Sneda asymptoter

Om en asymptot inte är vertikal säger man att den är sned, vilket betyder att den kan skrivas på formen $y=kx+m.$ Eftersom avståndet mellan asymptoten och funktionen avtar ju längre bort från origo man är kommer differensen mellan funktionsuttrycken att gå mot $0$ när $x$ går mot $\infty$ eller $\text{-}\infty.$

$\lim\limits_{x\to \infty}(f(x)-(kx+m))=0$

$\lim\limits_{x\to\text{-} \infty}(f(x)-(kx+m))=0$

Det är inte ovanligt att $kx+m$ i gränsvärdena ovan är samma räta linje. Det innebär att grafen närmar sig asymptoten både när man rör sig mot positiva och negativa oändligheten.

Om lutningen är

0

får man en horisontell asymptot, vilket alltså är ett specialfall av en sned asymptot.

Regel

Ekvationen för en sned asymptot

Ekvationen för en sned asymptot är samma som för en rät linje, $y = kx + m.$ Här visas regler och metoder för att beräkna $k$ - och $m$ -värden för asymptoter när $x$ går mot $\infty.$ För att bestämma asymptoter när $x$ går mot negativa oändligheten byter man bara ut $\infty$ mot $\text{-} \infty.$

Regel

$k$ -värde

För att bestämma asymptotens $k$ -värde dividerar man funktionen med $x$ och låter $x$ gå mot $\infty.$

$k = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$

Man kan visa detta genom att dela upp funktionen i två delar: en som beskriver en rät linje och en som går mot

0

när

x

går mot oändligheten.

Härledning
$k$ -värde för asymptot

Om funktionen

f(x)

har en sned asymptot,

y=kx+m,

kommer grafen bli mer och mer lik denna räta linje när man närmar sig oändligheten. Alla andra delar av funktionen blir alltså obetydligt små. Det betyder att man kan skriva funktionen som en summa av

kx+m

och ett uttryck,

g(x),

som för stora

x

-värden går mot

0

.

f(x) = kx + m + g(x)

Om man delar båda led med

x

får man

\dfrac{f(x)}{x} = k + \dfrac{m}{x} + \dfrac{g(x)}{x}.

Den första termen,

k,

är en konstant och kommer inte att påverkas när

x

går mot

\infty.

Den andra termen är en konstant dividerad med

x,

och kommer att gå mot

0.

Samma gäller för den sista termen, som redan innan den dividerades med

x

gick mot

0.

\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} =\lim \limits_{x \to \infty} \left( k + \dfrac{m}{x} + \dfrac{g(x)}{x} \right)

x \to \infty

\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = k + 0 + 0

Förenkla termer

\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = k

Regel

$m$ -värde

När man känner till $k$ -värdet för en asymptot kan man använda det för att bestämma $m$ -värdet. Det gör man genom att subtrahera $kx$ från funktionen och sedan låta $x$ gå mot oändligheten.

$m = \lim \limits_{x \to \infty} \left( f(x) - kx \right)$

Det går att visa detta genom att göra samma uppdelning av funktionen som för $k$ -värdet.

Härledning
$m$ -värde för asymptot

Återigen skriver man

f(x)

som

f(x) = kx + m + g(x),

där

g(x)

är en funktion som går mot

0

när

x

går mot oändligheten. Om man flyttar över termen

kx

till vänsterledet blir uttrycket istället

f(x) - kx = m + g(x).

Låter man sedan

x

gå mot oändligheten får man konstanten

m.

\lim \limits_{x \to \infty} (f(x)-kx) =\lim \limits_{x \to \infty} \left( m + g(x) \right)

x \to \infty

\lim \limits_{x \to \infty} (f(x)-kx) = m + 0

Förenkla termer

\lim \limits_{x \to \infty} (f(x)-kx) = m

Bestäm funktionens asymptoter

Uppgift

Bestäm alla asymptoter till funktionen $f(x)=\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}.$

Lösning

Vi undersöker först om funktionen har någon vertikal asymptot och sedan om den har någon sned asymptot.

Exempel

Vertikal asymptot

Funktionen är inte definierad för $x=\text{-}1,$ så vad händer när man närmar sig detta $x$ -värde? Nämnaren närmar sig $0$ och täljaren går mot $2(\text{-}1)^2+3(\text{-}1)+2=1.$ Täljaren går alltså mot en konstant och nämnaren mot $0.$ Om nämnaren blir mindre och mindre går kvoten mot oändligheten vilket vi kan bekräfta genom att undersöka gränsvärdet numeriskt.

