Tangensekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En tangensekvation är en trigonometrisk ekvation där man ska hitta vinklar som har ett givet tangensvärde. Man löser dessa ekvationer på liknande sätt som sinus- och cosinusekvationer, men det finns ingen motsvarande spegling i någon av axlarna för att hitta en spegellösning. Tangens har inte heller samma period som sinus och cosinus.
Regel

Period för tangens

När man avgör perioden för sinus och cosinus kan man i enhetscirkeln se hur många grader man ska rotera för att hamna på samma punkt, och därmed samma trigonometriska värde. Den geometriska tolkningen av tangens är dock inte lika intuitiv och man använder istället sambandet tan(v)=sin(v)cos(v) \tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)} för att bestämma perioden. Sinus- och cosinusvärdet för en vinkel kan läsas av på yy- respektive xx-axeln.

Både sinus och cosinus har perioden 360.360^\circ. Betyder det att även tangens har det? Svaret är faktiskt nej, och det kan man se genom att undersöka en vinkel som är 180180^\circ större än v.v.

Tangensvärdet för vinkeln v+180v+180^\circ visar sig vara samma som för v.v.

Regel

tan(v+180)=tan(v)\tan(v+180^\circ)=\tan(v)
För att beräkna det nya tangensvärdet kan man använda kvoten mellan sinus och cosinus. När en vinkel ökar med 180180^\circ byter både sinus och cosinus tecken.
tan(v+180)=sin(v+180)cos(v+180)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\sin(v+180^\circ)}{\cos(v+180^\circ)}
tan(v+180)=-sin(v)cos(v+180)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\cos(v+180^\circ)}
tan(v+180)=-sin(v)-cos(v)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\text{-}\cos(v)}
Minustecknen tar ut varandra och högerledet förenklas till tan(v).\tan(v).
tan(v+180)=-sin(v)-cos(v)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\text{-}\cos(v)}
tan(v+180)=sin(v)cos(v)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}
tan(v+180)=tan(v)\tan(v+180^\circ)=\tan(v)
När en vinkel ökar med 180180^\circ förändras alltså inte tangensvärdet.
För varje varv i enhetscirkeln finns det alltså två punkter med samma tangensvärde, och de skiljs åt med ett halvt varv. Man kan lägga till eller dra ifrån hur många halva varv som helst men man kommer alltid att hamna på någon av dessa punkter. Perioden för tangens är därför 180,180^\circ, eller π.\pi. Man kan skriva det tan(v+n180)=tan(v)ellertan(v+nπ)=tan(v), \tan(v+n\cdot180^\circ)=\tan(v) \quad \text{eller} \quad \tan(v+n\cdot \pi)=\tan(v), där nn är ett godtyckligt heltal.
Metod

Lösa tangensekvationer

I en tangensekvation av typen tan(v)=1.75\begin{aligned} \tan(v) = 1.75 \end{aligned} är man ute efter alla vinklar vv som har tangensvärdet 1.75.1.75. Det finns oändligt många sådana eftersom tangensfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår två moment, men när man själv löser ekvationen bör de göras i samma beräkningssteg.

1

Hitta en lösning med arctan

Med funktionen arcustangens bestämmer man en vinkel som har det givna tangensvärdet. I det här fallet beräknar man alltså arctan(1.75).\begin{aligned} \arctan(1.75). \end{aligned}

2

Lägg till perioder

Tangens har perioden 180180^\circ (eller π\pi), så genom att addera ett godtyckligt antal halva varv bestämmer man alla lösningar. Samtliga lösningar till ekvationen är alltså v=arctan(1.75)+n180, v=\arctan(1.75)+n\cdot 180^\circ, där nn är ett heltal.

Uppgift

Lös tangensekvationen tan(v+π6)=-3.\tan\left(v+\dfrac{\pi}{6}\right)=\text{-}\sqrt{3}. Svara i radianer.

Lösning
Vi använder arcustangens för att lösa ekvationen och kommer ihåg att lägga till perioden π.\pi.
tan(v+π6)=-3\tan\left(v+\dfrac{\pi}{6}\right)=\text{-}\sqrt{3}
v+π6=arctan(-3)+nπv+\dfrac{\pi}{6}=\arctan\left(\text{-}\sqrt{3}\right)+n\cdot\pi
För att lösa ut vv subtraherar vi vinkeln π6\frac{\pi}{6} från båda led. Till sist förenklar vi högerledet.
v+π6=arctan(-3)+nπv+\dfrac{\pi}{6}=\arctan\left(\text{-}\sqrt{3}\right)+n\cdot\pi
v=arctan(-3)π6+nπv=\arctan\left(\text{-}\sqrt{3}\right)-\dfrac{\pi}{6}+n\cdot\pi
v=-π3π6+nπv=\text{-}\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}+n\cdot\pi
Förläng π3\dfrac{\pi}{3} med 22
v=-2π6π6+nπv=\text{-}\dfrac{2\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}+n\cdot\pi
v=-3π6+nπv=\text{-}\dfrac{3\pi}{6}+n\cdot\pi
v=-π2+nπv=\text{-}\dfrac{\pi}{2}+n\cdot\pi
Ekvationen har alltså lösningarna v=-π2+nπ. v=\text{-}\dfrac{\pi}{2}+n\cdot\pi.
Visa lösning Visa lösning
Förklaring

Hur tolkas tangens med enhetscirkeln?

I enhetscirkeln kan man göra direkta avläsningar av sin(v)\sin(v) och cos(v)\cos(v) som koordinater. Motsvarande tolkning av tan(v)\tan(v) är dock lite krångligare. Man utgår då från definitionen av tangens i en rätvinklig triangel.

tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

För en vinkel i enhetscirkelns första kvadrant kan man alltid rita in en rätvinklig triangel med bas xx och höjd y.y. Enligt definitionen ges då tangensvärdet av tan(v)=yx.\tan(v) = \frac{y}{x}.

