Samband mellan sinus och cosinus

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Sinus- och cosinuskurvor liknar varandra. Därför är det kanske inte förvånande att man kan skriva om en sinusfunktion som en cosinusfunktion och vice versa. Här visas några sådana samband, både algebraiskt och grafiskt.

Regel

cos(v)=-cos(180v)\cos(v)=\text{-} \cos(180^\circ-v)
Regel

Cosinusvärdet för en vinkel speglad i yy-axeln

Cosinusvärdet för en vinkel vv är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln 180v.180^\circ-v.

\CosMirror

Om man t.ex. ritar in vinkeln 3030^\circ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan yy-axeln som också skapar vinkeln 30,30^\circ, men mot den negativa xx-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från yy-axeln men på motsatt sida.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av xx-axeln kommer den att vara 18030.180^\circ - 30^\circ.

Båda dessa vinklar motsvarar samma xx-värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa xx-värden betyder det att

cos(30)=-cos(18030). \cos(30^\circ)=\text{-} \cos(180^\circ-30^\circ).

Regel

sin(v+180)=-sin(v)\sin(v+180^\circ) = \text{-} \sin(v)
Regel

Sinusvärdet för vinkeln v+180v + 180^\circ

När man ökar en vinkel med 180180^\circ byter sinusvärdet tecken.

sin(v+180)=-sin(v)\sin(v+180^\circ)=\text{-}\sin(v)

Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln v=60.v=60^\circ. Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva yy-axeln.

Om man ökar vinkeln med 180180^\circ hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.

Eftersom 180180^\circ är en rak vinkel kommer punkten för 60+18060^\circ+180^\circ att hamna lika långt under xx-axeln som den första befinner sig ovanför den.

Punkterna har samma yy-värde, fast med omvänt tecken, och samma gäller för motsvarande sinusvärden. Därför byter sinusvärdet tecken när en vinkel ökar med 180.180^\circ.

Regel

-sin(v)=cos(v+90)\text{-} \sin(v)=\cos(v+90^\circ)
Regel

Cosinusvärdet för en vinkel som ökat med 9090^\circ

Ett sinusvärde kan omvandlas till ett cosinusvärde.

-sin(v)=cos(v+90)\text{-} \sin(v)=\cos(v+90^\circ)

För att visa detta kan additionsformeln för cosinus användas på högerledet.
cos(v+90)\cos\left(v+90^\circ\right)
cos(v)cos(90)sin(v)sin(90)\cos(v)\cos(90^\circ)-\sin(v)\sin(90^\circ)
cos(v)0sin(v)1\cos(v)\cdot0-\sin(v)\cdot 1
-sin(v)\text{-}\sin(v)
Alltså är -sin(v)=cos(v+90).\text{-}\sin(v) = \cos\left(v+90^\circ\right).
Q.E.D.

Regel

cos(v)=sin(v+90)\cos(v)=\sin(v+90^\circ)
Regel

Sinusvärdet för en vinkel som ökat med 9090^\circ

Ett cosinusvärde kan omvandlas till ett sinusvärde.

cos(v)=sin(v+90)\cos(v)=\sin(v+90^\circ)

För att visa detta kan additionsformeln för sinus användas på högerledet.
sin(v+90)\sin\left(v+90^\circ\right)
sin(v)cos(90)+cos(v)sin(90)\sin(v)\cos(90^\circ)+\cos(v)\sin(90^\circ)
sin(v)0+cos(v)1\sin(v)\cdot0+\cos(v)\cdot 1
cos(v)\cos(v)
Alltså är cos(v)=sin(v+90).\cos(v) = \sin\left(v+90^\circ\right).
Q.E.D.

Man kan representera det första och tredje av dessa samband som förskjutningar av cos(x)\cos(x) i x-x\text{-}led. Exempelvis kan man se att cos(x+90)\cos(x+90^\circ) och -sin(v)\text{-}\sin(v) faktiskt är samma funktion.

