Introduktion till komplexa tal

Kvadratroten ur ett negativt tal är imaginärt. Man får samma värde som om man drar roten ur det positiva talet, fast med den imaginära enheten i efter roten. Man får därför sqrt(- 4) = sqrt(4) * i = 2i.

På samma sätt som i förra uppgiften blir roten ur det negativa talet lika med roten ur motsvarande positiva tal, multiplicerat med den imaginära enheten: sqrt(- 9) = sqrt(9) * i = 3i.

Definitionen av den imaginära enheten är att i^2 = - 1, vilket också kan skrivas som i = sqrt(-1). Det går också bra att tänka som i tidigare uppgifter och få sqrt(- 1) = sqrt(1) * i = i.

Vi gör på samma sätt igen och drar roten ur det positiva talet, multiplicerat med i: sqrt(- 100) = sqrt(100) * i = 10i.

Realdelen är den del som inte multipliceras med i, vilket är 2. Imaginärdelen är den del som multipliceras med i, fast utan själva i:et, alltså 3. Vi skriver realdelen för z som Re(z) = 2 och imaginärdelen som Im(z) = 3.

I det här talet är den imaginära delen negativ, vilket inte får missas. Vi får därför Re(z) = 4 och Im(z) =- 2.

Nu är det realdelen som är negativ, och tänk på att framför i är det nu en "underförstådd" etta. Därmed är Re(z) = - 2 och Im(z) = 1.

Här finns det ingen realdel, vilket är samma sak som att den är 0. Alltså är Re(z) = 0 och Im(z) = 4.

Nu finns det istället ingen imaginärdel, den är alltså 0. Vi får då Re(z) = 7 och Im(z) = 0.

Vi hittar realdelen genom att identifiera det som inte multipliceras med i, alltså 2a. För imaginärdelen identifierar vi det som multipliceras med i, vilket är - 7b. Talets delar är alltså Re(z) = 2a och Im(z) = - 7b.

Vi dividerar båda leden med 2 och tar sedan roten ur dessa. Vi använder då att roten ur -36 är detsamma som roten ur 36 multiplicerat med den imaginära enheten i. Eftersom vi tar roten ur ett negativt tal, kommer ekvationens lösningar vara imaginära.

Ekvationen har lösningarna x=6i och x=-6i.

Vi börjar med att subtrahera 11 från båda led, och dividerar de därefter med 2.

Vi tar nu roten ur båda led, och använder att roten ur -225 är samma sak som roten ur 225 multiplicerat med i.

Till att börja med subtraherar vi 7,5 från båda led. Vi multiplicerar sedan leden med 2.

Till sist tar vi roten ur båda led.

Räknarens funktioner för att beräkna ett komplext tals real- och imaginärdel hittar vi genom att trycka på knappen MATH och gå till fliken CPX. Vi genomför sedan följande beräkningar på räknaren.

Vid avrundning till 5 decimaler får vi sedan Re(2^i) ≈ 0.76924 och Im(2^i) ≈ 0.63896. Realdelen är alltså störst.

Vi drar roten ur båda sidor, vilket ger ett imaginärt tal i högerledet. Vi flyttar sedan över den reella konstanttermen från vänsterledet, vilket ger ett komplex tal.

Ekvationen har alltså lösningarna x=3+9i och x=3-9i.

Vi löser först ut parentesen innan vi drar roten ur båda led och gör på samma sätt som tidigare.

Vi gör på samma sätt som tidigare. Tänk på att om man byter tecken på en term som har tecknet ± framför sig så ändras inte den termen. Minustecknet blir visserligen ett plustecken och vice versa, men resultatet är detsamma.

Realdelen för ett komplext tal är det som inte är multiplicerat med i, medan imaginärdelen är det som är multiplicerat med i. När vi adderar realdelen med imaginärdelen gånger i får vi alltså talet. Det blir då z = 3 + 1i = 3 + i. För att hitta komplexkonjugatet z behöver vi nu endast byta tecken på imaginärdelen för z. Vi får då z = 3 - i.

I det här fallet är imaginärdelen negativ, vilket vi inte får glömma när vi bestämmer z. Talet blir z = 1 - 2i, och genom att byta imaginärdelens tecken får vi komplexkonjugatet z = 1 + 2i.

För det här talet är imaginärdelen 0, vilket innebär att det inte finns någon term med i. Vi får därmed talet z = 9001. När vi nu byter tecken på imaginärdelen, som är 0, för att få komplexkonjugatet blir det också z = 9001.

Här är det viktigt att hela imaginärdelen a-b multipliceras med i när vi skapar talet. Vi får alltså z = 5 + (a-b)i. Komplexkonjugatet fås som vanligt genom att byta tecken på imaginärdelen. Det blir då z = 5 - (a-b)i.

Skriv om ekvationen så att ena ledet är lika med 0. Lös sedan ekvationen med pq-formeln.

Vi använder nu att roten ur -16 är lika med roten ur 16 multiplicerat med den imaginära enheten i.

Ekvationerna har alltså två komplexa lösningar: x=-2+4i och x=-2-4i.

Även här skriver vi om ekvationen så ena ledet är lika med 0. Vi dividerar sedan båda led med 2 och löser ekvationen med pq-formeln.

Ekvationen har lösningarna x=3+5i och x=3-5i.

Vi börjar ännu en gång med att skriva om ekvationen så att ena ledet är lika med 0.

Vi dividerar nu ekvationerna med 3 och löser sedan ekvationen med pq-formeln.

Lösningarna är x=1+12i och x=1-12i.