Introduktion till komplexa tal

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Finns det något tal som multiplicerat med sig självt ger -1?\text{-} 1? Bland de reella talen, dvs. de som ligger på tallinjen, är svaret nej. Men på 1600-talet utvidgade man matematiken med andra sorters tal, vars kvadrater är negativa. Då infördes den imaginära enheten i:i\text{:} i2=-1. i^2 = \text{-} 1. Med hjälp av den definitionen kan man bestämma kvadratroten av vilket negativt tal som helst, och resultatet kallas ett imaginärt tal. Man kan se det som att minustecknet under roten blir ett i,i, och sedan tar man roten ur som vanligt.

-a=ai\sqrt{\text{-} a}=\sqrt{a} \cdot i

Villkor: a>0a \gt 0

Att "hitta på" nya tal som de imaginära kan verka märkligt, men det är så matematiken har utvecklats. Invändningar gjordes även när negativa tal infördes: "Man kan ju inte ha -2\text{-}2 äpplen, så negativa tal kan inte finnas!" Ett annat exempel är de irrationella talen, vars upptäckare sägs ha bestraffats med dränkning.
Uppgift

Lös ekvationen x2+16=0x^2+16=0.

Lösning
Detta är en enkel andragradsekvation, så vi löser ut x2x^2 och drar roten ur båda led.
x2+16=0x^2+16=0
x2=-16x^2=\text{-}16
x=±-16x=\pm\sqrt{\text{-}16}
Nu har vi kvadratroten ur ett negativt tal i högerledet, så rötterna blir imaginära.
x=±-16x=\pm\sqrt{\text{-}16}
x=±16ix=\pm\sqrt{16}\cdot i
x=±4ix=\pm4i
Ekvationens lösningar är alltså x=-4ix=\text{-} 4i och x=4ix=4i.
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Komplexa tal

Ett komplext tal består av en realdel och imaginärdel. Namnet kommer inte från att talet är komplicerat utan från att det är ett komplex, alltså en sammansättning av flera delar. Adderar man t.ex. det reella talet 55 till det imaginära talet 8i8i får man det komplexa talet 5+8i.5 + 8i. Generellt kan ett komplext tal skrivas på formen z=a+bi, z = a + bi, där både aa och bb är reella tal. Detta kallas rektangulär form, eller ibland kartesisk form. Komponenterna aa och bb kallas för talets real- respektive imaginärdel. Realdelen av 5+8i5 + 8i är alltså 55 medan imaginärdelen är 8.8.

Om z=a+biz = a + bi
är Re(z)=a\text{Re}(z) = a och Im(z)=b.\text{Im}(z) = b.

Ett reellt tal kan ses som ett komplext tal med imaginärdelen 0,0, och på samma sätt kan ett imaginärt tal ses som ett komplext tal med realdelen 0.0.
Regel

Komplexkonjugat

Om man byter tecken på imaginärdelen av ett komplext tal får man dess komplexkonjugat. Det brukar anges med ett rakt streck över talet som konjugeras.

a+bi=abi\overline{a+bi} = a-bi

Exempelvis har talet z=35iz = 3- 5i komplexkonjugatet zˉ=3+5i.\bar{z}= 3+5i.
Uppgift

Bestäm real- och imaginärdel för följande tal. z1=3+2iz2=-10+iz3=76i z_1 = 3 + 2i \quad\; z_2 = \text{-}10 + i \quad\; z_3 = 7 - 6i

Lösning

Vi börjar med det första talet, z1=3+2i.z_1 = 3 + 2i. Talets realdel är den term som inte innehåller ett i,i, vilket är 3.3. Imaginärdelen är den andra termen fast utan i:et,i\text{:et,} dvs. 2.2. Vi får alltså Re(z1)=3ochIm(z1)=2. \text{Re}(z_1) = 3 \quad \text{och} \quad \text{Im}(z_1) = 2. För det andra komplexa talet, z2=-10+i,z_2 = \text{-}10 + i, står det inget framför i.i. Det finns dock en underförstådd etta, eftersom det finns ett i.i. Man kan alltså skriva talet som z2=-10+1i,z_2 = \text{-}10 + 1i, vilket ger Re(z2)=-10ochIm(z2)=1. \text{Re}(z_2) = \text{-}10 \quad \text{och} \quad \text{Im}(z_2) = 1. I det sista talet, z3=76i,z_3 = 7 - 6i, står det ett minustecken mellan 77 och 6i.6i. Om vi skriver om talet på rektangulär form, a+bi,a + bi, ser vi att minustecknet är en del av imaginärdelen: z3=7+(-6)i.z_3 = 7 + (\text{-}6)i. Då är Re(z3)=7ochIm(z3)=-6. \text{Re}(z_3) = 7 \quad \text{och} \quad \text{Im}(z_3) = \text{-}6.

Visa lösning Visa lösning

Om räknaren är inställd på att räkna med reella tal får man ett felmeddelande om man försöker beräkna -1.\sqrt{\text{-} 1}. Det går dock att ändra inställningarna så att räknaren kan svara med komplexa tal. Det gör man genom att trycka på knappen MODE och välja alternativet "a+bi".

Med det valet kan -1\sqrt{\text{-} 1} beräknas utan problem.

roten ur -1 på räknare
Digitala verktyg

CPX-menyn

Genom att trycka på knappen MATH och gå till fliken CPX, "complex", hittar man verktyg för beräkningar med komplexa tal.

CPX-menyn på räknare

De första tre funktionerna används för att beräkna ett komplext tals komplexkonjugat, realdel respektive imaginärdel. Talet ii hittar man på räknarens punktknapp (2nd + .).

räknarens verktyg för komplexa tal

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}