Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner

F(x)

är en primitiv funktion till

f(x)

om derivatan

F'(x)

är lika med

f(x).

Exempelvis är

x^2

en primitiv funktion till

2x

eftersom derivatan av

x^2

är just

2x.

Primitiva funktioner kallas också för obestämda integraler eller antiderivator och används bl.a. för att bestämma värden av integraler. För att bestämma primitiva funktioner kan man använda deriveringsreglerna "baklänges".

Regel

Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner

Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av $\sin(x)$ är $\cos(x),$ vilket innebär att $\sin(x)$ måste vara en primitiv funktion till $\cos(x).$

Regel
$D^{\text{-1}}\left(\cos(x)\right)=\sin(x) +C$

Man kan visa denna regel genom att derivera $F(x)=\sin(x)+C.$ Värdet på konstanten $C$ spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir $0.$

F(x)=\sin(x)+C

Derivera funktion

F'(x)=D(\sin(x))+D(C)

D(a) = 0

F'(x)=D(\sin(x))

D\left( \sin(v) \right) = \cos(v)

F'(x)=\cos(x)

Derivatan blir $\cos(x),$ så $\sin(x)$ är en primitiv funktion till $\cos(x).$

På samma sätt måste en primitiv funktion till $\sin(x)$ vara $\text{-} \text{cos}(x),$ eftersom derivatan av $\cos(x)$ är $\text{-} \text{sin}(x).$

Regel
$D ^{\text{-}1}(\sin(x))=\text{-}\cos(x)+C$

Genom att derivera $F(x)=\text{-}\cos(x)+C$ visar man denna regel.

F(x)=\text{-}\cos(x) +C

Derivera funktion

F'(x)=\text{-} D(\cos(x))+D(C)

D(a) = 0

F'(x)=\text{-} D(\cos(x))

D\left( \cos(v) \right) = \text{-} \sin(v)

F'(x)=\text{-} (\text{-}\sin(x))

\text{-} (\text{-} a)=a

F'(x)=\sin(x)

Eftersom man får $\sin(x)$ när man deriverar $\text{-} \text{cos}(x)$ måste det vara en primitiv funktion.

Men vad blir den primitiva funktionen om det står en konstant framför

x,

som i

\cos(2x)?

Då måste man kompensera för den inre derivatan genom att dividera med konstanten.

Regel
$D^{\text{-1}}\left(\cos(kx)\right)=\dfrac{\sin(kx)}{k}+C$

Man kan motivera att detta är en primitiv funktion genom att derivera högerledet.

F(x)=\dfrac{\sin(kx)}{k}+C

\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{b}\cdot a

F(x)=\dfrac{1}{k}\cdot\sin(kx)+C

Derivera funktion

F'(x)=D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\sin(kx)\right)+D(C)

D(a) = 0

F'(x)=D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\sin(kx)\right)

D\left( a\sin(kv) \right) = a\cdot k\cos(kv)

F'(x)=\dfrac{1}{k}\cdot k \cdot \cos(kx)

\dfrac{a}{k}\cdot k = a

F'(x)=\cos(kx)

Derivatan blir $\cos(kx),$ så $\frac{\sin(kx)}{k}+C$ är de primitiva funktionerna till $\cos(kx).$ Regeln gäller för $k\neq0.$

Regel
$D ^{\text{-}1}(\sin(kx))=\text{-}\dfrac{\cos(kx)}{k}+C$

Även här deriverar man högerledet för att visa regeln.

F(x)=\text{-}\dfrac{\cos(kx)}{k}+C

\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{b}\cdot a

F(x)=\text{-}\dfrac{1}{k}\cdot\cos(kx)+C

Derivera funktion

F'(x)=\text{-} D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\cos(kx)\right)+D(C)

D(a) = 0

F'(x)=\text{-} D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\cos(kx)\right)

D\left( a\cos(kv) \right) = \text{-} ak\sin(kv)

F'(x)=\text{-} \left( \text{-} \dfrac{1}{k}\cdot k \cdot \sin(kx) \right)

\text{-} (\text{-} a)=a

F'(x)= \dfrac{1}{k}\cdot k \cdot \sin(kx)

\dfrac{a}{k}\cdot k = a

F'(x)= \sin(kx)

