Trigonometriska kurvors egenskaper

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Det finns många sätt att påverka trigonometriska kurvors utseende. Man kan till exempel ändra deras amplitud, deras period eller förskjuta dem i x-x\text{-} eller y-y\text{-}led. För sinus- och cosinuskurvor görs detta genom att variera konstanterna i deras generella funktioner.

y=Asin(B(x+C))+Dy = A\sin(B(x + C)) + D

och

y=Acos(B(x+C))+Dy = A\cos(B(x + C)) + D

Begrepp

Amplitud

Amplituden för en sinus- eller cosinusfunktion är definierad som avståndet i y-y\text{-}led mellan jämviktslinjen som funktionen pendlar kring och någon av dess minimi- eller maximipunkter. Eftersom amplituden är ett avstånd är den alltid positiv. Konstanten AA i det generella funktionsuttrycket kan dock vara negativ. Funktionens amplitud motsvaras därför av absolutbeloppet av A.A.

Differensen mellan maximi- och minimivärdet för funktionen motsvarar dubbla amplituden. Detta ger en formel för att beräkna amplituden.

A=ymaxymin2|A| = \dfrac{y_\text{max} - y_\text{min}}{2}

Konstanten AA påverkar kurvans utsträckning i y-y\text{-}led utan att dess nollställen, period eller jämviktslinje ändras.

Begrepp

Period

Perioden för en funktion är det kortaste avståndet i x-x\text{-}led mellan två motsvarande punkter på funktionens graf. För en sinus- eller cosinusfunktion mäter man ofta detta mellan närliggande toppar, dalar eller motsvarande nollställen. I det generella funktionsuttrycket påverkar man perioden genom att ändra värdet på konstanten B.B.

Från grafen kan man läsa av perioderna 2π2\pi och π\pi för y=sin(x)y=\sin(x) respektive y=sin(2x).y=\sin(2x). Funktionens period halveras alltså om BB fördubblas. Generellt kan man beräkna perioden PP hos en sinus- eller cosinusfunktion genom att dividera 2π2\pi eller 360360^\circ med absolutbeloppet av B.B.

P=2πBP = \dfrac{2\pi}{|B|}

eller

P=360BP = \dfrac{360^\circ}{|B|}

Vilken formel man väljer beror på vinkelenheten som används. Att det ska divideras med just absolutbeloppet av BB beror på att BB kan vara ett negativt tal medan en period är en längd — den måste vara positiv. Konstanten BB påverkar funktionens period utan att dess amplitud eller jämviktslinje förändras.

Uppgift

Ange en funktion på formen f(x)=Asin(Bx),f(x) = A\sin(Bx), där AA och BB är positiva konstanter, vars graf ser ut som den i figuren.

Lösning

För att kunna bestämma AA och BB behöver vi ta reda på funktionens amplitud och period. Amplituden kan man beräkna med formeln A=ymaxymin2. |A| = \dfrac{y_\text{max} - y_\text{min}}{2}. Ur grafen avläser vi ymaxy_\text{max} som 1.51.5 och yminy_\text{min} som -1.5.\text{-} 1.5.

Vi beräknar nu amplituden.
A=ymaxymin2|A| = \dfrac{y_\text{max} - y_\text{min}}{2}
ymax=1.5y_\text{max}={\color{#0000FF}{1.5}}, ymin=-1.5y_\text{min}={\color{#009600}{\text{-} 1.5}}
A=1.5(-1.5)2|A| = \dfrac{{\color{#0000FF}{1.5}} - ({\color{#009600}{\text{-} 1.5}})}{2}
A=32|A| = \dfrac{3}{2}
A=1.5|A| = 1.5

Amplituden är alltså 1.5.1.5. Eftersom vi vet att AA är ett positivt tal måste även det vara 1.5.1.5. För att sedan bestämma BB använder vi formeln P=2πB. P = \dfrac{2\pi}{|B|}. Då måste vi först läsa av perioden P.P.

