mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Trigonometriska samband och ekvationer
Sinusekvationer är trigonometriska ekvationer där man utgår från ett sinusvärde för att hitta motsvarande vinklar. Precis som cosinusekvationer har sinusekvationer ofta oändligt många lösningar. Det beror på att det finns oändligt många vinklar med samma sinusvärde.
Regel

Period för sinus

I enhetscirkeln ser man att exempelvis sinusvärdet återkommer för två vinklar per varv.

Går man ett helt varv medurs eller moturs hamnar man på samma punkt, och därmed på samma sinusvärde. Det innebär att sinus, precis som cosinus, har perioden eller om man föredrar radianer. Eftersom sinus- och cosinusekvationer har liknande egenskaper löser man dem också på liknande sätt. Man använder dock en annan arcusfunktion och ett annat speglingssamband.
Metod

Lösa sinusekvationer

I en sinusekvation av typen är man ute efter alla vinklar som har sinusvärdet

Förutom de två vinklarna som visas i enhetscirkelns första varv finns oändligt många fler, eftersom sinusfunktionen är periodisk. I metoden för att hitta alla lösningar ingår tre moment. De tre stegen är förtydligade här men när man själv löser ekvationen gör man normalt alla tre på en och samma gång.

1

Hitta en lösning med arcsin

Med funktionen arcussinus hittas en vinkel som har sinusvärdet

2

Lägg till spegellösningen

Genom att spegla vinkeln i -axeln får man ytterligare en vinkel med samma sinusvärde. Man anger båda dessa lösningar på följande sätt.

3

Lägg till perioder

De två lösningar man kan se i enhetscirkelns första varv har nu hittats. Men sinus har perioden eller så genom att gå ett extra varv i enhetscirkeln hittas ytterligare två: På samma sätt kan man lägga på, eller dra bort, ett godtyckligt antal helvarv för att hitta fler lösningar. Ekvationens samtliga lösningar kan därför skrivas där är ett heltal.

Förklaring

Hur slår man ihop lösningsmängder?

Lösningarna till en trigonometrisk ekvation kan alltid uttryckas på fler än ett sätt. Ibland kan däremot svaret förenklas genom att flera lösningsmängder slås ihop till en. Exempelvis kan lösningarna till någon ekvation beskrivas av lösningsmängderna Men att lista lösningarna i fyra olika grupper är lite otympligt. Om man markerar dessa i enhetscirkeln kan man se att det är mellan varje.

Just eftersom det är samma avstånd, mellan varje par av intilliggande lösningar räcker det med ett enda uttryck för att beskriva alla lösningar:

fullscreen
Uppgift

Lös sinusekvationen Svara i radianer.

Visa Lösning
Lösning
Vi använder arcussinus för att lösa ekvationen. Glöm inte att lägga till spegellösningen samt perioden
Nu har vi två lösningsmängder till ekvationen. Vi ritar ut vinklarna i enhetscirkeln för dvs.

Övriga lösningar till ekvationen får man genom att låta vara andra heltal, men vinklarna kommer alltid att motsvara punkterna och Mellan två intilliggande lösningar är det samma avstånd, Det betyder att vi kan slå ihop lösningsmängderna till en med perioden

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward