Kedjeregeln

En sammansatt funktion $f(g(x))$ kan deriveras genom att man bestämmer derivatorna för den yttre och inre funktionen separat, och sedan multiplicerar ihop dem. Exempelvis deriverar man $f(g(x))=(2x-6)^4$ genom att multiplicera ihop $f'(g(x))=4(2x-6)^3\quad\text{och}\quad g'(x)=2.$ Denna regel kallas för kedjeregeln och kan bland annat skrivas på följande två sätt.

D(f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)

$\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}f}{\text{d}g}\cdot\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x}$

Eftersom $f'(g(x))$ och $\frac{\text{d}f}{\text{d}g}$ är derivatan av den yttre funktionen brukar dessa kallas för yttre derivata. På motsvarande sätt benämns $g'(x)$ och $\frac{\text{d}g}{\text{d}x}$ som inre derivata.

Bevis
$D(f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Man kan bevisa formeln med utgångspunkt i derivatans definition: $\begin{aligned} D(f(x)) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}. \end{aligned}$ För den sammansatta funktionen $f(g(x))$ får man $\begin{aligned} D(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}. \end{aligned}$ Hur skriver man om detta till produkten i formeln? Första steget är att förlänga bråket med ett lämpligt uttryck för att få ett gränsvärde av en produkt. Då kan man dela upp gränsvärdet som produkten av två andra gränsvärden, som båda beskriver derivator. Därför förlänger man med $g(x+h)-g(x).$

D(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}

Förläng med

g(x+h)-g(x)

D(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(f(g(x+h)) - f(g(x)))\cdot(g(x+h)-g(x))}{h\cdot(g(x+h)-g(x))}

Dela upp bråk

D(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\left(\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)

\lim \limits_{x \to a}f(x)\cdot g(x)=\lim \limits_{x \to a}f(x)\cdot \lim \limits_{x \to a}g(x)

D(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}

Det högra gränsvärdet motsvarar den inre derivatan, uttryckt med derivatans definition, så likheten kan skrivas som $D(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot g'(x).$ Nu återstår bara att visa att det vänstra gränsvärdet är lika med den yttre derivatan, $f'(g(x)).$ Det kan man göra genom att skriva om gränsvärdet så att det motsvarar definitionen för $f'(g(x)).$ Den högra termen i täljaren är redan korrekt, men övriga delar behöver skrivas om. Man gör nu följande ersättning i nämnaren: $g(x+h)-g(x)=k.$ Notera att $g(x+h)-g(x)$ närmar sig $0$ när $h\to0,$ eftersom de två termerna då går mot samma värde. När man ersätter nämnaren med $k$ är det därför viktigt att man även byter ut $h\to0$ mot $k\to0,$ så att nämnaren närmar sig $0$ även efter ersättningen. I samband med detta adderas $g(x)-g(x)$ till argumentet i funktionen $f$ i täljarens vänstra term, med syftet att sätta in $k$ även där.

f(g(x+h))

a = a+{\color{#0000FF}{g(x)}}-{\color{#0000FF}{g(x)}}

f(g(x+h)+{\color{#0000FF}{g(x)}}-{\color{#0000FF}{g(x)}})

Omarrangera termer

f(g(x)+g(x+h)-g(x))

g(x+h)-g(x)={\color{#0000FF}{k}}

f(g(x)+{\color{#0000FF}{k}})

Dessa ersättningar ger $D(f(g(x)))=\lim \limits_{k \to 0}\dfrac{f(g(x)+k) - f(g(x))}{k}\cdot g'(x).$ Man kan nu se att gränsvärdet motsvarar den yttre derivatan, $f'(g(x)),$ uttryckt med derivatans definition. Vid insättning får man till sist kedjeregeln: $D(f(g(x)))=f'(g(x))\cdot g'(x).$

Q.E.D.

Bestäm derivatan med kedjeregeln

Uppgift

Bestäm $y'(5)$ givet att $y(x)=(4x-7)^3.$

Lösning

För att bestämma $y'(5)$ måste vi derivera $y(x).$ Eftersom funktionen är sammansatt av den yttre funktionen $y=u^3$ och den inre funktionen $u=4x-7$ använder vi kedjeregeln.

y(x)=(4x-7)^3

Derivera funktion

y'(x)=D\left((4x-7)^3\right)

D\left(u^n\right) = n u^{n-1}\cdot D(u)

y'(x)=3(4x-7)^2\cdot D(4x-7)

Delar av instruktionen $D\left(u^n\right) = n u^{n-1}\cdot D(u)$ känner vi igen sedan tidigare, som deriveringsregeln för potensfunktioner. Den återkommer här eftersom den yttre funktionen i detta fall är just en potensfunktion — då bestäms den yttre derivatan med deriveringsregeln för potensfunktioner och multipliceras sedan med den inre derivatan.

Notera att hela den inre funktionen hanteras som en variabel när den yttre funktionen deriveras, oavsett hur funktionsuttrycket ser ut. Vi fortsätter genom att derivera den inre funktionen term för term.

y'(x)=3(4x-7)^2\cdot D(4x-7)

Derivera term för term

y'(x)=3(4x-7)^2\cdot (D\left(4x)-D(7)\right)

D(a) = 0

y'(x)=3(4x-7)^2\cdot D(4x)

D\left(ax\right) = a

y'(x)=3(4x-7)^2\cdot 4

Multiplicera faktorer

y'(x)=12(4x-7)^2

Derivatan av $y(x)$ är alltså $12(4x-7)^2.$ Nu sätter vi in $x=5$ i detta uttryck för att bestämma $y'(5).$

y'(x)=12(4x-7)^2

x={\color{#0000FF}{5}}

y'({\color{#0000FF}{5}})=12(4\cdot{\color{#0000FF}{5}}-7)^2

Multiplicera faktorer

y'(5)=12(20-7)^2

Förenkla termer

y'(5)=12\cdot 13^2

Slå in på räknare

y'(5)=2028

Vi kan nu konstatera att $y'(5)=2028.$

Visa lösning

Metod

Tillämpningar med kedjeregeln

Ibland behöver man bestämma hastigheten för hur exempelvis en area eller volym förändras vid en viss tidpunkt, givet information om hur något tätt sammanlänkat, t.ex. en radie, förändras. För att bestämma en sådan förändringshastighet kan man börja med att formulera ett samband mellan olika derivator med hjälp av kedjeregeln. Man kan bl.a. lösa följande uppgift på det sättet:

"En vattenballong fylls med vatten. När vattenballongens radie är $10$ cm ökar radien med hastigheten $1$ cm/s. Hur snabbt ökar volymen per sekund vid detta tillfälle?"

1

Identifiera förändringshastigheten som söks

Till att börja med behöver man identifiera vilken förändringshastighet det är som söks. Här efterfrågas hur snabbt volymen ökar per sekund, så det är förändringshastigheten för volymen, med avseende på tid, man ska bestämma. Denna derivata kan man skriva $\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t}.$

2

Ställ upp ett samband med kedjeregeln

För att man ska kunna ställa upp ett samband mellan derivator med kedjeregeln behöver man en sammansatt funktion. I uppgiften får man reda på att ballongens radie förändras över tid, så det finns en funktion $r(t)$ med i sammanhanget. Dessutom är det rimligt att se vattenballongen som ett klot, vars volym beror på radien: $V(r)=\dfrac{4\pi r^3}{3}.$ Eftersom det finns ett samband mellan dessa två funktioner — volymen beror på radien som beror på tiden — kan man formulera den sammansatta funktionen $V(r(t)).$ Man kan nu ställa upp ett uttryck för dess derivata med kedjeregeln. $\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} = \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t}$ I detta fall är det derivatan för den sammansatta funktionen som söks, men det kan också vara den yttre eller inre derivatan som efterfrågas.

3

Bestäm övriga förändringshastigheter

För att kunna bestämma den förändringshastighet som efterfrågas behöver man först bestämma de övriga derivatorna i sambandet. Med hjälp av informationen i uppgiften ska det alltså vara möjligt att i detta fall bestämma både $\frac{\text{d}V}{\text{d}r}$ och $\frac{\text{d}r}{\text{d}t}.$ Radiens förändringshastighet är given i uppgiften, så $\dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} = 1\text{ cm/s.}$ Volymförändringen med avseende på radien är inte direkt given på samma sätt. Man kan dock hitta ett uttryck för $\frac{\text{d}V}{\text{d}r}$ genom att derivera $V(r).$

V(r) = \dfrac{4\pi r^3}{3}

Derivera med avseende på

r

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} = D \left( \dfrac{4\pi r^3}{3} \right)

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} = \dfrac{4\pi \cdot 3r^2}{3}

Förenkla kvot

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} = 4\pi r^2

Nu kan man sätta in $r=10$ i denna derivata för att bestämma hur snabbt volymen ökar när radien är precis $10$ cm.

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} = 4\pi r^2

r={\color{#0000FF}{10}}

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} = 4\pi \cdot {\color{#0000FF}{10}}^2

Beräkna potens

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} = 4\pi \cdot 100

Multiplicera faktorer

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} = 400\pi

Volymen ökar alltså med $400\pi$ $\text{cm}^3$ /cm när radien är $10$ cm.

4

Sätt in värden

Man kan nu sätta in värdena på de två bestämda förändringshastigheterna i sambandet som formulerades med kedjeregeln. Då får man till sist den sökta förändringshastigheten.

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} = \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t}

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r}={\color{#0000FF}{400\pi}}

,

\dfrac{\text{d}r}{\text{d}t}={\color{#009600}{1}}

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} = {\color{#0000FF}{400\pi}} \cdot {\color{#009600}{1}}

Slå in på räknare

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} = 1256.63706\ldots

Avrunda till

3

gällande

\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} \approx 1260

Vattenflödet är alltså cirka $1260$ $\text{cm}^3$ /s.

Metoden visar ett sätt att tänka för att lösa verklighetsanknutna uppgifter där flera förändringshastigheter är inblandade. Den är däremot inte ett recept som fungerar på alla uppgifter — ibland kan man behöva vidareutveckla lösningsgången på egen hand.

Kedjeregeln

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Bevis

Exempel

Bestäm derivatan med kedjeregeln

Tillämpningar med kedjeregeln

1

2

3

4

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Deriveringsregler

Bevis

Exempel

Bestäm derivatan med kedjeregeln

1

2

3

4

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}