mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Deriveringsregler

Differentialekvationer

Det finns många situationer där förändringen av ett antal eller en mängd beror på dess nuvarande värde. Ett exempel är mängden pengar på ett bankkonto, där den intjänade räntan beror på hur mycket pengar som finns på kontot. Sådana situationer kan beskrivas matematiskt med hjälp av så kallade differentialekvationer.
Begrepp

Differentialekvation

En differentialekvation anger ett samband mellan en funktion och en eller flera av dess derivator. Ett exempel på en differentialekvation är som beror på funktionen och dess första- och andraderivata. Denna differentialekvation är av andra ordningen eftersom andraderivatan är den högsta förekommande derivatan. Lösningarna till differentialekvationen är de funktioner som uppfyller likheten. I det givna exemplet är

två möjliga lösningar eftersom de gör att vänsterledet blir lika med Oftast finns det ett oändligt antal sådana funktioner, och man säger ibland att de satisfierar differentialekvationen.
Metod

Bekräfta lösningar till differentialekvationer

För att bekräfta att en funktion uppfyller en differentialekvation bestämmer man först den eller de derivator som ingår i ekvationen. Sedan sätter man in dem i ekvationen och visar att likheten gäller. Exempelvis kan man bekräfta att funktionen uppfyller differentialekvationen

1

Bestäm derivatorna som ingår
Först identifierar och bestämmer man de derivator som ingår i differentialekvationen. För exemplet ingår första- och andraderivatan i ekvationen. Man börjar då med att bestämma förstaderivatan.
Man deriverar sedan igen för att få andraderivatan.

2

Sätt in funktionen och derivatorna i ekvationen
När derivatorna är bestämda sätter man in dem och funktionen i differentialekvationen.

3

Bekräfta att VL HL
Till sist bekräftar man att likheten gäller genom att förenkla båda leden.
Eftersom likheten stämmer har man nu bekräftat att funktionen uppfyller differentialekvationen. Om likheten istället inte skulle gälla innebär det att funktionen inte uppfyller differentialekvationen.
Begrepp

Differentialekvationer som modeller

Många verkliga händelseförlopp kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer, t.ex. bakterietillväxter, temperaturförändringar och vattenflöden. Om befolkningstillväxten i en stad beror på hur många invånare staden har kan man t.ex. ställa upp ekvationen

där derivatan anger befolkningstillväxten, är antalet invånare och är en proportionalitetskonstant. I det här fallet är det ett linjärt samband mellan förändringen av värdet och själva värdet. Beroende på situationen kan dock sambandet se ut på många olika sätt.
fullscreen
Uppgift

I en bakterieodling är tillväxthastigheten per timme i varje ögonblick proportionerlig mot antalet bakterier. Ställ upp en differentialekvation som beskriver detta samband om tillväxthastigheten är av det nuvarande antalet. Låt funktionen ange antalet bakterier efter timmar. Visa sedan att funktionen uppfyller denna differentialekvation.

Visa Lösning
Lösning
Vi vet att tillväxthastigheten för bakterierna är av det nuvarande antalet. Om det vid ett visst tillfälle exempelvis finns bakterier ökar antalet i det ögonblicket med hastigheten bakterier per timme. Denna tillväxthastighet är derivatan av funktionen och beräknas alltså som Denna differentialekvation anger sambandet mellan funktionen och dess derivata Vi vill nu bekräfta att funktionen uppfyller differentialekvationen, vilket vi gör genom att jämföra vänster- och högerledet. För högerledet måste vi först bestämma derivatan
Detta är vårt högerled. För vänsterledet, behöver vi inte göra någon uträkning utan det räcker med att sätta in funktionen Vi får då Vänster- och högerleden är lika, vilket innebär att uppfyller differentialekvationen.
Q.E.D.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward