Integraler och digitala verktyg

Vi använder funktionen fnInt( på räknaren för att beräkna integralen. Funktionen vi skriver in är (4x+1)^4 och vi integrerar med avseende på x mellan 0 och 7,2.

Integralens värde är alltså cirka 1 175 036.

Vi gör på samma sätt och skriver in integranden i räknaren, tillsammans med integreringsvariabeln och gränserna. Eftersom vi har ett trigonometriskt uttryck är det viktigt att räknaren är inställd på radianer.

Nu får vi att integralens värde är ungefär 10.

Inga nyheter. Vi gör på samma sätt och glöm inte att ha koll på parenteserna.

Vi avrundar till närmaste heltal vilket ger oss 16.

Vi kan inte med våra vanliga räkneregler bestämma någon primitiv funktion till z(a)=cos(a-8) * sin(8-a), så vi använder Geogebra eftersom det där finns verktyg för att finna primitiva funktioner. Vi använder kommandot Integral() och skriver in den funktion vi söker primitiv funktion till. Programmet ger oss då följande svar.

Integral ( cos(a-8)* sin(8-a) )

→ 1/4 cos( 2 a-16 ) +c_1

Alla primitiva funktioner till z(a) ges alltså av Z(a)=1/4cos(2a-16)+c_1, där c_1 är en konstant.

Vi skall nu finna alla primitiva funktioner till y(w)=4xw^3+x. Eftersom funktionen innehåller två obekanta, x och w, måste vi i Geogebra ange vilken av dessa som programmet ska integrera med avseende på. Vi använder därför följande kommando. Integral(,) Vi skriver in vår funktion, 4xw^3+x, och integrationsvariabeln, w. Integral ( 4x* w^3+x, w )

→ w^4 x+w x +c_1

Vi kan notera att Geogebra kräver att vi sätter in ett multiplikationstecken mellan x och w^3 för att programmet skall identifiera att vi har fört in en variabel som heter w. De primitiva funktionerna till y(w) är alltså Y(w)=w^4x+wx+c_1, där c_1 är någon konstant.

Nu ska vi beräkna integralen av funktionen från föregående deluppgift, från 2 till 7. Vi använder Geogebra även för det och väljer kommandot Integral(,,,) som tillåter oss att skriva in ett funktionsuttryck, en integrationsvariabel samt integrationsgränser.

Integral ( 4x* w^3+x, w, 2, 7 )

→ 2390 x

Integralens värde ges alltså av uttrycket 2390x.

Funktionen anger hur många visningar det är per dag. Hade antalet visningar varit lika många varje dag hade vi bara behövt multiplicera det med antalet dagar. Men nu varierar det, så istället måste vi integrera. Det går 14 dagar på två veckor så integralen blir ∫_0^(14)20sin(1/t+0,318) d t . Den är inte så lätt att beräkna med hjälp av en primitiv funktion så vi får använda något digitalt verktyg. Man kan t.ex. slå in integralen på räknaren. Glöm inte att se till att den är inställd på radianer.

Om man vill kan man också använda Geogebra. Då använder vi kommandot NIntegral, för att få svaret i decimalform.

NIntegral ( 20sin(1/x+0,318),0,14 )

→ 63,17

Eftersom antal filmvisningar räknas i heltal avrundar vi till 63. Under de första två veckorna visades alltså Gör-Anns äppelmosfilm 63 gånger.

Funktionen som vi har fått, v(t) = 0,02t^2 - 2,6t + 84,5, beskriver tågets hastighet under inbromsningen. Om man integrerar hastighet får man sträcka. För att bestämma bromssträckan integrerar vi v(t) från början av inbromsningen till tidpunkten då tåget står still. Vi vet dock inte när det sker, men det kan vi bestämma genom att undersöka när hastigheten är 0. Vi sätter funktionsuttrycket lika med 0 och löser ekvationen.

Det tar tydligen 65 sekunder för tåget att stanna. Vi ska alltså integrera hastighetsfunktionen från t = 0 till t = 65: ∫_0^(65)(0,02t^2 - 2,6t + 84,5 ) d t . Vi bestämmer först en primitiv funktion till v(t).

Nu kan vi beräkna integralen och bestämma stoppsträckan.

Tåget åker alltså ytterligare 1831 meter efter att lokföraren drar i nödbromsen.

Kontroll med räknare

Nu ska vi göra samma uträkningar, men låta en räknare eller Geogebra göra grovjobbet. Då ska vi först lösa ekvationen 0,02t^2 - 2,6t + 84,5 = 0. På en räknare kan man lösa denna ekvation grafiskt genom att rita upp grafen till den och använda funktionen zero, som bestämmer nollställen.

Vi får fram ungefär samma svar: att tåget stannar på 65 sekunder. I Geogebra använder man funktionen Lös för att lösa ekvationer algebraiskt. Vi får samma svar där.

Lös ( 0,02x^2 - 2,6x + 84,5 = 0 )

→ {x = 65}

För att beräkna integralen kan man använda funktionen fnInt på räknaren. Då trycker man på MATH och väljer rätt funktion i menyn.

Inom parentesen skriver man sedan funktionen man vill integrera följt av integrationsvariabeln, undre gränsen och övre gränsen.

Precis som i förra uppgiften får vi att stoppsträckan är ungefär 1831 meter. Med Geogebra använder man funktionen Integral för att beräkna integraler.

Integral ( 0,02x^2 -2,6x + 84,5, 0, 65 )

→ 10985/6

Här får vi ett exakt värde för integralen, men om vi beräknar kvoten ser vi att vi får precis samma svar som tidigare. 10985/6 = 1830,83333... ≈ 1831 Det går alltså bra att lösa uppgiften både med räknare och Geogebra.

Vi har fått en funktion som beskriver humlornas hastighet, som vi måste använda för att bestämma hur långt humlorna flyger. Vi får en sträcka genom att integrera hastighetsfunktionen. Vi skall alltså beräkna integralen s= ∫_0^b(0,5cos(at)+0,5 ) d t , eftersom detta motsvarar hur långt humlan flyger under de första b sekunderna. Vi har två okända faktorer, a och b, i uppgiften och kommer därför använda oss av Geogebra för att lösa uppgiften. Vi använder funktionen Integral(,,,) i Geogebras fönster. Vi för sedan in funktionen v, variabeln och integrationsgränserna i kommandot.

Integral ( 0,5cos(a* t)+0,5, t, 0, b )

→ 1/2* a b+sin(a b)/a

För att Geogebra skall läsa funktionen korrekt skriver vi ett multiplikationstecken mellan a och t i funktionsuttrycket. Vi är nu klara och svaret på uppgiften är s=1/2* ab+sin(ab)/a.