En sammansatt funktion f(g(x)) kan deriveras genom att man bestämmer derivatorna för den yttre och inre funktionen separat, och sedan multiplicerar ihop dem. Exempelvis deriverar man f(g(x))=(2x−6)4 genom att multiplicera ihop f′(g(x))=4(2x−6)3ochg′(x)=2. Denna regel kallas för kedjeregeln och kan bland annat skrivas på följande två sätt.
dxdf=dgdf⋅dxdg
Eftersom f′(g(x)) och dgdf är derivatan av den yttre funktionen brukar dessa kallas för yttre derivata. På motsvarande sätt benämns g′(x) och dxdg som inre derivata.
Bestäm y′(5) givet att y(x)=(4x−7)3.
För att bestämma y′(5) måste vi derivera y(x). Eftersom funktionen är sammansatt av den yttre funktionen y=u3 och den inre funktionen u=4x−7 använder vi kedjeregeln.
Delar av instruktionen D(un)=nun−1⋅D(u) känner vi igen sedan tidigare, som deriveringsregeln för potensfunktioner. Den återkommer här eftersom den yttre funktionen i detta fall är just en potensfunktion — då bestäms den yttre derivatan med deriveringsregeln för potensfunktioner och multipliceras sedan med den inre derivatan.
Ibland behöver man bestämma hastigheten för hur exempelvis en area eller volym förändras vid en viss tidpunkt, givet information om hur något tätt sammanlänkat, t.ex. en radie, förändras. För att bestämma en sådan förändringshastighet kan man börja med att formulera ett samband mellan olika derivator med hjälp av kedjeregeln. Man kan bl.a. lösa följande uppgift på det sättet:
"En vattenballong fylls med vatten. När vattenballongens radie är 10 cm ökar radien med hastigheten 1 cm/s. Hur snabbt ökar volymen per sekund vid detta tillfälle?"
Till att börja med behöver man identifiera vilken förändringshastighet det är som söks. Här efterfrågas hur snabbt volymen ökar per sekund, så det är förändringshastigheten för volymen, med avseende på tid, man ska bestämma. Denna derivata kan man skriva dtdV.
För att man ska kunna ställa upp ett samband mellan derivator med kedjeregeln behöver man en sammansatt funktion. I uppgiften får man reda på att ballongens radie förändras över tid, så det finns en funktion r(t) med i sammanhanget. Dessutom är det rimligt att se vattenballongen som ett klot, vars volym beror på radien: V(r)=34πr3. Eftersom det finns ett samband mellan dessa två funktioner — volymen beror på radien som beror på tiden — kan man formulera den sammansatta funktionen V(r(t)). Man kan nu ställa upp ett uttryck för dess derivata med kedjeregeln. dtdV=drdV⋅dtdr I detta fall är det derivatan för den sammansatta funktionen som söks, men det kan också vara den yttre eller inre derivatan som efterfrågas.