1. Sammansatta funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
1.
Sammansatta funktioner
Sammansatta funktioner är en sammanslagning av två eller flera funktioner, ofta skrivna som f(x). De kan representera komplicerade matematiska relationer där en funktion sätts in i en annan. Det finns olika sätt att notera dessa funktioner, och de kan ha olika egenskaper som påverkar grafens utseende samt definitions- och värdemängden. Det finns exempel på sammansatta funktioner och hur man bildar dem förklaras också, inklusive hur man identifierar inre och yttre funktioner.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 4 sidor teori |
| | 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Sammansatta funktioner
Sida av 4
En sammansatt funktion är, som namnet antyder, en sorts sammanslagning av två eller flera funktioner. Vanligtvis skrivs funktioner på formen f(x), där funktionen f beror på variabeln x. Om man ersätter x med ett tal kan man beräkna värdet för olika x, t.ex. betyder det att f(x)=x^2+3x-1 ⇒ f(2)=2^2+3*2-1=9. Men vad händer om man istället sätter in en annan funktion, g(x)? Det är då man får en sammansatt funktion. T.ex. är funktionen tan(9x) sammansatt av 9x och tan(x), där den inre funktionen, 9x, har satts in i den yttre funktionen, tan(x). f(x)=tan(x) ⇒ f(9x)=tan(9x) I tabellen visas några fler exempel.
| Yttre funktion | Inre funktion | Sammansatt funktion |
|---|---|---|
| y=cos(u) | u=7x | y=cos(7x) |
| y=u^4 | u=x-6 | y=(x-6)^4 |
| y=ln(u) | u=3x-5 | y=ln(3x-5) |
| y=e^u | u=2x | y=e^(2x) |
I det här fallet kallas den inre funktionen för u och den yttre för y, men det finns flera olika notationer för sammansatta funktioner. För att markera att en funktion är sammansatt finns det olika alternativ. I några av dem tar man med den oberoende variabeln x, och i andra inte.
| Yttre funktion | Inre funktion | Sammansatt funktion | Utläses |
|---|---|---|---|
| y | u | y(u) | "y av u" |
| f(x) | g(x) | f(g(x)) | "f av g av x" |
| f | g | f∘ g | "f boll g" |
Exempel
Bilda den sammansatta funktionen
Givet funktionerna f(x)=x^2 och g(x)=4x-1, skapa den sammansatta funktionen f(g(x)) och förenkla.
Visa Lösning expand_more
Uttrycket f(g(x)) betyder att vi ska sätta in g(x) i f(x).
Nu kan vi utveckla funktionsuttrycket i högerledet med andra kvadreringsregeln.
(4x-1)^2
ExpandNegPerfectSquare
Utveckla med andra kvadreringsregeln
(4x)^2-2*4x*1 +1^2
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
(4x)^2-8x +1
PowProdII
(a b)^c=a^c b^c
16x^2-8x +1
Exempel
Identifiera den inre och yttre funktionen
Bestäm en inre och en yttre funktion som ger den sammansatta funktionen f(g(x)) = ( x^2 + 9x - 7 )^6.
Visa Lösning expand_more
Om det är svårt att se vilken del av ett uttryck som är den yttre funktionen och vilken som är den inre kan det vara en god idé att börja utifrån och arbeta sig inåt. I det här fallet ser vi att det finns en parentes och att innehållet i den upphöjs till 6. Den yttre funktionen skulle därför kunna vara f(x) = x^6. Det som står innanför parentesen måste då vara den inre funktionen: g(x) = x^2 + 9x - 7.
Begrepp
Dela
Rapportera fel
Egenskaper hos sammansatta funktioner
En sammansatt funktion får egenskaper som beror både på den inre och yttre funktionen. De kan t.ex. påverka grafens utseende samt definitions- och värdemängden.
Begrepp
Dela
Rapportera fel
Graf
Om den inre funktionen istället har formen g(x) = ax kommer grafen till den sammansatta funktionen att se ut som den för den yttre funktionen, men "ihopklämd" eller "utdragen" i x-led.
Begrepp
Dela
Rapportera fel
Definitions- och värdemängd
Sammanfattningsvis får man alltså D_y: x>-5 och V_y: Alla reella tal.
I det här exemplet blev funktionernas definitionsmängder olika, men värdemängderna samma. Beroende på vilka funktioner som är inblandade kan dessa samband bli mer eller mindre komplicerade och man får tolka varje fall för sig.
