Logga in
| 4 sidor teori |
| 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
På 1700−talet upptäckte matematikern Leonhard Euler ett samband mellan komplexa tal och talet e. Han visade att om man sätter en imaginär exponent, iv, på e kan man med hjälp av trigonometriska funktioner skriva potensen på följande sätt.
eiv=cos(v)+isin(v)
Detta samband kallas Eulers formel. Jämför man högerledet med ett komplext tal på trigonometrisk form, r(cos(v)+isin(v)), ser man att det enda som skiljer dem åt är absolutbeloppet r. Genom att multiplicera båda led i Eulers formel med r får man ett nytt sätt att representera de komplexa talen.
reiv=r(cos(v)+isin(v))
Sätt in uttryck
z1z2=r1r2⋅ei(v1+v2)
Multiplicera faktorer
a=33⋅a
Addera bråk
Sätt in uttryck
z2z1=r2r1⋅ei(v1−v2)
Beräkna kvot
Subtrahera bråk
Ange argument för w.
Absolutbeloppet för ett komplext tal är samma sak som avståndet till talet från origo. Argumentet beskrivs av vinkeln mellan den positiva reella axeln och avståndet till talet. z=re^(iv), |z|=r, arg(z)=v Vi kan identifiera radien och vinkeln om vi tittar på talet w. Radien är talet framför potensen och vinkeln är talet som multipliceras med i i exponenten. w=2e^(iπ), |w|=2, arg(w)=π
På samma sätt som i förra uppgiften identifierar vi absolutbeloppet och argumentet. I exponentiell form motsvarar r absolutbeloppet och argumentet är vinkeln v.
w=0.5e^(.iπ /5.), |w|=0.5, arg(w)=π/5
När man multiplicerar komplexa tal multipliceras absolutbeloppen och argumenten adderas.
Vi får alltså
z * u = 6e^(i7π/12).
Vid division av komplexa tal dividerar man absolutbeloppen och subtraherar argumenten.
Vi har nu dividerat ihop talen men kan notera att argumentet - 5π/4 är negativt. Om vi lägger till ett helt varv, 2π, kan vi få samma tal på enklare form. 2π kan skrivas som 8π/4, så vi lägger till det i argumentet. 6e^(i(- 5π/4)) = 6e^(i (- 5π/4 + 8π/4)) = 6e^(i 3π/4) Vi har nu kommit fram till att z/w = 6e^(i 3π/4).
Vi väljer att först beräkna kvoten u/z.
Vi multiplicerar nu w med kvoten vi precis beräknat.
Det här är vårt slutgiltiga svar.
Vi noterar först att faktorn u förekommer i både nämnaren och täljaren så vi kan förkorta bråket med u.
u^2 * z/w * u = u * z/w
Vi har också redan kommit fram till att
z/w = 6e^(i3π/4)
i andra deluppgiften. Därför delar vi upp vårt bråk.
u * z/w = u * z/w
Nu slipper vi en stor del av de beräkningar som skulle behövas för att bestämma täljare och nämnare var för sig.
Vi har alltså kommit fram till att u^2 * z/w * u = 12e^(i17π/12).
Skriv talet på exponentiell form.
För att kunna skriva ett tal på exponentiell form behöver vi känna till dess absolutbelopp r och argument v. Sedan skriver vi talet på formen re^(iv). Talet i ligger på den positiva imaginära axeln i det komplexa talplanet, vilket innebär att argumentet är π2.
Absolutbeloppet |i| är 1, eftersom i ligger 1 längdenhet från origo i det komplexa talplanet. Vi kan nu genomföra omskrivningen
i = e^(.iπ /2.).
- 2i ligger istället på den negativa imaginära axeln i det komplexa talplanet. Dess argument är alltså - π2.
Talet har nu koefficienten - 2, vi får därmed |- 2i| = 2. Vi känner nu till argument och absolutbelopp, och skriver därmed om talet som
- 2i = 2e^(.- iπ /2.).
Notera att vinkeln 3π2 pekar på samma ställe i enhetscirkeln som - π2, och kan därför användas istället för - π2 om det föredras.
Talet - 5 ligger på den negativa reella axeln i det komplexa talplanet och har därför argumentet π. Vi får även att |- 5| = 5. På exponentiell form är därför talet
- 5 = 5e^(iπ).
För det här talet kan vi inte läsa av argumentet och absolutbeloppet lika enkelt. Istället behöver vi beräkna dem. Vi börjar med absolutbeloppet eftersom det behövs när argumentet beräknas.
Absolutbeloppet är alltså sqrt(2). Vi beräknar nu talets argument.
Nu vet vi även att talets argument är 3π4. Vi är därmed redo att skriva talet på exponentiell form:
- 1 + i = sqrt(2)e^(.i3π /4.).
Skriv talet z på formen a+bi. Svara exakt.
Eulers formel säger att e^(iv)=cos(v)+isin(v). I vårt fall är v= π4 och vi kan sätta in den vinkeln och på så sätt bestämma z på formen a+bi.
Talet z kan alltså skrivas som 1sqrt(2)+ isqrt(2).
Nu har vi ett värde framför talet e och vill då använda exponentiell form.
re^(iπ)=r(cos(v)+isin(v))
Vinkeln är v= π3 och r=7. Vi sätter in värdena i formeln och beräknar.
Talet z kan alltså skrivas som 72+ 7sqrt(3)i2.
Vi gör på samma sätt som i förra uppgiften men nu är vinkeln är v= π6 och absolutbeloppet r=3. Sätt in värdena i exponentiell form.
Talet z kan alltså skrivas som 3sqrt(3)2+ 3i2.
Bestäm ett exakt värde för w på formen a+bi.
Talet w består av två likadana termer som vi kan slå ihop till en summa. w =e^(i.π /2.)+e^(i.π /2.)=2e^(i.π /2.) Genom avläsning ser vi att absolutbeloppet är 2 och argumentet är π/2. Vi kan nu skriva om w med omskrivningen av exponentiell form och beräkna uttrycket för att få det på formen a+bi.
Talet w kan alltså skrivas som 2i. Det står på formen a+bi där a=0.
Talet w består av två tal som står på Eulers formel. Vi kan dela upp w i talen w_1 och w_2.
w=w_1 - w_2, w_1=e^(i.π /3.), w_2=e^(i.π /6.)
Vi skriver nu om w_1 och w_2 med Eulers formel och beräknar för att få dem på formen a+bi. Vi börjar med w_1.
Nu har vi skrivit om w_1 på formen a+bi och gör samma sak med w_2.
Nu står både w_1 och w_2 och vi kan utföra subtraktionen w=w_1-w_2.
Det betyder att w kan skrivas som 1-sqrt(3)2+ (sqrt(3)-1)i2. Vi beräknar inte bråken eftersom vi ska svara exakt.
Vi börjar med att flytta över 1 för att få e^(iπ) ensamt i vänsterledet. e^(iπ)+1=0 ⇔ e^(iπ)=-1 För att visa att sambandet stämmer kan vi nu använda Eulers formel med vinkeln v=π för att skriva om vänsterledet.
Vi har nu visat att e^(iπ) går att skriva om till -1 och alltså stämmer likheten. Det går även att använda enhetscirkeln i det komplexa talplanet. Realdelen är cos(π)=-1 och imaginärdelen sin(π)=0 och vi hamnar då på punkten (-1,0).