Perioden är alltså 5π4,\frac{5\pi}{4}, vilket vi sätter in i formeln för att sedan lösa ut B.|B|.
P=2πBP = \dfrac{2\pi}{|B|}
5π4=2πB{\color{#0000FF}{\dfrac{5\pi}{4}}} = \dfrac{2\pi}{|B|}
Lös ut |B|
5π4B=2π\dfrac{5\pi}{4} \cdot |B| = 2\pi
B=2πundefined5π4|B| = \left.2\pi\middle/\dfrac{5\pi}{4}\right.
B=2π45π|B| = \dfrac{2\pi \cdot 4}{5\pi}
B=245|B| = \dfrac{2 \cdot 4}{5}
B=85|B| = \dfrac{8}{5}
B=1.6|B| = 1.6
Från uppgiften vet vi att båda konstanterna är positiva, så BB måste vara lika med 1.6.1.6. Sätter vi in AA och BB i funktionsuttrycket får vi slutligen vår funktion. f(x)=1.5sin(1.6x) f(x) = 1.5\sin\left( 1.6x \right)
Visa lösning Visa lösning
Regel

Förskjutningar i yy-led

Genom att lägga till en konstant till funktionsuttrycket förskjuter man dess graf i yy-led. I det generella uttrycket betecknas denna konstant D.D. Om man till exempelvis adderar 22 förskjuts kurvan uppåt 22 längdenheter. På samma sätt förskjuts den nedåt om man subtraherar en konstant.

För att läsa av förskjutningar i yy-led mäter man avståndet från xx-axeln till jämviktslinjen. Om det är lättare att läsa av minimi- och maximivärdena för grafen går det också bra att räkna ut förskjutningen som medelvärdet av dessa.

D=ymin+ymax2D = \dfrac{y_\text{min} + y_\text{max}}{2}

Konstanten DD ändrar funktionens nollställen men påverkar varken dess amplitud eller dess period.

Regel

Förskjutningar i xx-led

För att förskjuta grafen i xx-led lägger man till en konstant CC till xx-värdet. f(x)=sin(x+C) f(x) = \sin(x + C) Om konstanten CC är positiv förskjuts kurvan åt vänster med detta värde och om CC är negativ sker förskjutningen åt höger.

Det är viktigt att komma ihåg att CC ska adderas direkt till x,x, vilket innebär att man måste lägga till en parentes om det finns en konstant framför x.x. Till exempel kan en sinusvåg med perioden π\pi och förskjutningen 77 åt höger uttryckas som f(x)=sin(2(x7)). f(x) = \sin \left( 2(x - 7) \right).

För att läsa av en förskjutning måste man först hitta en punkt på grafen som motsvarar origo för en oförskjuten graf. För cosinuskurvor innebär detta maximipunkter medan för sinuskurvor är det skärningspunkter med jämviktslinjen där kurvan har positiv lutning, även kallade inflexionspunkter. Dessa inflexionspunkter kan alternativt bestämmas genom att beräkna medelvärdet av xx-värdena för den omgivande dalen och toppen. xinflexion=xdal+xtopp2 x_\text{inflexion} = \dfrac{x_\text{dal} + x_\text{topp}}{2}

För periodiska funktioner finns det ett oändligt antal sådana punkter, men oftast väljer man den som ligger närmast origo. För att bestämma förskjutningen mäter man sedan avståndet i xx-led från punkten till origo. Konstanten CC motsvarar detta avstånd om punkten ligger till vänster om origo och det negativa värdet av avståndet om punkten ligger till höger om origo.

Uppgift


Bestäm konstanterna CC och DD till funktionen f(x)=sin(0.5(x+C))+D f(x) = \sin \left( 0.5(x + C) \right) + D så att dess graf ser ut som i figuren.

Lösning

Vi börjar med att bestämma konstanten D,D, som avgör förskjutningen i yy-led. Det kan man göra genom att mäta avståndet från xx-axeln till jämviktslinjen. I det här fallet kan vi läsa av det värdet som y=1.y = 1.

Förskjutningen är uppåt så konstanten DD ska vara positiv, vilket ger D=1.D = 1. Vi hade också kunnat beräkna detta som medelvärdet av funktionens minsta värde, ymin=0,y_\text{min} = 0, och dess största värde, ymax=2.y_\text{max} = 2. D=ymin+ymax2=0+22=1 D = \dfrac{y_\text{min} + y_\text{max}}{2} = \dfrac{0 + 2}{2} = 1 För att bestämma konstanten C,C, som ger grafens förskjutning i xx-led, måste man först hitta en punkt på grafen som motsvarar origo för en oförskjuten graf. Vi har en sinusfunktion, vilket innebär att vi söker en skärningspunkt med jämviktslinjen där grafen har positiv lutning. I grafen finns det bara en sådan punkt.

Förskjutningen i xx-led är alltså π2\frac{\pi}{2} åt vänster. Det ger oss C=π2,C = \frac{\pi}{2}, eftersom positiva CC ger förskjutningar åt vänster. Vi har nu bestämt båda konstanterna: C=π2ochD=1. C = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{och} \quad D = 1.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Amplitud, period och förskjutningar

I figuren kan man ändra på de olika konstanterna i den generella funktionen för en sinuskurva och se hur de påverkar grafen.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm följande funktioners amplitud och period. Vinkelenheten som används i samtliga deluppgifter är grader.

a

y=4sin(x)y=4\sin(x)

b

y=sin(4x)y=\sin(4x)

c

y=0.6cos(0.1x)y=0.6\cos(0.1x)

d
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange det största och det minsta värde som funktionen antar.

a

y=3sin(5x)+1y=3\sin(5x)+1

b

y=8sin(2x85)y=8\sin(2x-85^\circ)

c

y=-6cos(4x)y=\text{-} 6\cos(4x)

d

y=0.8cos(x)5y=0.8\cos(x)-5

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Anpassa en sinusfunktion till kurvan.

b

Hitta en sinusfunktion som ger denna kurva.

c

Anpassa en cosinusfunktion till kurvan nedan.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa kurvorna till följande funktioner. Använd vinkelenheten radianer för samtliga funktioner.

a

f(x)=sin(x)3f(x) = \sin(x) - 3

b

g(x)=3cos(x)g(x) = 3\cos(x)

c

h(x)=sin(2πx)h(x) = \sin(2\pi x)

d

k(x)=cos(x+π2)k(x) = \cos \left(x+\frac{\pi}{2} \right)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemen nedan finns följande funktioner avbildade. y=sin(x)y=sin(x+π)y=2sin(x+π)y=sin(2(x+π2))y=2sin(x+2π))y=2sin(0.5(x+2π))\begin{aligned} y&=\sin(x) & y&=\sin(x+\pi) \\[0.3em] y&=2\sin(x+\pi) & y&=\sin \left(2 \left(x+\dfrac{\pi}{2} \right) \right) \\[0.7em] y&=2\sin(x+2\pi)) & y&=2\sin(0.5(x+2\pi)) \end{aligned} Para ihop rätt funktion med rätt graf.






Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm följande kurvors perioder.

a
b
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Anitas blodsockernivå beter sig inte på samma sätt som för de flesta. Under en viss dag varierade den enligt grafen nedan, där yy är hennes blodsockernivå mätt i enheten mmol/L och xx är tiden i timmar efter midnatt. När hennes blodsockernivå understiger 66 mmol/L blir hon nedstämd, men annars är hon glad.

a

Den här dagen somnade hon klockan 1010 på kvällen, hur var hennes humör då?

b

På morgonen vaknade hon vid klockan 6.6. Använd grafen för att approximativt bestämma hur länge hon var nedstämd under tiden hon var vaken.

