Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner
Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner
{{ 'ml-heading-theory' | message }}
F(x) är en primitiv funktion till f(x) om derivatanF′(x) är lika med f(x). Exempelvis är x2 en primitiv funktion till 2x eftersom derivatan av x2 är just 2x. Primitiva funktioner kallas också för obestämda integraler eller antiderivator och används bl.a. för att bestämma värden av integraler. För att bestämma primitiva funktioner kan man använda deriveringsreglerna "baklänges".
Regel
Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner
Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av sin(x) är cos(x), vilket innebär att sin(x) måste vara en primitiv funktion till cos(x).
Regel
D-1(cos(x))=sin(x)+C
Man kan visa denna regel genom att deriveraF(x)=sin(x)+C. Värdet på konstanten C spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.
F(x)=sin(x)+C
Derivera funktion
F′(x)=D(sin(x))+D(C)
D(a)=0
F′(x)=D(sin(x))
D(sin(v))=cos(v)
F′(x)=cos(x)
Derivatan blir cos(x), så sin(x) är en primitiv funktion till cos(x).
På samma sätt måste en primitiv funktion till sin(x) vara -cos(x), eftersom derivatan av cos(x) är -sin(x).
Regel
D-1(sin(x))=-cos(x)+C
Genom att derivera F(x)=-cos(x)+C visar man denna regel.
F(x)=-cos(x)+C
Derivera funktion
F′(x)=-D(cos(x))+D(C)
D(a)=0
F′(x)=-D(cos(x))
D(cos(v))=-sin(v)
F′(x)=-(-sin(x))
-(-a)=a
F′(x)=sin(x)
Eftersom man får sin(x) när man deriverar -cos(x) måste det vara en primitiv funktion.
Men vad blir den primitiva funktionen om det står en konstant framför x, som i cos(2x)? Då måste man kompensera för den inre derivatan genom att dividera med konstanten.
Regel
D-1(cos(kx))=ksin(kx)+C
Man kan motivera att detta är en primitiv funktion genom att derivera högerledet.
F(x)=ksin(kx)+C
ba=b1⋅a
F(x)=k1⋅sin(kx)+C
Derivera funktion
F′(x)=D(k1⋅sin(kx))+D(C)
D(a)=0
F′(x)=D(k1⋅sin(kx))
D(asin(kv))=a⋅kcos(kv)
F′(x)=k1⋅k⋅cos(kx)
ka⋅k=a
F′(x)=cos(kx)
Derivatan blir cos(kx), så ksin(kx)+C är de primitiva funktionerna till cos(kx). Regeln gäller för k≠0.
Regel
D-1(sin(kx))=-kcos(kx)+C
Även här deriverar man högerledet för att visa regeln.
F(x)=-kcos(kx)+C
ba=b1⋅a
F(x)=-k1⋅cos(kx)+C
Derivera funktion
F′(x)=-D(k1⋅cos(kx))+D(C)
D(a)=0
F′(x)=-D(k1⋅cos(kx))
D(acos(kv))=-aksin(kv)
F′(x)=-(-k1⋅k⋅sin(kx))
-(-a)=a
F′(x)=k1⋅k⋅sin(kx)
ka⋅k=a
F′(x)=sin(kx)
Eftersom derivatan är sin(kx) måste -kcos(kx)+C vara alla primitiva funktioner. Även den här regeln gäller så länge k≠0.
Regel
Primitiv funktion till x1
Derivatan av ln(x) är x1, vilket innebär att ln(x) måste vara en primitiv funktion till x1.
Regel
D-1(x1)=ln(x)+C
Man kan visa att regeln stämmer genom att deriveraln(x)+C.
F(x)=ln(x)+C
Derivera funktion
F′(x)=D(ln(x))+D(C)
D(a)=0
F′(x)=D(ln(x))
D(ln(x))=x1
F′(x)=x1
Derivatan är x1, så ln(x)+C måste vara de primitiva funktionerna till x1. Regeln gäller för x>0.
Exempel
Bestäm den specifika primitiva funktionen
Uppgift
Bestäm den primitiva funktionen till
f(x)=x1+sin(7x),
givet att F(π)=4.
Lösning
Vi ska bestämma en viss specifik primitiv funktion till f(x), men för att göra det måste vi först bestämma alla primitiva funktioner.
f(x)=x1+sin(7x)
Bestäm alla primitiva funktioner
F(x)=D-1(x1)+D-1(sin(7x))+C
D-1(x1)=ln(x)
F(x)=ln(x)+D-1(sin(7x))+C
D-1(sin(kv))=-kcos(kv)
F(x)=ln(x)+(-7cos(7x))+C
a+(-b)=a−b
F(x)=ln(x)−7cos(7x)+C
Nu använder vi den givna informationen F(π)=4 för att bestämma C.
F(x)=ln(x)−7cos(7x)+C
x=π
F(π)=ln(π)−7cos(7π)+C
F(π)=4
4=ln(π)−7cos(7π)+C
Lös ekvationen
{Dra bort 3 }\ifnumequal{3}{1}{period}{perioder}
4=ln(π)−7cos(π)+C
4=ln(π)−7-1+C
-b-a=ba
4=ln(π)+71+C
Omarrangera ekvation
ln(π)+71+C=4
VL−71=HL−71
ln(π)+C=4−71
VL−ln(π)=HL−ln(π)
C=4−71−ln(π)
a=77⋅a
C=728−71−ln(π)
Subtrahera bråk
C=727−ln(π)
Nu när vi känner till C kan vi ange den specifika primitiva funktionen:
F(x)=ln(x)−7cos(7x)+727−ln(π).
