mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
article Artikel
menu_book Lösningar till böcker
school eKurser
question_answer Community
description Uppgiftsblad
calculate Math Solver
arrow_back arrow_forward
En tangensekvation är en trigonometrisk ekvation där man ska hitta vinklar som har ett givet tangensvärde. Man löser dessa ekvationer på liknande sätt som sinus- och cosinusekvationer, men det finns ingen motsvarande spegling i någon av axlarna för att hitta en spegellösning. Tangens har inte heller samma period som sinus och cosinus.

Regel

Period för tangens

När man avgör perioden för sinus och cosinus kan man i enhetscirkeln se hur många grader man ska rotera för att hamna på samma punkt, och därmed samma trigonometriska värde. Den geometriska tolkningen av tangens är dock inte lika intuitiv och man använder istället sambandet för att bestämma perioden. Sinus- och cosinusvärdet för en vinkel kan läsas av på - respektive -axeln.

Både sinus och cosinus har perioden Betyder det att även tangens har det? Svaret är faktiskt nej, och det kan man se genom att undersöka en vinkel som är större än

Tangensvärdet för vinkeln visar sig vara samma som för

Regel

För att beräkna det nya tangensvärdet kan man använda kvoten mellan sinus och cosinus. När en vinkel ökar med byter både sinus och cosinus tecken.
Minustecknen tar ut varandra och högerledet förenklas till
När en vinkel ökar med förändras alltså inte tangensvärdet.
För varje varv i enhetscirkeln finns det alltså två punkter med samma tangensvärde, och de skiljs åt med ett halvt varv. Man kan lägga till eller dra ifrån hur många halva varv som helst men man kommer alltid att hamna på någon av dessa punkter. Perioden för tangens är därför eller Man kan skriva det där är ett godtyckligt heltal.

Metod

Lösa tangensekvationer

I en tangensekvation av typen är man ute efter alla vinklar som har tangensvärdet Det finns oändligt många sådana eftersom tangensfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår två moment, men när man själv löser ekvationen bör de göras i samma beräkningssteg.

1

Hitta en lösning med arctan

Med funktionen arcustangens bestämmer man en vinkel som har det givna tangensvärdet. I det här fallet beräknar man alltså

2

Lägg till perioder

Tangens har perioden (eller ), så genom att addera ett godtyckligt antal halva varv bestämmer man alla lösningar. Samtliga lösningar till ekvationen är alltså där är ett heltal.

fullscreen
Uppgift

Lös tangensekvationen Svara i radianer.

Visa Lösning
Lösning
Vi använder arcustangens för att lösa ekvationen och kommer ihåg att lägga till perioden
För att lösa ut subtraherar vi vinkeln från båda led. Till sist förenklar vi högerledet.
Ekvationen har alltså lösningarna

Förklaring

Hur tolkas tangens med enhetscirkeln?

I enhetscirkeln kan man göra direkta avläsningar av och som koordinater. Motsvarande tolkning av är dock lite krångligare. Man utgår då från definitionen av tangens i en rätvinklig triangel.

För en vinkel i enhetscirkelns första kvadrant kan man alltid rita in en rätvinklig triangel med bas och höjd Enligt definitionen ges då tangensvärdet av

Nu kan man förlänga vinkelstrecket tills det skär linjen och låta det utgöra hypotenusan i en ny rätvinklig triangel.

Dessa trianglar har samma vinklar och är alltså likformiga. Det betyder att man lika gärna kan beräkna med hjälp av de nya katetlängderna, och Triangelns bas är så man kan ersätta med I första kvadranten är alltså tangensvärdet höjden på den nya triangeln! En tolkning som fungerar i alla kvadranter är att motsvarar -värdet för skärningspunkten mellan linjen och det förlängda vinkelstrecket.

fullscreen
Uppgift

Avgör om följande påståenden är sanna eller falska genom att resonera utifrån den geometriska tolkningen av tangens.

Visa Lösning
Lösning
Vi utreder ett påstående i taget.

Exempel

Första påståendet

Här ska vi avgöra om tangensvärdet svarar mot någon vinkel på intervallet dvs. i första kvadranten. Vi använder att tangensvärdet kan tolkas som -värdet i skärningspunkten mellan linjen och vinkelstrecket i enhetscirkeln. Skärningspunkten ska då ha -värdet


Vilka vinklar kan skapa denna skärningspunkt? Vi ritar en rät linje som går genom origo och . Då ser vi att det finns två vinklar på första varvet som kan ge tangensvärdet

Det finns en vinkel i första kvadranten och en i tredje. Påstående är alltså sant.

Exempel

Andra påståendet

Nu ska vi istället avgöra om tangensvärdet motsvarar någon vinkel på intervallet dvs. i tredje kvadranten. Vi använder en liknande figur som tidigare, men markerar istället skärningspunkten med -värdet

Vilka vinklar ger upphov till denna skärningspunkt?

Det finns två vinklar: en i den andra och en i den fjärde kvadranten, men ingen i den tredje. Det andra påståendet måste därför vara falskt.

{{ 'ml-article-textbook-solutions-heading' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-description' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-expert-solutions' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-math-solver-scanner' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-answers-hints-steps' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-heading' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-description' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-interactive' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-chapter-tests' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-exercise-levels' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-rank-stats' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-video-lessons' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-course-theory' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-join-classroom' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-graphing-calculator' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-quiz-games' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-study-together' | message }}

{{ 'ml-article-community-heading' | message }}

{{ 'ml-article-community-description' | message }}

{{ 'ml-article-community-create-and-share-channels' | message }}

{{ 'ml-article-community-share-content-and-challenge' | message }}

{{ 'ml-article-community-cooperate-with-friends' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-heading' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-description' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course1' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course2' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course3' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course4' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-heading' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-description' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-photo-scan-solve' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-step-by-step' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-graph-math-problem' | message }}