Differentialekvationer

Det finns många situationer där förändringen av ett antal eller en mängd beror på dess nuvarande värde. Ett exempel är mängden pengar på ett bankkonto, där den intjänade räntan beror på hur mycket pengar som finns på kontot. Sådana situationer kan beskrivas matematiskt med hjälp av så kallade differentialekvationer.

Begrepp

Differentialekvation

En differentialekvation anger ett samband mellan en funktion och en eller flera av dess derivator. Ett exempel på en differentialekvation är $y'' + 3y' + 2y = 0,$ som beror på funktionen $y$ och dess första- och andraderivata. Denna differentialekvation är av andra ordningen eftersom andraderivatan är den högsta förekommande derivatan. Lösningarna till differentialekvationen är de funktioner $y$ som uppfyller likheten. I det givna exemplet är $y = e^{\text{-} x} \quad \text{och} \quad y = 12e^{\text{-}2x}$

två möjliga lösningar eftersom de gör att vänsterledet blir lika med

0.

Oftast finns det ett oändligt antal sådana funktioner, och man säger ibland att de satisfierar differentialekvationen.

Metod

Bekräfta lösningar till differentialekvationer

För att bekräfta att en funktion uppfyller en differentialekvation bestämmer man först den eller de derivator som ingår i ekvationen. Sedan sätter man in dem i ekvationen och visar att likheten gäller. Exempelvis kan man bekräfta att funktionen

y = 2x^2 - 8x + 4

uppfyller differentialekvationen

y + 2y' + 4y'' = 2\left( x^2 + 2 \right).

1

Bestäm derivatorna som ingår

Först identifierar och bestämmer man de derivator som ingår i differentialekvationen. För exemplet ingår första- och andraderivatan i ekvationen. Man börjar då med att bestämma förstaderivatan.

y = 2x^2 - 8x + 4

DeriveDerivera funktion

y' = D \left( 2x^2 \right) - D(8x) + D(4)

DeriveXCo

D\left(ax\right) = a

,

D(a) = 0

y' = D \left( 2x^2 \right) - 8

DeriveMonomCo

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

y' = 4x - 8

Man deriverar sedan igen för att få andraderivatan.

y' = 4x - 8

DeriveDerivera funktion

y'' = D(4x) - D(8)

DeriveXCo

D\left(ax\right) = a

,

D(a) = 0

y'' = 4

2

Sätt in funktionen och derivatorna i ekvationen

När derivatorna är bestämda sätter man in dem och funktionen i differentialekvationen.

y + 2y' + 4y'' \stackrel{?}{=} 2\left( x^2 + 2 \right)

Substitute

y={\color{#0000FF}{2x^2 - 8x + 4}}

{\color{#0000FF}{2x^2 - 8x + 4}} + 2y' + 4y'' \stackrel{?}{=} 2\left( x^2 + 2 \right)

Substitute

y'={\color{#0000FF}{4x - 8}}

2x^2 - 8x + 4 + 2({\color{#0000FF}{4x - 8}}) + 4y'' \stackrel{?}{=} 2\left( x^2 + 2 \right)

Substitute

y''={\color{#0000FF}{4}}

2x^2 - 8x + 4 + 2(4x - 8) + 4 \cdot {\color{#0000FF}{4}} \stackrel{?}{=} 2\left( x^2 + 2 \right)

3

Bekräfta att VL

=

HL

Till sist bekräftar man att likheten gäller genom att förenkla båda leden.

2x^2 - 8x + 4 + 2(4x - 8) + 4 \cdot 4 \stackrel{?}{=} 2\left( x^2 + 2 \right)

DistrMultiplicera in

2

2x^2 - 8x + 4 + 8x - 16 + 4 \cdot 4 \stackrel{?}{=} 2x^2 + 4

MultiplyMultiplicera faktorer

2x^2 - 8x + 4 + 8x - 16 + 16 \stackrel{?}{=} 2x^2 + 4

SimpTermsFörenkla termer

2x^2 + 4 = 2x^2 + 4

Eftersom likheten stämmer har man nu bekräftat att funktionen

y = 2x^2 - 8x + 4

uppfyller differentialekvationen. Om likheten istället inte skulle gälla innebär det att funktionen inte uppfyller differentialekvationen.

Begrepp

Differentialekvationer som modeller

Många verkliga händelseförlopp kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer, t.ex. bakterietillväxter, temperaturförändringar och vattenflöden. Om befolkningstillväxten i en stad beror på hur många invånare staden har kan man t.ex. ställa upp ekvationen $y' = ky,$

där derivatan

y'

anger befolkningstillväxten,

y

är antalet invånare och

k

är en proportionalitetskonstant. I det här fallet är det ett linjärt samband mellan förändringen av värdet och själva värdet. Beroende på situationen kan dock sambandet se ut på många olika sätt.

Ställ upp differentialekvationen

fullscreen

Uppgift

I en bakterieodling är tillväxthastigheten per timme i varje ögonblick proportionerlig mot antalet bakterier. Ställ upp en differentialekvation som beskriver detta samband om tillväxthastigheten är $35\,\%$ av det nuvarande antalet. Låt funktionen $y$ ange antalet bakterier efter $x$ timmar. Visa sedan att funktionen $y = 15\,000 \cdot e^{0.35x}$ uppfyller denna differentialekvation.

Visa Lösning

Lösning

Vi vet att tillväxthastigheten för bakterierna är

35\,\%

av det nuvarande antalet. Om det vid ett visst tillfälle exempelvis finns

20\,000

bakterier ökar antalet i det ögonblicket med hastigheten

0.35 \cdot 20\,000 = 7000

bakterier per timme. Denna tillväxthastighet är derivatan av funktionen

y

och beräknas alltså som

0.35 \cdot y = y'.

Denna differentialekvation anger sambandet mellan funktionen

y

och dess derivata

y'.

Vi vill nu bekräfta att funktionen

y = 15\,000 \cdot e^{0.35x}

uppfyller differentialekvationen, vilket vi gör genom att jämföra vänster- och högerledet. För högerledet måste vi först bestämma derivatan

y'.

y = 15\,000 \cdot e^{0.35x}

DeriveDerivera funktion

y' = D\left( 15\,000 \cdot e^{0.35x} \right)

DeriveEInitialCo

D\left( ae^{kx}\right) = a\cdot ke^{kx}

y' = 15\,000 \cdot 0.35 \cdot e^{0.35x}

Detta är vårt högerled. För vänsterledet,

0.35 \cdot y,

behöver vi inte göra någon uträkning utan det räcker med att sätta in funktionen

y=15\,000 \cdot e^{0.35x}.

Vi får då

\begin{array}{l}\text{VL} = 0.35 \cdot y = 0.35 \cdot 15\,000 \cdot e^{0.35x}\\[-1em] \\ \text{HL} = 15\,000 \cdot 0.35 \cdot e^{0.35x}. \end{array}

Vänster- och högerleden är lika, vilket innebär att

y = 15\,000 \cdot e^{0.35x}

uppfyller differentialekvationen.

Q.E.D.