Integraler och digitala verktyg

Beräkna följande integraler med räknare. Avrunda till närmaste heltal.

$\displaystyle\int_{0}^{7.2}(4x+1)^4 \, \text d x$

$\displaystyle\int_{\text{-}43}^{\text{-}17}\sin^4(x) \, \text d x$

$\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2} \, \text d x$

Bestäm alla primitiva funktioner till $z(a)=\cos(a-8) \cdot \sin(8-a).$

Bestäm alla primitiva funktioner till $y(w)=4xw^3+x.$

Bestäm integralen $\displaystyle\int_{2}^{7}\left(4xw^3+x \right) \, \text d w .$

Gör-Ann har filmat sig själv när hon gör äppelmos. Hon blir väldigt exalterad över filmen och tänker att resten av världen också förtjänar att se äppelmosproduktionen, så hon lägger upp filmen på internet. Antalet visningar per dag beskrivs av funktionen $v(t)=20\sin\left(\dfrac{1}{t+0.318}\right),$ där $t$ är antalet dagar efter att hon lagt upp filmen. Hur många gånger visas filmen under de första två veckorna?

En lokförare blir tvungen att nödbromsa sitt fullastade godståg och medan det bromsar in ställer hon upp funktionen $v(t) = 0.02t^2 - 2.6t + 84.5,$ som beskriver tågets hastighet i meter per sekund under inbromsningen. Variabeln t anger tiden i sekunder efter att lokföraren drog i nödbromsen.

Bestäm hur långt tåget hinner åka från att det börjar bromsa tills att det står helt still. Använd algebraiska metoder och svara i hela meter.

Bekräfta din uträkning med hjälp av en räknare eller Geogebra.

En forskargrupp på biologiska institutionen på Università de Bologna har i samarbete med en grupp aerodynamikforskare på NASA genomfört studier av uppländska humlors flyghastighet. De har efter intensiva studier kommit fram till att flyghastigheten, $v$ i m/s, som ängshumlor har då de flyger från blomma till blomma i jakt på nektar kan approximeras med funktionen $v=0.5\cos(at)+0.5.$ Variabeln $t$ är antalet sekunder sedan humlorna påbörjade sin nektarjakt och $a$ är en faktor som beror av luftens temperatur samt hur många blommor som finns per kvadratmeter. Bestäm ett uttryck för sträckan som en humla i detta släkte tar sig på $b$ sekunder.

Göran funderar på hur det känns att bada i nyponsoppa och bestämmer sig för att undersöka det. Han köper därför en plastpool som rymmer $7200$ liter och börjar fylla den med nyponsoppa. Det tar lite tid så han roar sig med att formulera en funktion, $L(t),$ som beskriver hur många liter nyponsoppa som fylls på per minut efter ett visst antal minuter $t$: $L(t)=0.2\sin(200t)+3.$ Hur lång tid tar det för Göran att fylla hela poolen?

Integraler kan användas till mycket, bland annat för att beräkna längden av en kurva. Förutsatt att kurvan kan beskrivas av en deriverbar funktion $f(x)$ som sträcker sig från $x=a$ till $x=b$ kan kurvans längd beräknas som $\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)^2\right)} \, \text d x .$ Tanishia märker till sin stora förskräckelse att hennes $10$ cm långa ost har skivats till en "skidbacke". Tittar man på osten från sidan ser man att skidbacken följer kurvan $f(x)=0.05x^2-0.7x+2.95.$ Använd metoden ovan för att beräkna den längsta möjliga ostskivan. Avrunda till en decimal.

Företaget "Vilken soppa! AB" tillverkar olika soppor. Funktionen $p(t) = m-\left( r\cdot t + m^{\text{-} 1} \right)^{\text{-} 1}$ beskriver produktionstakten för nyponsoppa i liter per timme. Konstanterna $r$ och $m$ är positiva tal och är beroende av nyponens vätskeinnehåll, och $t$ är tiden i timmar efter produktionsstart. Under en arbetsdag är kostnaden för att tillverka en liter nyponsoppa $k$ kr/liter under de första åtta timmarna och därefter är kostnaden $k+2$ kr/liter.

Bestäm ett uttryck för hur mycket det kostar att driva produktionsanläggningen i $8$ timmar.

Nästa måndag vill företagsledningen att produktionen skall köras två timmar extra eftersom "Vilken soppa! AB" har fått en stor order från Schweiz. Soppan har enligt ryktet blivit oerhört populär bland hamnarbetarna där. Bestäm ett uttryck för hur mycket det kostar att driva produktionsanläggningen de två sista timmarna denna dag.

När man upptäckte exoplaneten Xonus bodde det $7$ miljoner Xonister där. Man valde att förflytta en miljon individer av den utrotningshotade fågeln Gyllene Flax till exoplaneten. Flaxarna stormtrivs på Xonus och antalet fåglar i miljoner kan beskrivas av $f(x)= \dfrac{\sin(2t)+2t}{4}+1$ där $t$ är antal år efter Xonus upptäcktes. Under samma tidsperiod förändras antalet Xonister enligt $g(x)=4\cos(2(t-4))\sin(2(t-4))-0.5 \text{ miljoner/år.}$ Bestäm den tidpunkt då det finns en Flax för varje Xonist. Svara med en decimal.

Abenayo arbetar som bartender och har ett $6$-timmarsskift varje natt. Hur många kronor i dricks hon får i timmen kan beskrivas av funktionen $f(t) = \text{-}\dfrac{t^3}{2} + 6t^2 - 18t + 216,$ där $t$ är tiden i timmar efter klockan $18.00.$ När bör hon starta sitt skift för att få så mycket dricks som möjligt? Nattklubben hon arbetar på öppnar klockan $18.00$ och stänger klockan $6.00.$