Sneda asymptoter

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om en asymptot inte är vertikal säger man att den är sned, vilket betyder att den kan skrivas på formen y=kx+m.y=kx+m. Eftersom avståndet mellan asymptoten och funktionen avtar ju längre bort från origo man är kommer differensen mellan funktionsuttrycken att gå mot 00 när xx går mot \infty eller -.\text{-}\infty.

limx(f(x)(kx+m))=0\lim\limits_{x\to \infty}(f(x)-(kx+m))=0

limx-(f(x)(kx+m))=0\lim\limits_{x\to\text{-} \infty}(f(x)-(kx+m))=0

Det är inte ovanligt att kx+mkx+m i gränsvärdena ovan är samma räta linje. Det innebär att grafen närmar sig asymptoten både när man rör sig mot positiva och negativa oändligheten.

Om lutningen är 00 får man en horisontell asymptot, vilket alltså är ett specialfall av en sned asymptot.
Regel

Ekvationen för en sned asymptot

Ekvationen för en sned asymptot är samma som för en rät linje, y=kx+m.y = kx + m. Här visas regler och metoder för att beräkna kk- och mm-värden för asymptoter när xx går mot .\infty. För att bestämma asymptoter när xx går mot negativa oändligheten byter man bara ut \infty mot -.\text{-} \infty.

Regel

kk-värde

För att bestämma asymptotens kk-värde dividerar man funktionen med xx och låter xx gå mot .\infty.

k=limxf(x)xk = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}

Man kan visa detta genom att dela upp funktionen i två delar: en som beskriver en rät linje och en som går mot 00 när xx går mot oändligheten.

Härledning

kk-värde för asymptot
Om funktionen f(x)f(x) har en sned asymptot, y=kx+m,y=kx+m, kommer grafen bli mer och mer lik denna räta linje när man närmar sig oändligheten. Alla andra delar av funktionen blir alltså obetydligt små. Det betyder att man kan skriva funktionen som en summa av kx+mkx+m och ett uttryck, g(x),g(x), som för stora xx-värden går mot 00. f(x)=kx+m+g(x) f(x) = kx + m + g(x) Om man delar båda led med xx får man f(x)x=k+mx+g(x)x. \dfrac{f(x)}{x} = k + \dfrac{m}{x} + \dfrac{g(x)}{x}. Den första termen, k,k, är en konstant och kommer inte att påverkas när xx går mot .\infty. Den andra termen är en konstant dividerad med x,x, och kommer att gå mot 0.0. Samma gäller för den sista termen, som redan innan den dividerades med xx gick mot 0.0.
limxf(x)x=limx(k+mx+g(x)x)\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} =\lim \limits_{x \to \infty} \left( k + \dfrac{m}{x} + \dfrac{g(x)}{x} \right)
xx \to \infty
limxf(x)x=k+0+0\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = k + 0 + 0
limxf(x)x=k\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = k
Regel

mm-värde

När man känner till kk-värdet för en asymptot kan man använda det för att bestämma mm-värdet. Det gör man genom att subtrahera kxkx från funktionen och sedan låta xx gå mot oändligheten.

m=limx(f(x)kx)m = \lim \limits_{x \to \infty} \left( f(x) - kx \right)

Det går att visa detta genom att göra samma uppdelning av funktionen som för kk-värdet.

Härledning

mm-värde för asymptot
Återigen skriver man f(x)f(x) som f(x)=kx+m+g(x), f(x) = kx + m + g(x), där g(x)g(x) är en funktion som går mot 00 när xx går mot oändligheten. Om man flyttar över termen kxkx till vänsterledet blir uttrycket istället f(x)kx=m+g(x). f(x) - kx = m + g(x). Låter man sedan xx gå mot oändligheten får man konstanten m.m.
limx(f(x)kx)=limx(m+g(x))\lim \limits_{x \to \infty} (f(x)-kx) =\lim \limits_{x \to \infty} \left( m + g(x) \right)
xx \to \infty
limx(f(x)kx)=m+0\lim \limits_{x \to \infty} (f(x)-kx) = m + 0
limx(f(x)kx)=m\lim \limits_{x \to \infty} (f(x)-kx) = m
Uppgift

Bestäm alla asymptoter till funktionen f(x)=2x2+3x+2x+1. f(x)=\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}.

Lösning

Vi undersöker först om funktionen har någon vertikal asymptot och sedan om den har någon sned asymptot.

Exempel

Vertikal asymptot

Funktionen är inte definierad för x=-1,x=\text{-}1, så vad händer när man närmar sig detta xx-värde? Nämnaren närmar sig 00 och täljaren går mot 2(-1)2+3(-1)+2=1. 2(\text{-}1)^2+3(\text{-}1)+2=1. Täljaren går alltså mot en konstant och nämnaren mot 0.0. Om nämnaren blir mindre och mindre går kvoten mot oändligheten vilket vi kan bekräfta genom att undersöka gränsvärdet numeriskt.

xx -0.9\text{-}0.9 -0.99\text{-}0.99 -0.999\text{-}0.999 -0.9999\text{-}0.9999 -1+\to \text{-}1^{+}
2x2+3x+2x+1\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1} 9.29.2 99.0299.02 999.002999.002 9999.00029999.0002 \to \infty

Funktionsvärdet går mot oändligheten när xx närmar sig -1\text{-}1 från höger. Skulle vi göra samma sak från vänster går den mot negativa oändligheten. Det betyder att x=-1x=\text{-}1 är en vertikal asymptot.

Exempel

Sned asymptot

Lutningen kk för en eventuell sned asymptot ges av k=limx±f(x)x. k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}. Vi börjar med att dividera funktionsuttrycket med xx och förenkla kvoten.
f(x)x\dfrac{f(x)}{x}
2x2+3x+2x+1undefinedx\left.\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}\middle/x\right.
2x2+3x+2x(x+1)\dfrac{2x^2+3x+2}{x(x+1)}
2x2+3x+2x2+x\dfrac{2x^2+3x+2}{x^2+x}
Nu ska vi undersöka gränsvärdet för denna kvot när xx går mot oändligheten. Vi förkortar bråket med x2x^2 eftersom den högsta graden i täljaren är 2.2.
k=limx±2x2+3x+2x2+xk=\lim\limits_{x\to\pm \infty}\dfrac{2x^2+3x+2}{x^2+x}
k=limx±(2x2+3x+2)/x2(x2+x)/x2k=\lim\limits_{x\to\pm \infty}\dfrac{(2x^2+3x+2)/x^2}{(x^2+x)/x^2}
k=limx±2x2x2+3xx2+2x2x2x2+xx2k=\lim\limits_{x\to\pm \infty}\dfrac{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}}
k=limx±2+3x+2x21+1xk=\lim\limits_{x\to\pm \infty}\dfrac{2+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}
Oavsett om xx går mot plus eller minus oändligheten kommer alla bråk i nämnaren och täljaren att gå mot 0.0.
k=limx±2+3x+2x21+1xk=\lim\limits_{x\to \pm\infty}\dfrac{2+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}
k=2+0+01+0k=\dfrac{2+0+0}{1+0}
k=21k=\dfrac{2}{1}
k=2k=2
Lutningen för den sneda asymptoten är alltså k=2.k=2. För att bestämma mm-värdet beräknar vi m=limx±(f(x)kx). m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx). Vi börjar med att förenkla differensen.
f(x)kxf(x)-kx
2x2+3x+2x+12x\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}-2x
Förenkla
2x2+3x+2x+12x(x+1)x+1\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}-\dfrac{2x(x+1)}{x+1}
2x2+3x+2x+12x2+2xx+1\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}-\dfrac{2x^2+2x}{x+1}
2x2+3x+2(2x2+2x)x+1\dfrac{2x^2+3x+2-\left(2x^2+2x\right)}{x+1}
2x2+3x+22x22xx+1\dfrac{2x^2+3x+2-2x^2-2x}{x+1}
x+2x+1\dfrac{x+2}{x+1}
Nu beräknar vi gränsvärdet på samma sätt som när vi bestämde k:k\text{:} Vi förkortar bråket med termen som har högst grad, vilket i detta fall är x.x.
m=limx±(f(x)kx)m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx)
m=limx±x+2x+1m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+2}{x+1}
m=limx±(x+2)/x(x+1)/xm=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{(x+2)/x}{(x+1)/x}
m=limx±xx+2xxx+1xm=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}}
m=limx±1+2x1+1xm=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}
Bråken i täljaren och nämnaren går mot 00 både när xx går mot \infty och -.\text{-}\infty.
m=limx±1+2x1+1xm=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}
m=1+01+0m=\dfrac{1+0}{1+0}
m=11m=\dfrac{1}{1}
m=1m=1
Nu har vi både kk- och mm-värdet: k=2k=2 och m=1.m=1. Man får dessa värden både när man går mot positiva och negativa oändligheten, så grafen närmar sig asymptoten y=2x+1y=2x+1 i båda riktningarna.