På samma sätt kan det andra och fjärde sambandet tolkas som förskjutningar av sin(x)\sin(x) i x-x\text{-}led.

Uppgift

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. sin(v+90)-cos(v+180)sin(v+180)cos(v+90) \dfrac{\sin(v+90^\circ)}{\text{-}\cos(v+180^\circ)}-\dfrac{\sin(v+180^\circ)}{\cos(v+90^\circ)}

Lösning

Täljaren och nämnaren i det vänstra bråket, dvs. sin(v+90)\sin(v+90^\circ) och -cos(v+180),\text{-}\cos(v+180^\circ), kan båda förenklas till cos(v)\cos(v). Vi sätter in detta: cos(v)cos(v)sin(v+180)cos(v+90)=1sin(v+180)cos(v+90). \dfrac{\cos(v)}{\cos(v)}-\dfrac{\sin(v+180^\circ)}{\cos(v+90^\circ)}=1-\dfrac{\sin(v+180^\circ)}{\cos(v+90^\circ)}. För att förenkla det andra bråket använder vi istället att sin(v+180)\sin(v+180^\circ) och cos(v+90)\cos(v+90^\circ) är lika med -sin(v)\text{-}\sin(v). Det ger att 1-sin(v)-sin(v)=11=0. 1-\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\text{-}\sin(v)}=1-1=0. Uttrycket förenklas alltså till 0.0.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Summan av sinus och cosinus

Funktionen y=csin(x+v),y=c\sin(x+v), där cc och vv är konstanter, är en sinuskurva som är förskjuten i sidled med vinkeln vv och som har amplituden c.c. Med hjälp av additionsformeln för sinus kan man skriva om uttrycket som en summa.

Regel

csin(x+v)=ccos(v)sin(x)+csin(v)cos(x)c\sin(x+v)= c\cos(v)\sin(x)+c\sin(v)\cos(x)
csin(x+v)c\sin(x+v)
c(sin(x)cos(v)+cos(x)sin(v))c(\sin(x)\cos(v)+\cos(x)\sin(v))
csin(x)cos(v)+ccos(x)sin(v)c\sin(x)\cos(v)+c\cos(x)\sin(v)
ccos(v)sin(x)+csin(v)cos(x)c\cos(v)\sin(x)+c\sin(v)\cos(x)
Eftersom cc och vv är konstanter, dvs. de beror inte på x,x, kommer även ccos(v)c\cos(v) och csin(v)c\sin(v) att vara konstanter. Om man kallar dem för aa respektive bb får man ccos(v)sin(x)+csin(v)cos(x)=asin(x)+bcos(x).\begin{aligned} {\color{#0000FF}{c\cos(v)}}\sin(x)&+{\color{#009600}{c\sin(v)}}\cos(x)= \\ {\color{#0000FF}{a}}\sin(x)&+{\color{#009600}{b}}\cos(x). \end{aligned} Eftersom koefficienterna måste vara samma i både höger- och vänsterled får man ekvationssystemet {a=ccos(v)b=csin(v). \begin{cases}a=c\cos(v) \\ b=c\sin(v). \end{cases} Detta kan man lösa med additions- och substitutionsmetoden.