Eftersom derivatan är $\sin(kx)$ måste $\text{-}\frac{\cos(kx)}{k} + C$ vara alla primitiva funktioner. Även den här regeln gäller så länge $k\neq0.$

Regel

Primitiv funktion till $\frac{1}{x}$

Derivatan av $\ln(x)$ är $\frac{1}{x},$ vilket innebär att $\ln(x)$ måste vara en primitiv funktion till $\frac{1}{x}.$

Regel
$D ^{\text{-}1}\left(\dfrac{1}{x}\right)=\ln(x)+C$

Man kan visa att regeln stämmer genom att derivera $\ln(x)+C.$

F(x)=\ln(x)+C

Derivera funktion

F'(x)=D(\ln(x))+D(C)

D(a) = 0

F'(x)=D(\ln(x))

D\left( \ln(x) \right) =\dfrac 1 x

F'(x)=\dfrac{1}{x}

Derivatan är $\frac{1}{x},$ så $\ln(x)+C$ måste vara de primitiva funktionerna till $\frac{1}{x}.$ Regeln gäller för $x>0.$

Bestäm den specifika primitiva funktionen

Uppgift

Bestäm den primitiva funktionen till $f(x)=\dfrac{1}{x}+\sin(7x),$ givet att $F(\pi)=4.$

Lösning

Vi ska bestämma en viss specifik primitiv funktion till $f(x),$ men för att göra det måste vi först bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=\dfrac{1}{x}+\sin(7x)

Bestäm alla primitiva funktioner

F(x)=D ^{\text{-}1}\left(\dfrac{1}{x}\right)+D ^{\text{-}1}(\sin(7x))+C

D ^{\text{-}1}\left(\dfrac{1}{x}\right)=\ln(x)

F(x)=\ln(x)+D ^{\text{-}1}(\sin(7x))+C

D ^{\text{-}1}(\sin(kv))=\text{-}\dfrac{\cos(kv)}{k}

F(x)=\ln(x)+\left(\text{-}\dfrac{\cos(7x)}{7}\right)+C

a+(\text{-} b)=a-b

F(x)=\ln(x)-\dfrac{\cos(7x)}{7}+C

Nu använder vi den givna informationen $F(\pi)=4$ för att bestämma $C.$

F(x)=\ln(x)-\dfrac{\cos(7x)}{7}+C

x={\color{#0000FF}{\pi}}

F({\color{#0000FF}{\pi}})=\ln({\color{#0000FF}{\pi}})-\dfrac{\cos(7{\color{#0000FF}{\pi}})}{7}+C

F(\pi)={\color{#0000FF}{4}}

{\color{#0000FF}{4}}=\ln(\pi)-\dfrac{\cos(7\pi)}{7}+C

Lös ekvationen

{Dra bort 3 }\ifnumequal{3}{1}{period}{perioder}

4=\ln(\pi)-\dfrac{\cos(\pi)}{7}+C

4=\ln(\pi)-\dfrac{\text{-}1}{7}+C

\text{-} \dfrac{\text{-} a}{b}= \dfrac{a}{b}

4=\ln(\pi)+\dfrac{1}{7}+C

Omarrangera ekvation

\ln(\pi)+\dfrac{1}{7}+C=4

\text{VL}-\dfrac{1}{7}=\text{HL}-\dfrac{1}{7}

\ln(\pi)+C=4-\dfrac{1}{7}

\text{VL}-\ln(\pi)=\text{HL}-\ln(\pi)

C=4-\dfrac{1}{7}-\ln(\pi)

a = \dfrac{7\cdot a}{7}

C=\dfrac{28}{7}-\dfrac{1}{7}-\ln(\pi)

Subtrahera bråk

C=\dfrac{27}{7}-\ln(\pi)

Nu när vi känner till $C$ kan vi ange den specifika primitiva funktionen: $F(x)=\ln(x)-\dfrac{\cos(7x)}{7}+\dfrac{27}{7}-\ln(\pi).$

Visa lösning

Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner

Regel

Regel

Regel

Regel

Primitiv funktion till $\frac{1}{x}$

Regel

Exempel

Bestäm den specifika primitiva funktionen

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Integreringsregler

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Exempel

Bestäm den specifika primitiva funktionen

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}