Dashboard

Sammansatta funktioner Visa detaljer

Kursinnehåll

Klar med uppgifterna

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Kapitel

Sammansatta funktioner

Sammansatta funktioner är en sammanslagning av två eller flera funktioner, ofta skrivna som f(x). De kan representera komplicerade matematiska relationer där en funktion sätts in i en annan. Det finns olika sätt att notera dessa funktioner, och de kan ha olika egenskaper som påverkar grafens utseende samt definitions- och värdemängden. Det finns exempel på sammansatta funktioner och hur man bildar dem förklaras också, inklusive hur man identifierar inre och yttre funktioner.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 6

En sammansatt funktion är, som namnet antyder, en sorts sammanslagning av två eller flera funktioner. Vanligtvis skrivs funktioner på formen f(x), där funktionen f beror på variabeln x. Om man ersätter x med ett tal kan man beräkna värdet för olika x, t.ex. betyder det att f(x) = x^2 + 3x - 1 ⇒ f( 2) = 2^2 +3* 2 - 1 = 9. Men vad händer om man istället sätter in en annan funktion, g(x)? Det är då man får en sammansatt funktion. T.ex. är funktionen tan(9x) sammansatt av 9x och tan(x), där den inre funktionen, 9x, har satts in i den yttre funktionen, tan(x). f(x) = tan(x) ⇒ f(9x) = tan(9x) I tabellen visas några fler exempel.

Yttre funktion	Inre funktion	Sammansatt funktion
y = cos(u)	u = 7x	y = cos(7x)
y = u^4	u = x - 6	y = (x - 6)^4
y = ln(u)	u = 3x - 5	y = ln(3x - 5)
y = e^u	u = 2x	y = e^(2x)

I det här fallet kallas den inre funktionen för u och den yttre för y, men det finns flera olika notationer för sammansatta funktioner. För att markera att en funktion är sammansatt finns det olika alternativ. I några av dem tar man med den oberoende variabeln x, och i andra inte.

Yttre funktion	Inre funktion	Sammansatt funktion	Utläses
y	u	y(u)	y av u
f(x)	g(x)	f(g(x))	f av g av x
f	g	f∘ g	f boll g

Bilda den sammansatta funktionen

fullscreen

Givet funktionerna f(x)=x^2 och g(x)=4x-1, skapa den sammansatta funktionen f(g(x)) och förenkla.

Visa Lösning

Uttrycket f(g(x)) betyder att vi ska sätta in g(x) i f(x).

f(x)=x^2

Sätt in g(x)

f(g(x))=(g(x))^2

Substitute

g(x)= 4x-1

f(g(x))=( 4x-1)^2

Nu kan vi utveckla funktionsuttrycket i högerledet med andra kvadreringsregeln.

(4x-1)^2

ExpandNegPerfectSquare

Utveckla med andra kvadreringsregeln

(4x)^2-2*4x*1 +1^2

CalcPowProd

Beräkna potens & produkt

(4x)^2-8x +1

PowProdII

(a b)^c=a^c b^c

16x^2-8x +1

Den sammansatta funktionen är alltså f(g(x))=16x^2-8x +1.

Identifiera den inre och yttre funktionen

fullscreen

Bestäm en inre och en yttre funktion som ger den sammansatta funktionen f(g(x)) = ( x^2 + 9x - 7 )^6.

Visa Lösning

Om det är svårt att se vilken del av ett uttryck som är den yttre funktionen och vilken som är den inre kan det vara en god idé att börja utifrån och arbeta sig inåt. I det här fallet ser vi att det finns en parentes och att innehållet i den upphöjs till 6. Den yttre funktionen skulle därför kunna vara f(x) = x^6. Det som står innanför parentesen måste då vara den inre funktionen: g(x) = x^2 + 9x - 7.

Begrepp

Egenskaper hos sammansatta funktioner

En sammansatt funktion får egenskaper som beror både på den inre och yttre funktionen. De kan t.ex. påverka grafens utseende samt definitions- och värdemängden.

Begrepp

Graf

Om den inre funktionen har formen g(x) = x + a, där a är en konstant, kommer grafen till den sammansatta funktionen vara likadan som till den yttre funktionen, men förskjuten i x-led. Grafen förskjuts åt vänster om a är positivt och åt höger om a är negativt.

Om den inre funktionen istället har formen g(x) = ax kommer grafen till den sammansatta funktionen att se ut som den för den yttre funktionen, men "ihopklämd" eller "utdragen" i x-led.

Begrepp

Definitions- och värdemängd

Man kan bestämma definitions- och värdemängden för en sammansatt funktion med hjälp av den inre och yttre funktionen. Som exempel kan man titta på y = ln(x + 5). Den inre funktionen u=x+5 har värdemängden alla reella tal, men i den yttre funktionen y=ln(u) kan man enbart sätta in positiva tal. Definitionsmängden för den sammansatta funktionen måste därför vara de x som gör att u>0: x + 5>0 ⇔ x>-5. Grafen till funktionen ln(x+5) ser likadan ut som den till ln(x) men den är förskjuten i sidled. Man kan därför få ut samma funktionsvärden som för ln(x), dvs. alla reella tal.

Sammanfattningsvis får man alltså D_y: x>-5 och V_y: Alla reella tal.

