Skissa grafer med hjälp av asymptoter

Vi kan börja med att rita funktionens tre asymptoter i ett koordinatsystem.

Nu fortsätter vi med att markera följande punkter, som vi fått från uppgiften. (-sqrt(10),0)&, (sqrt(10),0) [0.45em] (-2,- 125)&, (2,- 125) [0.85em] (-5,- 158)&, (5,- 158) För att markera dessa punkter behöver vi avgöra ungefär hur mycket sqrt(10), -12/5 och -15/8 är. Vi gör det genom att slå in talen på räknare eller resonera oss fram: sqrt(10)≈3,2, -12/5=-2,4, -15/8≈-1,9. Nu kan vi sätta ut de sex punkterna.

Vi vet också att funktionen har en stationär punkt i (0,-20/9) och att denna är en maximipunkt eftersom det är angivet att andraderivatan är negativ i x=0. Vi markerar även denna punkt i koordinatsystemet.

Nu kan vi skissa själva kurvan, och börjar med att sammanfoga maximipunkten med de intilliggande punkterna samt låter kurvan gå nedåt mot -∞, mot de vertikala asymptoterna.

Nu sammanfogar vi de andra punkterna parvis och låter kurvan komma närmare och närmare den horisontella asymptoten när x går mot ±∞ respektive de vertikala asymptoterna för stora värden på y.

Till sist snyggar vi upp bilden lite så att själva grafen syns bättre.

I stationära punkter är derivatan 0 så vi deriverar f(x)=x^2+1/x och löser ekvationen f'(x)=0. Eftersom funktionsuttrycket är en kvot av två funktioner använder vi kvotregeln.

Nu sätter vi derivatan lika med 0 och löser ekvationen.

Funktionen har alltså stationära punkter för x=-1 och x=1. Vi sätter in dessa x-värden i funktionen för att bestämma motsvarande y-värden.

Funktionens ena stationära punkt är alltså (-1,-2). Nu sätter vi in x=1.

Funktionens andra stationära punkt är (1,2). För att bestämma de stationära punkternas karaktär kan vi t.ex. avgöra andraderivatans tecken i dessa punkter. Vi börjar därför med att derivera f'(x)=1-1/x^2, och för att det ska vara lite lättare skriver vi först om bråket som en potens: f'(x)=1-1/x^2=1-x^(-2). Nu deriverar vi.

Nu sätter vi in x-värdet från respektive stationär punkt i andraderivatan och avgör tecknet.

Andraderivatan är negativ då x=-1 så den stationära punkten (-1,-2) är en maximipunkt. Nu sätter vi istället in x=1 i andraderivatan.

Vi får att andraderivatan är positiv för x=1, så den stationära punkten (1,2) är en minimipunkt. Vi markerar dessa punkter i ett koordinatsystem.

Vi undersöker olika sorters asymptoter separat.

Vertikala asymptoter

För att avgöra om funktionen har några vertikala asymptoter undersöker vi om funktionsuttrycket x^2+1/x går mot ∞ eller -∞ när funktionen närmar sig något x-värde. Detta sker om nämnaren i kvoten går mot 0, dvs. då x går mot 0. Visserligen går även x^2-termen i täljaren mot 0 då, men 1:an står kvar oförändrad. Om x går mot 0 från vänster kommer funktionen gå mot -∞ och om x går mot 0 från höger kommer funktionen gå mot ∞. Funktionen har alltså den vertikala asymptoten x=0. Eftersom denna linje motsvarar y-axeln kan vi strunta i att markera den i koordinatsystemet — den finns ju redan där.

Horisontella asymptoter

Vi undersöker gränsvärdet av f(x) då x går mot oändligheten. Om denna konvergerar mot ett konstant värde har vi en horisontell asymptot. lim _(x→ ∞) f(x)=lim _(x→ ∞)x^2+1/x. Både täljaren och nämnaren går mot oändligheten när x går mot 0. Hur gör vi? Jo, vi dividerar täljare och nämnare med den term som går snabbast mot ∞, vilket i det här fallet är x^2.

Nu har vi något som vi kan bearbeta lite enklare. Täljaren kommer att gå mot 1, eftersom lim_(x→∞)1/x^2→ 0. Detta gäller även för 1/x. Alltså kommer nämnaren att gå mot 0, vilket betyder att vi dividerar talet 1 med en mindre och mindre nämnare ju större x blir, vilket innebär att gränsvärdet går mot ∞. Alltså finns det inga horisontella asymptoter.

Sneda asymptoter

Vi bestämmer eventuella sneda asymptoter genom att beräkna gränsvärdet lim _(x→ ∞)f(x)/x. Om gränsvärdet existerar så motsvarar det den sneda asymptotens k-värde.

Funktionen har alltså en sned asymptot med k-värdet 1. Vi beräknar asymptotens m-värde med gränsvärdet lim _(x→ ∞)(f(x) - kx).

Den sneda asymptoten har alltså m-värdet 0, och går därför genom origo. Eftersom k-värdet är 1 är asymptotens ekvation y=x. Vi ritar denna linje i koordinatsystemet.

I teckentabellen ser vi att funktionen har stationära punkter i (-2,-4) och (0,0), eftersom derivatan är 0 i dessa punkter. Vi kan också läsa av hur funktionen växer och avtar kring punkterna:

• Funktionen växer till vänster om (-2,-4) samt avtar till höger, vilket innebär att denna stationära punkt är en maximipunkt.
• Funktionen avtar till vänster om (0,0) samt växer till höger, så denna stationära punkt är en minimipunkt.

Vi markerar dessa extrempunkter samt de givna asymptoterna x=-1 och y=x-1 i ett koordinatsystem.

Vi avslutar med att rita ut själva grafen. Den ska närma sig den sneda asymptoten när x går mot -∞ och ∞, samt närma sig den vertikala asymptoten då x går mot -1.

Låt oss ta en titt på den givna polynomfunktionen. f(x)= 3x^5-8x^2 Den dominerande termen när |x| är stor motsvarar termen med högst grad, i detta fall är det 3x^5. Detta innebär att funktionen beter sig som 3x^5 när |x| är stor.

Den här gången letar vi efter den dominerande termen när x är nära 0. f(x)= 3x^5 -8x^2 När x är nära 0 — vilket betyder att |x| är liten — är den dominerande termen termen med lägre grad, i detta fall är det -8x^2. Detta innebär att funktionen beter sig som -8x^2 när den är nära 0.

Vi får en polynomfunktion i faktoriserad form. f(x)= x(x+3)(x-3) För att identifiera dess termer behöver vi först skriva den i standardform. Låt oss göra det!

Vi har funnit att polynomets standardform ges enligt följande. f(x)= x^3-9x Den dominerande termen när |x| är stor motsvarar termen med högst grad, i detta fall är det x^3. Detta innebär att funktionen beter sig som x^3 när |x| är stor.

Vi vill nu bestämma den dominerande termen för f(x) när x är nära 0. f(x)= x^3 -9x När x är nära 0 — vilket betyder att |x| är liten — är den dominerande termen termen med lägre grad, i detta fall är det - 9x. Detta innebär att funktionen beter sig som - 9x när den är nära 0.

Låt oss ta en närmare titt på den givna grafen.

Observera att det finns en vertikal asymptot när x=0, vilket vi kan rita i koordinatsystemet som en vertikal linje.

Vidare kan vi observera att det finns en sned asymptot som motsvarar y=- x. Vi kommer också att rita den.

Låt oss gå vidare till de stationära punkterna. Kom ihåg att dessa punkter motsvarar där grafen går från att vara växande till avtagande eller tvärtom.

I detta fall kan vi notera att funktionen alltid är avtagande och är odefinierad för x=0. Detta betyder att den inte har några stationära punkter, så svaret är B.

Låt oss titta på den givna rationella funktionen. g(x) = x^2-1/x-1 En rationell funktion är odefinierad vid de punkter där dess nämnare blir 0, det vill säga vi behöver hitta lösningarna till följande ekvation. x-1=0 Lösningen till denna ekvation är x=1, vilket innebär att vår rationella funktion inte är definierad när x=1.

Vi ombeds att bestämma följande gränsvärde. lim _(x→ 1) x^2-1/x-1 Observera att täljaren är en differens av kvadrater som vi kan faktorisera. x^2-1/x-1 = (x+1)(x-1)/x-1 Eftersom vi tar gränsvärdet när x närmar sig 1, har vi att x ≠ 1, så vi kan förenkla kvoten. Detta gör att vi kan beräkna gränsvärdet genom direkt insättning. Låt oss göra det!

Vi fann i del B att när x≠1 förenklas funktionen. f(x) = x+1 x ≠ 0 Detta gör att vi kan rita dess graf samtidigt som vi har i åtanke att funktionen inte är definierad för x=1. Eftersom gränsvärdet när x → 1 är 2 placerar vi en öppen punkt vid (1,2).

Betrakta den givna funktionen. f(x)= ax^4 + bx Den dominerande termen när |x| är litet är bx. Låt oss nu titta på hur grafen beter sig nära origo.

Vi kan se att funktionen beter sig som en linjär funktion med positiv lutning nära 0. Detta betyder att b > 0. Låt oss nu fokusera på den dominerande termen när |x| är stort.

Den här gången beter sig funktionen som en fjärdegradskurva som öppnar sig nedåt. Detta innebär att a < 0. Därför är de sanna påståendena a < 0 och b > 0.