Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Hur logaritmfunktionen ser ut beror på basen. Två exempel är $$f(x)={\log }_3(x)\text{och}g(x)=\ln (x),$$ där baserna är $3$ respektive talet $e$. Eftersom man enbart kan beräkna logaritmer för positiva tal är definitionsmängden för funktionerna $x>0.$ Däremot kan funktionsvärdena variera mellan $\text{-}\infty$ och $\infty ,$ vilket innebär att värdemängden är alla reella tal.

När man beräknar absolutbeloppet av ett tal, $|a|,$ blir resultatet alltid större än eller lika med $0.$ Om $a$ redan är positivt ändras det inte, men om det är negativt får man $\text{-}a,$ vilket är positivt. Absolutbeloppet kan även ses som en funktion: $$f(x)=|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ \text{-}x,& x<0.\end{array}$$ Absolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, t.ex. polynom, kan grafen hamna både ovanför och under $x$-axeln. $$f(x)=|x|g(x)=\left|x^2-4\right|h(x)=5-|x|$$ Exempelvis blir funktionen $h(x)$ negativ för $x$-värden mindre än $\text{-}5$ och större än $5.$ Graferna till $f,$ $g$ och $h$ ser ut på följande sätt.

En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter. Den formella definitionen av deriverbarhet är att gränsvärdet som definierar funktionens derivata, $$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$$