Samband mellan sinus och cosinus

Sinus- och cosinuskurvor liknar varandra. Därför är det kanske inte förvånande att man kan skriva om en sinusfunktion som en cosinusfunktion och vice versa. Här visas några sådana samband, både algebraiskt och grafiskt.

Regel
$\cos(v)=\text{-} \cos(180^\circ-v)$

Regel

Cosinusvärdet för en vinkel speglad i $y$ -axeln

Cosinusvärdet för en vinkel $v$ är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln $180^\circ-v.$

\CosMirror

Om man t.ex. ritar in vinkeln $30^\circ$ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan $y$ -axeln som också skapar vinkeln $30^\circ,$ men mot den negativa $x$ -axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från $y$ -axeln men på motsatt sida.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av $x$ -axeln kommer den att vara $180^\circ - 30^\circ.$

Båda dessa vinklar motsvarar samma $x$ -värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa $x$ -värden betyder det att

\cos(30^\circ)=\text{-} \cos(180^\circ-30^\circ).

Regel
$\sin(v+180^\circ) = \text{-} \sin(v)$

Regel

Sinusvärdet för vinkeln $v + 180^\circ$

När man ökar en vinkel med $180^\circ$ byter sinusvärdet tecken.

$\sin(v+180^\circ)=\text{-}\sin(v)$

Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln $v=60^\circ.$ Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva $y$ -axeln.

Om man ökar vinkeln med $180^\circ$ hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.

Eftersom $180^\circ$ är en rak vinkel kommer punkten för $60^\circ+180^\circ$ att hamna lika långt under $x$ -axeln som den första befinner sig ovanför den.

Punkterna har samma

y

-värde, fast med omvänt tecken, och samma gäller för motsvarande sinusvärden. Därför byter sinusvärdet tecken när en vinkel ökar med

180^\circ.

Regel
$\text{-} \sin(v)=\cos(v+90^\circ)$

Regel

Cosinusvärdet för en vinkel som ökat med $90^\circ$

Ett sinusvärde kan omvandlas till ett cosinusvärde.

$\text{-} \sin(v)=\cos(v+90^\circ)$

För att visa detta kan additionsformeln för cosinus användas på högerledet.

\cos\left(v+90^\circ\right)

\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)

\cos(v)\cos(90^\circ)-\sin(v)\sin(90^\circ)

,

\cos(v)\cdot0-\sin(v)\cdot 1

Multiplicera faktorer

\text{-}\sin(v)

Alltså är

\text{-}\sin(v) = \cos\left(v+90^\circ\right).

Q.E.D.

Regel
$\cos(v)=\sin(v+90^\circ)$

Regel

Sinusvärdet för en vinkel som ökat med $90^\circ$

Ett cosinusvärde kan omvandlas till ett sinusvärde.

$\cos(v)=\sin(v+90^\circ)$

För att visa detta kan additionsformeln för sinus användas på högerledet.

\sin\left(v+90^\circ\right)

\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)

\sin(v)\cos(90^\circ)+\cos(v)\sin(90^\circ)

,

\sin(v)\cdot0+\cos(v)\cdot 1

Multiplicera faktorer

\cos(v)

Alltså är

\cos(v) = \sin\left(v+90^\circ\right).

Q.E.D.

Man kan representera det första och tredje av dessa samband som förskjutningar av $\cos(x)$ i $x\text{-}$ led. Exempelvis kan man se att $\cos(x+90^\circ)$ och $\text{-}\sin(v)$ faktiskt är samma funktion.

På samma sätt kan det andra och fjärde sambandet tolkas som förskjutningar av $\sin(x)$ i $x\text{-}$ led.

Förenkla uttrycket med trigonometriska samband

Uppgift

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. $\dfrac{\sin(v+90^\circ)}{\text{-}\cos(v+180^\circ)}-\dfrac{\sin(v+180^\circ)}{\cos(v+90^\circ)}$

Lösning

Täljaren och nämnaren i det vänstra bråket, dvs. $\sin(v+90^\circ)$ och $\text{-}\cos(v+180^\circ),$ kan båda förenklas till $\cos(v)$ . Vi sätter in detta: $\dfrac{\cos(v)}{\cos(v)}-\dfrac{\sin(v+180^\circ)}{\cos(v+90^\circ)}=1-\dfrac{\sin(v+180^\circ)}{\cos(v+90^\circ)}.$ För att förenkla det andra bråket använder vi istället att $\sin(v+180^\circ)$ och $\cos(v+90^\circ)$ är lika med $\text{-}\sin(v)$ . Det ger att $1-\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\text{-}\sin(v)}=1-1=0.$ Uttrycket förenklas alltså till $0.$

Visa lösning

Regel

Summan av sinus och cosinus

Funktionen

y=c\sin(x+v),

där

c

och

v

är konstanter, är en sinuskurva som är förskjuten i sidled med vinkeln

v

och som har amplituden

c.

Med hjälp av additionsformeln för sinus kan man skriva om uttrycket som en summa.

Regel
$c\sin(x+v)= c\cos(v)\sin(x)+c\sin(v)\cos(x)$

c\sin(x+v)

\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)

c(\sin(x)\cos(v)+\cos(x)\sin(v))

Multiplicera in

c

c\sin(x)\cos(v)+c\cos(x)\sin(v)

Omarrangera faktorer

c\cos(v)\sin(x)+c\sin(v)\cos(x)

Eftersom

c

och

v

är konstanter, dvs. de beror inte på

x,

kommer även

c\cos(v)

och

c\sin(v)

att vara konstanter. Om man kallar dem för

a

respektive

b

får man

\begin{aligned} {\color{#0000FF}{c\cos(v)}}\sin(x)&+{\color{#009600}{c\sin(v)}}\cos(x)= \\ {\color{#0000FF}{a}}\sin(x)&+{\color{#009600}{b}}\cos(x). \end{aligned}

Eftersom koefficienterna måste vara samma i både höger- och vänsterled får man ekvationssystemet

\begin{cases}a=c\cos(v) \\ b=c\sin(v). \end{cases}

Detta kan man lösa med additions- och substitutionsmetoden.

Regel
$\begin{cases}\tan(v)=b/a \\ c=\sqrt{a^2+b^2} \end{cases}$

Genom att lösa ut

c

ur den ena ekvationen och sätta in i den andra kan man få ett uttryck för

v.

\begin{cases}a=c\cos(v) & \, \text {(I)}\\ b=c\sin(v) & \text {(II)}\end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

\DivEkv{\cos(v)}

\begin{cases}\dfrac{a}{\cos(v)}=c \\ b=c\sin(v) \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

Omarrangera ekvation

\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)} \\ b=c\sin(v) \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

c={\color{#0000FF}{\dfrac{a}{\cos(v)}}}

\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)}\\[-1em] \\ b={\color{#0000FF}{\dfrac{a}{\cos(v)}}}\cdot \sin(v) \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\dfrac{a}{c}\cdot b =a \cdot \dfrac{b}{c}

\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)}\\[-1em] \\ b=a\cdot\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)} \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}=\tan(v)

\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)} \\ b=a\cdot\tan(v) \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

Omarrangera ekvation

\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)} \\ a\cdot\tan(v)=b \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\left.\text{VL}\middle/a\right.=\left.\text{HL}\middle/a\right.

\begin{cases}c=\dfrac{a}{\cos(v)}\\[-1em] \\ \tan(v)=\dfrac{b}{a} \end{cases}

I den andra ekvationen finns nu ett uttryck för

v

som enbart beror på

a

och

b.

För att hitta ett motsvarande samband för

c

kan man titta på det ursprungliga ekvationssystemet igen.

\begin{cases}a=c\cos(v) \\ b=c\sin(v) \end{cases}

Man är ute efter att få

c

ensamt och att det enbart beror på

a

och

b.

Nu måste man på något sätt "bli av med"

\cos(v)

och

\sin(v).

Här kommer trigonometriska ettan väl till pass. De trigonometriska uttrycken är inte kvadrerade, men det går att lösa genom att höja upp båda ekvationer med

2.

\begin{cases}a^2=c^2\cos^2(v) \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}

Nu kan man använda additionsmetoden för att lösa ut

c.

\begin{cases}a^2=c^2\cos^2(v) & \, \text {(I)}\\ b^2=c^2\sin^2(v) & \text {(II)}\end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

Addera

{\color{#0000FF}{\text{(II)}}}

\begin{cases}a^2+{\color{#0000FF}{b^2}}=c^2\cos^2(v)+{\color{#0000FF}{c^2\sin^2(v)}} \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

Bryt ut

c^2

\begin{cases}a^2+b^2=c^2\left(\cos^2(v)+\sin^2(v)\right) \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1

\begin{cases}a^2+b^2=c^2 \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

Omarrangera ekvation

\begin{cases}c^2=a^2+b^2 \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

\begin{cases}c=\pm\sqrt{a^2+b^2} \\ b^2=c^2\sin^2(v) \end{cases}

Eftersom

c

är en amplitud är den positiv, så man kan utesluta den negativa roten. Det betyder att

c=\sqrt{a^2+b^2}.

Sammantaget betyder detta att

\begin{cases}\tan(v)=b/a \\ c=\sqrt{a^2+b^2}. \end{cases}

Med hjälp av dessa samband kan man alltså skriva om en förskjuten sinuskurva som en summa av sinus och cosinus.

c\sin(x+v)=a\sin(x)+b\cos(x)

Detta samband gäller ju även åt andra hållet — summan av en sinus- och cosinusfunktion kan skrivas som en sinusfunktion:

a\sin(x)+b\cos(x)=c\sin(x+v),

där

c=\sqrt{a^2+b^2}

och

\tan(v)=b/a.

