Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras . Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då anges i måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att är cos(x), vilket innebär att sin(x) måste vara en primitiv funktion till cos(x).
Man kan visa denna regel genom att F(x)=sin(x)+C. Värdet på konstanten C spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.
F(x)=sin(x)+C F′(x)=D(sin(x))+D(C) F′(x)=D(sin(x)) F′(x)=cos(x)
Derivatan blir cos(x), så sin(x) är en primitiv funktion till cos(x).
På samma sätt måste en primitiv funktion till sin(x) vara -cos(x), eftersom är -sin(x).
Genom att derivera
F(x)=-cos(x)+C visar man denna regel.
F(x)=-cos(x)+C F′(x)=-D(cos(x))+D(C) F′(x)=-D(cos(x)) F′(x)=-(-sin(x)) F′(x)=sin(x)
Eftersom man får
sin(x) när man deriverar
-cos(x) måste det vara en primitiv funktion.
Men vad blir den primitiva funktionen om det står en konstant framför
x, som i
cos(2x)? Då måste man kompensera för den inre derivatan genom att dividera med konstanten.
Man kan motivera att detta är en primitiv funktion genom att derivera högerledet.
F(x)=ksin(kx)+C F(x)=k1⋅sin(kx)+C F′(x)=D(k1⋅sin(kx))+D(C) F′(x)=D(k1⋅sin(kx)) F′(x)=k1⋅k⋅cos(kx) F′(x)=cos(kx)
Derivatan blir
cos(kx), så
ksin(kx)+C är de primitiva funktionerna till
cos(kx). Regeln gäller för
k=0.
Även här deriverar man högerledet för att visa regeln.
F(x)=-kcos(kx)+C F(x)=-k1⋅cos(kx)+C F′(x)=-D(k1⋅cos(kx))+D(C) F′(x)=-D(k1⋅cos(kx)) F′(x)=-(-k1⋅k⋅sin(kx)) F′(x)=k1⋅k⋅sin(kx) F′(x)=sin(kx)
Eftersom derivatan är
sin(kx) måste
-kcos(kx)+C vara alla primitiva funktioner. Även den här regeln gäller så länge
k=0.