Sinusekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Sinusekvationer är trigonometriska ekvationer där man utgår från ett sinusvärde för att hitta motsvarande vinklar. Precis som cosinusekvationer har sinusekvationer ofta oändligt många lösningar. Det beror på att det finns oändligt många vinklar med samma sinusvärde.
Regel

Period för sinus

I enhetscirkeln ser man att exempelvis sinusvärdet 0.50.5 återkommer för två vinklar per varv.

Går man ett helt varv medurs eller moturs hamnar man på samma punkt, och därmed på samma sinusvärde. Det innebär att sinus, precis som cosinus, har perioden 360,360^\circ, eller 2π2\pi om man föredrar radianer. Eftersom sinus- och cosinusekvationer har liknande egenskaper löser man dem också på liknande sätt. Man använder dock en annan arcusfunktion och ett annat speglingssamband.
Metod

Lösa sinusekvationer

I en sinusekvation av typen sin(v)=0.7\begin{aligned} \sin(v) = 0.7 \end{aligned} är man ute efter alla vinklar vv som har sinusvärdet 0.7.0.7.

Förutom de två vinklarna som visas i enhetscirkelns första varv finns oändligt många fler, eftersom sinusfunktionen är periodisk. I metoden för att hitta alla lösningar ingår tre moment. De tre stegen är förtydligade här men när man själv löser ekvationen gör man normalt alla tre på en och samma gång.

1

Hitta en lösning med arcsin

Med funktionen arcussinus hittas en vinkel som har sinusvärdet 0.7:0.7\text{:} arcsin(0.7).\begin{aligned} \arcsin(0.7). \end{aligned}

2

Lägg till spegellösningen

Genom att spegla vinkeln arcsin(0.7)\arcsin(0.7) i yy-axeln får man ytterligare en vinkel med samma sinusvärde. Man anger båda dessa lösningar på följande sätt. arcsin(0.7)180arcsin(0.7)\begin{aligned} &\arcsin(0.7) \\ &180^\circ-\arcsin(0.7) \end{aligned}

3

Lägg till perioder

De två lösningar man kan se i enhetscirkelns första varv har nu hittats. Men sinus har perioden 360,360^\circ, eller 2π,2\pi, så genom att gå ett extra varv i enhetscirkeln hittas ytterligare två: arcsin(0.7)+360180arcsin(0.7)+360.\begin{aligned} &\arcsin(0.7)+360^\circ\\ &180^\circ-\arcsin(0.7) + 360^\circ. \end{aligned} På samma sätt kan man lägga på, eller dra bort, ett godtyckligt antal helvarv för att hitta fler lösningar. Ekvationens samtliga lösningar kan därför skrivas v=arcsin(0.7)+n360v=180arcsin(0.7)+n360\begin{aligned} &v=\arcsin(0.7)+n\cdot 360^\circ \\ &v=180^\circ-\arcsin(0.7) + n\cdot 360^\circ \end{aligned} där nn är ett heltal.

Förklaring

Hur slår man ihop lösningsmängder?

Lösningarna till en trigonometrisk ekvation kan alltid uttryckas på fler än ett sätt. Ibland kan däremot svaret förenklas genom att flera lösningsmängder slås ihop till en. Exempelvis kan lösningarna till någon ekvation beskrivas av lösningsmängderna v=-45+n360v=45+n360v=135+n360v=225+n360.\begin{aligned} v &= \text{-}45^\circ + n\cdot 360^\circ \\ v &= 45^\circ + n\cdot 360^\circ \\ v &= 135^\circ + n\cdot 360^\circ \\ v &= 225^\circ + n\cdot 360^\circ. \end{aligned} Men att lista lösningarna i fyra olika grupper är lite otympligt. Om man markerar dessa i enhetscirkeln kan man se att det är 9090^\circ mellan varje.

Just eftersom det är samma avstånd, 90,90^\circ, mellan varje par av intilliggande lösningar räcker det med ett enda uttryck för att beskriva alla lösningar:

v=45+n90. v=45^\circ + n\cdot 90^\circ.
Uppgift

Lös sinusekvationen sin(v)=0.\sin(v)=0. Svara i radianer.

Lösning
Vi använder arcussinus för att lösa ekvationen. Glöm inte att lägga till spegellösningen samt perioden 2π.2\pi.
sin(v)=0\sin(v)=0
v=arcsin(0)+n2πv=πarcsin(0)+n2π\begin{array}{l}v=\arcsin(0)+n\cdot2\pi \\ v=\pi-\arcsin(0)+n\cdot2\pi \end{array}
v=0+n2πv=π0+n2π\begin{array}{l}v=0+n\cdot2\pi \\ v=\pi-0+n\cdot2\pi \end{array}
v1=n2πv2=π+n2π\begin{array}{l}v_1=n\cdot2\pi \\ v_2=\pi+n\cdot2\pi \end{array}
Nu har vi två lösningsmängder till ekvationen. Vi ritar ut vinklarna i enhetscirkeln för n=0,n=0, dvs. 02π=0ochπ+02π=π. 0\cdot2\pi=0\quad\text{och}\quad\pi+0\cdot2\pi=\pi.

