Integraler och digitala verktyg

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Många processer i verkligheten kan modelleras med funktioner som beskriver förändringshastigheter. Om man känner till en sådan funktion kan man använda integraler för att bestämma förändringen. Exempelvis kan integralen s=t1t2v(t)dt s = \displaystyle{\int_{t_1}^{t_2}} v(t) \, \text{d}t

beskriva körsträckan ss för en bil, vars hastighet vv varierar med tiden t.t. I det här fallet integreras hastighet över tid, vilket ger en sträcka. Mer generellt kan man bestämma integralens enhet genom att multiplicera enheterna för integranden och den variabel man integrerar med avseende på.
Digitala verktyg

Beräkna integraler numeriskt med räknare

Grafräknare har flera inbyggda funktioner för att beräkna integraler numeriskt. Man kan t.ex. använda kommandot fnInt, som man hittar genom att trycka på MATH och gå näst längst ner i menyn.

MATH-menyn på TI-räknare

Efter första parentesen skriver man fyra parametrar separerade med komman. Först integranden följt av den variabel man integrerar med avseende på. Man skriver sedan den undre och övre integrationsgränsen samt en avslutande parentes. Exempelvis beräknar man integralen 03x2dx \displaystyle\int_{0}^{3}x^2 \, \text d x på följande sätt.

Numerisk integrering på TI-räknare

Det går också att beräkna integraler genom att först rita integrandens graf på räknaren.

Numerisk integrering på TI-räknare

När grafen är utritad trycker man på CALC (2nd + TRACE) och väljer alternativet \intf(x)dx.

Numerisk integrering på TI-räknare

Räknaren ber då om en undre och en övre integrationsgräns. Man kan ange dessa antingen genom att stega sig fram till ett xx-värde med piltangenterna eller genom att skriva in värdet direkt. När man valt den övre gränsen markeras området mellan grafen och xx-axeln och värdet av integralen visas.

Numerisk integrering på TI-räknare
Uppgift

Sindre äter godis och upptäcker att hans godisintag kan beskrivas av funktionen v=5sin(0.25t2)+5, v = 5\sin\left(0.25t^2 \right) + 5, där vv är antalet gram som äts per minut och tt är hur många minuter som har gått sedan Sindre började äta. Bestäm hur många gram godis han äter under de första 88 minuterna. Svara i hela gram.

Lösning

Funktionen beskriver den hastighet som Sindre har när han äter godis. Om man integrerar den över de första 88 minuterna kommer man att få den totala mängden godis, m,m, som han äter under den perioden. m=08(5sin(0.25t2)+5)dt m = \displaystyle\int_{0}^{8}\left(5\sin\left(0.25t^2\right) + 5 \right) \, \text d t Det här är inte en integral som vi kan beräkna algebraiskt med de regler och metoder som vi känner till. Därför måste vi använda grafräknaren. Vi trycker på knappen MATH och väljer sedan fnInt( i menyn.

Numerisk integrering på TI-räknare

Vi skriver sedan in funktionen som vi vill integrera och vilken variabel vi ska integrera med avseende på. Det går bra att använda t,t, men om man tycker det är enklare går det också bra att byta ut tt mot x.x. Efter variabeln skriver man in den undre gränsen, alltså 0,0, och sedan den övre, alltså 8.8.

Numerisk integrering på TI-räknare

Integralens värde är ungefär 47.47. Det är viktigt att räknaren är inställd på radianer, annars får man fel svar. Enheten får vi genom att multiplicera enheterna för vv och t:t\text{:} gramminmin=gram. \dfrac{\text{gram}}{\text{min}}\cdot \text{min}=\text{gram}. Han åt alltså ungefär 4747 gram godis under de första 88 minuterna.

Visa lösning Visa lösning
Digitala verktyg

Beräkna integraler med Geogebra

Integraler kan beräknas med hjälp av Geogebra CAS kommando Integral. Om man skriver in ordet Integral på en tom rad får man upp flera förslag på hur kommandot kan användas.

Integral( <Funktion> )

Integral( <Funktion>, <Variabel> )

Integral( <Funktion>, <Från x>, <Till x> )

Integral( <Funktion>, <Variabel>, <Från>, <Till> )

De två första alternativen används för att bestämma primitiva funktioner. För det andra alternativet anger man även den variabel som uttrycket ska integreras med avseende på, vilket är nödvändigt om integranden innehåller fler än en obekant variabel.

Integral (cos(x)) ( \cos(\text{x}) )

sin(x)+c1\rightarrow \quad \mathbf{sin(x)+c_1}

Integral (3x2+5y4,x) \left( 3\text{x}^2+5\text{y}^4,\text{x} \right)

5xy4+x3+c2\rightarrow \quad \mathbf{5xy^4 + x^{3} + c_2}

Vill man istället beräkna värdet av en integral använder man det tredje eller fjärde alternativet. Det fjärde används då funktionen som integreras innehåller fler än en okänd.

Integral (3x2,1,5) \left( 3\text{x}^2, 1, 5 \right)

124\rightarrow \quad \mathbf{124}

Integral (3x2+5y4,x,1,4) \left( 3\text{x}^2+5\text{y}^4, \text{x}, 1, 4 \right)

15y4+63\rightarrow \quad \mathbf{15y^4+63}

Eftersom Geogebra CAS utför beräkningar algebraiskt behöver man inte representera tal med siffror. Det innebär t.ex. att man kan bestämma integralen ab(kx+m)dx \displaystyle\int_{a}^{b}\left(kx+m \right) \, \text d x på följande sätt.

Integral (kx+m,x,a,b) \left( \text{k}\cdot \text{x}+\text{m}, \text{x}, \text{a}, \text{b} \right)

a2k2am+b2k+2bm2\rightarrow \quad \mathbf{\dfrac{-a^2k-2am+b^2k+2bm}{2}}

Kommandot Integral utför beräkningar algebraiskt och ger alltid svar på exakt form. Ibland kan dessa exakta svar bli mycket komplicerade. Då kan man istället räkna fram ett numeriskt värde på integralen med hjälp av kommandot NIntegral. Om man t.ex. vill beräkna integralen 23(xln(6.3x0.45))dx \displaystyle\int_{2}^{3}\left(x\cdot \ln\left( 6.3x^{0.45} \right) \right) \, \text d x och svara på decimalform är det lämpligt att använda NIntegral.

NIntegral (xln(6.3x0.45),x,2,3) \left( \text{x} \cdot \text{ln} \left( 6.3\text{x}^{0.45} \right), \text{x}, 2, 3 \right)

5.64\rightarrow \quad \mathbf{5.64}

Uppgift

Beräkna värdet av integralen πbcos3(w)dw. \displaystyle\int_{\pi}^{b}\cos^3(w) \, \text d w .

Lösning

Att bestämma en primitiv funktion till cos3(w)\cos^3(w) kan vara krångligt att göra för hand. Därför använder vi ett digitalt verktyg istället. Eftersom den övre integrationsgränsen inte är ett tal är Geogebra lämpligt — en vanlig räknare kan nämligen bara beräkna integraler om gränserna är tal. Vi använder kommandot

Integral( <Funktion>, <Från x>, <Till x>)
där vi anger funktionen och de två integrationsgränserna. Vår variabel är w,w, inte "x" som det står i beskrivningen av kommandot. Eftersom vi endast har en variabel förstår dock Geogebra att det ska integreras med avseende på w.w.

Integral (cos3(w),pi,b) \left( \cos^3(\text{w}), \text{pi}, \text{b} \right)

13 (\rightarrow \quad \mathbf{\dfrac{1}{3}\ \big(-}sin3\mathbf{^3}(b) + 3 sin(b))\big)

Integralens värde ges alltså av det algebraiska uttrycket 13(-sin3(b)+3sin(b)). \dfrac{1}{3}\left(\text{-}\sin^3(b)+3\sin(b)\right).
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande integraler med räknare. Avrunda till närmaste heltal.

a

07.2(4x+1)4dx\displaystyle\int_{0}^{7.2}(4x+1)^4 \, \text d x

b

-43-17sin4(x)dx\displaystyle\int_{\text{-}43}^{\text{-}17}\sin^4(x) \, \text d x

c

02ex2dx\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2} \, \text d x

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm alla primitiva funktioner till z(a)=cos(a8)sin(8a).z(a)=\cos(a-8) \cdot \sin(8-a).

b

Bestäm alla primitiva funktioner till y(w)=4xw3+x.y(w)=4xw^3+x.

c

Bestäm integralen 27(4xw3+x)dw.\displaystyle\int_{2}^{7}\left(4xw^3+x \right) \, \text d w .

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Gör-Ann har filmat sig själv när hon gör äppelmos. Hon blir väldigt exalterad över filmen och tänker att resten av världen också förtjänar att se äppelmosproduktionen, så hon lägger upp filmen på internet. Antalet visningar per dag beskrivs av funktionen v(t)=20sin(1t+0.318), v(t)=20\sin\left(\dfrac{1}{t+0.318}\right), där tt är antalet dagar efter att hon lagt upp filmen. Hur många gånger visas filmen under de första två veckorna?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En lokförare blir tvungen att nödbromsa sitt fullastade godståg och medan det bromsar in ställer hon upp funktionen v(t)=0.02t22.6t+84.5, v(t) = 0.02t^2 - 2.6t + 84.5, som beskriver tågets hastighet i meter per sekund under inbromsningen. Variabeln t anger tiden i sekunder efter att lokföraren drog i nödbromsen.

