| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Derivera funktion
D(gf)=g2D(f)⋅g−f⋅D(g)
Derivera term för term
D(x)=1, D(a)=0
D(xn)=nxn−1
Multiplicera parenteser
Ta bort parentes & byt tecken
Förenkla termer
x≈-0.4
Slå in på räknare
Avrunda till 1 decimal(er)
x≈2.4
Slå in på räknare
Avrunda till 1 decimal(er)
För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.
Derivera funktion
D(gf)=g2D(f)⋅g−f⋅D(g)
Derivera term för term
D(ax)=a, D(a)=0
D(xn)=nxn−1
D(un)=nun−1⋅D(u)
Derivera term för term
D(x)=1, D(a)=0
(ab)c=ab⋅c
Förkorta med (x−1)
Multiplicera faktorer
Bryt ut 2
a⋅a=a2
När man nu har andraderivatan sätter man in de stationära punkternas x-värden och beräknar. I det här fallet är det endast tecknet som är intressant. Därav får inte avrundade x-värden stoppas in i uttrycket eftersom felmarginalen skulle kunna leda till fel klassificering.
x=1−2
Slå in på räknare
Andraderivatan då x=1−2 är negativ, så det finns en maximipunkt där.
x=1−2
Slå in på räknare
När x=1+2 är andraderivatan istället positiv, så där finns en minimipunkt. Man kan nu markera de ungefärliga stationära punkterna (-0.4,0.2) och (2.4,5.8) som en maximi- respektive minimipunkt i ett koordinatsystem.
Nu fortsätter man med att söka efter vertikala asymptoter. I det här fallet är f(x) en rationell funktion — då är det lämpligt att leta där den är odefinierad, dvs. då x=1. När x går mot 1 går hela kvoten mot oändligheten, så funktionen har den vertikala asymptoten x=1. Detta kan man bekräfta numeriskt genom att sätta in x-värden närmare och närmare 1 i funktionsuttrycket.
x | 1.1 | 1.01 | 1.001 | 1.0001 | →1+ |
---|---|---|---|---|---|
x−1x2+x | 23.1 | 203.01 | 2003.001 | 20003.0001 | →∞ |
Nu kan denna asymptot markeras i koordinatsystemet.
Sätt in uttryck
ba/c=b⋅ca
Förkorta med x
Förkorta med x
Dela upp bråk
Förenkla kvot
Sätt in uttryck
a⋅1=a
a=(x−1)(x−1)⋅a
Subtrahera bråk
Multiplicera in x
Ta bort parentes & byt tecken
Förenkla termer
Förkorta med x
Dela upp bråk
Förenkla kvot
x→∞
Subtrahera term
Beräkna kvot
För att få en ännu bättre idé om grafens utseende kan man bestämma några ytterligare punkter på grafen. I det här fallet är det inte helt uppenbart hur snabbt grafen närmar sig asymptoterna så det kan vara intressant att undersöka några x-värden omkring extrempunkterna.
x | x−1x2+x | f(x) |
---|---|---|
-2 | -2−1(-2)2+(-2) | ∼-0.67 |
0.5 | 0.5−10.52+0.5 | -1.5 |
1.5 | 1.5−11.52+1.5 | 7.5 |
4 | 4−142+4 | ∼6.67 |
När dessa punkter placeras ut blir det ännu tydligare hur grafen ser ut.
Nu finns det tillräckligt med information för att skissa grafen. När avståndet till origo ökar ska grafen närma sig asymptoterna. Grafen till f(x)=x−1x2+x ser alltså ut på följande vis.