6. Tangensekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
6.
Tangensekvationer
Tangensekvationer är en del av trigonometrin som fokuserar på att hitta vinklar med ett givet tangensvärde. Det behandlar hur man löser dessa ekvationer, liknande sinus- och cosinusekvationer, men med unika egenskaper. Till skillnad från sinus och cosinus har tangens inte samma period. Lektionen förklarar regler och metoder för att lösa tangensekvationer, inklusive användning av arctan och periodicitet. Den ger också exempel och förklaringar på hur tangens tolkas med enhetscirkeln, och hur man använder geometriska tolkningar för att lösa problem. Det är en lektionen för att studera och förstå dessa koncept inom matematik.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Tangensekvationer
Sida av 6
En tangensekvation är en trigonometrisk ekvation där man ska hitta vinklar som har ett givet tangensvärde. Man löser dessa ekvationer på liknande sätt som sinus- och cosinusekvationer, men det finns ingen motsvarande spegling i någon av axlarna för att hitta en spegellösning. Tangens har inte heller samma period som sinus och cosinus.
Regel
Dela
Rapportera fel
Period för tangens
När man avgör perioden för sinus och cosinus kan man i enhetscirkeln se hur många grader man ska rotera för att hamna på samma punkt, och därmed samma trigonometriska värde. Den geometriska tolkningen av tangens är dock inte lika intuitiv och man använder istället sambandet tan(v)=sin(v)/cos(v) för att bestämma perioden. Sinus- och cosinusvärdet för en vinkel kan läsas av på y- respektive x-axeln.
Både sinus och cosinus har perioden 360^(∘). Betyder det att även tangens har det? Svaret är faktiskt nej, och det kan man se genom att undersöka en vinkel som är 180^(∘) större än v.
Regel
tan(v+180^(∘))=tan(v)För att beräkna det nya tangensvärdet kan man använda kvoten mellan sinus och cosinus. När en vinkel ökar med 180^(∘) byter både sinus och cosinus tecken.
Minustecknen tar ut varandra och högerledet förenklas till tan(v).
När en vinkel ökar med 180^(∘) förändras alltså inte tangensvärdet.
tan(v+180^(∘))=sin(v+180^(∘))/cos(v+180^(∘))
SinSumToNegSin
sin(v+180^(∘)) = - sin(v)
tan(v+180^(∘))=-sin(v)/cos(v+180^(∘))
CosAddHalfPeriodToNegCos
cos(v+180^(∘)) = - cos(v)
tan(v+180^(∘))=-sin(v)/-cos(v)
tan(v+180^(∘))=-sin(v)/-cos(v)
DivNegNeg
- a/- b=a/b
tan(v+180^(∘))=sin(v)/cos(v)
SinCosToTan
sin(v)/cos(v)=tan(v)
tan(v+180^(∘))=tan(v)
Metod
Dela
Rapportera fel
Lösa tangensekvationer
I en tangensekvation av typen tan(v) = 1.75 är man ute efter alla vinklar v som har tangensvärdet 1.75. Det finns oändligt många sådana eftersom tangensfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår två moment, men när man själv löser ekvationen bör de göras i samma beräkningssteg.
1
Hitta en lösning med arctan
expand_more Med funktionen arcustangens bestämmer man en vinkel som har det givna tangensvärdet. I det här fallet beräknar man alltså arctan (1.75).
2
Lägg till perioder
expand_more Tangens har perioden 180^(∘) (eller π), så genom att addera ett godtyckligt antal halva varv bestämmer man alla lösningar. Samtliga lösningar till ekvationen är alltså v=arctan(1.75)+n* 180^(∘), där n är ett heltal.
Exempel
Lös tangensekvationen fullständigt
Lös tangensekvationen tan(v+π/6)=-sqrt(3). Svara i radianer.
Visa Lösning expand_more
Vi använder arcustangens för att lösa ekvationen och kommer ihåg att lägga till perioden π.
För att lösa ut v subtraherar vi vinkeln π6 från båda led. Till sist förenklar vi högerledet.
Ekvationen har alltså lösningarna
v=-π/2+n*π.
v+π/6=arctan(-sqrt(3))+n*π
SubEqn
VL-π/6=HL-π/6
v=arctan(-sqrt(3))-π/6+n*π
ArcTanRad
\ifnumequal{-60}{0}{\arctan\left(0\right)=0}{}\ifnumequal{-60}{30}{\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}6}{}\ifnumequal{-60}{45}{\arctan\left(1\right)=\dfrac{\pi}4}{}\ifnumequal{-60}{60}{\arctan\left(\sqrt{3}\right)=\dfrac{\pi}3}{}\ifnumequal{-60}{-30}{\arctan\left(- \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=- \dfrac{\pi}6}{}\ifnumequal{-60}{-45}{\arctan\left(- 1\right)=- \dfrac{\pi}4}{}\ifnumequal{-60}{-60}{\arctan\left(- \sqrt{3}\right)=- \dfrac{\pi}3}{}
v=-π/3-π/6+n*π
ExpandFracII
Förläng π/3 med 2
v=-2π/6-π/6+n*π
SubFrac
Subtrahera bråk
v=-3π/6+n*π
ReduceFrac
Förkorta med 3
v=-π/2+n*π
Förklaring
Dela
Rapportera fel
Hur tolkas tangens med enhetscirkeln?
I enhetscirkeln kan man göra direkta avläsningar av sin(v) och cos(v) som koordinater. Motsvarande tolkning av tan(v) är dock lite krångligare. Man utgår då från definitionen av tangens i en rätvinklig triangel.
tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet
För en vinkel i enhetscirkelns första kvadrant kan man alltid rita in en rätvinklig triangel med bas x och höjd y. Enligt definitionen ges då tangensvärdet av tan(v) = yx.
Nu kan man förlänga vinkelstrecket tills det skär linjen x = 1 och låta det utgöra hypotenusan i en ny rätvinklig triangel.
Dessa trianglar har samma vinklar och är alltså likformiga. Det betyder att man lika gärna kan beräkna tan(v) med hjälp av de nya katetlängderna, x_2 och y_2: tan(v) = y_2/x_2. Triangelns bas är 1, så man kan ersätta x_2 med 1. tan(v) = y_2/1 = y_2 I första kvadranten är alltså tangensvärdet höjden på den nya triangeln! En tolkning som fungerar i alla kvadranter är att tan(v) motsvarar y-värdet för skärningspunkten mellan linjen x=1 och det förlängda vinkelstrecket.
Exempel
Är påståendena sanna eller falska?
Avgör om följande påståenden är sanna eller falska genom att resonera utifrån den geometriska tolkningen av tangens. &1. tan(v)=3har en lösning på intervallet0^(∘)≤ v≤90^(∘). [0.5em] &2. tan(v)=-2har en lösning på intervallet180^(∘)≤ v≤270^(∘). [0.5em]
Visa Lösning expand_more
Vi utreder ett påstående i taget.
Här ska vi avgöra om tangensvärdet 3 svarar mot någon vinkel på intervallet 0^(∘)≤ v≤90^(∘), dvs. i första kvadranten. Vi använder att tangensvärdet kan tolkas som y-värdet i skärningspunkten mellan linjen x=1 och vinkelstrecket i enhetscirkeln. Skärningspunkten ska då ha y-värdet 3.
Nu ska vi istället avgöra om tangensvärdet -2 motsvarar någon vinkel på intervallet 180^(∘)≤ v≤270^(∘), dvs. i tredje kvadranten. Vi använder en liknande figur som tidigare, men markerar istället skärningspunkten med y-värdet -2. 
Exempel
Dela
Rapportera fel
Första påståendet
Vilka vinklar kan skapa denna skärningspunkt? Vi ritar en rät linje som går genom origo och (1,3). Då ser vi att det finns två vinklar på första varvet som kan ge tangensvärdet 3.
