Derivator av trigonometriska funktioner

Många verkliga fenomen, t.ex. ljudvågor, kan modelleras med trigonometriska funktioner. Deras derivator är därför viktiga för att avgöra hur dessa fenomen förändras vid olika tidpunkter. Deriveringsregeln för

sin (x)

kan härledas med derivatans definition och sedan användas för att bestämma derivatan av

cos (x) .

Härledningen för derivatan av

tan (x)

kan i sin tur göras med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus.

Bevis

Derivatan av $sin (x)$

När man deriverar $sin (x)$ får man en annan trigonometrisk funktion, $cos (x) .$

Härledning

D (sin (x)) = cos (x)

För att härleda derivatan används derivatans definition:

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} .

Eftersom

f (x)

i det här fallet är

sin (x)

är

f (x + h) = sin (x + h) .

När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{sin ( x + h ) - sin ( x )}{h}

SinAdd

$sin (u + v) = sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v)$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{sin ( x ) cos ( h ) + cos ( x ) sin ( h ) - sin ( x )}{h}

RearrangeTerms

Omarrangera termer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{sin ( x ) cos ( h ) - sin ( x ) + cos ( x ) sin ( h )}{h}

FactorOut

Bryt ut $sin (x)$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{sin ( x ) ( cos ( h ) - 1 ) + cos ( x ) sin ( h )}{h}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

f^{'} (x) = h \to 0 lim (\frac{sin ( x ) ( cos ( h ) - 1 )}{h} + \frac{cos ( x ) sin ( h )}{h})

WriteSumLim

Dela upp gränsvärde

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{sin ( x ) ( cos ( h ) - 1 )}{h} + h \to 0 lim \frac{cos ( x ) sin ( h )}{h}

I gränsvärdena finns nu både

sin (x)

och

cos (x) .

Dessa förändras inte när

h

går mot

0

så de kan flyttas ut utanför gränsvärdena.

h \to 0 lim \frac{sin ( x ) ( cos ( h ) - 1 )}{h} + h \to 0 lim \frac{cos ( x ) sin ( h )}{h} = sin (x) h \to 0 lim \frac{( cos ( h ) - 1 )}{h} + cos (x) h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h}

Nu har man två gränsvärden kvar och i dessa finns

cos (h),

sin (h)

och

h .

Man kan undersöka gränsvärdena numeriskt genom att sätta in mindre och mindre

h .

Men ska räknaren vara inställd på grader eller radianer? För att kunna avgöra det undersöks båda.

$h$ (grader)	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$\to 0$
$\frac{cos ( h ) - 1}{h}$	$\sim - 0.000015$	$\sim - 0.0000015$	$\sim - 0.00000015$	$\to 0$
$\frac{sin ( h )}{h}$	$\sim 0.0174532837$	$\sim 0.0174532924$	$\sim 0.0174532925$	$\to \sim 0.0174532925$
$h$ (radianer)	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$\to 0$
$\frac{cos ( h ) - 1}{h}$	$\sim - 0.0499583472$	$\sim - 0.0049999583$	$\sim - 0.00049999996$	$\to 0$
$\frac{sin ( h )}{h}$	$\sim 0.9983341665$	$\sim 0.9999833334$	$\sim 0.9999998333$	$\to 1$

Man får olika gränsvärden beroende på om $h$ anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln $D (sin (x)) \approx sin (x) \cdot 0 + cos (x) \cdot 0.0174532925 = 0.0174532925 cos (x)$ och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln $D (sin (x)) = sin (x) \cdot 0 + cos (x) \cdot 1 = cos (x) .$ Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln $D (sin (x)) = cos (x)$ som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.

Bevis

Derivatan av $cos (x)$

Deriverar man $cos (x)$ får man sinusfunktionen $- sin (x) .$ Man kan bevisa detta t.ex. genom att skriva om $cos (x)$ som en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln.

Härledning

D (cos (x)) = - sin (x)

Till att börja med kan man göra omskrivningen

cos (x) = sin (x + \frac{π}{2}) .

Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är

y = sin (u)

och inre funktionen

u = x + \frac{π}{2} .

Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för

sin (x) .

D (cos (x)) = D (sin (x + \frac{π}{2}))

DeriveSinChain

$D (sin (u)) = cos (u) \cdot D (u)$

D (cos (x)) = cos (x + \frac{π}{2}) \cdot D (x + \frac{π}{2})

DeriveSum

Derivera term för term

D (cos (x)) = cos (x + \frac{π}{2}) \cdot (D (x) + D (\frac{π}{2}))

DeriveConst

$D (a) = 0$

D (cos (x)) = cos (x + \frac{π}{2}) \cdot D (x)

DeriveX

$D (x) = 1$

D (cos (x)) = cos (x + \frac{π}{2})

Med det trigonometriska sambandet

cos (x + \frac{π}{2}) = - sin (x)

får man till sist deriveringsregeln

D (cos (x)) = - sin (x) .

Bevis

Derivatan av $tan (x)$

Om man deriverar $tan (x)$ får man $\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} .$ Detta går att bevisa med kvotregeln om man skriver $tan (x)$ som kvoten av $sin (x)$ och $cos (x)$ .

Härledning

D (tan (x)) = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

När man gjort omskrivningen

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

kan man använda kvotregeln för att derivera.

D (tan (x)) = D (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})

DeriveQuot

$D (\frac{f}{g}) = \frac{D ( f ) \cdot g - f \cdot D ( g )}{g ^{2}}$

D (tan (x)) = \frac{D ( sin ( x ) ) \cdot cos ( x ) - sin ( x ) \cdot D ( cos ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

DeriveSin

$D (sin (v)) = cos (v)$

D (tan (x)) = \frac{cos ( x ) \cdot cos ( x ) - sin ( x ) \cdot D ( cos ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

DeriveCos

$D (cos (v)) = - sin (v)$

D (tan (x)) = \frac{cos ( x ) \cdot cos ( x ) - sin ( x ) \cdot ( - sin ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

MultNegNegOnePar

$- a (- b) = a \cdot b$

D (tan (x)) = \frac{cos ( x ) \cdot cos ( x ) + sin ( x ) \cdot sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multiply

Multiplicera faktorer

D (tan (x)) = \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

PythTrigId

$sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1$

D (tan (x)) = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Nu ser man att derivatan av

tan (x)

är

\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} .

Använd deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner

fullscreen

Uppgift

Bestäm $f^{'} (π)$ givet att $f (x) = sin (tan (x)) + sin (2 x) .$

Visa Lösning

Lösning

Vi börjar med att derivera funktionen. Båda termerna är sammansatta funktioner och deriveras med kedjeregeln. Första termen består av den yttre funktionen

y = sin (u)

och inre funktionen

u = tan (x) .

Den andra termen består av samma yttre funktion men har istället den inre funktionen

u = 2 x .

f (x) = sin (tan (x)) + sin (2 x)

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (sin (tan (x))) + D (sin (2 x))

DeriveSinChain

$D (sin (u)) = cos (u) \cdot D (u)$

f^{'} (x) = cos (tan (x)) \cdot D (tan (x)) + cos (2 x) \cdot D (2 x)

DeriveXCo

$D (a x) = a$

f^{'} (x) = cos (tan (x)) \cdot D (tan (x)) + cos (2 x) \cdot 2

DeriveTan

$D (tan (v)) = \frac{1}{cos ^{2} ( v )}$

f^{'} (x) = cos (tan (x)) \cdot \frac{1}{cos ^{2} ( x )} + cos (2 x) \cdot 2

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = \frac{cos ( tan ( x ) )}{cos ^{2} ( x )} + 2 cos (x)

Nu sätter vi in

x = π

i derivatan för att bestämma

f^{'} (π) .

f^{'} (x) = \frac{cos ( tan ( x ) )}{cos ^{2} ( x )} + 2 cos (x)

Substitute

$x = π$

f^{'} (π) = \frac{cos ( tan ( π ) )}{cos ^{2} ( π )} + 2 cos (π)

TanRad

${\textstyle \ifnumequal{180}{0}{\tan\left(0\right)=0}{}\ifnumequal{180}{30}{\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{}\ifnumequal{180}{45}{\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1}{}\ifnumequal{180}{60}{\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}}{}\ifnumequal{180}{90}{\tan\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \ \text{odef.}}{}\ifnumequal{180}{120}{\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\text{-} \sqrt{3}}{}\ifnumequal{180}{135}{\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\text{-} 1}{}\ifnumequal{180}{150}{\tan\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\text{-} \dfrac{1}{\sqrt{3}}}{}\ifnumequal{180}{180}{\tan\left(\pi\right)=0}{}\ifnumequal{180}{270}{\tan\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \ \text{odef.}}{}\ifnumequal{180}{360}{\tan\left(2\pi\right)=0}{}}$

f^{'} (π) = \frac{cos ( 0 )}{cos ^{2} ( π )} + 2 cos (π)

CosRad

${\textstyle \ifnumequal{0}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{0}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{0}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{0}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{0}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{0}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\text{-} \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{0}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\text{-} \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{0}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\text{-} \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{0}{180}{\cos\left(\pi\right)=\text{-} 1}{}\ifnumequal{0}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=\text{-} \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{0}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\text{-} \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{0}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=\text{-} \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{0}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{0}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{0}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{0}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{0}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}}$

f^{'} (π) = \frac{1}{cos ^{2} ( π )} + 2 cos (π)

CosRad

${\textstyle \ifnumequal{180}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{180}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\text{-} \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\text{-} \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\text{-} \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{180}{\cos\left(\pi\right)=\text{-} 1}{}\ifnumequal{180}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=\text{-} \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\text{-} \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=\text{-} \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{180}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{180}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}}$

f^{'} (π) = \frac{1}{( - 1 ) ^{2}} + 2 (- 1)

SimpPowProd

Förenkla potens & produkt

f^{'} (π) = \frac{1}{1} + (- 2)

CalcQuot

Beräkna kvot

f^{'} (π) = 1 + (- 2)

AddNeg

$a + (- b) = a - b$

f^{'} (π) = - 1

Härledning

Härledning

Härledning

Exempel

Använd deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner