DashboardNyheterInställningarHjälp
Premium
Dashboard
Visa detaljer
1
Kapitel 1

Trigonometri

Kapitel 6: Trigonometri

Trigonometri handlar om de samband som finns mellan vinklar och sidor i en triangel och används inom bl.a. lantmäteri och astronomi.

Kapitlet inleds med cirkelns ekvation, som beskriver hur en cirkel i ett koordinatsystem kan uttryckas. Därefter definieras de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens i rätvinkliga trianglar och det presenteras även några exakta värden för så kallade standardvinklar. I nästa delkapitel tittar man på enhetscirkeln, bl.a. hur man kan definiera en punkt på enhetscirkelns rand i termer av cosinus och sinus. De fyra sista delkapitlen behandlar de tre triangelsatserna, areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen, och hur dessa kan användas för att beräkna en godtycklig triangels area, sidor eller vinklar. Kapitlet avlutas med en förklaring av hur triangelsatserna kan användas inom triangulering.

Centralt innehåll

Följande delar av det centrala innehållet i kurs 3c behandlas, helt eller delvis, i kapitlet.
A4. Egenskaper hos cirkelns ekvation och enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp.
A5. Bevis och användning av cosinus-, sinus- och areasatsen för en godtycklig triangel.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
P3. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
P4. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.

Delkapitel

6.1 - Cirkelns ekvation
6.2 - Trigonometriska funktioner
6.3 - Enhetscirkeln
6.4 - Areasatsen
6.5 - Sinussatsen
6.6 - Cosinussatsen
6.7 - Triangelsatserna som modeller

2
Kapitel 2

Derivata

Kapitel 2: Derivata

Derivata är ett koncept som har många tillämpningar inom både matematik och andra områden, t.ex. fysik och ekonomi, och är centralt inom kurserna 3b och 3c. Begreppet handlar om momentan förändring, dvs. hur snabbt något förändras vid en specifik tidpunkt. Derivata kan både tolkas som lutningen i en specifik punkt på en graf eller som den funktion som beskriver förändringshastigheten för alla punkter hos en annan funktion.

Kapitlet inleds med de förberedande begreppen lutning, sekant och ändringskvot. Därefter förklaras begreppet tangent samt skillnaden mellan genomsnittlig och momentan förändring. I det tredje delkapitel presenteras derivata som lutningen i en punkt och man introducerar den koppling som finns mellan derivatans tecken, dess nollställen och funktionens utseende. Här lär man sig också en metod för att bestämma derivatan grafiskt med hjälp av tangenter. Till sist presenteras det gränsvärde som utgör derivatans definition, med vilken man bl.a. kan beräkna derivatans värde i en punkt algebraiskt.

Centralt innehåll

Kapitlet behandlar följande delar av det centrala innehållet i kurs 3b och 3c.
F9. Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion.
F12. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.

Delkapitel

2.1 - Medellutning
2.2 - Lutning i en punkt
2.3 - Vad är derivata
2.4 - Derivatans definition

3
Kapitel 3

Integraler

Kapitel 5: Integraler

Integraler är en central del inom kurserna 3b och 3c. De är användbara för att beskriva och beräkna något som förändras, och kan ses som en summa av oändligt många och oändligt små termer. En integral kan tolkas som arean under en graf i ett koordinatsystem och är användbart när man vet hur snabbt något förändras, men inte nödvändigtvis hur mycket. Exempelvis kan man beräkna sträckan en bil har färdats under en viss tid om man känner till hur hastigheten beror av tiden.

Kapitlet inleds med primitiva funktioner som kan tolkas som motsatsen till derivata. Därefter förklaras hur man bestämmer primitiva funktioner, både med och utan villkor. I det fjärde delkapitlet presenteras hur man grafiskt kan tolka integraler som en area, och sedan hur man använder primitiva funktioner för att beräkna dem med integralkalkylens huvudsats. Slutligen visas hur man använder integraler för att lösa problem i verkliga livet.

Centralt innehåll

Kapitlet behandlar följande delar av det centrala innehållet i kurs 3b och 3c.
F15. Begreppen primitiv funktion och bestämd integral samt sambandet mellan integral och derivata.
F16. Bestämning av enkla integraler i tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
P3. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.

Delkapitel

5.1 - Primitiva funktioner
5.2 - Bestämma primitiva funktioner
5.3 - Primitiva funktioner med villkor
5.4 - Area och integraler
5.5 - Räkna med integraler
5.6 - Tolka integraler

4
Kapitel 4

Komplexa tal

Kapitel 2: Komplexa tal

För ekvationer på formen räcker inte de reella talen till, men genom att införa den imaginära enheten blev det möjligt att lösa dessa typer ekvationer. Alla tal som kan beskrivas med hjälp av och/eller ett reellt tal kallas komplexa. Dessa tal introducerades kortfattat i kurs men här ges en mer grundläggande genomgång samt användningsområden för dessa nya tal.

Kapitlet inleds med en kort repetition av de komplexa talen samt relevanta räkneregler. Vidare visas hur man kan representera de komplexa talen i ett koordinatsystem kallat det komplexa talplanet. Med hjälp av detta utvecklas sedan hur man kan beskriva alla komplexa tal med hjälp av så kallade polära koordinater. Kapitlet avslutas med hur man kan använda denna nya framställning för att utföra beräkningar samt lösa potensekvationer av högre grad fullständigt.

Centralt innehåll

Dessa punkter i det centrala innehållet för kurs behandlas helt eller delvis i kapitlet.
A6. Metoder för beräkningar med komplexa tal skrivna på olika former inklusive rektangulär och polär form, såväl med som utan digitala verktyg.
A7. Komplexa talplanet, representation av komplext tal som punkt och vektor.
A8. Konjugat och absolutbelopp av ett komplext tal.
A9. Användning och bevis av de Moivres formel.
A10. Algebraiska och grafiska metoder för att lösa enkla polynomekvationer med komplexa rötter och reella polynomekvationer av högre grad, även med hjälp av faktorsatsen. Användning av numeriska och symbolhanterande verktyg för att lösa polynomekvationer.
P1. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg och programmering.

Delkapitel

2.1 - Introduktion till komplexa tal
2.2 - Räkna med komplexa tal
2.3 - Komplexa talplanet
2.4 - Trigonometrisk polär form
2.5 - Exponentiell polär form
2.6 - de Moivres formel