Det finns en vinkel i första kvadranten och en i tredje. Påstående 1 är alltså sant.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Andra påståendet
Vilka vinklar ger upphov till denna skärningspunkt?
Det finns två vinklar: en i den andra och en i den fjärde kvadranten, men ingen i den tredje. Det andra påståendet måste därför vara falskt.
Tangensekvationer
Övningar
Lös ekvationen. Svara i grader med en decimal. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["21.8+n*180"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-67.4+n*180"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser tangensekvationer genom att hitta en lösning med arctan och sedan lägga till perioder.
Vi har nu hittat en fullständig lösning till ekvationen.
Vi löser ekvationen på samma sätt som i förra deluppgiften.
security
report
code
Lös ekvationen. Svara med radianer och avrunda till två decimaler. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0.22+n*\\dfrac{\\pi}{3}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-0.44+n*\\dfrac{\\pi}{2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser tangensekvationer genom att hitta en lösning med arctan och sedan lägga till perioder.
Vi har nu hittat en fullständig lösning till ekvationen.
Vi löser ekvationen på samma sätt.
security
report
code
Lös ekvationen. Svara exakt i grader. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-45+n*180"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["60+n*180"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi har nu både sinus och cosinus i samma ekvation. Vi har möjligheten att få kvoten .sin(x) /cos(x). som vi sedan skriver om till tan(x). Efter den omskrivningen har vi en vanlig tangensekvation som vi löser som vanligt.
Vi löser den här ekvationen med samma metod som i förra deluppgiften, men här vill vi först flytta över sqrt(3) till högerledet.
security
report
code
Lös ekvationen
1.6 + 2tan(1.5x) = 2.6
och ange alla lösningar inom intervallet 0 ≤ x ≤ 2π. Avrunda till två värdesiffror.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0.31","2.4","4.5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser den här ekvationen som en vanlig tangensekvation, men vi behöver först skriva om den så tan(1.5x) är ensamt i ena ledet.
Vi har nu en fullständig lösning av ekvationen. För att gå vidare behöver vi undersöka vilka av lösningarna som ligger inom det specificerade intervallet. Vi sätter in n tills lösningarna hamnar utanför intervallet.
| n | 0.31 + n * π/1.5 |
|---|---|
| -1 | ~ -1.8 |
| 0 | ~ 0.31 |
| 1 | ~ 2.4 |
| 2 | ~ 4.5 |
| 3 | ~ 6.6 |
Lösningen med n = 3 ligger utanför intervallet, eftersom 2π är cirka 6.28. Vi får alltså 3 lösningar som är inom intervallet. Dessa är x ≈ 0.31, x ≈ 2.4 och x ≈ 4.5.
security
report
code
Man vet att cos(v) = sqrt(3)2 och att v är en vinkel i första kvadranten. Bestäm ett exakt värde på följande.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3}{4}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{2}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Att skriva cos^2(v) är samma sak som (cos(v))^2. Det betyder att vi ska ta värdet för cos(v) och höja upp till 2.
Det betyder alltså att cos^2(v) = 34.
Vi bestämmer sin(v) genom att först hitta vinkeln v. I detta fall går det bra att få fram ett exakt värde eftersom sqrt(3)2 är cosinusvärdet för en standardvinkel, nämligen vinkeln 30^(∘). Detta är vår vinkel och den ligger i första kvadranten precis som den ska. För v i första kvadranten gäller att
cos(v) = sqrt(3)/2 ⇔ v = 30^(∘).
Vi kan nu bestämma sin(v) för v = 30^(∘).
sin(30^(∘)) = 1/2
Tangens för en vinkeln kan skrivas som
tan(v) = sin(v)/cos(v)
Eftersom vi vet värdena för sin(v) och cos(v) kan vi beräkna tan(v).
Det betyder alltså att tan(v) = 1sqrt(3).
security
report
code
Tangensekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll