Integraler och digitala verktyg

Vi använder funktionen fnInt( på räknaren för att beräkna integralen. Funktionen vi skriver in är (4x+1)^4 och vi integrerar med avseende på x mellan 0 och 7,2.

Integralens värde är alltså cirka 1 175 036.

Vi gör på samma sätt och skriver in integranden i räknaren, tillsammans med integreringsvariabeln och gränserna. Eftersom vi har ett trigonometriskt uttryck är det viktigt att räknaren är inställd på radianer.

Nu får vi att integralens värde är ungefär 10.

Inga nyheter. Vi gör på samma sätt och glöm inte att ha koll på parenteserna.

Vi avrundar till närmaste heltal vilket ger oss 16.

Vi kan inte med våra vanliga räkneregler bestämma någon primitiv funktion till z(a)=cos(a-8) * sin(8-a), så vi använder Geogebra eftersom det där finns verktyg för att finna primitiva funktioner. Vi använder kommandot Integral() och skriver in den funktion vi söker primitiv funktion till. Programmet ger oss då följande svar.

Integral ( cos(a-8) sin(8-a) )

→ 1/2cos^2(a-8 ) +c_1

Alla primitiva funktioner till z(a) ges alltså av Z(a)=1/2cos^2(a-8)+c_1, där c_1 är en konstant. Vi kan också använda C istället för c_1 för konstanten.

Med hjälp av trigonometriska identiteter kan resultatet skrivas på flera ekvivalenta former. Betrakta dubbla vinkelns formel för cosinus: cos(2v)=2cos^2 v -1 ⇔ cos^2 v =cos(2v)+1/2. Vi substituerar detta i den primitiva funktionen.

Observera att konstanta termer kan absorberas i integrationskonstanten C.

Vi skall nu finna alla primitiva funktioner till y(w)=4xw^3+x. Eftersom funktionen innehåller två obekanta, x och w, måste vi i Geogebra ange vilken av dessa som programmet ska integrera med avseende på. Vi använder därför följande kommando. Integral(,) Vi skriver in vår funktion, 4xw^3+x, och integrationsvariabeln, w.

Integral ( 4 x w^3+x, w )

→ w^4 x+w x +c_1

De primitiva funktionerna till y(w) är alltså Y(w)=w^4x+wx+C, där C är någon konstant.

Nu ska vi beräkna integralen av funktionen från föregående deluppgift, från 2 till 7. Vi använder Geogebra även för det och väljer kommandot Integral(,,,) som tillåter oss att skriva in ett funktionsuttryck, en integrationsvariabel samt integrationsgränser.

Integral ( 4 x w^3+x, w, 2, 7 )

→ 2390 x

Integralens värde ges alltså av uttrycket 2390x.

Vi har flödeshastigheten Q(t) i liter per sekund (l/s) som funktion av tiden t i sekunder (s).

När vi beräknar arean under en flödes–tid-graf gör vi följande: ∫ Q(t)dt Detta ger oss den totala mängden vätska som har passerat. Vi kan bestämma enheten genom att multiplicera enheterna på axlarna. l/s * s = l Arean under kurvan ger den totala volymen vatten som har runnit in i tanken, i liter (l).

Vi har accelerationen a(t) i meter per sekundkvadrat (m/s^2) som funktion av tiden t i sekunder.

När vi integrerar acceleration får vi förändringen i hastighet: Δ v(t) = ∫ a(t)dt Vi verifierar detta med enhetsanalys. m/s^2 * s = m/s Arean under accelerationskurvan ger förändringen i hastighet (och i detta fall även sluthastigheten), i meter per sekund (m/s).

Vi har kraften F(x) i newton (N) som funktion av förskjutning x i meter (m).

Arbete definieras som: W = ∫ F(x) dx Låt oss hitta dess enhet. N * m = J Arean under kraft–förskjutningskurvan motsvarar arbetet som utförs för att komprimera fjädern, mätt i joule (J) eller newtonmeter (Nm).

Vi kan börja med att bestämma integralen av temperaturens förändringshastighet från 0 till 12. ∫_0^(12)- 6e^(- 0,08t) d t Denna integral representerar den totala temperaturförändringen under de första 12 minuterna. Vi använder funktionen fnInt på räknaren för att beräkna integralen. När vi skriver in uttrycket i räknaren kan vi använda x istället för t. Funktionen vi skriver in är - 6 e^(- 0,08x), och vi integrerar med avseende på x från 0 till 12.

Integralens värde är därför ungefär - 46. Det betyder att teets temperatur sjunker med ungefär 46^(∘)C. Teet hade initialt temperaturen 85^(∘)C, så vi lägger till temperaturförändringen till startvärdet: 85 + (-46) = 39. Temperaturen efter 12 minuter är därför ungefär 39^(∘)C.

Vi vill hitta temperaturen på teet efter 12 minuter. Låt T(t) vara temperaturen på teet vid tidpunkten t minuter. Vi vet att T(0) = 85 och förändringshastigheten är T'(t) = - 6e^(- 0,08t). För att hitta temperaturen vid en specifik tidpunkt måste vi integrera förändringshastigheten och lägga till starttemperaturen. Först bestämmer vi temperaturfunktionen genom att hitta en primitiv funktion till förändringshastigheten.

Nu använder vi startvillkoret T(0) = 85 för att hitta konstanten C.

Så temperaturfunktionen är T(t) = 75e^(- 0,08t) + 10. Nu kan vi hitta temperaturen efter 12 minuter genom att substituera t = 12.

Temperaturen på teet efter 12 minuter är ungefär 39^(∘)C.