Regel

{tan(v)=b/ac=a2+b2\begin{cases}\tan(v)=b/a \\ c=\sqrt{a^2+b^2} \end{cases}
Genom att lösa ut cc ur den ena ekvationen och sätta in i den andra kan man få ett uttryck för v.v.
{a=ccos(v)(I)b=csin(v)(II)\begin{cases}a=c\cos(v) & \, \text {(I)}\\ b=c\sin(v) & \text {(II)}\end{cases}
(I): {\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}} \DivEkv{\cos(v)}
{acos(v)=cb=csin(v)\begin{cases}\dfrac{a}{\cos(v)}=c \\ b=c\sin(v) \end{cases}
{c=acos(v)b=csin(v)\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)} \\ b=c\sin(v) \end{cases}
{c=acos(v)b=acos(v)sin(v)\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)}\\[-1em] \\ b={\color{#0000FF}{\dfrac{a}{\cos(v)}}}\cdot \sin(v) \end{cases}
{c=acos(v)b=asin(v)cos(v)\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)}\\[-1em] \\ b=a\cdot\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)} \end{cases}
{c=acos(v)b=atan(v)\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)} \\ b=a\cdot\tan(v) \end{cases}
{c=acos(v)atan(v)=b\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)} \\ a\cdot\tan(v)=b \end{cases}
{c=acos(v)tan(v)=ba\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)}\\[-1em] \\ \tan(v)=\dfrac{b}{a} \end{cases}
I den andra ekvationen finns nu ett uttryck för vv som enbart beror på aa och b.b. För att hitta ett motsvarande samband för cc kan man titta på det ursprungliga ekvationssystemet igen. {a=ccos(v)b=csin(v) \begin{cases}a=c\cos(v) \\ b=c\sin(v) \end{cases} Man är ute efter att få cc ensamt och att det enbart beror på aa och b.b. Nu måste man på något sätt "bli av med" cos(v)\cos(v) och sin(v).\sin(v). Här kommer trigonometriska ettan väl till pass. De trigonometriska uttrycken är inte kvadrerade, men det går att lösa genom att höja upp båda ekvationer med 2.2. {a2=c2cos2(v)b2=c2sin2(v) \begin{cases}a^2=c^2\cos^2(v) \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases} Nu kan man använda additionsmetoden för att lösa ut c.c.
{a2=c2cos2(v)(I)b2=c2sin2(v)(II)\begin{cases}a^2=c^2\cos^2(v) & \, \text {(I)}\\ b^2=c^2\sin^2(v) & \text {(II)}\end{cases}
{a2+b2=c2cos2(v)+c2sin2(v)b2=c2sin2(v)\begin{cases}a^2+{\color{#0000FF}{b^2}}=c^2\cos^2(v)+{\color{#0000FF}{c^2\sin^2(v)}} \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}
{a2+b2=c2(cos2(v)+sin2(v))b2=c2sin2(v)\begin{cases}a^2+b^2=c^2\left(\cos^2(v)+\sin^2(v)\right) \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}
{a2+b2=c2b2=c2sin2(v)\begin{cases}a^2+b^2=c^2 \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}
{c2=a2+b2b2=c2sin2(v)\begin{cases}c^2=a^2+b^2 \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}
{c=±a2+b2b2=c2sin2(v)\begin{cases}c=\pm\sqrt{a^2+b^2} \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}
Eftersom cc är en amplitud är den positiv, så man kan utesluta den negativa roten. Det betyder att c=a2+b2.c=\sqrt{a^2+b^2}. Sammantaget betyder detta att {tan(v)=b/ac=a2+b2. \begin{cases}\tan(v)=b/a \\ c=\sqrt{a^2+b^2}. \end{cases}
Med hjälp av dessa samband kan man alltså skriva om en förskjuten sinuskurva som en summa av sinus och cosinus. csin(x+v)=asin(x)+bcos(x) c\sin(x+v)=a\sin(x)+b\cos(x) Detta samband gäller ju även åt andra hållet — summan av en sinus- och cosinusfunktion kan skrivas som en sinusfunktion: asin(x)+bcos(x)=csin(x+v), a\sin(x)+b\cos(x)=c\sin(x+v), där c=a2+b2c=\sqrt{a^2+b^2} och tan(v)=b/a.\tan(v)=b/a.

