Logga in
| 6 sidor teori |
| 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Cosinusvärdet för en vinkel v är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln 180∘−v.
Om man t.ex. ritar in vinkeln 30∘ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan y-axeln som också skapar vinkeln 30∘, men mot den negativa x-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från y-axeln men på motsatt sida.
Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av x-axeln kommer den att vara 180∘−30∘.
Båda dessa vinklar motsvarar samma x-värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa x-värden betyder det att
När man ökar en vinkel med 180∘ byter sinusvärdet tecken.
sin(v+180∘)=−sin(v)
Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln v=60∘. Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva y-axeln.
Om man ökar vinkeln med 180∘ hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.
Eftersom 180∘ är en rak vinkel kommer punkten för 60∘+180∘ att hamna lika långt under x-axeln som den första befinner sig ovanför den.
Punkterna har samma y-värde, fast med omvänt tecken, och samma gäller för motsvarande sinusvärden. Därför byter sinusvärdet tecken när en vinkel ökar med 180∘.Ett sinusvärde kan omvandlas till ett cosinusvärde.
cos(u+v)=cos(u)cos(v)−sin(u)sin(v)
,
Multiplicera faktorer
Ett cosinusvärde kan omvandlas till ett sinusvärde.
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
,
Multiplicera faktorer
Man kan representera det första och tredje av dessa samband som förskjutningar av cos(x) i x−led. Exempelvis kan man se att cos(x+90∘) och −sin(v) faktiskt är samma funktion.
På samma sätt kan det andra och fjärde sambandet tolkas som förskjutningar av sin(x) i x−led.
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
Multiplicera in c
Omarrangera faktorer
(I): VL/cos(v)=HL/cos(v)
(I): Omarrangera ekvation
(II): c=cos(v)a
(II): ca⋅b=a⋅cb
(II): cos(v)sin(v)=tan(v)
(II): Omarrangera ekvation
(II): VL/a=HL/a
(I): Addera (II)
(I): Bryt ut c2
(I): sin2(v)+cos2(v)=1
(I): Omarrangera ekvation
(I): VL=HL
Skriv y=6sin(x)+9cos(x) som en sinusfunktion.
Man vet att cos(150∘)=−23. Använd detta och bestäm värdet.
Vi vet värdet på cos(150^(∘)) och ska utifrån det bestämma sin(240^(∘)). Eftersom 240^(∘) kan skrivas som 150^(∘)+90^(∘) kan vi använda det trigonometriska sambandet cos(v)=sin(v+90^(∘)). Detta säger att cos(150^(∘))=sin(240^(∘)). Vi vet värdet av cos(150^(∘)) och sätter in det, samt byter plats på höger- och vänsterled: sin(240^(∘))=-sqrt(3)/2.
Nu ska vi istället bestämma cos(-30^(∘)) givet värdet av cos(150^(∘)). Och eftersom -30^(∘) kan skrivas som 150^(∘)-180^(∘) använder vi sambandet
cos(v)=- cos(v-180^(∘)).
Detta ger att
cos(150^(∘))=-cos(-30^(∘)).
Vi sätter nu in värdet av cos(150^(∘)) och ser till att få cos(-30^(∘)) ensamt i vänsterled.
Eftersom 150^(∘)=60^(∘)+90^(∘) kan vi använda sambandet - sin(v)=cos(v+90^(∘)). Med detta får vi att - sin(60^(∘))=cos(150^(∘)). Till sist sätter vi in det kända värdet på cos(150^(∘)) och dividerar med -1: sin(60^(∘))=sqrt(3)/2.
Vi löser ekvationen cos(v+90^(∘))+sin(v+180^(∘))=-0.8 genom att först skriva om dess vänsterled med hjälp av kända trigonometriska samband. Därefter löser vi den med vanliga ekvationslösningsmetoder.
Lösningarna till ekvationen är alltså lv≈ 23.6^(∘)+n * 360^(∘) v≈ 156.4^(∘)+n* 360^(∘).
Vi börjar med att skriva om funktionen 17sin(x)+9cos(x) som en sinusfunktion eftersom asin(x)+bcos(x) kan skrivas som csin(x+v). Först beräknar vi c. Det gör vi med hjälp av amplituderna för sinus- coh cosinusfunktionen och de är 17 och 9.
