Exponentiell polär form

Vi ska visa att e^(.iπ /4.) och e^(.i9π /4.) beskriver samma komplexa tal. Den exponentiella formen e^(iθ) är periodisk med perioden 2π, så e^(iθ_1) = e^(iθ_2) när θ_2 - θ_1 är en multipel av 2π. Vi beräknar skillnaden mellan de två argumenten.

Skillnaden är exakt 2π, så de två argumenten skiljer sig åt med ett helt varv och beskriver därför samma komplexa tal. Alice har rätt. e^(.i9π /4.) = e^(i( .π /4. + 2π )) = e^(.iπ /4.)

Vi ska skriva z och u på formen re^(iv). Båda punkterna ligger på en cirkel med radien 4 centrerad i origo, så r = 4 för båda.

Från figuren ligger z på den positiva realaxeln, så dess argument är v = 0. Den exponentiella formen är alltså z = 4e^(i * 0) = 4. Punkten u ligger på den negativa realaxeln, så dess argument är v = π. Den exponentiella formen är alltså u = 4e^(iπ).

Vi ska skriva z och u på formen re^(iv). Båda punkterna ligger på en cirkel med radien 4 centrerad i origo, så r = 4 för båda. Från figuren har z argumentet v = π/3. Den exponentiella formen är alltså z = 4e^(.iπ /3.). Punkten u visas med en vinkel π/3 under den positiva realaxeln, vilket motsvarar argumentet - π/3. Detta värde ligger utanför intervallet 0 ≤ v < 2π, så vi adderar 2π för att få ett ekvivalent argument inom intervallet.

Den exponentiella formen är alltså u = 4e^(.i5π /3.).

Vi börjar med att flytta över 1 för att få e^(iπ) ensamt i vänsterledet. e^(iπ)+1=0 ⇔ e^(iπ)=-1 För att visa att sambandet stämmer kan vi nu använda Eulers formel med vinkeln v=π för att skriva om vänsterledet.

Vi har nu visat att e^(iπ) går att skriva om till -1 och alltså stämmer likheten. Det går även att använda enhetscirkeln i det komplexa talplanet. Realdelen är cos(π)=-1 och imaginärdelen sin(π)=0 och vi hamnar då på punkten (-1,0).

Eulers formel säger att e^(iv)=cos(v)+isin(v). I vårt fall är v=π/4 och vi kan sätta in den vinkeln och på så sätt bestämma z på formen a+bi.

Talet z kan alltså skrivas som 1/sqrt(2)+i/sqrt(2).

Nu har vi ett värde framför talet e och vill då använda exponentiell form. re^(iπ)=r(cos(v)+isin(v)) Vinkeln är v=π/3 och r=7. Vi sätter in värdena i formeln och beräknar.

Talet z kan alltså skrivas som 7/2+ 7sqrt(3)i/2.

Vi gör på samma sätt som i förra uppgiften men nu är vinkeln är v=π/6 och absolutbeloppet r=3. Sätt in värdena i exponentiell form.

Talet z kan alltså skrivas som 3sqrt(3)/2+3i/2.

Absolutbeloppet för ett komplext tal är samma sak som avståndet till talet från origo. Argumentet beskrivs av vinkeln mellan den positiva reella axeln och avståndet till talet. z=re^(iv), |z|=r, arg(z)=v Vi kan identifiera radien och vinkeln om vi tittar på talet w. Radien är talet framför potensen och vinkeln är talet som multipliceras med i i exponenten. w=2e^(iπ), |w|=2, arg(w)=π

På samma sätt som i förra uppgiften identifierar vi absolutbeloppet och argumentet. I exponentiell form motsvarar r absolutbeloppet och argumentet är vinkeln v. w=0,5e^(.iπ /5.), |w|=0,5, arg(w)=π/5

För att kunna skriva ett tal på exponentiell form behöver vi känna till dess absolutbelopp r och argument v. Sedan skriver vi talet på formen re^(iv). Talet i ligger på den positiva imaginära axeln i det komplexa talplanet, vilket innebär att argumentet är π/2.

