Differentialekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Det finns många situationer där förändringen av ett antal eller en mängd beror på dess nuvarande värde. Ett exempel är mängden pengar på ett bankkonto, där den intjänade räntan beror på hur mycket pengar som finns på kontot. Sådana situationer kan beskrivas matematiskt med hjälp av så kallade differentialekvationer.
Begrepp

Differentialekvation

En differentialekvation anger ett samband mellan en funktion och en eller flera av dess derivator. Ett exempel på en differentialekvation är y+3y+2y=0, y'' + 3y' + 2y = 0, som beror på funktionen yy och dess första- och andraderivata. Denna differentialekvation är av andra ordningen eftersom andraderivatan är den högsta förekommande derivatan. Lösningarna till differentialekvationen är de funktioner yy som uppfyller likheten. I det givna exemplet är y=e-xochy=12e-2x y = e^{\text{-} x} \quad \text{och} \quad y = 12e^{\text{-}2x}

två möjliga lösningar eftersom de gör att vänsterledet blir lika med 0.0. Oftast finns det ett oändligt antal sådana funktioner, och man säger ibland att de satisfierar differentialekvationen.
Metod

Bekräfta lösningar till differentialekvationer

För att bekräfta att en funktion uppfyller en differentialekvation bestämmer man först den eller de derivator som ingår i ekvationen. Sedan sätter man in dem i ekvationen och visar att likheten gäller. Exempelvis kan man bekräfta att funktionen y=2x28x+4y = 2x^2 - 8x + 4 uppfyller differentialekvationen y+2y+4y=2(x2+2). y + 2y' + 4y'' = 2\left( x^2 + 2 \right).

Först identifierar och bestämmer man de derivator som ingår i differentialekvationen. För exemplet ingår första- och andraderivatan i ekvationen. Man börjar då med att bestämma förstaderivatan.

y=2x28x+4y = 2x^2 - 8x + 4
y=D(2x2)D(8x)+D(4)y' = D \left( 2x^2 \right) - D(8x) + D(4)
y=D(2x2)8y' = D \left( 2x^2 \right) - 8
y=4x8y' = 4x - 8

Man deriverar sedan igen för att få andraderivatan.

y=4x8y' = 4x - 8
y=D(4x)D(8)y'' = D(4x) - D(8)
y=4y'' = 4

När derivatorna är bestämda sätter man in dem och funktionen i differentialekvationen.

y+2y+4y=?2(x2+2)y + 2y' + 4y'' \stackrel{?}{=} 2\left( x^2 + 2 \right)
2x28x+4+2y+4y=?2(x2+2){\color{#0000FF}{2x^2 - 8x + 4}} + 2y' + 4y'' \stackrel{?}{=} 2\left( x^2 + 2 \right)
2x28x+4+2(4x8)+4y=?2(x2+2)2x^2 - 8x + 4 + 2({\color{#0000FF}{4x - 8}}) + 4y'' \stackrel{?}{=} 2\left( x^2 + 2 \right)
2x28x+4+2(4x8)+44=?2(x2+2)2x^2 - 8x + 4 + 2(4x - 8) + 4 \cdot {\color{#0000FF}{4}} \stackrel{?}{=} 2\left( x^2 + 2 \right)

Till sist bekräftar man att likheten gäller genom att förenkla båda leden.

2x28x+4+2(4x8)+44=?2(x2+2)2x^2 - 8x + 4 + 2(4x - 8) + 4 \cdot 4 \stackrel{?}{=} 2\left( x^2 + 2 \right)
2x28x+4+8x16+44=?2x2+42x^2 - 8x + 4 + 8x - 16 + 4 \cdot 4 \stackrel{?}{=} 2x^2 + 4
2x28x+4+8x16+16=?2x2+42x^2 - 8x + 4 + 8x - 16 + 16 \stackrel{?}{=} 2x^2 + 4
2x2+4=2x2+42x^2 + 4 = 2x^2 + 4

Eftersom likheten stämmer har man nu bekräftat att funktionen y=2x28x+4y = 2x^2 - 8x + 4 uppfyller differentialekvationen. Om likheten istället inte skulle gälla innebär det att funktionen inte uppfyller differentialekvationen.