c

Bestäm en trigonometrisk funktion vars kurva ser ut som den i grafen. Använd funktionen för att bestämma mer exakt hur länge hon var nedstämd under tiden hon var vaken.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa graferna till funktionerna. Alla vinklar är i radianer.

a

f(x)=2.5cos(2x)+5f(x) = 2.5\cos(2x) + 5

b

g(x)=7sin(π(x3))2g(x) = 7\sin(\pi(x-3)) - 2

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bolaget Banoh, Dahl & Bergh AB tillverkar berg- och dalbanor. Formen på deras mest populära banor kan matematiskt beskrivas som sinusfunktioner. Förra året sålde de en bana till nöjesfältet Hertoghuit i Baarle i Nederländerna. Banan som såldes har formen y=23sin(0.068(x23.1))+26,y=23\sin(0.068(x-23.1))+26, där yy är höjden över marken i meter och xx är det horisontella avståndet från startpunkten.

a

Hur stort är avståndet i höjdled mellan den högsta och lägsta punkten på berg- och dalbanan?

b

Hur många meter över marken finns den högsta respektive lägsta punkten på berg- och dalbanan?

c

I samma stad i Nederländerna finns det ytterligare ett nöjesfält, Flach Nassaugrand. Konkurrensen mellan de båda nöjesfälten är knivskarp och därför valde ledningen för Flach Nassaugrand att även de från och med i år måste ha en av de populära berg- och dalbanorna, men som är högre och brantare än den i Hertoghuit. Hur kan funktionen ändra sig för en sådan berg- och dalbana?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Alla sinuskurvor kan skrivas på formen y=Asin(B(x+C))+D.y = A\sin(B(x + C)) + D. Visa att man kan beskriva samtliga kurvor utan att behöva använda negativa värden på varken AA eller B.B.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I Lisas matematikbok finns följande uppgift:

Lisa löser uppgiften så här:

NP-Ma4-uppg-23vt14.svg

Lisas lösning är inte korrekt. Hjälp Lisa att lösa uppgiften korrekt.

Nationella provet VT13 Ma4
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett av världens mest kända klocktorn hör till Houses of Parliament i London och kallas ofta för Big Ben. En affärsman i USA, Ronald Dumb, bestämde sig för att bygga en kopia av detta klocktorn och han gav sitt klocktorn namnet Big Ron. Men Ronald Dumb gjorde en miss i ritningarna och på hans torn är tim- och minutvisaren lika långa. Om man från midnatt och framåt mäter avståndet från marken till spetsen på Big Rons klockas tim- och minutvisare får man följande resultat där yy är meter över marken och xx är tiden i timmar efter midnatt.


a

Hur långa är klockans visare?

b

Använd grafen för att uppskatta när visarna för första gången efter midnatt pekar åt samma håll.

c

Använd grafen för att uppskatta när visarna för första gången efter midnatt pekar åt motsatt håll.

d

Hur många gånger pekar visarna åt samma håll under ett dygn?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Antalet timmar per dygn, y,y, som solen är ovanför horisonten i Stockholm kan modelleras med sinusfunktionen y=12.25+6.25sin(2π(x82)365),y=12.25+6.25\sin \left( \frac{2\pi(x-82)}{365} \right), där xx är tiden i dygn räknat från första januari.

a

Hur lång är årets längsta dag och vilket datum inträffar den?

b

Hur lång är årets kortaste dag och vilket datum inträffar den?

c

Förenklat kan man säga att vårdagjämning och höstdagjämning är tidpunkter då natt och dag är lika långa. Bestäm vilka datum detta inträffar.

d

I Nairobi i Kenya infaller årets längsta dag den 21:a21\text{:a} december och den är ungefär 12.7512.75 timmar lång. Årets kortaste dag infaller den 21:a21\text{:a} juni och den är ungefär 11.511.5 timmar lång. Anpassa funktionen i uppgiften så att den stämmer på Nairobi.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}