Sneda asymptoter

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om en asymptot inte är vertikal säger man att den är sned, vilket betyder att den kan skrivas på formen y=kx+m.y=kx+m. Eftersom avståndet mellan asymptoten och funktionen avtar ju längre bort från origo man är kommer differensen mellan funktionsuttrycken att gå mot 00 när xx går mot \infty eller -.\text{-}\infty.

limx(f(x)(kx+m))=0\lim\limits_{x\to \infty}(f(x)-(kx+m))=0

limx-(f(x)(kx+m))=0\lim\limits_{x\to\text{-} \infty}(f(x)-(kx+m))=0

Det är inte ovanligt att kx+mkx+m i gränsvärdena ovan är samma räta linje. Det innebär att grafen närmar sig asymptoten både när man rör sig mot positiva och negativa oändligheten.

Om lutningen är 00 får man en horisontell asymptot, vilket alltså är ett specialfall av en sned asymptot.
Uppgift

Bestäm alla asymptoter till funktionen f(x)=2x2+3x+2x+1. f(x)=\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har en vertikal och en sned asymptot.

a

Bestäm ekvationen för den vertikala asymptoten.

b

Bestäm ekvationen för den sneda asymptoten.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har en sned asymptot. Bestäm den givet att

a
f(x)=-2x28x+12xf(x)=\dfrac{\text{-} 2x^2-8x+1}{2x}
b
f(x)=6x2+x+33x+2.f(x)=\dfrac{6x^2+x+3}{3x+2}.
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet att y=kx+my = kx + m är en asymptot till funktionen f(x)f(x)x,x \to \infty, bestäm

a
limxf(x)x\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}
b
limx(f(x)kx)\lim\limits_{x \to \infty} (f(x)-kx)
c
limx(f(x)(kx+m)).\lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - (kx + m)).
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Funktionen f(x)=2x2xx+1f(x) = \dfrac{2x^2 - x}{x + 1} har en sned asymptot. Bestäm ekvationen till denna asymptot.
b
Utför divisionen i funktionsuttrycket med hjälp av polynomdivision. Du får då funktionen på formen

f(x)=p(x)+R(x), f(x) = p(x) + R(x), där p(x)p(x) är ett polynom och R(x)R(x) är restbråket. Jämför detta med asymptoten från förra deluppgiften. Vad kan du säga om resultatet?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemen visas graferna och asymptoterna till följande funktioner. f(x)=x+23xg(x)=1(x+2)24h(x)=-x2+22x+3p(x)=2x4+6(x2)2+1\begin{aligned} &f(x)=x+2-\dfrac{3}{x}\quad \quad g(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}-4 \\ &h(x)=\text{-}\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{2x+3} \quad p(x)=2x-4+\dfrac{6}{(x-2)^2+1} \end{aligned} Para ihop funktionerna med rätt graf.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En kanonkula avfyras ute i rymden från en rymdstation. Kanonkulans avstånd från rymdstationen, mätt i km, kan beskrivas med funktionen h(t)=3t2+1.65t+1t+0.5510.55,t0, h(t) = \dfrac{3t^2 + 1.65t + 1}{t + 0.55} - \dfrac{1}{0.55}, \quad t \geq 0, där tt är tiden mätt i sekunder.

a
Bestäm alla asymptoter till h(t).h(t).
b
Tolka den sneda asymptotens kk-värde.
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm alla asymptoter till funktionen f(x)=x242x4. f(x) = \dfrac{x^2-4}{2x-4}.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Undersök om funktionen f(x)=x+5xf(x) = \sqrt{x} + 5x har några asymptoter och bestäm i så fall dessa.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)=2x2x3ax+bf(x)=\dfrac{2x^2-x-3}{ax+b} har en sned och en vertikal asymptot.

a
Använd den sneda asymptoten för att bestämma konstanten a.a.
b
Använd den vertikala asymptoten för att bestämma konstanten b.b.
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Asymptotbegreppet kan utvidgas till andra funktioner än bara räta linjer. Man kan t.ex. säga att en funktion beter sig som en andragradsfunktion, g(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax^2+bx+c, när xx närmar sig oändligheten om limx(f(x)(ax2+bx+c))=0. \lim\limits_{x\to \infty}\left(f(x)-\left(ax^2+bx+c\right)\right)=0. För en funktion som har en sådan "asymptot" kan man bestämma a,a, bb och cc med följande gränsvärden. a=limxf(x)x2b=limxf(x)ax2xc=limx(f(x)ax2bx)\begin{aligned} &a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x^2} \\ &b=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-ax^2}{x} \\ &c=\lim\limits_{x\to\infty}\left(f(x)-ax^2-bx\right) \end{aligned}

a
Bestäm andragradsasymptoten, g(x),g(x), till f(x)=3x42x34x22x+3x2+1. f(x)=\dfrac{3x^4-2x^3-4x^2-2x+3}{x^2+1}.
b

Rita funktionen och asymptoten med en grafritare.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm alla asymptoter till funktionen f(x)=2x2x+3x.f(x) = \left| \dfrac{2x^2 - x + 3}{x} \right|.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}