Logga in
| 2 sidor teori |
| 6 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Derivera funktion
D(gf)=g2D(f)⋅g−f⋅D(g)
Derivera term för term
D(x)=1, D(a)=0
D(xn)=nxn−1
Multiplicera parenteser
Ta bort parentes & byt tecken
Förenkla termer
x≈−0.4
Slå in på räknare
Avrunda till 1 decimal(er)
x≈2.4
Slå in på räknare
Avrunda till 1 decimal(er)
För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.
Derivera funktion
D(gf)=g2D(f)⋅g−f⋅D(g)
Derivera term för term
D(ax)=a, D(a)=0
D(xn)=nxn−1
D(un)=nun−1⋅D(u)
Derivera term för term
D(x)=1, D(a)=0
(ab)c=ab⋅c
Förkorta med (x−1)
Multiplicera faktorer
Bryt ut 2
a⋅a=a2
När man nu har andraderivatan sätter man in de stationära punkternas x−värden och beräknar. I det här fallet är det endast tecknet som är intressant. Därav får inte avrundade x−värden stoppas in i uttrycket eftersom felmarginalen skulle kunna leda till fel klassificering.
x=1−2
Slå in på räknare
Andraderivatan då x=1−2 är negativ, så det finns en maximipunkt där.
x=1−2
Slå in på räknare
När x=1+2 är andraderivatan istället positiv, så där finns en minimipunkt. Man kan nu markera de ungefärliga stationära punkterna (−0.4,0.2) och (2.4,5.8) som en maximi- respektive minimipunkt i ett koordinatsystem.
Nu fortsätter man med att söka efter vertikala asymptoter. I det här fallet är f(x) en rationell funktion — då är det lämpligt att leta där den är odefinierad, dvs. då x=1. När x går mot 1 går hela kvoten mot oändligheten, så funktionen har den vertikala asymptoten x=1. Detta kan man bekräfta numeriskt genom att sätta in x−värden närmare och närmare 1 i funktionsuttrycket.
x | 1.1 | 1.01 | 1.001 | 1.0001 | →1+ |
---|---|---|---|---|---|
x−1x2+x | 23.1 | 203.01 | 2003.001 | 20003.0001 | →∞ |
Nu kan denna asymptot markeras i koordinatsystemet.
Sätt in uttryck
ba/c=b⋅ca
Förkorta med x
Förkorta med x
Dela upp bråk
Förenkla kvot
Sätt in uttryck
a⋅1=a
a=(x−1)(x−1)⋅a
Subtrahera bråk
Multiplicera in x
Ta bort parentes & byt tecken
Förenkla termer
Förkorta med x
Dela upp bråk
Förenkla kvot
x→∞
Subtrahera term
Beräkna kvot
För att få en ännu bättre idé om grafens utseende kan man bestämma några ytterligare punkter på grafen. I det här fallet är det inte helt uppenbart hur snabbt grafen närmar sig asymptoterna så det kan vara intressant att undersöka några x−värden omkring extrempunkterna.
x | x−1x2+x | f(x) |
---|---|---|
−2 | −2−1(−2)2+(−2) | ∼−0.67 |
0.5 | 0.5−10.52+0.5 | −1.5 |
1.5 | 1.5−11.52+1.5 | 7.5 |
4 | 4−142+4 | ∼6.67 |
När dessa punkter placeras ut blir det ännu tydligare hur grafen ser ut.
Nu finns det tillräckligt med information för att skissa grafen. När avståndet till origo ökar ska grafen närma sig asymptoterna. Grafen till f(x)=x−1x2+x ser alltså ut på följande vis.
I stationära punkter är derivatan 0 så vi deriverar f(x)=x^2+1/x och löser ekvationen f'(x)=0. Eftersom funktionsuttrycket är en kvot av två funktioner använder vi kvotregeln.
Nu sätter vi derivatan lika med 0 och löser ekvationen.
Funktionen har alltså stationära punkter för x=-1 och x=1. Vi sätter in dessa x-värden i funktionen för att bestämma motsvarande y-värden.
Funktionens ena stationära punkt är alltså (-1,-2). Nu sätter vi in x=1.
Funktionens andra stationära punkt är (1,2). För att bestämma de stationära punkternas karaktär kan vi t.ex. avgöra andraderivatans tecken i dessa punkter. Vi börjar därför med att derivera f'(x)=1- 1x^2, och för att det ska vara lite lättare skriver vi först om bråket som en potens: f'(x)=1- 1x^2=1-x^(-2). Nu deriverar vi.
Nu sätter vi in x-värdet från respektive stationär punkt i andraderivatan och avgör tecknet.
Andraderivatan är negativ då x=-1 så den stationära punkten (-1,-2) är en maximipunkt. Nu sätter vi istället in x=1 i andraderivatan.
Vi får att andraderivatan är positiv för x=1, så den stationära punkten (1,2) är en minimipunkt. Vi markerar dessa punkter i ett koordinatsystem.
Vi undersöker olika sorters asymptoter separat.
För att avgöra om funktionen har några vertikala asymptoter undersöker vi om funktionsuttrycket x^2+1/x går mot ∞ eller -∞ när funktionen närmar sig något x-värde. Detta sker om nämnaren i kvoten går mot 0, dvs. då x går mot 0. Visserligen går även x^2-termen i täljaren mot 0 då, men 1:an står kvar oförändrad. Om x går mot 0 från vänster kommer funktionen gå mot -∞ och om x går mot 0 från höger kommer funktionen gå mot ∞. Funktionen har alltså den vertikala asymptoten x=0. Eftersom denna linje motsvarar y-axeln kan vi strunta i att markera den i koordinatsystemet — den finns ju redan där.
Vi undersöker gränsvärdet av f(x) då x går mot oändligheten. Om denna konvergerar mot ett konstant värde har vi en horisontell asymptot. lim_(x→∞)f(x)=lim_(x→∞)x^2+1/x. Både täljaren och nämnaren går mot oändligheten när x går mot 0. Hur gör vi? Jo, vi dividerar täljare och nämnare med den term som går snabbast mot ∞, vilket i det här fallet är x^2.
Nu har vi något som vi kan bearbeta lite enklare. Täljaren kommer att gå mot 1, eftersom lim_(x→∞)1/x^2→ 0. Detta gäller även för 1x. Alltså kommer nämnaren att gå mot 0, vilket betyder att vi dividerar talet 1 med en mindre och mindre nämnare ju större x blir, vilket innebär att gränsvärdet går mot ∞. Alltså finns det inga horisontella asymptoter.
Vi bestämmer eventuella sneda asymptoter genom att beräkna gränsvärdet lim _(x→∞)f(x)/x. Om gränsvärdet existerar så motsvarar det den sneda asymptotens k-värde.
Funktionen har alltså en sned asymptot med k-värdet 1. Vi beräknar asymptotens m-värde med gränsvärdet lim _(x→∞)(f(x) - kx).
Den sneda asymptoten har alltså m-värdet 0, och går därför genom origo. Eftersom k-värdet är 1 är asymptotens ekvation y=x. Vi ritar denna linje i koordinatsystemet.
Skissa grafen till funktionen g(x) givet följande teckentabell samt att funktionen har den vertikala asymptoten x=−1 och den sneda asymptoten y=x−1.
x | −2 | −1 | 0 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
g′(x) | + | 0 | − | odef. | − | 0 | + |
g(x) | ↗ | −4 | ↘ | odef. | ↘ | 0 | ↗ |
I teckentabellen ser vi att funktionen har stationära punkter i (-2,-4) och (0,0), eftersom derivatan är 0 i dessa punkter. Vi kan också läsa av hur funktionen växer och avtar kring punkterna:
Vi markerar dessa extrempunkter samt de givna asymptoterna x=-1 och y=x-1 i ett koordinatsystem.
Vi avslutar med att rita ut själva grafen. Den ska närma sig den sneda asymptoten när x går mot -∞ och ∞, samt närma sig den vertikala asymptoten då x går mot -1.
Vi kan börja med att rita funktionens tre asymptoter i ett koordinatsystem.
Nu fortsätter vi med att markera följande punkter, som vi fått från uppgiften. (-sqrt(10),0)&, (sqrt(10),0) [0.45em] (-2,- 125)&, (2,- 125) [0.85em] (-5,- 158)&, (5,- 158) För att markera dessa punkter behöver vi avgöra ungefär hur mycket sqrt(10), - 125 och - 158 är. Vi gör det genom att slå in talen på räknare eller resonera oss fram: sqrt(10)≈3.2, - 125=-2.4, - 158≈-1.9. Nu kan vi sätta ut de sex punkterna.
Vi vet också att funktionen har en stationär punkt i (0,-20/9) och att denna är en maximipunkt eftersom det är angivet att andraderivatan är negativ i x=0. Vi markerar även denna punkt i koordinatsystemet.
Nu kan vi skissa själva kurvan, och börjar med att sammanfoga maximipunkten med de intilliggande punkterna samt låter kurvan gå nedåt mot -∞, mot de vertikala asymptoterna.
Nu sammanfogar vi de andra punkterna parvis och låter kurvan komma närmare och närmare den horisontella asymptoten när x går mot ±∞ respektive de vertikala asymptoterna för stora värden på y.
Till sist snyggar vi upp bilden lite så att själva grafen syns bättre.