a

Bestäm hur långt tåget hinner åka från att det börjar bromsa tills att det står helt still. Använd algebraiska metoder och svara i hela meter.

b

Bekräfta din uträkning med hjälp av en räknare eller Geogebra.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En forskargrupp på biologiska institutionen på Università de Bologna har i samarbete med en grupp aerodynamikforskare på NASA genomfört studier av uppländska humlors flyghastighet. De har efter intensiva studier kommit fram till att flyghastigheten, vv i m/s, som ängshumlor har då de flyger från blomma till blomma i jakt på nektar kan approximeras med funktionen v=0.5cos(at)+0.5.v=0.5\cos(at)+0.5. Variabeln tt är antalet sekunder sedan humlorna påbörjade sin nektarjakt och aa är en faktor som beror av luftens temperatur samt hur många blommor som finns per kvadratmeter. Bestäm ett uttryck för sträckan som en humla i detta släkte tar sig på bb sekunder.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Göran funderar på hur det känns att bada i nyponsoppa och bestämmer sig för att undersöka det. Han köper därför en plastpool som rymmer 72007200 liter och börjar fylla den med nyponsoppa. Det tar lite tid så han roar sig med att formulera en funktion, L(t),L(t), som beskriver hur många liter nyponsoppa som fylls på per minut efter ett visst antal minuter tt: L(t)=0.2sin(200t)+3. L(t)=0.2\sin(200t)+3. Hur lång tid tar det för Göran att fylla hela poolen?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Integraler kan användas till mycket, bland annat för att beräkna längden av en kurva. Förutsatt att kurvan kan beskrivas av en deriverbar funktion f(x)f(x) som sträcker sig från x=ax=a till x=bx=b kan kurvans längd beräknas som ab1+(f(x)2)dx. \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)^2\right)} \, \text d x . Tanishia märker till sin stora förskräckelse att hennes 1010 cm långa ost har skivats till en "skidbacke". Tittar man på osten från sidan ser man att skidbacken följer kurvan f(x)=0.05x20.7x+2.95.f(x)=0.05x^2-0.7x+2.95. Använd metoden ovan för att beräkna den längsta möjliga ostskivan. Avrunda till en decimal.

Ost med anpassad kurva.svg
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Företaget "Vilken soppa! AB" tillverkar olika soppor. Funktionen p(t)=m(rt+m-1)-1p(t) = m-\left( r\cdot t + m^{\text{-} 1} \right)^{\text{-} 1} beskriver produktionstakten för nyponsoppa i liter per timme. Konstanterna rr och mm är positiva tal och är beroende av nyponens vätskeinnehåll, och tt är tiden i timmar efter produktionsstart. Under en arbetsdag är kostnaden för att tillverka en liter nyponsoppa kk kr/liter under de första åtta timmarna och därefter är kostnaden k+2k+2 kr/liter.

a

Bestäm ett uttryck för hur mycket det kostar att driva produktionsanläggningen i 88 timmar.

b

Nästa måndag vill företagsledningen att produktionen skall köras två timmar extra eftersom "Vilken soppa! AB" har fått en stor order från Schweiz. Soppan har enligt ryktet blivit oerhört populär bland hamnarbetarna där. Bestäm ett uttryck för hur mycket det kostar att driva produktionsanläggningen de två sista timmarna denna dag.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När man upptäckte exoplaneten Xonus bodde det 77 miljoner Xonister där. Man valde att förflytta en miljon individer av den utrotningshotade fågeln Gyllene Flax till exoplaneten. Flaxarna stormtrivs på Xonus och antalet fåglar i miljoner kan beskrivas av f(x)=sin(2t)+2t4+1 f(x)= \dfrac{\sin(2t)+2t}{4}+1 där tt är antal år efter Xonus upptäcktes. Under samma tidsperiod förändras antalet Xonister enligt g(x)=4cos(2(t4))sin(2(t4))0.5 miljoner/r.a˚ g(x)=4\cos(2(t-4))\sin(2(t-4))-0.5 \text{ miljoner/år.} Bestäm den tidpunkt då det finns en Flax för varje Xonist. Svara med en decimal.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Abenayo arbetar som bartender och har ett 66-timmarsskift varje natt. Hur många kronor i dricks hon får i timmen kan beskrivas av funktionen f(t)=-t32+6t218t+216, f(t) = \text{-}\dfrac{t^3}{2} + 6t^2 - 18t + 216, där tt är tiden i timmar efter klockan 18.00.18.00. När bör hon starta sitt skift för att få så mycket dricks som möjligt? Nattklubben hon arbetar på öppnar klockan 18.0018.00 och stänger klockan 6.00.6.00.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}