Nu är vi egentligen klara, men vi visar också asymptoterna tillsammans med grafen till funktionen. Det är inte nödvändigt för den här uppgiften, men kan vara intressant.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har en vertikal och en sned asymptot.

a

Bestäm ekvationen för den vertikala asymptoten.

b

Bestäm ekvationen för den sneda asymptoten.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har en sned asymptot. Bestäm den givet att

a
f(x)=-2x28x+12xf(x)=\dfrac{\text{-} 2x^2-8x+1}{2x}
b
f(x)=6x2+x+33x+2.f(x)=\dfrac{6x^2+x+3}{3x+2}.
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet att y=kx+my = kx + m är en asymptot till funktionen f(x)f(x)x,x \to \infty, bestäm

a
limxf(x)x\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}
b
limx(f(x)kx)\lim\limits_{x \to \infty} (f(x)-kx)
c
limx(f(x)(kx+m)).\lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - (kx + m)).
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Funktionen f(x)=2x2xx+1f(x) = \dfrac{2x^2 - x}{x + 1} har en sned asymptot. Bestäm ekvationen till denna asymptot.
b
Utför divisionen i funktionsuttrycket med hjälp av polynomdivision. Du får då funktionen på formen

f(x)=p(x)+R(x), f(x) = p(x) + R(x), där p(x)p(x) är ett polynom och R(x)R(x) är restbråket. Jämför detta med asymptoten från förra deluppgiften. Vad kan du säga om resultatet?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemen visas graferna och asymptoterna till följande funktioner. f(x)=x+23xg(x)=1(x+2)24h(x)=-x2+22x+3p(x)=2x4+6(x2)2+1\begin{aligned} &f(x)=x+2-\dfrac{3}{x}\quad \quad g(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}-4 \\ &h(x)=\text{-}\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{2x+3} \quad p(x)=2x-4+\dfrac{6}{(x-2)^2+1} \end{aligned} Para ihop funktionerna med rätt graf.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En kanonkula avfyras ute i rymden från en rymdstation. Kanonkulans avstånd från rymdstationen, mätt i km, kan beskrivas med funktionen h(t)=3t2+1.65t+1t+0.5510.55,t0, h(t) = \dfrac{3t^2 + 1.65t + 1}{t + 0.55} - \dfrac{1}{0.55}, \quad t \geq 0, där tt är tiden mätt i sekunder.

a
Bestäm alla asymptoter till h(t).h(t).
b
Tolka den sneda asymptotens kk-värde.
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm alla asymptoter till funktionen f(x)=x242x4. f(x) = \dfrac{x^2-4}{2x-4}.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Undersök om funktionen f(x)=x+5xf(x) = \sqrt{x} + 5x har några asymptoter och bestäm i så fall dessa.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)=2x2x3ax+bf(x)=\dfrac{2x^2-x-3}{ax+b} har en sned och en vertikal asymptot.

a
Använd den sneda asymptoten för att bestämma konstanten a.a.
b
Använd den vertikala asymptoten för att bestämma konstanten b.b.
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Asymptotbegreppet kan utvidgas till andra funktioner än bara räta linjer. Man kan t.ex. säga att en funktion beter sig som en andragradsfunktion, g(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax^2+bx+c, när xx närmar sig oändligheten om limx(f(x)(ax2+bx+c))=0. \lim\limits_{x\to \infty}\left(f(x)-\left(ax^2+bx+c\right)\right)=0. För en funktion som har en sådan "asymptot" kan man bestämma a,a, bb och cc med följande gränsvärden. a=limxf(x)x2b=limxf(x)ax2xc=limx(f(x)ax2bx)\begin{aligned} &a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x^2} \\ &b=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-ax^2}{x} \\ &c=\lim\limits_{x\to\infty}\left(f(x)-ax^2-bx\right) \end{aligned}

a
Bestäm andragradsasymptoten, g(x),g(x), till f(x)=3x42x34x22x+3x2+1. f(x)=\dfrac{3x^4-2x^3-4x^2-2x+3}{x^2+1}.
b

Rita funktionen och asymptoten med en grafritare.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm alla asymptoter till funktionen f(x)=2x2x+3x.f(x) = \left| \dfrac{2x^2 - x + 3}{x} \right|.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}