Funktionen anger hur många visningar det är per dag. Hade antalet visningar varit lika många varje dag hade vi bara behövt multiplicera det med antalet dagar. Men nu varierar det, så istället måste vi integrera. Det går 14 dagar på två veckor så integralen blir ∫_0^(14)20sin(1/t+0,318) d t . Den är inte så lätt att beräkna med hjälp av en primitiv funktion så vi får använda något digitalt verktyg. Man kan t.ex. slå in integralen på räknaren. Glöm inte att se till att den är inställd på radianer.

Eftersom antal filmvisningar räknas i heltal avrundar vi till 63. Under de första två veckorna visades alltså Gör-Anns äppelmosfilm 63 gånger.

Om man vill kan man också använda Geogebra. Då använder vi kommandot Integral.

Integral ( 20sin(1/t+0,318),t,0,14 )

→ 63,16751408525

Funktionen som vi har fått, v(t) = 0,02t^2 - 2,6t + 84,5, beskriver tågets hastighet under inbromsningen. Om man integrerar hastighet får man sträcka. För att bestämma bromssträckan integrerar vi v(t) från början av inbromsningen till tidpunkten då tåget står still. Vi vet dock inte när det sker, men det kan vi bestämma genom att undersöka när hastigheten är 0. Vi sätter funktionsuttrycket lika med 0 och löser ekvationen.

Det tar tydligen 65 sekunder för tåget att stanna. Vi ska alltså integrera hastighetsfunktionen från t = 0 till t = 65: ∫_0^(65)(0,02t^2 - 2,6t + 84,5 ) d t . Vi bestämmer först en primitiv funktion till v(t).

Nu kan vi beräkna integralen och bestämma stoppsträckan.

Tåget åker alltså ytterligare 1 831 meter efter att lokföraren drar i nödbromsen.

Kontroll med räknare

Nu ska vi göra samma uträkningar, men låta en räknare eller Geogebra göra grovjobbet. Då ska vi först lösa ekvationen 0,02t^2 - 2,6t + 84,5 = 0. På en räknare kan man lösa denna ekvation grafiskt genom att rita upp grafen till den och använda funktionen zero, som bestämmer nollställen.

Vi får fram ungefär samma svar: att tåget stannar på 65 sekunder. I Geogebra använder man funktionen Lös för att lösa ekvationer algebraiskt. Vi får samma svar där.

Lös ( 0,02x^2 - 2,6x + 84,5 = 0 )

→ {x = 65}

För att beräkna integralen kan man använda funktionen fnInt på räknaren. Då trycker man på MATH och väljer rätt funktion i menyn.

Inom parentesen skriver man sedan funktionen man vill integrera följt av integrationsvariabeln, undre gränsen och övre gränsen.

Precis som i förra uppgiften får vi att stoppsträckan är ungefär 1 831 meter. Med Geogebra använder man funktionen Integral för att beräkna integraler.

Integral ( 0,02x^2 -2,6x + 84,5, 0, 65 )

→ 10985/6

Här får vi ett exakt värde för integralen, men om vi beräknar kvoten ser vi att vi får precis samma svar som tidigare. 10 985/6 = 1 830,83333... ≈ 1831 Det går alltså bra att lösa uppgiften både med räknare och Geogebra.

Vi har fått en funktion som beskriver humlornas hastighet, som vi måste använda för att bestämma hur långt humlorna flyger. Vi får en sträcka genom att integrera hastighetsfunktionen. Vi skall alltså beräkna integralen s= ∫_0^b(0,5cos(at)+0,5 ) d t , eftersom detta motsvarar hur långt humlan flyger under de första b sekunderna. Vi har två okända faktorer, a och b, i uppgiften och kommer därför använda oss av Geogebra för att lösa uppgiften. Vi använder funktionen Integral(,,,) i Geogebras fönster. Vi för sedan in funktionen v, variabeln och integrationsgränserna i kommandot.

Integral ( 0.5cos(a t)+0.5, t, 0, b )

→ 1/2* a b+sin(a b)/a

Vi är nu klara och svaret på uppgiften är s=1/2* ab+sin(ab)/a. Vi kan förenkla uttrycket.

Låt oss först förstå vad grafen representerar.

Den bestämda integralen av hastighet med avseende på tid ger oss förflyttning. Detta beror på att hastighet är förändringstakten för position, så att integrera hastighet över tid berättar hur mycket positionen har förändrats. m/s * s = m För den givna integralen, måste vi hitta arean under hastighetskurvan från t = 0 till t = 3.

Från t = 0 till t = 3 har vi en triangel med bas 3 och höjd 10. A = b * h/2 = 3 * 10/2 = 15 Därför är värdet av integralen 15. ∫_0^3v(t) d t = 15 Värdet 15 representerar objektets förflyttning under de första 3 sekunderna. Eftersom hastigheten är positiv under hela detta intervall, rör sig objektet 15 meter i positiv riktning.

Vi måste bestämma nettotarean från t = 0 till t = 6. Kom ihåg att areor under t-axeln räknas som negativa.

Från t = 0 till t = 3 har vi redan beräknat att arean är 15. Från t = 3 till t = 6 är hastigheten negativ. Grafen bildar en symmetrisk triangel under axeln med bas 3 och höjd 10 (vid t = 4,5, v = - 10). A = 15 och B = - 15 Därför kan vi beräkna integralen genom att summera de två areorna: ∫_0^6v(t) d t = A+B = 15 + (-15) =0 Värdet 0 indikerar att objektet återgår till sin startposition efter 6 sekunder. Den positiva förflyttningen under de första 3 sekunderna upphävs exakt av den negativa förflyttningen under de nästa 3 sekunderna. Detta är fysiskt meningsfullt: objektet rör sig framåt, vänder sedan riktning och rör sig bakåt samma sträcka.