Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)f(x) om derivatan F(x)F'(x) är lika med f(x).f(x). Exempelvis är x2x^2 en primitiv funktion till 2x2x eftersom derivatan av x2x^2 är just 2x.2x. Primitiva funktioner kallas också för obestämda integraler eller antiderivator och används bl.a. för att bestämma värden av integraler. För att bestämma primitiva funktioner kan man använda deriveringsreglerna "baklänges".
Regel

Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner

Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av sin(x)\sin(x) är cos(x),\cos(x), vilket innebär att sin(x)\sin(x) måste vara en primitiv funktion till cos(x).\cos(x).

Regel

D-1(cos(x))=sin(x)+CD^{\text{-1}}\left(\cos(x)\right)=\sin(x) +C

På samma sätt måste en primitiv funktion till sin(x)\sin(x) vara -cos(x),\text{-} \text{cos}(x), eftersom derivatan av cos(x)\cos(x) är -sin(x).\text{-} \text{sin}(x).

Regel

D-1(sin(x))=-cos(x)+CD ^{\text{-}1}(\sin(x))=\text{-}\cos(x)+C
Men vad blir den primitiva funktionen om det står en konstant framför x,x, som i cos(2x)?\cos(2x)? Då måste man kompensera för den inre derivatan genom att dividera med konstanten.

Regel

D-1(cos(kx))=sin(kx)k+CD^{\text{-1}}\left(\cos(kx)\right)=\dfrac{\sin(kx)}{k}+C

Regel

D-1(sin(kx))=-cos(kx)k+CD ^{\text{-}1}(\sin(kx))=\text{-}\dfrac{\cos(kx)}{k}+C
Regel

Primitiv funktion till 1x\frac{1}{x}

Derivatan av ln(x)\ln(x) är 1x,\frac{1}{x}, vilket innebär att ln(x)\ln(x) måste vara en primitiv funktion till 1x.\frac{1}{x}.

Regel

D-1(1x)=ln(x)+CD ^{\text{-}1}\left(\dfrac{1}{x}\right)=\ln(x)+C
Uppgift

Bestäm den primitiva funktionen till f(x)=1x+sin(7x), f(x)=\dfrac{1}{x}+\sin(7x), givet att F(π)=4.F(\pi)=4.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange en primitiv funktion till var och en av funktionerna

a

f(x)=sin(x)πf(x)=\sin(x)-\pi

b

f(x)=cos(3x)+4xf(x)=\cos(3x)+4x

c

f(x)=1xe-42xf(x)=\dfrac{1}{x}-e^{\text{-} 42x}

d

f(x)=x+5sin(9x).f(x)=\sqrt{x}+5\sin(9x).

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna integralerna och svara exakt.

a
0πcos(x)dx\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos (x) \, \text d x
b
12π(12xsin(x))dx\displaystyle\int_{1}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}x - \sin (x) \right) \, \text d x
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm den primitiva funktionen F(x)F(x) till

f(x)=sin(x)+2f(x)=\sin(x)+2 om F(0)=3F(0)=3
a
f(x)=2x2cos(4x)f(x)=\dfrac{2}{x}-2\cos(4x) om F(π)=0.F(\pi)=0.
b
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tilia påstår att man kan hitta en primitiv funktion till f(x)=1x f(x) = \frac{1}{x} genom att skriva om den som f(x)=x-1f(x)= x^{\text{-} 1} och sedan använda integreringsregeln för potensfunktioner. Har hon rätt?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar grafen till funktionen f(x).f(x). Ge ett exempel på en primitiv funktion, F(x),F(x), till f(x).f(x).

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange samtliga funktioner vars andraderivata är f(x)=3sin(x)+e2x.f''(x)=3\sin(x)+e^{2x}.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna integralerna och svara exakt.

a

-π/32πcos(-x)dx\displaystyle\int_{\text{-} \pi/3}^{2\pi} \cos(\text{-} x) \, \text d x

b

π/43π/4cos2(2x)+sin(2x)(sin(2x)+3x)xdx\displaystyle\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\dfrac{\cos^2(2x) + \sin(2x) \left(\sin(2x) + 3x \right)}{x} \, \text d x

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm arean av det markerade området.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm den totala arean av de områden som bildas mellan x-x\text{-} axeln och grafen till f(x)=cos(3x)f(x)=\cos(3x) mellan -4π\text{-} 4\pi och 2π.2\pi.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna 0π/6(2sin(x)+5)cos(x)dx\displaystyle\int_{0}^{\pi/6}(2\sin(x)+5)\cos(x) \, \text d x .

Nationella provet VT13 Ma4
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) är definierad som f(x)=3sin(0.5x). f(x)=3\sin(0.5x). Funktionen g(x)g(x) är definierad som g(x)={3sin(0.5x),x2πkx+m,x>2π. g(x) = \begin{cases} 3\sin(0.5x),& x\leq 2\pi \\ kx+m,& x > 2\pi. \end{cases} Bestäm kk och mm så att

  • g(x)g(x) är kontinuerlig
  • 04πf(x)dx=04πg(x)dx.\displaystyle\int_{0}^{4\pi}f(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{0}^{4\pi}g(x) \, \text d x .
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}