upp
p(x)=(x−3)q(x), där q(x) är ett polynom av grad 2.
Nu ersätter man q(x) i uttrycket för p(x) med en allmän form av polynomet. Eftersom q(x) har graden 2 i exemplet kan man ersätta det med det generella uttrycket för ett andragradspolynom, ax2+bx+c. Vid insättning får man då p(x)=(x−3)(ax2+bx+c).
Nu kvarstår det att sätta in koefficienterna i det faktoriserade uttrycket. För exemplet är det p(x)=(x−3)(ax2+bx+c). Det gäller att a=1, b=6 och c=13. Vid insättning får man då p(x)=(x−3)(x2+6x+13) vilket är en faktorisering av det ursprungliga uttrycket för p(x).