Integraler och digitala verktyg

Många processer i verkligheten kan modelleras med funktioner som beskriver förändringshastigheter. Om man känner till en sådan funktion kan man använda integraler för att bestämma förändringen. Exempelvis kan integralen $s = \displaystyle{\int_{t_1}^{t_2}} v(t) \, \text{d}t$

beskriva körsträckan

s

för en bil, vars hastighet

v

varierar med tiden

t.

I det här fallet integreras hastighet över tid, vilket ger en sträcka. Mer generellt kan man bestämma integralens enhet genom att multiplicera enheterna för integranden och den variabel man integrerar med avseende på.

Digitala verktyg

Beräkna integraler numeriskt med räknare

Grafräknare har flera inbyggda funktioner för att beräkna integraler numeriskt. Man kan t.ex. använda kommandot fnInt, som man hittar genom att trycka på MATH och gå näst längst ner i menyn.

Efter första parentesen skriver man fyra parametrar separerade med komman. Först integranden följt av den variabel man integrerar med avseende på. Man skriver sedan den undre och övre integrationsgränsen samt en avslutande parentes. Exempelvis beräknar man integralen $\displaystyle\int_{0}^{3}x^2 \, \text d x$ på följande sätt.

Det går också att beräkna integraler genom att först rita integrandens graf på räknaren.

När grafen är utritad trycker man på CALC (2nd + TRACE) och väljer alternativet $\int$ f(x)dx.

Räknaren ber då om en undre och en övre integrationsgräns. Man kan ange dessa antingen genom att stega sig fram till ett $x$ -värde med piltangenterna eller genom att skriva in värdet direkt. När man valt den övre gränsen markeras området mellan grafen och $x$ -axeln och värdet av integralen visas.

Bestäm godiskonsumtionen

fullscreen

Uppgift

Sindre äter godis och upptäcker att hans godisintag kan beskrivas av funktionen $v = 5\sin\left(0.25t^2 \right) + 5,$ där $v$ är antalet gram som äts per minut och $t$ är hur många minuter som har gått sedan Sindre började äta. Bestäm hur många gram godis han äter under de första $8$ minuterna. Svara i hela gram.

Visa Lösning

Lösning

Funktionen beskriver den hastighet som Sindre har när han äter godis. Om man integrerar den över de första $8$ minuterna kommer man att få den totala mängden godis, $m,$ som han äter under den perioden. $m = \displaystyle\int_{0}^{8}\left(5\sin\left(0.25t^2\right) + 5 \right) \, \text d t$ Det här är inte en integral som vi kan beräkna algebraiskt med de regler och metoder som vi känner till. Därför måste vi använda grafräknaren. Vi trycker på knappen MATH och väljer sedan fnInt( i menyn.

Vi skriver sedan in funktionen som vi vill integrera och vilken variabel vi ska integrera med avseende på. Det går bra att använda $t,$ men om man tycker det är enklare går det också bra att byta ut $t$ mot $x.$ Efter variabeln skriver man in den undre gränsen, alltså $0,$ och sedan den övre, alltså $8.$

Integralens värde är ungefär $47.$ Det är viktigt att räknaren är inställd på radianer, annars får man fel svar. Enheten får vi genom att multiplicera enheterna för $v$ och $t\text{:}$ $\dfrac{\text{gram}}{\text{min}}\cdot \text{min}=\text{gram}.$ Han åt alltså ungefär $47$ gram godis under de första $8$ minuterna.

Digitala verktyg

Beräkna integraler med Geogebra

Integraler kan beräknas med hjälp av Geogebra CAS kommando Integral. Om man skriver in ordet Integral på en tom rad får man upp flera förslag på hur kommandot kan användas.

Integral( <Funktion> )

Integral( <Funktion>, <Variabel> )

Integral( <Funktion>, <Från x>, <Till x> )

Integral( <Funktion>, <Variabel>, <Från>, <Till> )

De två första alternativen används för att bestämma primitiva funktioner. För det andra alternativet anger man även den variabel som uttrycket ska integreras med avseende på, vilket är nödvändigt om integranden innehåller fler än en obekant variabel.

Integral $( \cos(\text{x}) )$

$\rightarrow \quad \mathbf{sin(x)+c_1}$

Integral $\left( 3\text{x}^2+5\text{y}^4,\text{x} \right)$

$\rightarrow \quad \mathbf{5xy^4 + x^{3} + c_2}$

Vill man istället beräkna värdet av en integral använder man det tredje eller fjärde alternativet. Det fjärde används då funktionen som integreras innehåller fler än en okänd.

Integral $\left( 3\text{x}^2, 1, 5 \right)$

$\rightarrow \quad \mathbf{124}$

Integral $\left( 3\text{x}^2+5\text{y}^4, \text{x}, 1, 4 \right)$

$\rightarrow \quad \mathbf{15y^4+63}$

Eftersom Geogebra CAS utför beräkningar algebraiskt behöver man inte representera tal med siffror. Det innebär t.ex. att man kan bestämma integralen

\displaystyle\int_{a}^{b}\left(kx+m \right) \, \text d x

på följande sätt.

Integral $\left( \text{k}\cdot \text{x}+\text{m}, \text{x}, \text{a}, \text{b} \right)$

$\rightarrow \quad \mathbf{\dfrac{-a^2k-2am+b^2k+2bm}{2}}$

Kommandot Integral utför beräkningar algebraiskt och ger alltid svar på exakt form. Ibland kan dessa exakta svar bli mycket komplicerade. Då kan man istället räkna fram ett numeriskt värde på integralen med hjälp av kommandot NIntegral. Om man t.ex. vill beräkna integralen

\displaystyle\int_{2}^{3}\left(x\cdot \ln\left( 6.3x^{0.45} \right) \right) \, \text d x

och svara på decimalform är det lämpligt att använda NIntegral.

NIntegral $\left( \text{x} \cdot \text{ln} \left( 6.3\text{x}^{0.45} \right), \text{x}, 2, 3 \right)$

$\rightarrow \quad \mathbf{5.64}$

Beräkna integralen med Geogebra

fullscreen

Uppgift

Beräkna värdet av integralen $\displaystyle\int_{\pi}^{b}\cos^3(w) \, \text d w .$

Visa Lösning

Lösning

Att bestämma en primitiv funktion till $\cos^3(w)$ kan vara krångligt att göra för hand. Därför använder vi ett digitalt verktyg istället. Eftersom den övre integrationsgränsen inte är ett tal är Geogebra lämpligt — en vanlig räknare kan nämligen bara beräkna integraler om gränserna är tal. Vi använder kommandot

Integral( <Funktion>, <Från x>, <Till x>) där vi anger funktionen och de två integrationsgränserna. Vår variabel är

w,

inte "x" som det står i beskrivningen av kommandot. Eftersom vi endast har en variabel förstår dock Geogebra att det ska integreras med avseende på

w.

Integral $\left( \cos^3(\text{w}), \text{pi}, \text{b} \right)$

$\rightarrow \quad \mathbf{\dfrac{1}{3}\ \big(-}$ sin $\mathbf{^3}$ (b) + 3 sin(b) $\big)$

Integralens värde ges alltså av det algebraiska uttrycket

\dfrac{1}{3}\left(\text{-}\sin^3(b)+3\sin(b)\right).