Kedjeregeln

Vi ser att funktionen är sammansatt av den yttre funktionen y=u^5 och den inre funktionen u=2x-8, och använder därför kedjeregeln.

Derivatan blir alltså f'(x)=10(2x-8)^4.

Även denna funktion är sammansatt, av den yttre funktionen y=e^x och den inre funktionen u=6x-3.Vi deriverar därför med kedjeregeln även här.

Derivatan till funktionen är alltså f'(x)=6e^(6x-3).

Här är den yttre funktionen y=sqrt(x) och den inre funktionen u=3x^2+2. Vi deriverar med kedjeregeln.

Vi har nu kommit fram till att funktionens derivata är f'(x)=3x/sqrt(3x^2+2).

Vi skulle kunna utveckla kvadraten och sedan använda deriveringsreglerna för ett polynom för att derivera denna funktion. Men vi använder kedjeregeln eftersom det innebär mindre arbete.

Derivatan av funktionen är alltså f'(x)=4x^3 + 12x^2 + 8x.

Funktionen f(x) = (x^2 + 3)^3 är en sammansatt funktion, uppbyggd av den yttre funktionen h(x)=x^3 och den inre funktionen g(x)=x^2+3. För att bestämma f'(2) använder vi därför kedjeregeln för att först bestämma f'(x).

Derivatan f'(x) är alltså 6x(x^2+3)^2. Nu sätter vi in x=2.

Funktionen f(x) = (e^x)^3 är sammansatt av den yttre g(x) = x^3 och inre funktionen h(x) = e^x. Vi kan därför bestämma f'(x) med kedjeregeln, men vi väljer här att göra en omskrivning innan vi deriverar: f(x)= (e^x )^3 = e^(3x). För denna funktion finns det en separat deriveringsregel, men om vi istället betraktar f(x) som sammansättningen av den yttre g(x) = e^x och den inre funktionen h(x)=3x så kan vi använda kedjeregeln.

Detta gav samma resultat som om vi skulle använda deriveringsregeln D( e^(kx) ) = ke^(kx). För att få f'(2) sätter vi in x=2 i f'(x). Vi får då f'(2) = 3e^(3* 2) = 3e^6.

Innan vi sätter igång med några deriveringar tar vi först reda på ett explicit uttryck för f(x). Vi börjar med den yttre funktionen och ersätter alla x med den inre.

Nu har vi hittat ett explicit funktionsuttryck för f(x). Innan vi börjar derivera gör vi en omskrivning till potensform: f(x) = sqrt(2+x^2) = ( 2+x^2 )^(1/2). Med f(x) på denna form genomför vi deriveringen.

Nu när deriveringen är klar sätter vi in x=2.

Till slut vet vi nu att derivatan till f(x) då x=2 är sqrt(2/3).

För att tangenten till f(x) ska vara parallell med g(x) där x=-1 måste tangenten ha samma lutning som g(x), dvs. -48, i den punkten. Vi kan avgöra om så är fallet genom att bestämma värdet av derivatan till f(x) i x=-1, alltså genom att bestämma f'(-1). För att göra det deriverar vi f(x), och eftersom funktionen är sammansatt av den yttre funktionen f=u^3 och den inre funktionen u=x^2-2x-1 använder vi kedjeregeln.

Nu sätter vi in x=- 1 i derivatan.

Vi får att derivatan av f(x) är - 48 då x=- 1. Vi kan därmed konstatera att linjen g(x) och tangenten i fråga har samma lutning, och alltså är parallella.

Vi deriverar först funktionen f(x) med kedjeregeln. Den inre funktionen är ln(x) och den yttre är u^2.

Vi känner inte till derivatan till funktionen ln(x), men vi vet att dess värde när vi sätter in x=e är 1e. Vi sätter nu in x=e i f'(x) och använder det kända värdet för derivatan av ln(x).

Vi har nu kommit fram till att derivatan av f(x) då x=e är f'(e)=2/e.

Vi delar in lösningen i olika steg. Först ställer vi upp ett allmänt uttryck för arean. Sedan deriverar vi denna för att få ett allmänt uttryck för derivatan. Ur denna kommer vi vilja lösa ut dr/dt, vilket kommer kräva att vi även bestämmer dA/dr.

Allmänt uttryck för arean

Arean beror av radien, A(r). Men radien förändras med tiden, vilket betyder att den kan ges av en funktion som beror på tiden, r(t). Detta ger oss det allmänna uttrycket A(r(t)). Som vi ser säger detta uttryck oss inte särskilt mycket. Vi går därför vidare och använder kedjeregeln för att derivera den.

Derivatan av arean

Funktionen A(r(t)) är sammansatt funktion. Det betyder att vi ska använda kedjeregeln när vi deriverar. Först deriveras arean med avseende på radien dvs. den yttre derivatan: dA/dr. Sedan deriveras den inre funktionen r med avseende på t: dr/dt. Enligt kedjeregeln ska dessa nu multipliceras för att få ett uttryck för hur arean varierar med tiden. Det ger oss dA/dt=dA/dr*dr/dt. Nu ser vi att tidsderivatan av arean beror på derivatan med avseende på r samt derivatan av r med avseende på t. Det är den sistnämnda vi söker, vilket innebär att vi kommer behöva veta vad dA/dr är.

Derivatan dA/dr

Arean av en cirkel ges av A=π r^2. Uttrycket dA/dr betyder att A ska deriveras med avseende på r. Eftersom areauttrycket består av en konstant π och en potens med variabeln i basen kan vi derivera A med hjälp av deriveringsregeln för potensfunktioner.

Vi har nu alltså ett uttryck för dA/dr, vilket vi kan sätta in i ekvationen för derivatan. Vi vet dessutom vad r ska vara, samt vad dA/dt är. Vi kan därför beräkna tidsderivatan av radien.

Beräkning av dr/dt

Hur snabbt radien ökar är förändringshastigheten för r med avseende på t, dvs. dr/dt. Detta uttryck ser vi i derivatan som vi tog fram tidigare: dA/dt=dA/dr* dr/dt. Derivatan för arean med avseende på tiden, dA/dt, är given i uppgiftstexten: 10 .cm^2 /s.. Vi har dessutom ett uttryck för dA/dr, nämligen 2π r.

Nu behöver vi bara sätta in r och beräkna uttryckets värde. Eftersom vi fick dA/dt när radien är 10cm är det r=10 som vi ska sätta in.

Radien ökar alltså med cirka 0,16.cm /s..

Vi ska ta reda på hur ostens höjd förändras med tiden, alltså derivatan dh/dt, där h betecknar den rätblocksformade ostens höjd vid tiden t. Från uppgiften vet vi att ostens volym minskar med 144cm^3 per timme, vilket kan tolkas som derivatan dV/dt = -144 (.cm^3 /h.). Vi har satt denna derivata som negativ eftersom det är frågan om en minskning av volymen. För att kunna använda kedjeregeln måste vi skaffa oss en sammansatt funktion som kopplar samman de tre storheterna: volym, höjd och tid. Med den givna informationen om ostens bottenarea samt volymen av ett rätblock, kan vi uttrycka ostens volym V som en funktion av osthöjden h: V(h) = 96h (cm^3). Osthöjden h beror i sin tur på tiden t eftersom osten blir hyvlad och höjden sjunker med tiden. Sammanfattningsvis får vi en sammansatt funktion V(h(t)) som beskriver ostvolymen V. Vi kan nu derivera den med kedjeregeln: dV/dt = d V/d h * d h/d t. Derivatan i vänsterledet, dV/dt, vet vi redan att den är -144cm^3 per timme. Derivatan d V/d h, alltså hur volymen beror av höjden h, får vi genom att derivera V(h) med avseende på h.

Sätter vi in båda dessa värden i vårt uttryck kan vi lösa ut dh/dt.

Derivatan blir negativ, vilket kan tolkas som att höjden minskar. Vi får alltså att ostens höjd minskade med i genomsnitt 1,5.cm /h..