Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner
Logaritmen av ett tal är den exponent som man måste sätta på en viss bas för att få tillbaka talet. Exempelvis är tiologaritmen av lika med eftersom Generellt kan man skriva detta samband som
När man använder ordet logaritm kan man mena ett specifikt värde, t.ex. eller men man kan också syfta på den generella funktionen som beskriver alla logaritmer för en given bas.Logaritmfunktion
Hur logaritmfunktionen ser ut beror på basen. Två exempel är där baserna är respektive talet . Eftersom man enbart kan beräkna logaritmer för positiva tal är definitionsmängden för funktionerna Däremot kan funktionsvärdena variera mellan och vilket innebär att värdemängden är alla reella tal.
Logaritmfunktioners grafer
Hur grafen till en logaritmfunktion ser ut beror på vilken bas som används, men alla logaritmfunktioner har liknande utseende. Ju större är, desto större blir funktionsvärdet, men med avtagande lutning.
I koordinatsystemet är grafen till inritad, där basen är ett positivt heltal.
Bestäm konstanten
Vi undersöker om det finns några punkter som är lätta att läsa av.
Det finns två sådana punkter: och De ger oss följande samband. Från det första sambandet får vi veta att det tal man ska sätta som exponent på basen för att få är dvs. Detta gäller ju för alla positiva heltal så det hjälper oss inte så mycket. Det andra sambandet innebär att om man höjer upp till får man dvs. Eftersom alla tal upphöjda till är sig själva blir
Absolutbeloppsfunktion
När man beräknar absolutbeloppet av ett tal, blir resultatet alltid större än eller lika med Om redan är positivt ändras det inte, men om det är negativt får man vilket är positivt. Absolutbeloppet kan även ses som en funktion: Abolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, t.ex. polynom, kan grafen hamna både ovanför och under -axeln. Exempelvis blir funktionen negativ för -värden mindre än och större än Graferna till och ser ut på följande sätt.
När man undersöker absolutbeloppsfunktioner är det ofta bekvämt att dela upp dem på olika intervall, beroende på om det som står innanför absolutbeloppet är positivt eller negativt. I det här fallet står det som är negativt när och positivt eller när Vi undersöker hur funktionen ser ut på dessa intervall.
När är det som står innanför absolutbeloppet positivt eller Då kan man ta bort absolutbeloppstecknen direkt. Vi får då vilket betyder att
Nu är negativt, så när vi tar bort absolutbeloppet måste vi byta tecken på det som står innanför. Då får vi I det andra intervallet har vi alltså funktionsuttrycket
Grafen
Fram till ritar vi alltså den räta linjen och efter det byter vi till linjen
Deriverbarhet
En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter. Den formella definitionen av deriverbarhet är att gränsvärdet som definierar funktionens derivata,
existerar för varje punkt i definitionsmängden.