Sammansatta funktioner
Övningar
Bilda den sammansatta funktionen f(g(x)) givet följande.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(g(x))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^{3x^2-1}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(g(x))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{4x-5}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(g(x))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["(\\sin(x))^{4.5}"]}}
security
report
code
security
report
code
Uttrycket f(g(x)) betecknar en sammansatt funktion, vilket betyder att vi skall sätta in funktionen g(x) i f(x).
Vår funktion är alltså f(g(x))=e^(3x^2-1).
Vi skapar denna funktion med samma metod som vi använde i förra deluppgiften.
Funktionen är då f(g(x))=sqrt(4x-5).
Vi gör samma sak igen.
Den sammansatta funktionen är f(g(x))=(sin(x))^(4.5).
security
report
code
Om f(x)=2x+1 och g(x)=e^x, bestäm följande uttryck.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(g(x))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^x+1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g(f(x))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^{2x+1}","e^{2x}e^1","e^{2x}e","e^{2x}\\t e^1","e^{2x}\\t e"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(f(x))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x+3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g(g(x))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^{e^x}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi bildar den sammansatta funktionen f(g(x)) genom att byta ut x i f(x) mot funktionen g(x).
Den sökta funktionen är alltså f(g(x))=2e^x+1.
Vi gör på samma sätt igen, fast sätter istället in f(x) i g(x).
Den sammansatta funktionen är alltså g(f(x))=e^(2x+1).
Nu ska vi istället sätta in funktionen f(x) i sig själv för att skapa f(f(x)).
Vid sammansättning med sig själv blir då funktionen f(f(x))=4x+3.
Vi gör på samma sätt igen, fast med g(x)
Denna funktion går inte att förenkla ytterligare så vårt svar blir därför g(g(x))=e^(e^x).
security
report
code
Dela upp funktionen i en inre och en yttre funktion.
h(x)=(6x^4-7)^4
h(x)=e^(4x+7)
h(x)=3^(1/x)
security
report
code
security
report
code
Vi låter h(x) = f(g(x)), vi kallar alltså yttre funktionen för f(x) och inre funktionen för g(x). Om vi arbetar oss utifrån och inåt ser vi att vi har en parentes upphöjd till 4. Den yttre funktionen är därför f(x)=x^4. Om vi nu skulle ersätta x med 6x^4 - 7 i den yttre funktionen får vi åter h(x). Det innebär att den inre funktionen är g(x)=6x^4-7.
Funktionen h(x)=e^(4x+7) kan vi betrakta som att vi startade med funktionen e^x och sedan ersatt x med 4x+7. Den yttre funktionen är då f(x)=e^x och den inre funktionen är g(x)=4x+7.
I funktionen f(x)=3^(1/x) kan vi som ett stöd för oss sätta in en parentes i uttrycket så att vi har f(x)=3^((1/x)). Vi kan nu tänka oss att funktionen är uppbyggd av två funktioner, där 1x satts in i 3^x. Vår yttre funktion är alltså
f(x)=3^x
och vår inre funktion är
g(x)= 1x.
security
report
code
Nedan finns ett koordinatsystem med fem stycken grafer i. En graf är markerad f(x). De övriga är markerade med I, II, III och IV och är graferna till f(x+5), f(x-5), f(2x) och f(0.7x).
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"I"},{"id":1,"text":"II"},{"id":2,"text":"III"},{"id":3,"text":"IV"}],[{"id":0,"text":"f(x+5)"},{"id":1,"text":"f(0.7x)"},{"id":2,"text":"f(2x)"},{"id":3,"text":"f(x-5)"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2,3],[0,1,2,3]]}
security
report
code
security
report
code
Grafen till en funktion av typen f(ax) är "utdragen" i x-led i förhållande till f(x) om 0
security
report
code
Bilda den sammansatta funktionen f(g(x)) givet följande funktioner f(x) och g(x). Förenkla funktionsuttrycket så långt som möjligt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(g(x))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+7x+2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(g(x))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sin(2x)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(g(x))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^2-8x+12}{x-7}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bilda den sammansatta funktionen f(g(x)) ersätter vi alla x i f(x) med funktionen g(x).
Den sammansatta funktionen blir alltså
f(g(x))=x^2+7x+2.
Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift, dvs. sätter in g(x) i f(x) och förenklar.
Funktionen är alltså
f(g(x))=sin(2x).
Vi gör samma sak igen.
Detta funktionsuttryck går inte att förenkla ytterligare, så vårt svar är f(g(x))=x^2-8x+12/x-7.
security
report
code
Sammansatta funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll