Kedjeregeln
{{ 'ml-heading-theory' | message }}
En sammansatt funktion kan deriveras genom att man bestämmer derivatorna för den yttre och inre funktionen separat, och sedan multiplicerar ihop dem. Exempelvis deriverar man genom att multiplicera ihop Denna regel kallas för kedjeregeln och kan bland annat skrivas på följande två sätt.
Eftersom och är derivatan av den yttre funktionen brukar dessa kallas för yttre derivata. På motsvarande sätt benämns och som inre derivata.
Uppgift Bestäm givet att
Bestäm givet att
För att bestämma måste vi derivera Eftersom funktionen är sammansatt av den yttre funktionen och den inre funktionen använder vi kedjeregeln.
Delar av instruktionen känner vi igen sedan tidigare, som deriveringsregeln för potensfunktioner. Den återkommer här eftersom den yttre funktionen i detta fall är just en potensfunktion — då bestäms den yttre derivatan med deriveringsregeln för potensfunktioner och multipliceras sedan med den inre derivatan.
Tillämpningar med kedjeregeln
Ibland behöver man bestämma hastigheten för hur exempelvis en area eller volym förändras vid en viss tidpunkt, givet information om hur något tätt sammanlänkat, t.ex. en radie, förändras. För att bestämma en sådan förändringshastighet kan man börja med att formulera ett samband mellan olika derivator med hjälp av kedjeregeln. Man kan bl.a. lösa följande uppgift på det sättet:
"En vattenballong fylls med vatten. När vattenballongens radie är cm ökar radien med hastigheten cm/s. Hur snabbt ökar volymen per sekund vid detta tillfälle?"
Metoden visar ett sätt att tänka för att lösa verklighetsanknutna uppgifter där flera förändringshastigheter är inblandade. Den är däremot inte ett recept som fungerar på alla uppgifter — ibland kan man behöva vidareutveckla lösningsgången på egen hand.Uppgifter
Derivera följande funktioner
Bestäm för funktionerna nedan.
Visa att tangenten till funktionen är parallell med linjen då
Bestäm värdet av om givet att när Svara exakt.
En cirkels radie ökar, med konstant hastighet.
Ställ upp ett generellt uttryck för en sammansatt funktion som beskriver arean med avseende på tiden.
Ta fram ett generellt uttryck för derivatan med avseende på tiden,
Använd areaformeln för en cirkel för att bestämma
När cirkelns radie är cm ökar dess area med hastigheten Bestäm hur snabbt radien ökar.
En ost formad som ett rätblock stod framme under en middagsfest hos familjen Pålsson. Ostens bottenarea var cm och i genomsnitt hyvlades cm ost per timme. Använd kedjeregeln för att beräkna vilken genomsnittlig hastighet ostens höjd minskade med.
Bestäm ekvationen till den linje som tangerar i
Bestäm det största och minsta värdet för funktionen på intervallet
I varje deluppgift anges derivatan till en sammansatt funktion Bestäm för respektive fall en möjlig inre och yttre funktion.
Derivatan av en sammansatt funktion som består av den yttre funktionen och den inre funktionen kan bestämmas av kedjeregeln: Använd detta för att härleda en formel för derivatan av
En fotboll pumpas med hastigheten Vid ett visst tillfälle ökar fotbollens radie med Bestäm fotbollens radie vid denna tidpunkt. Ange svaret i centimeter och avrunda till närmaste heltal.
I koordinatsystemet finns graferna till funktionerna och
Utan att bestämma varken eller beräkna värdet av approximativt med hjälp av figuren, givet att
En nedåtvänd kon med lika stor diameter som höjd är delvis fylld med vatten. Ur den rinner vatten med hastigheten liter/min. Med vilken hastighet förändras vattennivån då den är cm?
Anita har nyss vunnit SM i att sticka snabbt. När hon stickade som snabbast använde hon garn i den svindlande hastigheten Just då minskade radien för garnnystanet, som hade formen av ett klot, med Givet att garntråden hade diametern hur stor var radien på hennes nystan då hon stickade som snabbast? Du får anta att garnnystanet var perfekt packat, alltså att det inte fanns några tomma utrymmen i det.