En differentialekvation anger ett samband mellan en funktion och en eller flera av dess derivator. Ett exempel på en differentialekvation är y′′+3y′+2y=0, som beror på funktionen y och dess första- och andraderivata. Denna differentialekvation är av andra ordningen eftersom andraderivatan är den högsta förekommande derivatan. Lösningarna till differentialekvationen är de funktioner y som uppfyller likheten. I det givna exemplet är y=e-xochy=12e-2x
två möjliga lösningar eftersom de gör att vänsterledet blir lika med 0. Oftast finns det ett oändligt antal sådana funktioner, och man säger ibland att de satisfierar differentialekvationen.Många verkliga händelseförlopp kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer, t.ex. bakterietillväxter, temperaturförändringar och vattenflöden. Om befolkningstillväxten i en stad beror på hur många invånare staden har kan man t.ex. ställa upp ekvationen y′=ky,
där derivatan y′ anger befolkningstillväxten, y är antalet invånare och k är en proportionalitetskonstant. I det här fallet är det ett linjärt samband mellan förändringen av värdet och själva värdet. Beroende på situationen kan dock sambandet se ut på många olika sätt.I en bakterieodling är tillväxthastigheten per timme i varje ögonblick proportionerlig mot antalet bakterier. Ställ upp en differentialekvation som beskriver detta samband om tillväxthastigheten är 35% av det nuvarande antalet. Låt funktionen y ange antalet bakterier efter x timmar. Visa sedan att funktionen y=15000⋅e0.35x uppfyller denna differentialekvation.