Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner

F (x)

är en primitiv funktion till

f (x)

om derivatan

F^{'} (x)

är lika med

f (x) .

Exempelvis är

x^{2}

en primitiv funktion till

2 x

eftersom derivatan av

x^{2}

är just

2 x .

Primitiva funktioner kallas också för obestämda integraler eller antiderivator och används bl.a. för att bestämma värden av integraler. För att bestämma primitiva funktioner kan man använda deriveringsreglerna "baklänges".

Regel

Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner

Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av $sin (x)$ är $cos (x),$ vilket innebär att $sin (x)$ måste vara en primitiv funktion till $cos (x) .$

Regel

D^{- 1} (cos (x)) = sin (x) + C

Man kan visa denna regel genom att derivera $F (x) = sin (x) + C .$ Värdet på konstanten $C$ spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir $0 .$

F (x) = sin (x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = D (sin (x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = D (sin (x))

DeriveSin

$D (sin (v)) = cos (v)$

F^{'} (x) = cos (x)

Derivatan blir $cos (x),$ så $sin (x)$ är en primitiv funktion till $cos (x) .$

På samma sätt måste en primitiv funktion till $sin (x)$ vara $- cos (x),$ eftersom derivatan av $cos (x)$ är $- sin (x) .$

Regel

D^{- 1} (sin (x)) = - cos (x) + C

Genom att derivera

F (x) = - cos (x) + C

visar man denna regel.

F (x) = - cos (x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = - D (cos (x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = - D (cos (x))

DeriveCos

$D (cos (v)) = - sin (v)$

F^{'} (x) = - (- sin (x))

NegNeg

$- (- a) = a$

F^{'} (x) = sin (x)

Eftersom man får

sin (x)

när man deriverar

- cos (x)

måste det vara en primitiv funktion.

Men vad blir den primitiva funktionen om det står en konstant framför

x,

som i

cos (2 x) ?

Då måste man kompensera för den inre derivatan genom att dividera med konstanten.

Regel

D^{- 1} (cos (k x)) = \frac{sin ( k x )}{k} + C

Man kan motivera att detta är en primitiv funktion genom att derivera högerledet.

F (x) = \frac{sin ( k x )}{k} + C

MoveNumRight

$\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$

F (x) = \frac{1}{k} \cdot sin (k x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = D (\frac{1}{k} \cdot sin (k x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = D (\frac{1}{k} \cdot sin (k x))

DeriveSinAmpFreq

$D (a sin (k v)) = a \cdot k cos (k v)$

F^{'} (x) = \frac{1}{k} \cdot k \cdot cos (k x)

FracMultDenomToNumber

$\frac{a}{k} \cdot k = a$

F^{'} (x) = cos (k x)

Derivatan blir

cos (k x),

så

\frac{s i n ( k x )}{k} + C

är de primitiva funktionerna till

cos (k x) .

Regeln gäller för

k \neq = 0 .

Regel

D^{- 1} (sin (k x)) = - \frac{cos ( k x )}{k} + C

Även här deriverar man högerledet för att visa regeln.

F (x) = - \frac{cos ( k x )}{k} + C

MoveNumRight

$\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$

F (x) = - \frac{1}{k} \cdot cos (k x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = - D (\frac{1}{k} \cdot cos (k x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = - D (\frac{1}{k} \cdot cos (k x))

DeriveCosAmpFreq

$D (a cos (k v)) = - a k sin (k v)$

F^{'} (x) = - (- \frac{1}{k} \cdot k \cdot sin (k x))

NegNeg

$- (- a) = a$

F^{'} (x) = \frac{1}{k} \cdot k \cdot sin (k x)

FracMultDenomToNumber

$\frac{a}{k} \cdot k = a$

F^{'} (x) = sin (k x)

Eftersom derivatan är

sin (k x)

måste

- \frac{c o s ( k x )}{k} + C

vara alla primitiva funktioner. Även den här regeln gäller så länge

k \neq = 0 .

Regel

Primitiv funktion till $\frac{1}{x}$

Derivatan av $ln (x)$ är $\frac{1}{x},$ vilket innebär att $ln (x)$ måste vara en primitiv funktion till $\frac{1}{x} .$

Regel

D^{- 1} (\frac{1}{x}) = ln (x) + C

Man kan visa att regeln stämmer genom att derivera

ln (x) + C .

F (x) = ln (x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = D (ln (x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = D (ln (x))

DeriveLn

$D (ln (x)) = \frac{1}{x}$

F^{'} (x) = \frac{1}{x}

Derivatan är $\frac{1}{x},$ så $ln (x) + C$ måste vara de primitiva funktionerna till $\frac{1}{x} .$ Regeln gäller för $x > 0 .$

Bestäm den specifika primitiva funktionen

fullscreen

Uppgift

Bestäm den primitiva funktionen till $f (x) = \frac{1}{x} + sin (7 x),$ givet att $F (π) = 4 .$

Visa Lösning

Lösning

Vi ska bestämma en viss specifik primitiv funktion till

f (x),

men för att göra det måste vi först bestämma alla primitiva funktioner.

f (x) = \frac{1}{x} + sin (7 x)

AntiderivativeAll

Bestäm alla primitiva funktioner

F (x) = D^{- 1} (\frac{1}{x}) + D^{- 1} (sin (7 x)) + C

AntideriveDivOneByX

$D^{- 1} (\frac{1}{x}) = ln (x)$

F (x) = ln (x) + D^{- 1} (sin (7 x)) + C

AntideriveSinFreq

$D^{- 1} (sin (k v)) = - \frac{cos ( k v )}{k}$

F (x) = ln (x) + (- \frac{cos ( 7 x )}{7}) + C

AddNeg

$a + (- b) = a - b$

F (x) = ln (x) - \frac{cos ( 7 x )}{7} + C

Nu använder vi den givna informationen

F (π) = 4

för att bestämma

C .

F (x) = ln (x) - \frac{cos ( 7 x )}{7} + C

Substitute

$x = π$

F (π) = ln (π) - \frac{cos ( 7 π )}{7} + C

Substitute

$F (π) = 4$

4 = ln (π) - \frac{cos ( 7 π )}{7} + C

Lös ekvationen

CosSubtractPeriod

{Dra bort 3 }\ifnumequal{3}{1}{period}{perioder}

4 = ln (π) - \frac{cos ( π )}{7} + C

CosRad

${\textstyle \ifnumequal{180}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{180}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\text{-} \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\text{-} \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\text{-} \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{180}{\cos\left(\pi\right)=\text{-} 1}{}\ifnumequal{180}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=\text{-} \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\text{-} \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=\text{-} \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{180}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{180}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}}$