Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Logaritmen av ett tal är den exponent som man måste sätta på en viss bas för att få tillbaka talet. Exempelvis är tiologaritmen av 10001000 lika med 33 eftersom 103=1000.10^3 = 1000. Generellt kan man skriva detta samband som 10a=ba=lg(b). 10^a=b \quad \Leftrightarrow \quad a=\lg(b).

När man använder ordet logaritm kan man mena ett specifikt värde, t.ex. lg(250)\lg(250) eller log2(19),\log_2(19), men man kan också syfta på den generella funktionen som beskriver alla logaritmer för en given bas.
Begrepp

Logaritmfunktion

Hur logaritmfunktionen ser ut beror på basen. Två exempel är f(x)=log3(x)ochg(x)=ln(x), f(x)=\log_3(x) \quad \text{och} \quad g(x)=\ln(x), där baserna är 33 respektive talet ee. Eftersom man enbart kan beräkna logaritmer för positiva tal är definitionsmängden för funktionerna x>0.x>0. Däremot kan funktionsvärdena variera mellan -\text{-}\infty och ,\infty, vilket innebär att värdemängden är alla reella tal.

Begrepp

Logaritmfunktioners grafer

Hur grafen till en logaritmfunktion ser ut beror på vilken bas som används, men alla logaritmfunktioner har liknande utseende. Ju större xx är, desto större blir funktionsvärdet, men med avtagande lutning.

Uppgift

I koordinatsystemet är grafen till loga(x)\log_a(x) inritad, där basen aa är ett positivt heltal.

Bestäm konstanten a.a.

Lösning

Vi undersöker om det finns några punkter som är lätta att läsa av.

Det finns två sådana punkter: (1,0)(1,0) och (7,1).(7,1). De ger oss följande samband. loga(1)=0ochloga(7)=1. \log_a(1)=0 \quad \text{och} \quad \log_a(7)=1. Från det första sambandet får vi veta att det tal man ska sätta som exponent på basen aa för att få 11 är 00 dvs. a0=1.a^0=1. Detta gäller ju för alla positiva heltal så det hjälper oss inte så mycket. Det andra sambandet innebär att om man höjer upp aa till 11 får man 77 dvs. a1=7. a^1=7. Eftersom alla tal upphöjda till 11 är sig själva blir a=7.a=7.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Absolutbeloppsfunktion

När man beräknar absolutbeloppet av ett tal, a,|a|, blir resultatet alltid större än eller lika med 0.0. Om aa redan är positivt ändras det inte, men om det är negativt får man -a,\text{-} a, vilket är positivt. Absolutbeloppet kan även ses som en funktion: f(x)=x={x,x0-x,x<0. f(x)=|x|=\begin{cases}x, & x \geq 0 \\ \text{-} x, & x < 0.\end{cases} Abolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, t.ex. polynom, kan grafen hamna både ovanför och under xx-axeln. f(x)=xg(x)=x24h(x)=5x f(x) = |x| \quad g(x) = \left| x^2 -4 \right| \quad h(x) = 5 - |x| Exempelvis blir funktionen h(x)h(x) negativ för xx-värden mindre än -5\text{-}5 och större än 5.5. Graferna till f,f, gg och hh ser ut på följande sätt.

Typiskt för funktioner med absolutbelopp är att de har grafer som vänder skarpt.
Uppgift

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen. y=4x2 y = |4 - x|-2

Lösning

När man undersöker absolutbeloppsfunktioner är det ofta bekvämt att dela upp dem på olika intervall, beroende på om det som står innanför absolutbeloppet är positivt eller negativt. I det här fallet står det 4x,4-x, som är negativt när x>4x > 4 och positivt eller 00 när x4.x \leq 4. Vi undersöker hur funktionen ser ut på dessa intervall.

Exempel

x4x \leq 4

När x4x\leq4 är det som står innanför absolutbeloppet positivt eller 0.0. Då kan man ta bort absolutbeloppstecknen direkt. Vi får då 4x2=4x2=2x, |4 - x|-2 =4-x-2=2-x, vilket betyder att y=2x,x4. y = 2-x, \quad x \leq 4.

Exempel

x>4x > 4

Nu är 4x4-x negativt, så när vi tar bort absolutbeloppet måste vi byta tecken på det som står innanför. Då får vi 4x2=-(4x)2=x6. |4 - x|-2=\text{-} (4-x)-2 = x-6. I det andra intervallet har vi alltså funktionsuttrycket y=x6,x>4. y = x-6 , \quad x > 4.

Exempel

Grafen

Fram till x=4x = 4 ritar vi alltså den räta linjen y=2xy = 2-x och efter det byter vi till linjen y=x6.y = x-6.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Deriverbarhet

En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter. Den formella definitionen av deriverbarhet är att gränsvärdet som definierar funktionens derivata, f(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h, f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},

existerar för varje punkt x0x_0 i definitionsmängden.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet är graferna till de fem funktionerna y=lg(x),y=\lg(x), y=-lg(x),y=\text{-} \lg(x), y=ln(x),y=\ln(x), y=-ln(x)y=\text{-} \ln(x) samt y=log5(x)y=\log_5 (x) utritade. Koppla samman varje funktion med rätt graf.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet nedan är graferna till funktionerna f(x)=x+3f(x)=|x+3| och g(x)=0.5x1g(x)=|0.5x-1| utritade. Båda funktionerna är definierade för alla värden på x.x. Men för vilka värden på xx är de deriverbara?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet visas graferna till funktionerna f(x)=ln(x)f(x)=\ln(x) och g(x)=ln(x2)g(x)=\ln(x^2) på intervallet x>0.x>0. Avgör vilken graf som hör till vilken funktion utan att räkna ut något funktionsvärde.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita följande funktioners grafer.

a

y=-3x+4y=|\text{-} 3x+4|

b

y=3x4y=|3x|-|4|

c

y=3x4y=|3x-4|

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kim påstår att graferna till funktionerna f(x)=x2x+1f(x)=x^2-x+1 och g(x)=x2x+1g(x)=|x^2-x+1| ser likadana ut. Har hen rätt eller fel? Motivera ditt svar.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa med hjälp av derivatans definition att funktionen f(x)=2x+52f(x)=|2x+5|-2 inte är deriverbar för x=-2.5.x=\text{-} 2.5.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen visar funktionen y=g(x).y=|g(x)|.

Bestäm g(x).g(x).

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör definitions- och värdemängd till funktionen f(x)=lg(x)f(x)=\lg(|x|) och rita sedan grafen.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan ser du graferna till funktionerna y=ln(0.25x),y=\ln(0.25x), y=ln(0.5x),y=\ln(0.5x), y=ln(x),y=\ln(x), y=ln(3x),y=\ln(3x), y=ln(8x)y=\ln(8x) samt y=ln(28x).y=\ln(28x).

Vi ser i koordinatsystemet att koefficienten framför xx förskjuter grafen i höjdled i förhållande till funktionen y=ln(x).y=\ln(x). Visa detta algebraiskt.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör i vilka intervall som funktionen f(x)=(x3)(2x2+14x+12)(33x)(x+1)(4x2+12x72) f(x)=\left|\dfrac {(x-3)(2x^2+14x+12)(3-3x)(x+1)}{(4x^2+12x-72)} \right| är deriverbar.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Skissa grafen till funktionen f(x)=x2+2x22f(x)=\left|x^2+2\right|-\left|x^2-2\right| utan att använda digitala hjälpmedel.

b

Bestäm funktionens definitions- och värdemängd.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}