Regel
Endast hälften av lösningarna till $\tan(v) = b/a$ stämmer

När man löser ekvationen $\tan(v) = b/a$ för att bestämma $v$ får man lösningsmängden $v = \arctan\left( \dfrac{b}{a} \right) + n \cdot \pi.$ Lösningsmängden har perioden $\pi,$ men sinus har en period på $2\pi.$ Därför ger endast vartannat $v$ den sökta funktionen $y = c\sin(x + v).$ De extra lösningar som inte löser det ursprungliga problemet uppkommer eftersom likheten $\dfrac{b}{a} = \dfrac{\text{-} b}{\text{-} a}$ gäller. Om både $a$ och $b$ byter tecken får man samma högerled i ekvationen $\tan(v) = b/a,$ men det är inte samma vinkel $v$ som söks. Sammanfattat ger det här att om $n = 0$ svarar mot ett $v$ som löser $a \sin(x) + b \cos(x) = c \sin(x + v)$ så kommer $n = 1$ ge ett $v$ som löser $\text{-} a \sin(x) - b \cos(x) = c \sin(x + v).$

På samma sätt som för rotekvationer måste man därför kontrollera sin lösning. Det gör man lättast genom att låta $n = 0$ och sedan sätta in $x = 0$ i likheten $a \sin(x) + b \cos(x) = c \sin(x + v).$

Om den är uppfylld har man hittat det sökta värdet på

v

— annars är det

n = 1

som ger ett värde på

v

som stämmer.

Skriv summan som en sinusfunktion

Uppgift

Skriv $y=6\sin(x)+9\cos(x)$ som en sinusfunktion.

Lösning

Vi ska alltså skriva summan på formen

y = c\sin(x + v)

. Vi börjar med att beräkna amplituden för sinusfunktionen. Det gör vi genom att kvadrera

6

och

9,

addera dem och dra roten ur.

c=\sqrt{a^2+b^2}

a={\color{#0000FF}{6}}

,

b={\color{#009600}{9}}

c=\sqrt{{\color{#0000FF}{6}}^2+{\color{#009600}{9}}^2}

Beräkna

Beräkna potens

c=\sqrt{36+81}

Förenkla termer

c=\sqrt{117}

Slå in på räknare

c=10.81665\ldots

Avrunda till

1

c\approx10.8

Amplituden för sinuskurvan är alltså cirka

10.8.

Nu beräknar vi kurvans sidledsförskjutning.

\tan(v)=\dfrac{b}{a}

a={\color{#0000FF}{6}}

,

b={\color{#009600}{9}}

\tan(v)=\dfrac{{\color{#009600}{9}}}{{\color{#0000FF}{6}}}

Lös ekvation

Skriv i decimalform

\tan(v)=1.5

\arctan(\text{VL}) = \arctan(\text{HL})

v=\arctan(1.5)+n\cdot \pi

Slå in på räknare

v=0.98279\ldots+n\cdot \pi

Avrunda till

2

v\approx0.98+n\cdot \pi

Det finns flera lösningar till ekvationen, men endast hälften löser vårt ursprungliga problem. Vi testar lösningen då

n=0,

vilket ger

v\approx 0.98.

Det gör vi genom att sätta in våra beräknade värden samt

x = 0

i likheten

6\sin(x) + 9\cos(x) = c\sin(x + v).

Om likheten uppfylls är

v \approx 0.98

en vinkel som löser uppgiften. Eftersom våra värden är avrundade räcker det att likheten är ungefärligt uppfylld.

6\sin(x) + 9\cos(x) = c\sin(x + v)

Sätt in värden

6\sin(0) + 9\cos(0) \stackrel{?}{\approx} 10.8\sin(0 + 0.98)

Beräkna

Förenkla termer

6\sin(0) + 9\cos(0) \stackrel{?}{\approx} 10.8\sin(0.98)

9\cos(0) \stackrel{?}{\approx} 10.8\sin(0.98)

9 \stackrel{?}{\approx} 10.8\sin(0.98)

Slå in på räknare

9 \approx 8.96937\ldots

Vinkeln vi testade är alltså en giltig lösning. Om vänsterled och högerled istället haft olika tecken hade $n = 1$ gett oss rätt vinkel. Vi vet därför att $c \approx 10.8$ och $v \approx 0.98$ ger en lösning på uppgiften, och kan skriva summan på följande sätt: $y=6\sin(x)+9\cos(x)\approx 10.8\sin(x+0.98).$

Visa lösning

Samband mellan sinus och cosinus

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Regel

Cosinusvärdet för en vinkel speglad i $y$ -axeln

Regel

Sinusvärdet för vinkeln $v + 180^\circ$

Regel

Cosinusvärdet för en vinkel som ökat med $90^\circ$

Regel

Sinusvärdet för en vinkel som ökat med $90^\circ$

Exempel

Förenkla uttrycket med trigonometriska samband

Summan av sinus och cosinus

Regel

Regel

Regel

Exempel

Skriv summan som en sinusfunktion

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Egenskaper hos funktioner

Regel

Regel

Regel

Regel

Exempel

Förenkla uttrycket med trigonometriska samband

Regel

Regel

Regel

Exempel

Skriv summan som en sinusfunktion

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}