{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Deriveringsregler

Kedjeregeln

En sammansatt funktion f(g(x)) kan deriveras genom att man bestämmer derivatorna för den yttre och inre funktionen separat, och sedan multiplicerar ihop dem. Exempelvis deriverar man f(g(x))=(2x6)4 genom att multiplicera ihop
Denna regel kallas för kedjeregeln och kan bland annat skrivas på följande två sätt.

Eftersom och är derivatan av den yttre funktionen brukar dessa kallas för yttre derivata. På motsvarande sätt benämns och som inre derivata.

Bevis

Man kan bevisa formeln med utgångspunkt i derivatans definition:
För den sammansatta funktionen f(g(x)) får man
Hur skriver man om detta till produkten i formeln? Första steget är att förlänga bråket med ett lämpligt uttryck för att få ett gränsvärde av en produkt. Då kan man dela upp gränsvärdet som produkten av två andra gränsvärden, som båda beskriver derivator. Därför förlänger man med g(x+h)g(x).

Det högra gränsvärdet motsvarar den inre derivatan, uttryckt med derivatans definition, så likheten kan skrivas som
Nu återstår bara att visa att det vänstra gränsvärdet är lika med den yttre derivatan, Det kan man göra genom att skriva om gränsvärdet så att det motsvarar definitionen för Den högra termen i täljaren är redan korrekt, men övriga delar behöver skrivas om. Man gör nu följande ersättning i nämnaren:
g(x+h)g(x)=k.
Notera att g(x+h)g(x) närmar sig 0 när eftersom de två termerna då går mot samma värde. När man ersätter nämnaren med k är det därför viktigt att man även byter ut mot så att nämnaren närmar sig 0 även efter ersättningen. I samband med detta adderas g(x)g(x) till argumentet i funktionen f i täljarens vänstra term, med syftet att sätta in k även där.
f(g(x+h))
f(g(x+h)+g(x)g(x))
f(g(x)+g(x+h)g(x))
f(g(x)+k)
Dessa ersättningar ger
Man kan nu se att gränsvärdet motsvarar den yttre derivatan, uttryckt med derivatans definition. Vid insättning får man till sist kedjeregeln:
Q.E.D.

Exempel

Bestäm derivatan med kedjeregeln

fullscreen

Bestäm givet att y(x)=(4x7)3.

Visa Lösning expand_more

För att bestämma måste vi derivera y(x). Eftersom funktionen är sammansatt av den yttre funktionen y=u3 och den inre funktionen u=4x7 använder vi kedjeregeln.

y(x)=(4x7)3

Delar av instruktionen känner vi igen sedan tidigare, som deriveringsregeln för potensfunktioner. Den återkommer här eftersom den yttre funktionen i detta fall är just en potensfunktion — då bestäms den yttre derivatan med deriveringsregeln för potensfunktioner och multipliceras sedan med den inre derivatan.

Notera att hela den inre funktionen hanteras som en variabel när den yttre funktionen deriveras, oavsett hur funktionsuttrycket ser ut. Vi fortsätter genom att derivera den inre funktionen term för term.
Derivatan av y(x) är alltså 12(4x7)2. Nu sätter vi in x=5 i detta uttryck för att bestämma
Vi kan nu konstatera att

Metod

Tillämpningar med kedjeregeln

Ibland behöver man bestämma hastigheten för hur exempelvis en area eller volym förändras vid en viss tidpunkt, givet information om hur något tätt sammanlänkat, t.ex. en radie, förändras. För att bestämma en sådan förändringshastighet kan man börja med att formulera ett samband mellan olika derivator med hjälp av kedjeregeln. Man kan bl.a. lösa följande uppgift på det sättet:

"En vattenballong fylls med vatten. När vattenballongens radie är 10 cm ökar radien med hastigheten 1 cm/s. Hur snabbt ökar volymen per sekund vid detta tillfälle?"

1
Identifiera förändringshastigheten som söks
expand_more
Till att börja med behöver man identifiera vilken förändringshastighet det är som söks. Här efterfrågas hur snabbt volymen ökar per sekund, så det är förändringshastigheten för volymen, med avseende på tid, man ska bestämma. Denna derivata kan man skriva
2
Ställ upp ett samband med kedjeregeln
expand_more
För att man ska kunna ställa upp ett samband mellan derivator med kedjeregeln behöver man en sammansatt funktion. I uppgiften får man reda på att ballongens radie förändras över tid, så det finns en funktion r(t) med i sammanhanget. Dessutom är det rimligt att se vattenballongen som ett klot, vars volym beror på radien:
Eftersom det finns ett samband mellan dessa två funktioner — volymen beror på radien som beror på tiden — kan man formulera den sammansatta funktionen V(r(t)). Man kan nu ställa upp ett uttryck för dess derivata med kedjeregeln.
I detta fall är det derivatan för den sammansatta funktionen som söks, men det kan också vara den yttre eller inre derivatan som efterfrågas.
3
Bestäm övriga förändringshastigheter
expand_more
För att kunna bestämma den förändringshastighet som efterfrågas behöver man först bestämma de övriga derivatorna i sambandet. Med hjälp av informationen i uppgiften ska det alltså vara möjligt att i detta fall bestämma både och Radiens förändringshastighet är given i uppgiften, så
Volymförändringen med avseende på radien är inte direkt given på samma sätt. Man kan dock hitta ett uttryck för genom att derivera V(r).
Nu kan man sätta in r=10 i denna derivata för att bestämma hur snabbt volymen ökar när radien är precis 10 cm.
Volymen ökar alltså med 400π cm3/cm när radien är 10 cm.
4
Sätt in värden
expand_more
Man kan nu sätta in värdena på de två bestämda förändringshastigheterna i sambandet som formulerades med kedjeregeln. Då får man till sist den sökta förändringshastigheten.
Vattenflödet är alltså cirka 1260 cm3/s.
Metoden visar ett sätt att tänka för att lösa verklighetsanknutna uppgifter där flera förändringshastigheter är inblandade. Den är däremot inte ett recept som fungerar på alla uppgifter — ibland kan man behöva vidareutveckla lösningsgången på egen hand.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community