$x$	$\text{-}0.9$	$\text{-}0.99$	$\text{-}0.999$	$\text{-}0.9999$	$\to \text{-}1^{+}$
$\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}$	$9.2$	$99.02$	$999.002$	$9999.0002$	$\to \infty$

Funktionsvärdet går mot oändligheten när $x$ närmar sig $\text{-}1$ från höger. Skulle vi göra samma sak från vänster går den mot negativa oändligheten. Det betyder att $x=\text{-}1$ är en vertikal asymptot.

Exempel

Sned asymptot

Lutningen

k

för en eventuell sned asymptot ges av

k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}.

Vi börjar med att dividera funktionsuttrycket med

x

och förenkla kvoten.

\dfrac{f(x)}{x}

Sätt in uttryck

\left.\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}\middle/x\right.

\left.\dfrac{a}{b}\middle/c\right.= \dfrac{a}{b\cdot c}

\dfrac{2x^2+3x+2}{x(x+1)}

Multiplicera in

x

\dfrac{2x^2+3x+2}{x^2+x}

Nu ska vi undersöka gränsvärdet för denna kvot när

x

går mot oändligheten. Vi förkortar bråket med

x^2

eftersom den högsta graden i täljaren är

2.

k=\lim\limits_{x\to\pm \infty}\dfrac{2x^2+3x+2}{x^2+x}

Förkorta med

x^2

k=\lim\limits_{x\to\pm \infty}\dfrac{(2x^2+3x+2)/x^2}{(x^2+x)/x^2}

Dela upp bråk

k=\lim\limits_{x\to\pm \infty}\dfrac{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}}

Förenkla kvot

k=\lim\limits_{x\to\pm \infty}\dfrac{2+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}

Oavsett om

x

går mot plus eller minus oändligheten kommer alla bråk i nämnaren och täljaren att gå mot

0.

k=\lim\limits_{x\to \pm\infty}\dfrac{2+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}

x \to \pm\infty

k=\dfrac{2+0+0}{1+0}

Förenkla termer

k=\dfrac{2}{1}

\dfrac{a}{1}=a

k=2

Lutningen för den sneda asymptoten är alltså

k=2.

För att bestämma

m

-värdet beräknar vi

m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx).

Vi börjar med att förenkla differensen.

f(x)-kx

Sätt in uttryck

\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}-2x

Förenkla

a = \dfrac{(x+1)\cdot a}{(x+1)}

\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}-\dfrac{2x(x+1)}{x+1}

Multiplicera in

2x

\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}-\dfrac{2x^2+2x}{x+1}

Subtrahera bråk

\dfrac{2x^2+3x+2-\left(2x^2+2x\right)}{x+1}

Ta bort parentes & byt tecken

\dfrac{2x^2+3x+2-2x^2-2x}{x+1}

Förenkla termer

\dfrac{x+2}{x+1}

Nu beräknar vi gränsvärdet på samma sätt som när vi bestämde

k\text{:}

Vi förkortar bråket med termen som har högst grad, vilket i detta fall är

x.

m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx)

Sätt in uttryck

m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+2}{x+1}

Förkorta med

x

m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{(x+2)/x}{(x+1)/x}

Dela upp bråk

m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}}

Förenkla kvot

m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}

Bråken i täljaren och nämnaren går mot

0

både när

x

går mot

\infty

och

\text{-}\infty.

m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}

x \to \pm\infty

m=\dfrac{1+0}{1+0}

Förenkla termer

m=\dfrac{1}{1}

Beräkna kvot

m=1

Nu har vi både

k

- och

m

-värdet:

k=2

och

m=1.

Man får dessa värden både när man går mot positiva och negativa oändligheten, så grafen närmar sig asymptoten

y=2x+1

i båda riktningarna.

Nu är vi egentligen klara, men vi visar också asymptoterna tillsammans med grafen till funktionen. Det är inte nödvändigt för den här uppgiften, men kan vara intressant.

Visa lösning

Sneda asymptoter

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Ekvationen för en sned asymptot

$k$ -värde

Härledning

$m$ -värde

Härledning

Exempel

Bestäm funktionens asymptoter

Vertikal asymptot

Sned asymptot

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Asymptoter och grafer

Härledning

Härledning

Exempel

Bestäm funktionens asymptoter

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}