Övriga lösningar till ekvationen får man genom att låta nn vara andra heltal, men vinklarna kommer alltid att motsvara punkterna (1,0)(1,0) och (-1,0):(\text{-}1,0)\text{:} -2π, -π, 0, π, 2π, 3π,  \ldots \text{-} 2\pi,\ \text{-}\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ \ldots Mellan två intilliggande lösningar är det samma avstånd, π.\pi. Det betyder att vi kan slå ihop lösningsmängderna till en med perioden π:\pi\text{:} v=nπ. v=n\cdot \pi.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm följande sinusvärden utan att använda räknare.

a
sin(90)\sin \left( 90^\circ \right)
b
sin(3π4)\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)
c
sin(420)\sin \left( 420^\circ \right)
d
sin(-π6)\sin\left(\text{-} \dfrac{\pi}{6}\right)
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer utan att använda miniräknare. Svara i enheten radianer.

a
sin(x)=12\sin(x)=\dfrac{1}{2}
b
sin(x)32=0\sin(x)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara i grader med en decimals noggrannhet.

a
sin(x)=0.456\sin(x) = 0.456
b
sin(x)=-0.372\sin(x) = \text{-} 0.372
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös sinusekvationerna fullständigt. Svara i grader med en decimal.

a
sin(x)=0.85\sin(x) = 0.85
b
sin(x)=1\sin(x) = 1
c
sin(x4)=0.23\sin\left(\dfrac{x}{4}\right) = 0.23
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen sin(-v)=0.3754.\sin(\text{-} v) = 0.3754. Svara i radianer.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara i grader.

a

sin(x)+12=0\sin(x)+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0

sin(x)1.5=2\dfrac{\sin(x)}{1.5}=2
b
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer och svara i radianer.

a
cos(x)sin(x)=0\cos(x) \cdot \sin(x) = 0
b
cos(x)(sin(x)+12)=0\cos(x) \left(\sin(x) + \dfrac{1}{2}\right) = 0
c
(12cos(x))sin(x)=0\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\cos(x)\right)\sin(x) = 0
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd enhetscirkeln för att visa att ekvationerna sin(x)=1.7\sin(x) = 1.7 och sin(x)=-1.3\sin(x) = \text{-} 1.3 saknar lösningar.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen (sin(v)+1)(sin(v)32)=0.(\sin(v) + 1)\left(\sin(v)-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Undersök om följande ekvationer har några lösningar i det angivna intervallet och ange dem i så fall.

a
sin(x)=-0.30\sin(x) = \text{-} 0.30 i intervallet π2xπ.\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi.
b
2sin(x)1=02\sin(x) - 1 = 0 i intervallet -4πx-7π2.\text{-} 4\pi \leq x \leq \text{-} \frac{7\pi}{2}.
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Finns det någon vinkel vv så att sin(v)=0.67\sin(v) = 0.67 och 800<v<1000?800^\circ < v < 1000^\circ? Ange den i så fall.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har fått veta att cos(x)=32.\cos(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Bestäm sin(2x).\sin(2x).

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ordna följande tal i storleksordning utan att använda räknare. x=cos(36),y=cos(455),z=sin(930) x = \cos(36^\circ),\quad y = \cos(455^\circ),\quad z = \sin(930^\circ) Motivera.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tesa och Fredrik har fått i uppdrag att beskriva hur man kan lösa en ekvation på formen sin(ax)=sin(bx). \sin(ax) = \sin(bx). Deras lärare ser att de har beskrivit det första steget i lösningen på olika sätt. Tesa har som första steg ställt upp följande fyra likheter, som hon påstår att man kan utgå ifrån för att få samtliga lösningar till ekvationen. (I)ax+n2π=bx+m2π(II)ax+n2π=πbx+m2π(III)πax+n2π=bx+m2π(IV)πax+n2π=πbx+m2π\begin{aligned} (\text{I})& & ax + n \cdot 2\pi =&\, bx + m \cdot 2\pi\\ (\text{II})& & ax + n \cdot 2\pi =&\, \pi - bx + m \cdot 2\pi\\ (\text{III})& & \pi - ax + n \cdot 2\pi =&\, bx + m \cdot 2\pi\\ (\text{IV})& & \pi - ax + n \cdot 2\pi =&\, \pi - bx + m \cdot 2\pi \end{aligned}

Konstanterna nn och mm är godtyckliga heltal. Fredrik har istället ställt upp endast två likheter som sitt första steg i lösningen:

(i)ax=bx+n2π(ii)ax=πbx+n2π,\begin{aligned} (\text{i})&& ax=&\, bx + n \cdot 2\pi\\ (\text{ii})&& ax=&\, \pi - bx + n \cdot 2\pi, \end{aligned}

där nn är ett godtyckligt heltal. Läraren pekar ut skillnaden mellan deras lösningar och konstaterar att båda har gjort rätt! Visa att Tesas fyra likheter faktiskt motsvarar de två likheterna Fredrik angivit.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka vinklar i intervallet 0<v<900^\circ < v < 90^\circ gäller att sin(3v)<12?\sin(3v) < \dfrac{1}{2}?

Nationella provet VT13 Ma4
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}