Cosinusvärdet för en vinkel v är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln 180∘−v.
Om man t.ex. ritar in vinkeln 30∘ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan y-axeln som också skapar vinkeln 30∘, men mot den negativa x-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från y-axeln men på motsatt sida.
Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av x-axeln kommer den att vara 180∘−30∘.
Båda dessa vinklar motsvarar samma x-värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa x-värden betyder det att
cos(30∘)=-cos(180∘−30∘).När man ökar en vinkel med 180∘ byter sinusvärdet tecken.
sin(v+180∘)=-sin(v)
Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln v=60∘. Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva y-axeln.
Om man ökar vinkeln med 180∘ hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.
Eftersom 180∘ är en rak vinkel kommer punkten för 60∘+180∘ att hamna lika långt under x-axeln som den första befinner sig ovanför den.
Ett sinusvärde kan omvandlas till ett cosinusvärde.
-sin(v)=cos(v+90∘)
Ett cosinusvärde kan omvandlas till ett sinusvärde.
cos(v)=sin(v+90∘)
Man kan representera det första och tredje av dessa samband som förskjutningar av cos(x) i x-led. Exempelvis kan man se att cos(x+90∘) och -sin(v) faktiskt är samma funktion.
På samma sätt kan det andra och fjärde sambandet tolkas som förskjutningar av sin(x) i x-led.
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. -cos(v+180∘)sin(v+90∘)−cos(v+90∘)sin(v+180∘)
Täljaren och nämnaren i det vänstra bråket, dvs. sin(v+90∘) och -cos(v+180∘), kan båda förenklas till cos(v). Vi sätter in detta: cos(v)cos(v)−cos(v+90∘)sin(v+180∘)=1−cos(v+90∘)sin(v+180∘). För att förenkla det andra bråket använder vi istället att sin(v+180∘) och cos(v+90∘) är lika med -sin(v). Det ger att 1−-sin(v)-sin(v)=1−1=0. Uttrycket förenklas alltså till 0.
När man löser ekvationen tan(v)=b/a för att bestämma v får man lösningsmängden v=arctan(ab)+n⋅π. Lösningsmängden har perioden π, men sinus har en period på 2π. Därför ger endast vartannat v den sökta funktionen y=csin(x+v). De extra lösningar som inte löser det ursprungliga problemet uppkommer eftersom likheten ab=-a-b gäller. Om både a och b byter tecken får man samma högerled i ekvationen tan(v)=b/a, men det är inte samma vinkel v som söks. Sammanfattat ger det här att om n=0 svarar mot ett v som löser asin(x)+bcos(x)=csin(x+v) så kommer n=1 ge ett v som löser -asin(x)−bcos(x)=csin(x+v).
På samma sätt som för rotekvationer måste man därför kontrollera sin lösning. Det gör man lättast genom att låta n=0 och sedan sätta in x=0 i likheten asin(x)+bcos(x)=csin(x+v).
Om den är uppfylld har man hittat det sökta värdet på v — annars är det n=1 som ger ett värde på v som stämmer.Skriv y=6sin(x)+9cos(x) som en sinusfunktion.
Vinkeln vi testade är alltså en giltig lösning. Om vänsterled och högerled istället haft olika tecken hade n=1 gett oss rätt vinkel. Vi vet därför att c≈10.8 och v≈0.98 ger en lösning på uppgiften, och kan skriva summan på följande sätt: y=6sin(x)+9cos(x)≈10.8sin(x+0.98).