2. Räkna med komplexa tal
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
2.
Räkna med komplexa tal
Innehållet fokuserar på det matematiska begreppet komplexa tal. Det förklarar hur man utför olika operationer med komplexa tal, såsom addition, subtraktion, multiplikation och division. Metoderna för att förenkla komplexa uttryck beskrivs, inklusive användning av reella och imaginära delar. Exempel ges för att demonstrera hur man beräknar summan, produkten och kvoten av komplexa tal. Division av komplexa tal förklaras med hjälp av begreppet komplexa konjugat, och multiplikation av komplexa tal illustreras med multiplikationsregler. Innehållet är utformat för att hjälpa studenter att förstå komplexa tal och tillämpa dem i matematiska beräkningar.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 7 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räkna med komplexa tal
Sida av 7
Regel
Addera, subtrahera och multiplicera komplexa tal
Många av de regler man använder vid beräkningar av reella tal, t.ex. de fyra räknesätten och prioriteringsreglerna, gäller även för komplexa tal. Eftersom ett komplext tal kan bestå av både en real- och imaginärdel kan även resultatet av en räkneoperation göra det. Exempelvis kan man beräkna (1+5i)+(7-2i) genom att addera real- och imaginärdelarna var för sig. Det betyder att summan blir 1+7+5i-2i=8+3i.
Vid multiplikation, t.ex. (5-i)(10+4i), gör man på samma sätt som för reella tal: alla termer i den ena parentesen multipliceras med alla termer i den andra. Om man då får termer som innehåller i^2 kan dessa förenklas med sambandet i^2 = -1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Konjugatregeln - komplexa tal
Produkten av ett komplext tal z = a + bi och dess konjugat z =a - bi är lika med kvadraten på realdelen plus kvadraten på imaginärdelen.
z * z = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2
Eftersom a och b är reella tal är a^2 + b^2 ett reellt, icke-negativt tal.
Bevis
För att bevisa det kan man använda den distributiva lagen och sambandet i^2 = - 1, och utveckla regelns vänsterled tills man når högerledet.
(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2
ExpandPar
Multiplicera parenteser
a * a - a * bi + a * bi - bi * bi = a^2 + b^2
Multiply
Multiplicera faktorer
a^2 - abi + abi - b^2 i^2 = a^2 + b^2
SimpTerms
Förenkla termerna
a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2
IDefPow
i^2=- 1
a^2 - b^2 (-1 ) = a^2 + b^2
MultNegNegOnePar
- a(- b)=a* b
a^2 + b^2 = a^2 + b^2
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Förenkla det komplexa talet
Visa Lösning expand_more
Prioriteringsreglerna gäller även vid förenkling av komplexa tal, så vi börjar med multiplikationen. Vi multiplicerar alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra och förenklar.
3-8i-(-7+5i)+(9+2i)(4-11i)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
3-8i-(-7+5i)+9*4-9*11i+2i*4-2i*11i
Multiply
Multiplicera faktorer
3-8i-(-7+5i)+36-99i+8i-22i^2
IDefPow
i^2=- 1
3-8i-(-7+5i)+36-99i+8i-22(-1)
Multiply
Multiplicera faktorer
3-8i-(-7+5i)+36-99i+8i+22
Nu fortsätter vi genom att ta bort parentesen och byta tecken.
Till sist adderar och subtraherar vi real- och imaginärdelarna var för sig.
Det komplexa talet är alltså 68-104i. När vi sedan gör samma förenkling på räknaren skriver vi i genom att trycka på 2:nd + ∙. Räknaren måste dessutom vara inställd på att räkna med komplexa tal.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Dividera komplexa tal
När man beräknar kvoten av två komplexa tal, t.ex. 5 + 10i/1 - 2i, använder man att ett bråk kan förlängas utan att dess värde förändras. Genom att förlänga med nämnarens komplexkonjugat får man ett reellt tal i nämnaren.
1
Förläng med nämnarens komplexkonjugat
expand_more Man börjar med att förlänga med nämnarens komplexkonjugat. I det här fallet är nämnaren 1 - 2i, så man förlänger med 1 + 2i.