Regel

Endast hälften av lösningarna till tan(v)=b/a\tan(v) = b/a stämmer

När man löser ekvationen tan(v)=b/a\tan(v) = b/a för att bestämma vv får man lösningsmängden v=arctan(ba)+nπ. v = \arctan\left( \dfrac{b}{a} \right) + n \cdot \pi. Lösningsmängden har perioden π,\pi, men sinus har en period på 2π.2\pi. Därför ger endast vartannat vv den sökta funktionen y=csin(x+v).y = c\sin(x + v). De extra lösningar som inte löser det ursprungliga problemet uppkommer eftersom likheten ba=-b-a \dfrac{b}{a} = \dfrac{\text{-} b}{\text{-} a} gäller. Om både aa och bb byter tecken får man samma högerled i ekvationen tan(v)=b/a,\tan(v) = b/a, men det är inte samma vinkel vv som söks. Sammanfattat ger det här att om n=0n = 0 svarar mot ett vv som löser asin(x)+bcos(x)=csin(x+v) a \sin(x) + b \cos(x) = c \sin(x + v) så kommer n=1n = 1 ge ett vv som löser -asin(x)bcos(x)=csin(x+v). \text{-} a \sin(x) - b \cos(x) = c \sin(x + v).

På samma sätt som för rotekvationer måste man därför kontrollera sin lösning. Det gör man lättast genom att låta n=0n = 0 och sedan sätta in x=0x = 0 i likheten asin(x)+bcos(x)=csin(x+v). a \sin(x) + b \cos(x) = c \sin(x + v).

Om den är uppfylld har man hittat det sökta värdet på vv — annars är det n=1n = 1 som ger ett värde på vv som stämmer.
Uppgift

Skriv y=6sin(x)+9cos(x)y=6\sin(x)+9\cos(x) som en sinusfunktion.

Lösning
Vi ska alltså skriva summan på formen y=csin(x+v)y = c\sin(x + v). Vi börjar med att beräkna amplituden för sinusfunktionen. Det gör vi genom att kvadrera 66 och 9,9, addera dem och dra roten ur.
c=a2+b2c=\sqrt{a^2+b^2}
a=6a={\color{#0000FF}{6}}, b=9b={\color{#009600}{9}}
c=62+92c=\sqrt{{\color{#0000FF}{6}}^2+{\color{#009600}{9}}^2}
Beräkna
c=36+81c=\sqrt{36+81}
c=117c=\sqrt{117}
c=10.81665c=10.81665\ldots
c10.8c\approx10.8
Amplituden för sinuskurvan är alltså cirka 10.8.10.8. Nu beräknar vi kurvans sidledsförskjutning.
tan(v)=ba\tan(v)=\dfrac{b}{a}
a=6a={\color{#0000FF}{6}}, b=9b={\color{#009600}{9}}
tan(v)=96\tan(v)=\dfrac{{\color{#009600}{9}}}{{\color{#0000FF}{6}}}
Lös ekvation
tan(v)=1.5\tan(v)=1.5
v=arctan(1.5)+nπv=\arctan(1.5)+n\cdot \pi
v=0.98279+nπv=0.98279\ldots+n\cdot \pi
v0.98+nπv\approx0.98+n\cdot \pi
Det finns flera lösningar till ekvationen, men endast hälften löser vårt ursprungliga problem. Vi testar lösningen då n=0,n=0, vilket ger v0.98.v\approx 0.98. Det gör vi genom att sätta in våra beräknade värden samt x=0x = 0 i likheten 6sin(x)+9cos(x)=csin(x+v). 6\sin(x) + 9\cos(x) = c\sin(x + v). Om likheten uppfylls är v0.98v \approx 0.98 en vinkel som löser uppgiften. Eftersom våra värden är avrundade räcker det att likheten är ungefärligt uppfylld.
6sin(x)+9cos(x)=csin(x+v)6\sin(x) + 9\cos(x) = c\sin(x + v)
6sin(0)+9cos(0)?10.8sin(0+0.98)6\sin(0) + 9\cos(0) \stackrel{?}{\approx} 10.8\sin(0 + 0.98)
Beräkna
6sin(0)+9cos(0)?10.8sin(0.98)6\sin(0) + 9\cos(0) \stackrel{?}{\approx} 10.8\sin(0.98)
9cos(0)?10.8sin(0.98)9\cos(0) \stackrel{?}{\approx} 10.8\sin(0.98)
9?10.8sin(0.98)9 \stackrel{?}{\approx} 10.8\sin(0.98)
98.969379 \approx 8.96937\ldots