Nu kan man förlänga vinkelstrecket tills det skär linjen x=1x = 1 och låta det utgöra hypotenusan i en ny rätvinklig triangel.

Dessa trianglar har samma vinklar och är alltså likformiga. Det betyder att man lika gärna kan beräkna tan(v)\tan(v) med hjälp av de nya katetlängderna, x2x_2 och y2:y_2\text{:} tan(v)=y2x2. \tan(v) = \dfrac{y_2}{x_2}. Triangelns bas är 1,1, så man kan ersätta x2x_2 med 1.1. tan(v)=y21=y2 \tan(v) = \dfrac{y_2}{1} = y_2 I första kvadranten är alltså tangensvärdet höjden på den nya triangeln! En tolkning som fungerar i alla kvadranter är att tan(v)\tan(v) motsvarar yy-värdet för skärningspunkten mellan linjen x=1x=1 och det förlängda vinkelstrecket.

Uppgift

Avgör om följande påståenden är sanna eller falska genom att resonera utifrån den geometriska tolkningen av tangens. 1. tan(v)=3 har en lsning p intervallet o¨a˚0v90.2. tan(v)=-2 har en lsning p intervallet o¨a˚180v270.\begin{aligned} &1.\ \tan(v)=3\text{ har en lösning på intervallet }0^\circ\leq v\leq90^\circ.\\[0.5em] &2.\ \tan(v)=\text{-}2\text{ har en lösning på intervallet }180^\circ\leq v\leq270^\circ.\\[0.5em] \end{aligned}

Lösning

Vi utreder ett påstående i taget.

Exempel

Första påståendet

Här ska vi avgöra om tangensvärdet 33 svarar mot någon vinkel på intervallet 0v90,0^\circ\leq v\leq90^\circ, dvs. i första kvadranten. Vi använder att tangensvärdet kan tolkas som yy-värdet i skärningspunkten mellan linjen x=1x=1 och vinkelstrecket i enhetscirkeln. Skärningspunkten ska då ha yy-värdet 3.3.


Vilka vinklar kan skapa denna skärningspunkt? Vi ritar en rät linje som går genom origo och (1,3)(1,3). Då ser vi att det finns två vinklar på första varvet som kan ge tangensvärdet 3.3.

Det finns en vinkel i första kvadranten och en i tredje. Påstående 11 är alltså sant.

Exempel

Andra påståendet

Nu ska vi istället avgöra om tangensvärdet -2\text{-}2 motsvarar någon vinkel på intervallet 180v270,180^\circ\leq v\leq270^\circ, dvs. i tredje kvadranten. Vi använder en liknande figur som tidigare, men markerar istället skärningspunkten med yy-värdet -2.\text{-}2.

Vilka vinklar ger upphov till denna skärningspunkt?

Det finns två vinklar: en i den andra och en i den fjärde kvadranten, men ingen i den tredje. Det andra påståendet måste därför vara falskt.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara i grader med en decimal.

a
tan(x)=0.4\tan(x) = 0.4
b
tan(x)=-2.4\tan(x) = \text{-} 2.4
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara med radianer och avrunda till två decimaler.

a
tan(3x)=0.8\tan(3x) = 0.8
b
tan(2x)+1.2=0\tan(2x) + 1.2 = 0
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara exakt i grader.

a
sin(x)=-cos(x)\sin(x) = \text{-} \cos(x)
b
sin(x)3=cos(x)\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{3}} = \cos(x)
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 1.6+2tan(1.5x)=2.61.6 + 2\tan(1.5x) = 2.6 och ange alla lösningar inom intervallet 0x2π.0 \leq x \leq 2\pi.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man vet att cos(v)=32\cos(v) = \frac{\sqrt{3}}{2} och att vv är en vinkel i första kvadranten. Bestäm ett exakt värde på

a

cos2(v)\cos^2(v)

b

sin(v)\sin(v)

c

tan(v).\tan(v).

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen tan(0.3v+45)=1.88.\tan(0.3v + 45^\circ) = 1.88.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de lösningar till ekvationen som ligger i intervallet -πvπ.\text{-}\pi \leq v \leq \pi.

a

tan(vπ6)=0.5\tan\left(v-\frac{\pi}{6}\right) = 0.5

b

tan(v2+π)=-1.2\tan\left(\frac{v}{2}+\pi\right) = \text{-}1.2

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

tan(v)\tan(v) antar både positiva och negativa värden på intervallet 0v2π.0 \leq v \leq 2\pi. För vilka vinklar på intervallet är tan(v)\tan(v) negativ?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen fullständigt. sin(x+π6)+cos(x+π6)=0 \sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 0

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Cotangens av en vinkel definieras av cot(v)=cos(v)sin(v).\cot(v) = \frac{\cos(v)}{\sin(v)}. För någon vinkel vv i första kvadranten är cot(v)=14.\cot(v) = \frac{1}{4}. Använd enhetscirkeln för att hitta exakta uttryck för vinkelns sinus- och cosinusvärden.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Spänningen i volt i två olika växelströmskretsar beskrivs av funktionerna u=10sin(15000t+π3) ochw=30cos(15000t+7π3),\begin{aligned} u & =10\sin\left(15\,000t+\tfrac{\pi}{3}\right) \text{ och}\\ w & =30\cos\left(15\,000t+\tfrac{7\pi}{3}\right), \end{aligned} där tt är tiden i sekunder efter att strömmen slagits på. När har kretsarna samma spänning?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}