Absolutbeloppet |i| är 1, eftersom i ligger 1 längdenhet från origo i det komplexa talplanet. Vi kan nu genomföra omskrivningen i = e^(.iπ /2.).

- 2i ligger istället på den negativa imaginära axeln i det komplexa talplanet. Dess argument är alltså - π/2.

Talet har nu koefficienten - 2, vi får därmed |- 2i| = 2. Vi känner nu till argument och absolutbelopp, och skriver därmed om talet som - 2i = 2e^(.- iπ /2.). Notera att vinkeln 3π/2 pekar på samma ställe i enhetscirkeln som - π/2, och kan därför användas istället för - π/2 om det föredras.

Talet - 5 ligger på den negativa reella axeln i det komplexa talplanet och har därför argumentet π. Vi får även att |- 5| = 5. På exponentiell form är därför talet - 5 = 5e^(iπ).

För det här talet kan vi inte läsa av argumentet och absolutbeloppet lika enkelt. Istället behöver vi beräkna dem. Vi börjar med absolutbeloppet eftersom det behövs när argumentet beräknas.

Absolutbeloppet är alltså sqrt(2). Vi beräknar nu talets argument.

Nu vet vi även att talets argument är 3π/4. Vi är därmed redo att skriva talet på exponentiell form: - 1 + i = sqrt(2)e^(.i3π /4.).

Talet w består av två likadana termer som vi kan slå ihop till en summa. w =e^(i.π /2.)+e^(i.π /2.)=2e^(i.π /2.) Genom avläsning ser vi att absolutbeloppet är 2 och argumentet är .π /2.. Vi kan nu skriva om w med omskrivningen av exponentiell form och beräkna uttrycket för att få det på formen a+bi.

Talet w kan alltså skrivas som 2i. Det står på formen a+bi där a=0.

Talet w består av två tal som står på Misc:Exponentiell form. Vi kan dela upp w i talen w_1 och w_2. w=w_1 - w_2, w_1=e^(i.π /3.), w_2=e^(i.π /6.) Vi skriver nu om w_1 och w_2 med Eulers formel och beräknar för att få dem på formen a+bi. Vi börjar med w_1.

Nu har vi skrivit om w_1 på formen a+bi och gör samma sak med w_2.

Nu står både w_1 och w_2 och vi kan utföra subtraktionen w=w_1-w_2.

Det betyder att w kan skrivas som 1-sqrt(3)/2+(sqrt(3)-1)i/2. Vi beräknar inte bråken eftersom vi ska svara exakt.

När man multiplicerar komplexa tal multipliceras absolutbeloppen och argumenten adderas.

Vi får alltså z * u = 6e^(.i11π /12.).

Vid division av komplexa tal dividerar man absolutbeloppen och subtraherar argumenten.

Vi har nu dividerat ihop talen men kan notera att argumentet - .5π /4. är negativt. Om vi lägger till ett helt varv, 2π, kan vi få samma tal på enklare form. 2π kan skrivas som .8π /4., så vi lägger till det i argumentet. 6e^(i(.- 5π /4.)) = 6e^(i (.- 5π /4. + .8π /4.)) = 6e^(.i 3π /4.) Vi har nu kommit fram till att z/w = 6e^(.i 3π /4.).

Vi väljer att först beräkna kvoten u/z.

Vi multiplicerar nu w med kvoten vi precis beräknat.

Det här är vårt slutgiltiga svar.

Vi noterar först att faktorn u förekommer i både nämnaren och täljaren så vi kan förkorta bråket med u. u^2 * z/w * u = u * z/w Vi har också redan kommit fram till att z/w = 6e^(.i3π /4.) i andra deluppgiften. Därför delar vi upp vårt bråk. u * z/w = u * z/w Nu slipper vi en stor del av de beräkningar som skulle behövas för att bestämma täljare och nämnare var för sig.

Vi har alltså kommit fram till att u^2 * z/w * u = 12e^(.i17π /12.).