Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Om vi jämför x-värdena då funktionerna antar y-värdet 1 med var graferna skär linjen y=1 kan vi avgöra funktionernas motsvarande grafer.

Vi kan nu ta reda på vilka x-koordinater de markerade punkterna har. Vi startar med den första funktionens skärningspunkt och löser därför ekvationen lg(x)=1.

Funktionen y=lg(x) skär alltså y=1 i x=10. I koordinatsystemet ser vi att detta är grafen markerad med III. På samma sätt kan vi ta reda på var de övriga funktionerna skär y=1 och avgöra deras motsvarande grafer.

Vi ser att våra funktioner har varsin skarp kant — de är inte deriverbara där. Kan vi säkert säga att de är deriverbara överallt annars? Vi resonerar först kring funktionen f(x). Funktionens kurva har sin skarpa kant i x = - 3, vilket är då uttrycket i absolutbeloppet byter tecken. Funktionen kan alltså delas upp i två delar, med gränsen i x = - 3. f(x) = x + 3, & x ≥ - 3 - (x + 3), & x < - 3 Vi tar bort parentesen i den andra delen av funktionen, och eftersom det är ett minustecken framför byter båda termerna tecken. - (x + 3) = - x - 3. För x större än eller lika med - 3 är f(x) = x + 3, vilket är en deriverbar funktion — den har ju alltid lutningen 1. För x mindre än - 3 är istället f(x) = - x - 3, som också är deriverbar. Funktionen f(x) är alltså deriverbar överallt förutom i sin skarpa kant. Precis samma resonemang gäller för g(x), fast den har sin skarpa kant i x = 2. Funktionerna är alltså deriverbara överallt utom i en punkt var: &f(x): x≠-3 &g(x): x≠2.

Till att börja med kan vi skriva om g(x) med logaritmlagen för en potens: g(x)=ln(x^2)=2*ln(x). För alla x kommer g(x) alltså ge samma funktionsvärde som f(x)=ln(x), fast multiplicerat med 2. Hur påverkar det graferna? Jo, grafen till g(x) kommer överallt vara dubbelt så långt från x-axeln som grafen till f(x). Det måste innebära att &I motsvararg(x)=ln(x^2)och [0.1em] &II motsvararf(x)=ln(x).

Vi vill rita grafen till absolutbeloppsfunktionen y=|- 3x+4|. När ett uttryck innanför ett absolutbelopp är positivt eller 0 har det ingen inverkan och kan tas bort. För att avgöra inom vilket intervall det sker löser vi därför olikheten - 3x+4 ≥ 0.

När x≤ 43 är uttrycket - 3x+4 positivt eller 0 och vi kan ta bort absolutbeloppstecknet. Vi delar nu upp funktionen i två delar: y= - 3x+4, & x ≤ 43 |- 3x+4|, & x > 43. När vi ska ta bort ett absolutbeloppstecken och uttrycket innanför det är negativt måste vi samtidigt byta tecken på det. När x > 43 är uttrycket negativt, alltså kan funktionen då skrivas som y=-(- 3x+4) eller y=3x-4. Vi kan nu uttrycka funktionen som y= - 3x+4, & x ≤ 43 3x-4, & x > 43. Funktionens graf utgörs alltså av linjen y = - 3x + 4 fram till x = 43 och övergår sedan till linjen y = 3x - 4. Vi ritar nu upp den.

Låt oss göra på liknande sätt som i föregående deluppgift, fast med funktionen y=|3x|-|4|. Talet 4 är alltid positivt och vi kan därför ta bort det andra absolutbeloppstecknet utan bekymmer. Funktion kan vi alltså skriva som y=|3x|-4. Vi vill nu veta när det kvarvarande absolutbeloppstecknet kan tas bort, vilket är då olikheten 3x ≥ 0 är uppfylld.

När x≥ 0 är uttrycket 3x positivt eller 0 och absolutbeloppstecknet kan tas bort. Vi skriver nu funktionen som två delar. y= |3x|-4, & x<0 3x-4, & x ≥ 0 När x<0 kan vi ta bort absolutbeloppstecknet genom att samtidigt byta tecken uttrycket innanför det. Funktionen kan därför skrivas som y=- 3x-4 för negativa värden på x. Hela funktionen blir då y= - 3x-4, & x<0 3x-4, & x ≥ 0 . Vi ritar grafen till denna funktion genom att rita delarna var för sig, y = - 3x - 4 för negativa x och y = 3x - 4 för positiva x.

På samma sätt som i föregående deluppgifter avgör vi först när innehållet i absolutbeloppet är positivt.

När x≥ 43 är uttrycket 3x-4 positivt eller 0 och absolutbeloppstecknet kan tas bort. Vi kan nu skriva funktionen som två delar. y= |3x-4|, & x< 43 3x-4, & x ≥ 43 För x< 43 tar vi bort absolutbeloppstecknet genom att byta tecken på uttrycket innanför det. Hela funktionen blir då y= - 3x+4, & x< 43 3x-4, & x ≥ 43 . Vi kan här notera att funktionen är precis samma som den i första deluppgiften, och har därmed en graf som är likadan.

Absolutbeloppet i g(x) byter tecken på negativa invärden, så funktionerna kommer skilja sig åt om f(x) är negativt. Vi kan avgöra om f(x) antar negativa värden genom att bestämma denna andragradsfunktions extremvärde, som antas i en minimipunkt eftersom koefficienten framför x^2-termen är positiv. Vi börjar med att derivera funktionen.

Nu sätter vi derivatan lika med 0 och löser ekvationen.

Vi sätter in x-koordinaten för minimipunkten i f(x) för att bestämma extremvärdet.

Det lägsta värdet som f(x) antar är 0.75, så funktionen måste vara positiv för alla värden på x. Funktionerna f(x) och g(x) är därför lika, och graferna likaså. Kim har alltså rätt.

Graferna är lika om funktionerna ger samma funktionsvärde för respektive x. Vi ser att funktionsuttrycken är väldigt lika, men absolutbeloppet i g(x) byter tecken på negativa invärden. Det innebär att funktionerna är olika om x^2-x+1 är negativt. Vi undersöker därför om f(x) antar negativa värden för något x. Först kan vi konstatera att grafen till f(x) har formen av en glad mun eftersom koefficienten framför x^2 är positiv. Om funktionen antar negativa värden kommer grafen någonstans gå under x-axeln, vilket också innebär att funktionen måste ha två nollställen.

Det är därför intressant att undersöka antalet nollställen till f(x). Vi gör det genom att ställa upp f(x)=0 och studera tecknet på diskriminanten när ekvationen löses med pq-formeln.

Diskriminanten är negativ så f(x) saknar nollställen. Det innebär att x^2-x+1 är positivt för alla x och att graferna till f(x) och g(x) ser likadana ut. Kim har alltså rätt.