Vinkeln vi testade är alltså en giltig lösning. Om vänsterled och högerled istället haft olika tecken hade n=1n = 1 gett oss rätt vinkel. Vi vet därför att c10.8c \approx 10.8 och v0.98v \approx 0.98 ger en lösning på uppgiften, och kan skriva summan på följande sätt: y=6sin(x)+9cos(x)10.8sin(x+0.98). y=6\sin(x)+9\cos(x)\approx 10.8\sin(x+0.98).

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man vet att cos(150)=-32.\cos (150^\circ)=\text{-} \frac{\sqrt{3}}{2}. Använd detta och bestäm värdet på

a

sin(240)\sin(240^\circ)

b

cos(-30)\cos(\text{-}30^\circ)

c

sin(60).\sin(60^\circ).

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen cos(v+90)+sin(v+180)=-0.8.\cos(v+90^\circ)+\sin(v+180^\circ)=\text{-}0.8.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket är det största respektive minsta värde som funktionen y=8+17sin(x)+9cos(x)y=8+17\sin(x)+9\cos(x) kan anta?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket värde skall kk ha för att funktionens amplitud skall bli 5?5?

a

f(x)=ksin(x)+3cos(x)f(x)=k\sin(x)+3\cos(x)

b

g(x)=5sin(x)kcos(x)g(x)=5\sin(x)-k\cos(x)

c

h(x)=ksin(x)7cos(x)h(x)=k\sin(x)-7\cos(x)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande tre funktioner är skrivna på formen y=asin(x)+bcos(x).y=a\sin(x)+b\cos(x). Skriv om dem på formen y=csin(x+v),y=c\sin(x+v), där cc och vv är konstanter. Bestäm konstanten cc exakt och ange vv i radianer med två decimaler.

a

y=4sin(x)+3cos(x)y=4\sin(x) +3\cos(x)

b

y=-6sin(x)+2cos(x)y=\text{-}6\sin(x)+2\cos(x)

c

y=6sin(x)cos(x)y=6\sin(x)-\cos(x)

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange två sinusfunktioner och två cosinusfunktioner som alla ger den graf som finns återgiven nedan.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet finns graferna till två funktioner givna, där den ena kan skrivas på formen y=asin(x)y = a\sin(x) och den andra på formen y=bcos(x).y = b\cos(x). Skriv summan av funktionerna på formen y=csin(x+v).y=c\sin(x+v).

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv funktionen f(x)=cos(90x)sin(x+90)+cos(x+180)f(x)=\cos \left( 90^\circ-x \right)-\sin \left( x+90^\circ \right)+\cos \left( x+180^\circ \right) som en sinusfunktion.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kousako läser en kurs i matematik och har kommit till ett avsnitt om sinus- och cosinusfunktioner. Han använde en regel han hittade och skrev om funktionen y=4sin(2x)+3cos(x)y=4\sin(2x)+3\cos(x) på formen y=asin(x+v).y=a\sin(x+v). Hans vän Sadako sade då till honom "Men Kousako, så kan du faktiskt inte göra!" Förklara varför Kousakus lösning inte är korrekt.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Punkten PP i enhetscirkeln har koordinaterna (12,32).\left ( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right). Punkten QQ är förskjuten 9090^\circ moturs i förhållande till P.P. Vilka koordinater har punkten Q?Q?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan syns grafen till funktionen y=asin(x)+bcos(x).y=a\sin(x)+b\cos(x). Bestäm aa och b.b.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}