Om en asymptot inte är vertikal säger man att den är sned, vilket betyder att den kan skrivas på formen y=kx+m. Eftersom avståndet mellan asymptoten och funktionen avtar ju längre bort från origo man är kommer differensen mellan funktionsuttrycken att gå mot 0 när x går mot ∞ eller -∞.
x→∞lim(f(x)−(kx+m))=0
x→-∞lim(f(x)−(kx+m))=0
Det är inte ovanligt att kx+m i gränsvärdena ovan är samma räta linje. Det innebär att grafen närmar sig asymptoten både när man rör sig mot positiva och negativa oändligheten.
Ekvationen för en sned asymptot är samma som för en rät linje, y=kx+m. Här visas regler och metoder för att beräkna k- och m-värden för asymptoter när x går mot ∞. För att bestämma asymptoter när x går mot negativa oändligheten byter man bara ut ∞ mot -∞.
För att bestämma asymptotens k-värde dividerar man funktionen med x och låter x gå mot ∞.
k=x→∞limxf(x)
När man känner till k-värdet för en asymptot kan man använda det för att bestämma m-värdet. Det gör man genom att subtrahera kx från funktionen och sedan låta x gå mot oändligheten.
m=x→∞lim(f(x)−kx)
Det går att visa detta genom att göra samma uppdelning av funktionen som för k-värdet.
Bestäm alla asymptoter till funktionen f(x)=x+12x2+3x+2.
Vi undersöker först om funktionen har någon vertikal asymptot och sedan om den har någon sned asymptot.
Funktionen är inte definierad för x=-1, så vad händer när man närmar sig detta x-värde? Nämnaren närmar sig 0 och täljaren går mot 2(-1)2+3(-1)+2=1. Täljaren går alltså mot en konstant och nämnaren mot 0. Om nämnaren blir mindre och mindre går kvoten mot oändligheten vilket vi kan bekräfta genom att undersöka gränsvärdet numeriskt.
x | -0.9 | -0.99 | -0.999 | -0.9999 | →-1+ |
---|---|---|---|---|---|
x+12x2+3x+2 | 9.2 | 99.02 | 999.002 | 9999.0002 | →∞ |
Funktionsvärdet går mot oändligheten när x närmar sig -1 från höger. Skulle vi göra samma sak från vänster går den mot negativa oändligheten. Det betyder att x=-1 är en vertikal asymptot.
Nu är vi egentligen klara, men vi visar också asymptoterna tillsammans med grafen till funktionen. Det är inte nödvändigt för den här uppgiften, men kan vara intressant.