Begrepp

Differentialekvationer som modeller

Många verkliga händelseförlopp kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer, t.ex. bakterietillväxter, temperaturförändringar och vattenflöden. Om befolkningstillväxten i en stad beror på hur många invånare staden har kan man t.ex. ställa upp ekvationen y=ky, y' = ky,

där derivatan yy' anger befolkningstillväxten, yy är antalet invånare och kk är en proportionalitetskonstant. I det här fallet är det ett linjärt samband mellan förändringen av värdet och själva värdet. Beroende på situationen kan dock sambandet se ut på många olika sätt.
Uppgift

I en bakterieodling är tillväxthastigheten per timme i varje ögonblick proportionerlig mot antalet bakterier. Ställ upp en differentialekvation som beskriver detta samband om tillväxthastigheten är 35%35\,\% av det nuvarande antalet. Låt funktionen yy ange antalet bakterier efter xx timmar. Visa sedan att funktionen y=15000e0.35x y = 15\,000 \cdot e^{0.35x} uppfyller denna differentialekvation.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket eller vilka av följande samband är differentialekvationer?

  • 3x+2y=7yx23x+2y=7y-x^2
  • y+y+y=0y''+y'+y=0
  • ysin(x)=ycos(x)y'\cdot \sin(x)=y\cdot \cos(x)
  • 2x27x+2y=y2x^2-7x+2y=y'
  • y=yy=y'
  • y3+2y1=15y^3+2y-1=15
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att

a
y=3e6xy=3 \cdot e^{6x} är en lösning till differentialekvationen 2y36y=02y'-36y=0
b
y=sin(2x)y=\sin(2x) är en lösning till differentialekvationen y+4y=0.y''+4y=0.
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Undersök om y=x(ln(x)1)y=x(\ln(x)-1) är en lösning till differentialekvationen y=yx+1y'=\dfrac{y}{x}+1 för x>0.x>0.

Nationella provet VT97 MaD
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är funktionen y=xexy=x\cdot e^x en lösning till differentialekvationen yy=xy?y'-y=xy?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Under vintern deponerar gatukontoret i Fjølestad i Norge snö från stadens gator i ett nedlagt dagbrott. Under en vecka när det snöar töms 2400 m32400 \text{ m}^3 snö per dag i dagbrottet, dvs. dydt=2400.\dfrac{dy}{dt}=2400.

a
Visa att y(t)=2400t+Cy(t)=2400\cdot t+C är en funktion som beskriver mängden snö i dagbrottet under denna vecka, där tt är tiden i dagar.
b
Bestäm CC om y(1)=26000.y(1)=26\,000.
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att y=xsin(x)y = x \sin(x) löser differentialekvationen y+y2=xyyx2.\dfrac{y+y''}{2} = \dfrac{xy' - y}{x^2}.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett företag har nyligen infört mikrotransaktioner i sitt onlinespel. Efter tt veckor kan spelets användarantal y(t)y(t) beskrivas med differentialekvationen y(t)=-0.3y(t). y'(t) =\text{-} 0.3y(t). Beskriv hur användarantalet ändras enligt modellen.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en differentialekvation av första ordningen som har funktionen y=x2exy=x^2 e^x som lösning.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En lärare ställer en kopp varmt kaffe i ett 2323 grader varmt klassrum och startar lektionen. Newtons avsvalningslag säger att temperaturen T CT\ ^\circ \text{C} hos kaffet minskar med tiden t ht \text{ h} så att temperaturförändringens hastighet är direkt proportionell mot skillnaden mellan kaffets och rummets temperatur.

a
Ställ upp en differentialekvation som beskriver kaffets temperatur.
b
Visa att T(t)=68ekt+23T(t)=68e^{kt} +23 är en lösning till differentialekvationen för något värde på konstanten k.k.
c
Efter en 3030 minuter lång föreläsning kan läraren äntligen ta en klunk från sitt kaffe. Kaffet har då temperaturen 45C.45 ^\circ \text{C}. Bestäm värdet på konstanten k.k.
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Hitta två olika lösningar till differentialekvationen

25y=y. 25 y''=y.

b
Visa att summan av de två lösningarna också är en lösning.
c
Visa att detta gäller för alla par av lösningar till differentialekvationen ay=y,a>0. ay'' = y, \; a >0.
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd algebraiska metoder för att bestämma minst en lösning till differentialekvationen yy2y+y=2. yy' - 2y' + y = 2.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}