Räkna med komplexa tal

Vid addition av komplexa tal adderar och subtraherar man de reella och imaginära delarna var för sig.

Talen adderas alltså till 6 + 5i.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift.

Resultatet av additionen är alltså 4 + 7i.

Nu ska vi istället subtrahera två komplexa tal. Det gör vi på liknande sätt som tidigare. Enda skillnaden är att vi får ett steg med teckenbyten när vi tar bort parenteserna.

Subtraktionen ger resultatet 22i.

Vi gör på samma sätt ännu en gång.

Talen subtraheras alltså till - 1 - 12i.

Komplexa tal multipliceras med vanlig parentesutveckling: Alla termer i första parentesen multipliceras med alla termer i den andra.

Det komplexa talet kan alltså skrivas som 27 + 6i.

Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften.

Det komplexa talet kan alltså skrivas som 3 - 31i.

Vi gör på samma sätt som i de tidigare deluppgifterna och är noggranna med prioriteringsreglerna.

Det komplexa talet kan alltså skrivas som 10+17i.

Vi skriver in den division vi vill beräkna i räknarens fönster.

Vi trycker på "ENTER" och får vårt svar.

Svaret är alltså 4+14i.

Vi öppnar CPX-menyn och väljer kommandot för att beräkna realdelen av ett komplext tal.

Vi skriver sedan in divisionen i miniräknarens fönster och trycker på "ENTER".

Realdelen av kvoten är alltså 0,2.

Även denna gång öppnar vi CPX-menyn. Vi väljer nu kommandot för att beräkna imaginärdelen av ett komplext tal.

I miniräknarens fönster skriver vi sedan in den division vars imaginärdel vi vill bestämma. Vi trycker på "ENTER".

Imaginärdelen för denna kvot är alltså - 2.

Vi utför divisionen genom att först förlänga bråket med nämnarens komplexkonjugat. (4-2i)(1-i)(1+i)(1-i) Nu förenklar vi bråket genom att multiplicera ihop parenteserna. I nämnaren kan vi använda konjugatregeln.

När vi nu har endast ett reellt tal i nämnaren kan vi dela upp bråket i och dividera termerna i täljaren var för sig.

Kvoten är alltså 1-3i.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och börjar därför med att förlänga med nämnarens komplexkonjugat. Sedan förenklar vi.

Nu dividerar vi termerna i täljaren separat.

Divisionen ger alltså kvoten 6-8i.

Vi gör på precis samma sätt igen, trots att vi har enbart ett reellt tal i täljaren.

Vi delar till sist upp bråket och dividerar termerna i täljaren var för sig.

Kvoten blir alltså 1-4i.

Vi använder pq-formeln för att bestämma rötterna.

Vi får ett negativt tal under rottecknet så rötterna blir komplexa.

Ekvationens lösningar är alltså x=3-2i och x=3+2i.

Nu multiplicerar vi rötterna vilket ger (3+2i)(3-2i). Detta är multiplikation med två parenteser som lika sånär som på ett minustecken. Det betyder att binomen är konjugat och därför kan vi utveckla dem med konjugatregeln.

Produkten av rötterna är 13.

I en division mellan komplexa tal vill vi förlänga bråket med nämnarens komplexkonjugat eftersom nämnaren då blir reell. Det gör att vi kan identifiera talets real- och imaginärdel.

Uttrycket kan skrivas som det komplexa talet 710- 2i5.

På samma sätt som i förra deluppgiften förlänger vi med nämnarens komplexkonjugat.

Uttrycket kan skrivas som det komplexa talet 1413+ 21i13.

Återigen förlänger vi med komplexkonjugatet. Nu har dock nämnaren endast en imaginärdel och konjugatet blir då -5i.

Uttrycket kan skrivas som det komplexa talet 15 - i5.

Vi förlänger bråket med nämnarens komplexkonjugat för att få det på formen a+bi.

Uttrycket kan skrivas som det komplexa talet 35 - 4i5.

Uppgiften är att bestämma z_2, så vi löser ut det ur första ekvationen.

Det här uttrycket är dock inte på formen a+bi, så vi är inte klara än. Vi använder att z_1=3-i från den andra ekvationen och förlänger bråket med nämnarens komplexkonjugat.

Det betyder att z_2 kan skrivas som z_2=2+i på formen a+bi.

Från uppgiften vet vi att z_1=3-i och att z_2 ska vara på formen a+bi, dvs. vi kan skriva z_2 = a+bi. Vi sätter in uttrycken för z_1 och z_2 i ekvationen z_1 * z_2=7+i och undersöker vilka värden a och b kan ha.

För att likheten ska gälla måste realdelen och imaginärdelen vara lika stora i höger- och vänsterled. Det betyder att 3a + b = 7 och 3b-a =1. Vi får ett ekvationssystem som vi kan lösa.

Eftersom z_2 står på formen a+bi får vi då z_2=2+i.