I det här exemplet blev funktionernas definitionsmängder olika, men värdemängderna samma. Beroende på vilka funktioner som är inblandade kan dessa samband bli mer eller mindre komplicerade och man får tolka varje fall för sig.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Sammansatta funktioner

Uppgifter

Bilda den sammansatta funktionen f(g(x)) givet följande.

g(x) = 3x^2 - 1, f(x) = e^x

g(x) = 4x - 5, f(x) = sqrt(x)

g(x) = sin(x), f(x) = x^(4,5)

Uttrycket f(g(x)) betecknar en sammansatt funktion, vilket betyder att vi skall sätta in funktionen g(x) i f(x).

Vår funktion är alltså f(g(x)) = e^(3x^2 - 1).

Vi skapar denna funktion med samma metod som vi använde i förra deluppgiften.

Funktionen är då f(g(x)) = sqrt(4x - 5).

Vi gör samma sak igen.

Den sammansatta funktionen är f(g(x)) = (sin(x))^(4,5).

Om f(x) = 2x + 1 och g(x) = e^x, bestäm följande uttryck.

f(g(x))

g(f(x))

f(f(x))

g(g(x))

Vi bildar den sammansatta funktionen f(g(x)) genom att byta ut x i f(x) mot funktionen g(x).

Den sökta funktionen är alltså f(g(x)) = 2e^x + 1.

Vi gör på samma sätt igen, fast sätter istället in f(x) i g(x).

Den sammansatta funktionen är alltså g(f(x)) = e^(2x + 1).

Nu ska vi istället sätta in funktionen f(x) i sig själv för att skapa f(f(x)).

Vid sammansättning med sig själv blir då funktionen f(f(x)) = 4x + 3.

Vi gör på samma sätt igen, fast med g(x)

Denna funktion går inte att förenkla ytterligare så vårt svar blir därför g(g(x)) = e^(e^x).

Dela upp funktionen i en inre och en yttre funktion.

h(x) = (6x^4 - 7)^4 h(x) = e^(4x + 7) h(x) = 3^(.1 /x.)

Vi låter h(x) = f(g(x)), vi kallar alltså yttre funktionen för f(x) och inre funktionen för g(x). Om vi arbetar oss utifrån och inåt ser vi att vi har en parentes upphöjd till 4. Den yttre funktionen är därför f(x) = x^4. Om vi nu skulle ersätta x med 6x^4 - 7 i den yttre funktionen får vi åter h(x). Det innebär att den inre funktionen är g(x) = 6x^4 - 7.

Funktionen h(x) = e^(4x + 7) kan vi betrakta som att vi startade med funktionen e^x och sedan ersatt x med 4x + 7. Den yttre funktionen är då f(x) = e^x och den inre funktionen är g(x) = 4x + 7.

I funktionen f(x) = 3^(.1 /x.) kan vi som ett stöd för oss sätta in en parentes i uttrycket så att vi har f(x) = 3^((.1 /x.)). Vi kan nu tänka oss att funktionen är uppbyggd av två funktioner, där 1/x satts in i 3^x. Vår yttre funktion är alltså f(x) = 3^x och vår inre funktion är g(x) = 1/x.

Nedan finns ett koordinatsystem med fem stycken grafer i. En graf är markerad f(x). De övriga är markerade med I, II, III och IV och är graferna till f(x + 5), f(x - 5), f(2x) och f(0,7x).

Para ihop graferna med rätt funktion.

Grafen till en funktion av typen f(ax) är utdragen i x-led i förhållande till f(x) om 0 < a < 1. Vi ser denna egenskap hos grafen markerad med II, som alltså är f(0,7x). Om däremot a är större än 1 kommer grafen för f(ax) se ihopklämd ut i jämförelse med f(x). Vi kan se att III är en sådan ihopklämd graf och måste därmed vara f(2x). Hittills vet vi att lI II → f(0,7x) III → f(2x) IV Grafen till en funktion på formen f(x + a) är istället förskjuten åt vänster för positiva a och åt höger för negativa a. Grafen märkt med I är 5 le. vänster om f(x) och är därför f(x + 5), och grafen IV är 5 le. åt höger och är följaktligen f(x - 5). Vårt svar blir då lI → f(x + 5) II → f(0,7x) III → f(2x) IV → f(x - 5).

Bilda den sammansatta funktionen f(g(x)) givet följande funktioner f(x) och g(x). Förenkla funktionsuttrycket så långt som möjligt.

& f(x) = x^2 + 5x - 4, & g(x) = x + 1

& f(x) = x^2 - 1, & g(x) = sin(x) + cos(x)

& f(x) = x^2 - 4/x - 3, & g(x) = x - 4

För att bilda den sammansatta funktionen f(g(x)) ersätter vi alla x i f(x) med funktionen g(x).

Den sammansatta funktionen blir alltså f(g(x)) = x^2 + 7x + 2.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift, dvs. sätter in g(x) i f(x) och förenklar.

Funktionen är alltså f(g(x)) = sin(2x).

Vi gör samma sak igen.

Detta funktionsuttryck går inte att förenkla ytterligare, så vårt svar är f(g(x)) = x^2 - 8x + 12/x - 7.