Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner: Teori och räkneexempel

Om derivatan av en funktion $F (x)$ är lika med $f (x),$ säger man att $F (x)$ hör ihop med $f (x)$ på ett sätt som gör att derivering leder tillbaka till $f (x) .$ Till exempel blir derivatan av $x^{2}$ just $2 x .$ För att hitta sådana funktioner kan man använda deriveringsreglerna baklänges.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Primitiv funktion

Förkunskaper

Regel

Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner

Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av $sin (x)$ är $cos (x),$ vilket innebär att $sin (x)$ måste vara en primitiv funktion till $cos (x) .$

Regel

D^{- 1} (cos (x)) = sin (x) + C

Man kan visa denna regel genom att derivera $F (x) = sin (x) + C .$ Värdet på konstanten $C$ spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir $0 .$

F (x) = sin (x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = D (sin (x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = D (sin (x))

DeriveSin

$D (sin (v)) = cos (v)$

F^{'} (x) = cos (x)

Derivatan blir $cos (x),$ så $sin (x)$ är en primitiv funktion till $cos (x) .$

På samma sätt måste en primitiv funktion till $sin (x)$ vara $- cos (x),$ eftersom derivatan av $cos (x)$ är $- sin (x) .$

Regel

D^{- 1} (sin (x)) = - cos (x) + C

Genom att derivera

F (x) = - cos (x) + C

visar man denna regel.

F (x) = - cos (x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = - D (cos (x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = - D (cos (x))

DeriveCos

$D (cos (v)) = - sin (v)$

F^{'} (x) = - (- sin (x))

NegNeg

$- (- a) = a$

F^{'} (x) = sin (x)

Eftersom man får

sin (x)

när man deriverar

- cos (x)

måste det vara en primitiv funktion.

Men vad blir den primitiva funktionen om det står en konstant framför

x,

som i

cos (2 x) ?

Då måste man kompensera för den inre derivatan genom att dividera med konstanten.

Regel

D^{- 1} (cos (k x)) = \frac{sin ( k x )}{k} + C

Man kan motivera att detta är en primitiv funktion genom att derivera högerledet.

F (x) = \frac{sin ( k x )}{k} + C

MoveNumRight

$\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$

F (x) = \frac{1}{k} \cdot sin (k x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = D (\frac{1}{k} \cdot sin (k x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = D (\frac{1}{k} \cdot sin (k x))

DeriveSinAmpFreq

$D (a sin (k v)) = a k cos (k v)$

F^{'} (x) = \frac{1}{k} \cdot k \cdot cos (k x)

FracMultDenomToNumber

$\frac{a}{k} \cdot k = a$

F^{'} (x) = cos (k x)

Derivatan blir

cos (k x),

så

\frac{s i n ( k x )}{k} + C

är de primitiva funktionerna till

cos (k x) .

Regeln gäller för

k \neq = 0 .

Regel

D^{- 1} (sin (k x)) = - \frac{cos ( k x )}{k} + C

Även här deriverar man högerledet för att visa regeln.

F (x) = - \frac{cos ( k x )}{k} + C

MoveNumRight

$\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$

F (x) = - \frac{1}{k} \cdot cos (k x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = - D (\frac{1}{k} \cdot cos (k x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = - D (\frac{1}{k} \cdot cos (k x))

DeriveCosAmpFreq

$D (a cos (k v)) = - a k sin (k v)$

F^{'} (x) = - (- \frac{1}{k} \cdot k \cdot sin (k x))

NegNeg

$- (- a) = a$

F^{'} (x) = \frac{1}{k} \cdot k \cdot sin (k x)

FracMultDenomToNumber

$\frac{a}{k} \cdot k = a$

F^{'} (x) = sin (k x)

Eftersom derivatan är

sin (k x)

måste

- \frac{c o s ( k x )}{k} + C

vara alla primitiva funktioner. Även den här regeln gäller så länge

k \neq = 0 .

Regel

Primitiv funktion till $\frac{1}{x}$

Derivatan av $ln (x)$ är $\frac{1}{x},$ vilket innebär att $ln (x)$ måste vara en primitiv funktion till $\frac{1}{x} .$

Regel

D^{- 1} (\frac{1}{x}) = ln (x) + C

Man kan visa att regeln stämmer genom att derivera

ln (x) + C .

F (x) = ln (x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = D (ln (x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = D (ln (x))

DeriveLn

$D (ln (x)) = \frac{1}{x}$

F^{'} (x) = \frac{1}{x}

Derivatan är $\frac{1}{x},$ så $ln (x) + C$ måste vara de primitiva funktionerna till $\frac{1}{x} .$ Regeln gäller för $x > 0 .$

Bestäm den specifika primitiva funktionen

fullscreen

Bestäm den primitiva funktionen till

f (x) = \frac{1}{x} + sin (7 x),

givet att

F (π) = 4 .

Visa Lösning

Vi ska bestämma en viss specifik primitiv funktion till

f (x),

men för att göra det måste vi först bestämma alla primitiva funktioner.

f (x) = \frac{1}{x} + sin (7 x)

AntiderivativeAll

Bestäm alla primitiva funktioner

F (x) = D^{- 1} (\frac{1}{x}) + D^{- 1} (sin (7 x)) + C

AntideriveDivOneByX

$D^{- 1} (\frac{1}{x}) = ln (x)$

F (x) = ln (x) + D^{- 1} (sin (7 x)) + C

AntideriveSinFreq

$D^{- 1} (sin (k v)) = - \frac{cos ( k v )}{k}$

F (x) = ln (x) + (- \frac{cos ( 7 x )}{7}) + C

AddNeg

$a + (- b) = a - b$

F (x) = ln (x) - \frac{cos ( 7 x )}{7} + C

Nu använder vi den givna informationen

F (π) = 4

för att bestämma

C .

F (x) = ln (x) - \frac{cos ( 7 x )}{7} + C

Substitute

$x = π$

F (π) = ln (π) - \frac{cos ( 7 π )}{7} + C

Substitute

$F (π) = 4$

4 = ln (π) - \frac{cos ( 7 π )}{7} + C

▼

Lös ekvationen

CosSubtractPeriod

Dra bort $3$

4 = ln (π) - \frac{cos ( π )}{7} + C

CosRad

4 = ln (π) - \frac{- 1}{7} + C

RemoveNegFracAndNum

$- \frac{- a}{b} = \frac{a}{b}$

4 = ln (π) + \frac{1}{7} + C

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

ln (π) + \frac{1}{7} + C = 4

SubEqn

$VL - \frac{1}{7} = HL - \frac{1}{7}$

ln (π) + C = 4 - \frac{1}{7}

SubEqn

$VL - ln (π) = HL - ln (π)$

C = 4 - \frac{1}{7} - ln (π)

NumberToFrac

$a = \frac{7 \cdot a}{7}$

C = \frac{2 8}{7} - \frac{1}{7} - ln (π)

SubFrac

Subtrahera bråk

C = \frac{2 7}{7} - ln (π)

Nu när vi känner till

C

kan vi ange den specifika primitiva funktionen:

F (x) = ln (x) - \frac{cos ( 7 x )}{7} + \frac{2 7}{7} - ln (π) .

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner

Regel

Regel

Regel

Regel

Primitiv funktion till $\frac{1}{x}$

Regel

Exempel

Bestäm den specifika primitiva funktionen

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}