mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Egenskaper hos funktioner

Samband mellan sinus och cosinus

Sinus- och cosinuskurvor liknar varandra. Därför är det kanske inte förvånande att man kan skriva om en sinusfunktion som en cosinusfunktion och vice versa. Här visas några sådana samband, både algebraiskt och grafiskt.

Regel

Regel

Cosinusvärdet för en vinkel speglad i -axeln

Cosinusvärdet för en vinkel är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln

\CosMirror

Om man t.ex. ritar in vinkeln i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan -axeln som också skapar vinkeln men mot den negativa -axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från -axeln men på motsatt sida.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av -axeln kommer den att vara

Båda dessa vinklar motsvarar samma -värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa -värden betyder det att

Regel

Regel

Sinusvärdet för vinkeln

När man ökar en vinkel med byter sinusvärdet tecken.

Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva -axeln.

Om man ökar vinkeln med hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.

Eftersom är en rak vinkel kommer punkten för att hamna lika långt under -axeln som den första befinner sig ovanför den.

Punkterna har samma -värde, fast med omvänt tecken, och samma gäller för motsvarande sinusvärden. Därför byter sinusvärdet tecken när en vinkel ökar med

Regel

Regel

Cosinusvärdet för en vinkel som ökat med

Ett sinusvärde kan omvandlas till ett cosinusvärde.

För att visa detta kan additionsformeln för cosinus användas på högerledet.
Alltså är
Q.E.D.

Regel

Regel

Sinusvärdet för en vinkel som ökat med

Ett cosinusvärde kan omvandlas till ett sinusvärde.

För att visa detta kan additionsformeln för sinus användas på högerledet.
Alltså är
Q.E.D.

Man kan representera det första och tredje av dessa samband som förskjutningar av i led. Exempelvis kan man se att och faktiskt är samma funktion.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

På samma sätt kan det andra och fjärde sambandet tolkas som förskjutningar av i led.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
fullscreen
Uppgift

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

Visa Lösning
Lösning

Täljaren och nämnaren i det vänstra bråket, dvs. och kan båda förenklas till . Vi sätter in detta: För att förenkla det andra bråket använder vi istället att och är lika med . Det ger att Uttrycket förenklas alltså till

Regel

Summan av sinus och cosinus

Funktionen där och är konstanter, är en sinuskurva som är förskjuten i sidled med vinkeln och som har amplituden Med hjälp av additionsformeln för sinus kan man skriva om uttrycket som en summa.

Regel

Eftersom och är konstanter, dvs. de beror inte på kommer även och att vara konstanter. Om man kallar dem för respektive får man Eftersom koefficienterna måste vara samma i både höger- och vänsterled får man ekvationssystemet Detta kan man lösa med additions- och substitutionsmetoden.

Regel

Genom att lösa ut ur den ena ekvationen och sätta in i den andra kan man få ett uttryck för
\DivEkv{\cos(v)}
I den andra ekvationen finns nu ett uttryck för som enbart beror på och För att hitta ett motsvarande samband för kan man titta på det ursprungliga ekvationssystemet igen. Man är ute efter att få ensamt och att det enbart beror på och Nu måste man på något sätt "bli av med" och Här kommer trigonometriska ettan väl till pass. De trigonometriska uttrycken är inte kvadrerade, men det går att lösa genom att höja upp båda ekvationer med Nu kan man använda additionsmetoden för att lösa ut
Eftersom är en amplitud är den positiv, så man kan utesluta den negativa roten. Det betyder att Sammantaget betyder detta att
Med hjälp av dessa samband kan man alltså skriva om en förskjuten sinuskurva som en summa av sinus och cosinus. Detta samband gäller ju även åt andra hållet — summan av en sinus- och cosinusfunktion kan skrivas som en sinusfunktion: där och

Regel

Endast hälften av lösningarna till stämmer

När man löser ekvationen för att bestämma får man lösningsmängden Lösningsmängden har perioden men sinus har en period på Därför ger endast vartannat den sökta funktionen De extra lösningar som inte löser det ursprungliga problemet uppkommer eftersom likheten gäller. Om både och byter tecken får man samma högerled i ekvationen men det är inte samma vinkel som söks. Sammanfattat ger det här att om svarar mot ett som löser så kommer ge ett som löser

På samma sätt som för rotekvationer måste man därför kontrollera sin lösning. Det gör man lättast genom att låta och sedan sätta in i likheten

Om den är uppfylld har man hittat det sökta värdet på — annars är det som ger ett värde på som stämmer.
fullscreen
Uppgift

Skriv som en sinusfunktion.

Visa Lösning
Lösning
Vi ska alltså skriva summan på formen . Vi börjar med att beräkna amplituden för sinusfunktionen. Det gör vi genom att kvadrera och addera dem och dra roten ur.
Beräkna
Amplituden för sinuskurvan är alltså cirka Nu beräknar vi kurvans sidledsförskjutning.
Lös ekvation
Det finns flera lösningar till ekvationen, men endast hälften löser vårt ursprungliga problem. Vi testar lösningen då vilket ger Det gör vi genom att sätta in våra beräknade värden samt i likheten Om likheten uppfylls är en vinkel som löser uppgiften. Eftersom våra värden är avrundade räcker det att likheten är ungefärligt uppfylld.
Beräkna

Vinkeln vi testade är alltså en giltig lösning. Om vänsterled och högerled istället haft olika tecken hade gett oss rätt vinkel. Vi vet därför att och ger en lösning på uppgiften, och kan skriva summan på följande sätt:

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward