Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner

För att hitta en primitiv funktion till f(x)=sin(x)-π använder vi räknereglerna för att hitta en primitiv funktion till en sinusfunktion och till konstanter.

Alla primitiva funktioner är alltså F(x)=-cos(x)-π x+C.

Vi skall nu ta fram en primitiv funktion till f(x)=cos(3x)+4x. Vi utnyttjar då kända räknereglerna för att hitta primitiva funktioner till cosinusfunktioner samt till potensfunktioner.

Vi kan inte förenkla denna primitiva funktion ytterligare och därför svarar vi F(x)=sin(3x)/3+2x^2+C.

När vi skall leta reda på en primitiv funktion till f(x)= 1x-e^(- 42x) behöver vi känna till räkneregeln för att hitta en primitiv funktion till y= 1x.

Vi är klara och vårt svar på deluppgiften är F(x)=ln(x)+ e^(- 42x)/42+C.

Till sist skall vi nu hitta en primitiv funktion till f(x)=sqrt(x)+5sin(9x). Vi skriver först om sqrt(x) som en potens.

Om vi vill skulle vi kunna skriva om denna primitiva funktion på lite olika sätt. Men vi kan nog inte skriva den varken på något enklare eller snyggare sätt än det vi redan har kommit fram till. Därför svarar vi F(x)= x^(1.5)/1.5 - 5cos(9x)/9+C.

Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till cos(x).

Nu har vi vår primitiva funktion. Då kan vi använda den för att beräkna integralen.

Integralens värde är alltså 0.

Vi gör på samma sätt och börjar med att ta fram en primitiv funktion till integranden.

Nu kan vi integrera!

Vi ska svara exakt, och då kan vi inte förenkla värdet på integralen ytterligare.

Först tar vi fram samtliga primitiva funktioner.

Nu sätter vi in att vi vet att F(0)=3 och löser ut konstanten C.

Vi vet nu att C är 4. Den eftersökta primitiva funktionen är då F(x)=- cos(x)+2x + 4.

Precis som för föregående deluppgift börjar vi med att ta fram samtliga primitiva funktioner.

Vi sätter in F(π)=0 och löser ut C.

Med konstanten C=- 2ln(π) får vi att den primitiva funktionen är F(x)=2ln(x) - sin(4x)/2 - 2ln(π).

Vi provar att göra som Tilia säger och använder integreringsregeln för potensfunktioner.

Nämnaren blir 0. Om man gör som Tilia säger får man nolldivision! Hon måste alltså ha fel.

Vi behöver ta reda på uttrycket för en funktion till grafen i koordinatsystemet innan vi bestämmer en primitiv funktion. Vi utgår från det generella uttrycket för en sinusfunktion, f(x)=Asin(B(x+C))+D. Funktionens minsta och största värde är -2 respektive 4.

Amplituden bestämmer vi genom att subtrahera y_(max) och y_(min) och dela med 2: 4-(-2)/2=3. Amplituden A är alltså 3. Jämviktslinjen ligger mittemellan extremvärdena så D=1. Vi får nu att f(x)=3sin(B(x+C))+1. Den punkt som för en oförskjuten funktion skulle ha gått genom origo har x-koordinaten 0. Funktionen är alltså inte förskjuten i x-led vilket ger oss att C=0: f(x)=3sin(Bx)+1. Vidare har funktionen en minimipunkt då x=- 2π och en maximipunkt då x=2π. Avståndet, 4π, mellan dessa är en halv period.

Eftersom 4π är en halv period är en period 8π. Konstanten B blir då 2π8π=0.25. En funktion som ger grafen är alltså f(x)=3sin(0.25x)+1. Vi skall nu hitta en primitiv funktion till denna. Vi använder räkneregeln för att hitta primitiva funktioner till sinusfunktioner.

En primitiv funktion är alltså F(x)=- 12cos(0.25x)+x.