Sneda asymptoter: Lodrät och vertikal

$x$	$- 0.9$	$- 0.99$	$- 0.999$	$- 0.9999$	$\to - 1^{+}$
$\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1}$	$9.2$	$99.02$	$999.002$	$9999.0002$	$\to \infty$

Funktionen $f (x)$ har en vertikal och en sned asymptot.

Grafen till y=f(x) som har en vertikal och en sned asymptot.

Bestäm ekvationen för den vertikala asymptoten.

Bestäm ekvationen för den sneda asymptoten.

Den vertikala asymptoten är den lodräta linjen.

Den går genom x-värdet 1 så ekvationen är x=1.

Den sneda asymptoten är den andra streckade linjen.

Sneda asymptoter är räta linjer som kan skrivas på k-form. Linjen skär y-axeln när y=1 vilket betyder att m-värdet är 1. Vi bestämmer k-värdet genom att läsa av lutningen.

För varje steg i x-led går linjen 2 steg nedåt. Det innebär att linjen har lutningen x = -2. Asymptotens ekvation blir alltså y=-2x+1.

Funktionen $f (x)$ har en sned asymptot. Bestäm den givet följande.

f (x) = \frac{- 2 x ^{2} - 8 x + 1}{2 x}

f (x) = \frac{6 x ^{2} + x + 3}{3 x + 2}

En sned asymptot är en rät linje som kan skrivas på formen y=kx+m. Lutningen k kan bestämmas med gränsvärdet k=lim _(x→ ∞)f(x)/x. Vi sätter in funktionsuttrycket och beräknar gränsvärdet.

Asymptotens lutning är alltså k=-1. Vi använder detta k-värde för att bestämma m-värdet: m=lim _(x→ ∞)(f(x)-kx). Vi sätter in k=- 1 och funktionsuttrycket.

Linjens m-värde är -4, så asymptotens ekvation är y=- x-4.

Vi gör på samma sätt och börjar med att bestämma k genom att dividera funktionsuttrycket med x och låta x gå mot oändligheten.

Lutningen är alltså k=2. Vi använder den för att beräkna asymptotens m-värde.

Nu har vi både k- och m-värdet för asymptoten och kan konstatera att den är y=2x-1.

Givet att $y = k x + m$ är en asymptot till funktionen $f (x)$ då $x \to \infty,$ bestäm gränsvärdet.

x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x}

x \to \infty lim (f (x) - k x)

x \to \infty lim (f (x) - (k x + m))

Vi kan känna igen detta gränsvärde som det vi använder för att bestämma en sned asymptots k-värde. Eftersom y = kx + m är en sned asymptot till f(x) då x → ∞ är gränsvärdet samma som asymptotens lutning. Vi får alltså att lim _(x → ∞) f(x)/x = k.

Det här gränsvärdet är istället det vi använder för att bestämma m-värdet för en sned asymptot. Av samma anledning som i föregående deluppgift får vi därför att lim _(x → ∞) (f(x)-kx) = m.

Nu ska vi beräkna differensen mellan funktionen och dess asymptot då x går mot oändligheten. Enligt definitionen av sned asymptot vet vi att avståndet mellan funktionen och dess sneda asymptot går mot 0 då x → ∞. Denna differens går alltså också mot 0, vilket ger lim _(x → ∞) (f(x) - (kx + m)) = 0.

Funktionen

f (x) = \frac{2 x ^{2} - x}{x + 1}

har en sned asymptot. Bestäm ekvationen till denna asymptot.

För en sned asymptot skriven på formen y = kx + m bestämmer vi lutningen k med hjälp av gränsvärdet k = lim _(x → ∞)f(x)/x. Vi sätter in vår funktion och beräknar gränsvärdet.

Vi bestämmer nu asymptotens m-värde med hjälp av k-värdet vi precis bestämt och gränsvärdet m = lim _(x → ∞) (f(x) - kx). Vi sätter in funktionsuttrycket samt k = 2 och beräknar gränsvärdet på liknande sätt som tidigare.

Asymptotens m-värde är -3. Nu när vi har både k- och m-värdet kan vi ställa upp asymptotens ekvation: y = 2x - 3.

I koordinatsystemen visas graferna och asymptoterna till följande funktioner.

f (x) = x + 2 - \frac{3}{x} g (x) = \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}} - 4 h (x) = - \frac{x}{2} + \frac{2}{2 x + 3} p (x) = 2 x - 4 + \frac{6}{( x - 2 ) ^{2} + 1}

Para ihop funktionerna med rätt graf.

Två koordinatsystem med olika grafer A, B, C och D.

Vi kan börja med att konstatera att alla grafer har en vertikal asymptot utom en, graf B.

Den har enbart en sned asymptot, men verkar i övrigt vara helt sammanhängande. För att få en vertikal asymptot ska funktionsvärdena gå mot plus eller minus oändligheten när man närmar sig ett visst x-värde. I de givna funktionerna skulle det betyda att nämnaren går mot 0. Finns det någon funktion där detta inte är fallet? Ja, titta på p(x)=2x-4+6/(x-2)^2+1. Den första termen i nämnaren, (x-2)^2, blir som minst 0 eftersom det är en kvadrat, så hela nämnaren, (x-2)^2+1, är alltid minst 1. Det betyder att det inte finns något specifikt x-värde där funktionen går mot oändligheten. Den har alltså ingen vertikal asymptot och måste därför höra ihop med graf B: B:p(x). Graf C är den enda grafen som har en horisontell asymptot.

Det betyder att när x går mot mot oändligheten ska funktionen gå mot ett specifikt värde och inte oändligheten. Vi noterar att alla bråk går mot 0 när x går mot oändligheten och att det endast finns ett funktionsuttryck där man, förutom i ett bråk, inte har någon term innehåller x: g(x)=1/(x+2)^2-4 När x går mot oändligheten går funktionen mot -4 vilket verkar stämma överens med graf C. Vi kan också se att g(x) går mot oändligheten när x närmar sig -2. Det innebär att x=-2 är en vertikal asymptot vilket också ser ut stämma överens med grafen. C:g(x) Nu har vi två grafer kvar — båda har vertikala och sneda asymptoter. Graf D har en vertikal asymptot längs med y-axeln, dvs. x=0.

Vi kan notera att f(x)=x+2-3/x går mot ±∞ när x går mot 0 så f(x) har en vertikal asymptot x=0. Vidare går 3x mot 0 när x går mot oändligheten så asymptoten är y=x+2. Den har positiv lutning vilket även asymptoten i koordinatsystemet har, medan asymptoten till graf A har negativ lutning. D:f(x) Nu har vi bara graf A kvar.

Den bör höra ihop med h(x) men vi kan säkerställa detta genom att undersöka funktionsuttrycket. När x går mot oändligheten går 22x+3 mot 0 och kvar blir då - x2 vilket är asymptoten. Den har negativ lutning och går genom origo. Detta stämmer väl överens med graf A eftersom den sneda streckade linjen både har negativ lutning och går genom origo: A:h(x).

Sneda asymptoter

Ekvationen för en sned asymptot

$k$ -värde

Härledning

$m$ -värde

Härledning

Exempel

Bestäm funktionens asymptoter

Vertikal asymptot

Sned asymptot

Sneda asymptoter

Rekommenderade uppgifter

	3 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.