Detta betyder att funktionen y kan skrivas y = 8 + sqrt(370)sin(x + v), där v är någon okänd förskjutning i sidled. Eftersom en förskjutning i sidled av en sinusfunktion inte påverkar dess största eller minsta värde behöver vi inte bestämma v. Sinusfunktionen är den enda delen i y vars värde varierar. Därför antar funktionen sitt största värde då sinusfunktionen har sitt största värde, 1. Det betyder att \begin{aligned} y_\text{max} = 8 + \sqrt{370}\cdot 1 =8+\sqrt{370}. \end{aligned} Funktionen antar sitt minsta värde då sinusfunktionen antar sitt minsta värde, -1. \begin{aligned} y_\text{min} = 8 + \sqrt{370} \cdot (- 1) = 8 - \sqrt{370} \end{aligned}
Vilket värde skall k ha för att funktionens amplitud skall bli 5?
En funktion på formen y=asin(x)+bcos(x) kan skrivas som y=csin(x+v), där c är funktionens amplitud och beräknas med formeln c=sqrt(a^2+b^2). Detta innebär att vi kan bestämma för vilket k som funktionen f(x)=ksin(x)+3cos(x) har amplituden 5 genom att lösa ekvationen 5=sqrt(k^2+3^2). Vi börjar med att kvadrera båda led och går vidare därifrån.
Faktorn k kan alltså ha antingen värdet 4 eller -4 för att funktionens amplitud ska vara 5.
Vi använder samma lösningsmetod igen. Nu är a=5, b=- k och c sätter vi åter till 5. Vi sätter in detta i c=sqrt(a^2+b^2) och löser ekvationen.
Funktionen har alltså amplituden 5 endast då k=0.
Vi gör på samma sätt ännu en gång. Vi har precis som tidigare c=5, samt a=k och b=-7.
Denna ekvation saknar reella lösningar, och därmed finns inget värde på k sådant att funktionen h(x)=ksin(x)-7cos(x) kan få amplituden 5.
Följande funktion är skriven på formen y=asin(x)+bcos(x). Skriv om på formen y=csin(x+v), där c och v är konstanter. Bestäm konstanten c exakt och v i radianer med två decimaler.
För att skriva om en summa av en sinus- och cosinusfunktion som en enda sinusfunktion använder vi sambanden c=sqrt((a^2+b^2)) och tan(v)=b/a. För funktionen y=4sin(x) +3cos(x) är a=4 och b=3. Vi börjar med att bestämma c, dvs. amplituden för den nya sinusfunktionen.
Vi fortsätter nu med att beräkna v, dvs. den nya sinusfunktionens förskjutning i x-led.
Ekvationen har oändligt många lösningar men endast hälften löser ursprungsproblemet. Vi måste därför testa vilket värde på n som ger oss rätt lösning. Vi börjar med n=0, vilket ger v≈ 0.64. Vi avgör om det är rätt genom att sätta in våra värden samt x=0 och sedan kontrollera om likheten 4sin(x) +3cos(x)=csin(x+v) gäller. Eftersom våra värden är avrundade räcker det att likheten är ungefärligt uppfylld.
Det betyder att vinkeln v≈ 0.64 är vårt korrekta svar och vi kan skriva den ursprungliga summan av funktioner som y≈ 5sin(x+0.64).
Vi använder samma metod som ovan. Vår funktion är nu y=-6sin(x)+2cos(x) och därmed är a=- 6 och b=2. Låt oss nu beräkna c.
Eftersom 40 inte är någon jämn kvadrat stannar vi beräkningen här. Vi beräknar nu värdet på v.
Precis som förut har ekvationen vi löst oändligt många svar, men endast vartannat är korrekt. Vi skall nu undersöka för vilket värde på n likheten - 6sin(x)+2cos(x)=csin(x+v) gäller. Vi börjar med att testa för n=0 vilket ger oss v≈ - 0.32.
Vänsterled och högerled har olika tecken och vi vet därför att vi har testat en felaktig lösning. Det betyder att vår korrekta lösning, den vi söker, är då n=1. Det ger oss att v≈ -0.32 + 1*π ≈ 2.82 och vårt korrekta svar är y≈ sqrt(40)sin(x+2.82).
Den sista funktionen vi skall skriva om är y=6sin(x)-cos(x). Denna gång har vi a=6 och b=-1. Låt oss räkna ut c med hjälp av samma formel som tidigare.
Då 37 inte är någon jämn kvadrat använder vi värdet c=sqrt(37). Nu fortsätter vi med att beräkna v.
Vi prövar nu om n=0 ger oss rätt lösning, dvs. om v≈ -0.17 är rätt värde på vinkeln. Vi undersöker då om likheten 6sin(x)-cos(x)=csin(x+v) gäller för våra värden genom att sätta in x=0.
Vi ser att vänster- och högerled är ungefär lika. Det betyder att vi har hittat rätt värde på vinkeln v och att vi kan skriva vår ursprungliga funktion som y≈ sqrt(37)sin(x-0.17).