5 + 10i/1 - 2i = (5 + 10i)(1 + 2i)/(1 - 2i)(1 + 2i)
2
Förenkla täljare och nämnare
expand_more Man fortsätter sedan med att förenkla täljaren och nämnaren så långt det går, vilket i det här fallet betyder att man multiplicerar ihop parenteserna. Notera att konjugatregeln kan användas i nämnaren och att det leder till att imaginärdelarna förenklas bort.
(5 + 10i)(1 + 2i)/(1 - 2i)(1 + 2i) =
ExpandPar
Multiplicera parenteser
= 5 * 1 + 5 * 2i + 10i * 1 + 10i * 2i/(1 - 2i)(1 + 2i) =
Multiply
Multiplicera faktorer
= 5 + 10i + 10i + 20i^2/(1 - 2i)(1 + 2i) =
IDefPow
i^2=- 1
=5 + 10i + 10i + 20(-1)/(1 - 2i)(1 + 2i)=
Multiply
Multiplicera faktorer
=5 + 10i + 10i - 20/(1 - 2i)(1 + 2i)=
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
=-15 + 20i/(1 - 2i)(1 + 2i)=
ExpandDiffSquares
Utveckla med konjugatregeln
=-15 + 20i/1^2 - (2i)^2=
PowProdII
(a b)^c=a^c b^c
=-15 + 20i/1^2 - 2^2i^2=
CalcPow
Beräkna potens
=-15 + 20i/1 - 4i^2=
IDefPow
i^2=- 1
=-15 + 20i/1 - 4(-1)=
Multiply
Multiplicera faktorer
=-15 + 20i/1 + 4=
AddTerms
Addera termerna
=-15 + 20i/5
3
Beräkna kvoten
expand_more Nu står det bara ett reellt tal i nämnaren, vilket gör att termerna i täljaren går att dividera var för sig.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Räkna med komplexa tal
Utför den angivna operationen och skriv resultatet på standardform. Avrunda varje del till två decimaler vid behov.
Extra
How to Input the Answer- Skriv realdelen i den första rutan.
- Skriv imaginärdelen i den andra rutan.
- För att ändra tecknet på imaginärdelen klickar du på rutan i det övre högra hörnet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Räkna med komplexa tal
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6+5i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4+7i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["22i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-1-12i"]}}
security
report
code
security
report
code
Vid addition av komplexa tal adderar och subtraherar man de reella och imaginära delarna var för sig.
Talen adderas alltså till 6 + 5i.
Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift.
Resultatet av additionen är alltså 4 + 7i.
Nu ska vi istället subtrahera två komplexa tal. Det gör vi på liknande sätt som tidigare. Enda skillnaden är att vi får ett steg med teckenbyten när vi tar bort parenteserna.
Subtraktionen ger resultatet 22i.
Vi gör på samma sätt ännu en gång.
Talen subtraheras alltså till - 1 - 12i.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förlänga bråken med nämnarnas komplexkonjugat. Vi får då reella nämnare vid förenkling.
Vi fortsätter genom att förenkla bråken och adderar dem sedan.
Uttrycket kan alltså förenklas till 2.
Vi förenklar det här uttrycket på samma sätt som i förra deluppgiften.
Nu när nämnarna är reella tal fortsätter vi genom att förenkla och sedan addera bråken.
Uttrycket är alltså 4 när det skrivs på enklast form.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["27+6i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3-31i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["10+17i"]}}
security
report
code
security
report
code
Komplexa tal multipliceras med vanlig parentesutveckling: Alla termer i första parentesen multipliceras med alla termer i den andra.
Det komplexa talet kan alltså skrivas som 27 + 6i.
Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften.
Det komplexa talet kan alltså skrivas som 3 - 31i.
Vi gör på samma sätt som i de tidigare deluppgifterna och är noggranna med prioriteringsreglerna.
Det komplexa talet kan alltså skrivas som 10+17i.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4+14i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver in den division vi vill beräkna i räknarens fönster.
Vi trycker på ENTER
och får vårt svar.
Svaret är alltså 4+14i.
Vi öppnar CPX-menyn och väljer kommandot för att beräkna realdelen av ett komplext tal.
Vi skriver sedan in divisionen i miniräknarens fönster och trycker på ENTER
.
Realdelen av kvoten är alltså 0,2.
Även denna gång öppnar vi CPX-menyn. Vi väljer nu kommandot för att beräkna imaginärdelen av ett komplext tal.
I miniräknarens fönster skriver vi sedan in den division vars imaginärdel vi vill bestämma. Vi trycker på ENTER
.
Imaginärdelen för denna kvot är alltså - 2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1-3i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6-8i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1-4i"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi utför divisionen genom att först förlänga bråket med nämnarens komplexkonjugat. (4-2i)(1-i)/(1+i)(1-i) = Nu förenklar vi bråket genom att multiplicera ihop parenteserna. I nämnaren kan vi använda konjugatregeln.
När vi nu har endast ett reellt tal i nämnaren kan vi dela upp bråket i och dividera termerna i täljaren var för sig.
Kvoten är alltså 1-3i.
Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och börjar därför med att förlänga med nämnarens komplexkonjugat. Sedan förenklar vi.
Nu dividerar vi termerna i täljaren separat.
Divisionen ger alltså kvoten 6-8i.
Vi gör på precis samma sätt igen, trots att vi har enbart ett reellt tal i täljaren.
Vi delar till sist upp bråket och dividerar termerna i täljaren var för sig.
Kvoten blir alltså 1-4i.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{7}{10}-\\dfrac{2i}{5}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{14}{13}+\\dfrac{21i}{13}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{5}-\\dfrac{i}{5}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3}{5}-\\dfrac{4i}{5}"]}}
security
report
code
security
report
code
I en division mellan komplexa tal vill vi förlänga bråket med nämnarens komplexkonjugat eftersom nämnaren då blir reell. Det gör att vi kan identifiera talets real- och imaginärdel.
Uttrycket kan skrivas som det komplexa talet 7/10-2i/5.
På samma sätt som i förra deluppgiften förlänger vi med nämnarens komplexkonjugat.
Uttrycket kan skrivas som det komplexa talet 14/13+21i/13.
Återigen förlänger vi med komplexkonjugatet. Nu har dock nämnaren endast en imaginärdel och konjugatet blir då -5i.
Uttrycket kan skrivas som det komplexa talet 1/5 -i/5.
Vi förlänger bråket med nämnarens komplexkonjugat för att få det på formen a+bi.
Uttrycket kan skrivas som det komplexa talet 3/5 -4i/5.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"z =","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4 - 2i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"z =","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2 + 2i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"z =","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4 - 2i"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"z =","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5 + 2i"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska lösa ekvationen 3z = 12 - 6i. Eftersom z är multiplicerat med 3 dividerar vi båda sidor med 3.
Vi ska lösa ekvationen 2z + 5 = 9 + 4i. Vi börjar med att subtrahera 5 från båda sidor för att isolera termen med z.
Vi ska lösa ekvationen 6i - 3z = 2i - 5z + 8. Vi samlar z-termerna på vänster sida och de övriga termerna på höger sida.
Vi ska lösa ekvationen 4z - 3i = 2z + 10 + i. Vi samlar z-termerna på vänster sida och de övriga termerna på höger sida.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
För två komplexa tal z_1 och z_2 gäller att: z_1 * z_2 &= 7+i z_1 &= 3 - i Bestäm z_2 på formen a+bi.
Nationella provet Ma4 VT13
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"z_2=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2+i"]}}
security
report
code
security
report
code
Uppgiften är att bestämma z_2, så vi löser ut det ur första ekvationen.
Det här uttrycket är dock inte på formen a+bi, så vi är inte klara än. Vi använder att z_1=3-i från den andra ekvationen och förlänger bråket med nämnarens komplexkonjugat.
Det betyder att z_2 kan skrivas som z_2=2+i på formen a+bi.
Från uppgiften vet vi att z_1=3-i och att z_2 ska vara på formen a+bi, dvs. vi kan skriva z_2 = a+bi. Vi sätter in uttrycken för z_1 och z_2 i ekvationen z_1 * z_2=7+i och undersöker vilka värden a och b kan ha.
För att likheten ska gälla måste realdelen och imaginärdelen vara lika stora i höger- och vänsterled. Det betyder att 3a + b = 7 och 3b-a =1. Vi får ett ekvationssystem som vi kan lösa.
Eftersom z_2 står på formen a+bi får vi då z_2=2+i.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Räkna med komplexa tal
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll