mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Egenskaper hos funktioner

Trigonometriska kurvors egenskaper

Det finns många sätt att påverka trigonometriska kurvors utseende. Man kan till exempel ändra deras amplitud, deras period eller förskjuta dem i eller led. För sinus- och cosinuskurvor görs detta genom att variera konstanterna i deras generella funktioner.


och

Begrepp

Amplitud

Amplituden för en sinus- eller cosinusfunktion är definierad som avståndet i led mellan jämviktslinjen som funktionen pendlar kring och någon av dess minimi- eller maximipunkter. Eftersom amplituden är ett avstånd är den alltid positiv. Konstanten i det generella funktionsuttrycket kan dock vara negativ. Funktionens amplitud motsvaras därför av absolutbeloppet av

Differensen mellan maximi- och minimivärdet för funktionen motsvarar dubbla amplituden. Detta ger en formel för att beräkna amplituden.

Konstanten påverkar kurvans utsträckning i led utan att dess nollställen, period eller jämviktslinje ändras.

Begrepp

Period

Perioden för en funktion är det kortaste avståndet i led mellan två motsvarande punkter på funktionens graf. För en sinus- eller cosinusfunktion mäter man ofta detta mellan närliggande toppar, dalar eller motsvarande nollställen. I det generella funktionsuttrycket påverkar man perioden genom att ändra värdet på konstanten

Från grafen kan man läsa av perioderna och för respektive Funktionens period halveras alltså om fördubblas. Generellt kan man beräkna perioden hos en sinus- eller cosinusfunktion genom att dividera eller med absolutbeloppet av


eller

Vilken formel man väljer beror på vinkelenheten som används. Att det ska divideras med just absolutbeloppet av beror på att kan vara ett negativt tal medan en period är en längd — den måste vara positiv. Konstanten påverkar funktionens period utan att dess amplitud eller jämviktslinje förändras.

fullscreen
Uppgift

Ange en funktion på formen där och är positiva konstanter, vars graf ser ut som den i figuren.

Visa Lösning
Lösning

För att kunna bestämma och behöver vi ta reda på funktionens amplitud och period. Amplituden kan man beräkna med formeln Ur grafen avläser vi som och som

Vi beräknar nu amplituden.

Amplituden är alltså Eftersom vi vet att är ett positivt tal måste även det vara För att sedan bestämma använder vi formeln Då måste vi först läsa av perioden

Perioden är alltså vilket vi sätter in i formeln för att sedan lösa ut
Lös ut |B|
Från uppgiften vet vi att båda konstanterna är positiva, så måste vara lika med Sätter vi in och i funktionsuttrycket får vi slutligen vår funktion.
Regel

Förskjutningar i -led

Genom att lägga till en konstant till funktionsuttrycket förskjuter man dess graf i -led. I det generella uttrycket betecknas denna konstant Om man till exempelvis adderar förskjuts kurvan uppåt längdenheter. På samma sätt förskjuts den nedåt om man subtraherar en konstant.

För att läsa av förskjutningar i -led mäter man avståndet från -axeln till jämviktslinjen. Om det är lättare att läsa av minimi- och maximivärdena för grafen går det också bra att räkna ut förskjutningen som medelvärdet av dessa.

Konstanten ändrar funktionens nollställen men påverkar varken dess amplitud eller dess period.

Regel

Förskjutningar i -led

För att förskjuta grafen i -led lägger man till en konstant till -värdet. Om konstanten är positiv förskjuts kurvan åt vänster med detta värde och om är negativ sker förskjutningen åt höger.

Det är viktigt att komma ihåg att ska adderas direkt till vilket innebär att man måste lägga till en parentes om det finns en konstant framför Till exempel kan en sinusvåg med perioden och förskjutningen åt höger uttryckas som

För att läsa av en förskjutning måste man först hitta en punkt på grafen som motsvarar origo för en oförskjuten graf. För cosinuskurvor innebär detta maximipunkter medan för sinuskurvor är det skärningspunkter med jämviktslinjen där kurvan har positiv lutning, även kallade inflexionspunkter. Dessa inflexionspunkter kan alternativt bestämmas genom att beräkna medelvärdet av -värdena för den omgivande dalen och toppen.

För periodiska funktioner finns det ett oändligt antal sådana punkter, men oftast väljer man den som ligger närmast origo. För att bestämma förskjutningen mäter man sedan avståndet i -led från punkten till origo. Konstanten motsvarar detta avstånd om punkten ligger till vänster om origo och det negativa värdet av avståndet om punkten ligger till höger om origo.

fullscreen
Uppgift


Bestäm konstanterna och till funktionen så att dess graf ser ut som i figuren.

Visa Lösning
Lösning

Vi börjar med att bestämma konstanten som avgör förskjutningen i -led. Det kan man göra genom att mäta avståndet från -axeln till jämviktslinjen. I det här fallet kan vi läsa av det värdet som

Förskjutningen är uppåt så konstanten ska vara positiv, vilket ger Vi hade också kunnat beräkna detta som medelvärdet av funktionens minsta värde, och dess största värde, För att bestämma konstanten som ger grafens förskjutning i -led, måste man först hitta en punkt på grafen som motsvarar origo för en oförskjuten graf. Vi har en sinusfunktion, vilket innebär att vi söker en skärningspunkt med jämviktslinjen där grafen har positiv lutning. I grafen finns det bara en sådan punkt.

Förskjutningen i -led är alltså åt vänster. Det ger oss eftersom positiva ger förskjutningar åt vänster. Vi har nu bestämt båda konstanterna:

Begrepp

Amplitud, period och förskjutningar

I figuren kan man ändra på de olika konstanterna i den generella funktionen för en sinuskurva och se hur de påverkar grafen.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward