Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Derivator av trigonometriska funktioner

Många verkliga fenomen, t.ex. ljudvågor, kan modelleras med trigonometriska funktioner. Deras derivator är därför viktiga för att avgöra hur dessa fenomen förändras vid olika tidpunkter. Deriveringsregeln för sin(x)\sin(x) kan härledas med derivatans definition och sedan användas för att bestämma derivatan av cos(x).\cos(x). Härledningen för derivatan av tan(x)\tan(x) kan i sin tur göras med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus.
Bevis

Derivatan av sin(x)\sin(x)

När man deriverar sin(x)\sin(x) får man en annan trigonometrisk funktion, cos(x).\cos(x).

Härledning

info
D(sin(x))=cos(x)D(\sin(x))=\cos(x)
För att härleda derivatan används derivatans definition: f(x)=limh0f(x+h)f(x)h. f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Eftersom f(x)f(x) i det här fallet är sin(x)\sin(x) är f(x+h)=sin(x+h).f(x+h)=\sin(x+h). När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h\displaystyle f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
f(x)=limh0sin(x+h)sin(x)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
f(x)=limh0sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)sin(x)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}
f(x)=limh0sin(x)cos(h)sin(x)+cos(x)sin(h)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)-\sin(x)+\cos(x)\sin(h)}{h}
f(x)=limh0sin(x)(cos(h)1)+cos(x)sin(h)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)+\cos(x)\sin(h)}{h}
f(x)=limh0(sin(x)(cos(h)1)h+cos(x)sin(h)h)f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}\right)
f(x)=limh0sin(x)(cos(h)1)h+limh0cos(x)sin(h)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}
I gränsvärdena finns nu både sin(x)\sin(x) och cos(x).\cos(x). Dessa förändras inte när hh går mot 00 så de kan flyttas ut utanför gränsvärdena. limh0sin(x)(cos(h)1)h+limh0cos(x)sin(h)h=sin(x)limh0(cos(h)1)h+cos(x)limh0sin(h)h\begin{aligned} &\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}=\\ &\sin(x)\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(\cos(h)-1)}{h}+\cos(x)\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(h)}{h} \end{aligned} Nu har man två gränsvärden kvar och i dessa finns cos(h),\cos(h), sin(h)\sin(h) och h.h. Man kan undersöka gränsvärdena numeriskt genom att sätta in mindre och mindre h.h. Men ska räknaren vara inställd på grader eller radianer? För att kunna avgöra det undersöks båda.
hh (grader) 0.10.1 0.010.01 0.0010.001 0\to 0
cos(h)1h\dfrac{\cos(h)-1}{h} -0.000015\sim \text{-}0.000015 -0.0000015\sim\text{-} 0.0000015 -0.00000015\sim\text{-}0.00000015 0\to 0
sin(h)h\dfrac{\sin(h)}{h} 0.0174532837\sim0.0174532837 0.0174532924\sim0.0174532924 0.0174532925\sim0.0174532925 0.0174532925\to \sim0.0174532925
hh (radianer) 0.10.1 0.010.01 0.0010.001 0\to 0
cos(h)1h\dfrac{\cos(h)-1}{h} -0.0499583472\sim \text{-}0.0499583472 -0.0049999583\sim\text{-} 0.0049999583 -0.00049999996\sim\text{-}0.00049999996 0\to 0
sin(h)h\dfrac{\sin(h)}{h} 0.9983341665\sim0.9983341665 0.9999833334\sim0.9999833334 0.9999998333\sim0.9999998333 1\to 1

Man får olika gränsvärden beroende på om hh anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln D(sin(x))sin(x)0+cos(x)0.0174532925=0.0174532925cos(x) D(\sin(x))\approx\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 0.0174532925=0.0174532925\cos(x) och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln D(sin(x))=sin(x)0+cos(x)1=cos(x). D(\sin(x))=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos(x). Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln D(sin(x))=cos(x)D(\sin(x))=\cos(x) som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.

Bevis

Derivatan av cos(x)\cos(x)

Deriverar man cos(x)\cos(x) får man sinusfunktionen -sin(x).\text{-}\sin(x). Man kan bevisa detta t.ex. genom att skriva om cos(x)\cos(x) som en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln.

Härledning

info
D(cos(x))=-sin(x)D(\cos(x))=\text{-} \sin(x)
Till att börja med kan man göra omskrivningen cos(x)=sin(x+π2). \cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right). Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är y=sin(u)y=\sin(u) och inre funktionen u=x+π2.u=x+\frac{\pi}{2}. Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för sin(x).\sin(x).
D(cos(x))=D(sin(x+π2))D(\cos(x))=D\left(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)
D(cos(x))=cos(x+π2)D(x+π2)D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot D\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)
D(cos(x))=cos(x+π2)(D(x)+D(π2))D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot \left(D(x)+D\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)
D(cos(x))=cos(x+π2)D(x)D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot D(x)
D(cos(x))=cos(x+π2)D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)
Med det trigonometriska sambandet cos(x+π2)=-sin(x) \cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = \text{-} \sin(x) får man till sist deriveringsregeln D(cos(x))=-sin(x).D(\cos(x)) = \text{-} \sin(x).
Bevis

Derivatan av tan(x)\tan(x)

Om man deriverar tan(x)\tan(x) får man 1cos2(x).\frac{1}{\cos^2(x)}. Detta går att bevisa med kvotregeln om man skriver tan(x)\tan(x) som kvoten av sin(x)\sin(x) och cos(x)\cos(x).

Härledning

info
D(tan(x))=1cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{1}{\cos^2(x)}
När man gjort omskrivningen tan(x)=sin(x)cos(x) \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} kan man använda kvotregeln för att derivera.
D(tan(x))=D(sin(x)cos(x))D(\tan(x))=D\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)
D(tan(x))=D(sin(x))cos(x)sin(x)D(cos(x))cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{D(\sin(x))\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot D(\cos(x))}{\cos^2(x)}
D(tan(x))=cos(x)cos(x)sin(x)D(cos(x))cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot D(\cos(x))}{\cos^2(x)}
D(tan(x))=cos(x)cos(x)sin(x)(-sin(x))cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot (\text{-}\sin(x))}{\cos^2(x)}
D(tan(x))=cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\sin(x)}{\cos^2(x)}
D(tan(x))=cos2(x)+sin2(x)cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
D(tan(x))=1cos2(x)D(\tan(x))=\dfrac{1}{\cos^2(x)}
Nu ser man att derivatan av tan(x)\tan(x) är 1cos2(x).\frac{1}{\cos^2(x)}.
Uppgift

Bestäm f(π)f'(\pi) givet att f(x)=sin(tan(x))+sin(2x). f(x)=\sin(\tan(x))+\sin(2x).

Lösning
Vi börjar med att derivera funktionen. Båda termerna är sammansatta funktioner och deriveras med kedjeregeln. Första termen består av den yttre funktionen y=sin(u)y=\sin(u) och inre funktionen u=tan(x).u=\tan(x). Den andra termen består av samma yttre funktion men har istället den inre funktionen u=2x.u=2x.
f(x)=sin(tan(x))+sin(2x)f(x)=\sin(\tan(x))+\sin(2x)
f(x)=D(sin(tan(x)))+D(sin(2x))f'(x)=D(\sin(\tan(x)))+D(\sin(2x))
f(x)=cos(tan(x))D(tan(x))+cos(2x)D(2x)f'(x)=\cos(\tan(x))\cdot D(\tan(x))+\cos(2x)\cdot D(2x)
f(x)=cos(tan(x))D(tan(x))+cos(2x)2f'(x)=\cos(\tan(x))\cdot D(\tan(x))+\cos(2x)\cdot 2
f(x)=cos(tan(x))1cos2(x)+cos(2x)2f'(x)=\cos(\tan(x))\cdot \dfrac{1}{\cos^2(x)}+\cos(2x)\cdot 2
f(x)=cos(tan(x))cos2(x)+2cos(x)f'(x)=\dfrac{\cos(\tan(x))}{\cos^2(x)}+2\cos(x)
Nu sätter vi in x=πx=\pi i derivatan för att bestämma f(π).f'(\pi).
f(x)=cos(tan(x))cos2(x)+2cos(x)f'(x)=\dfrac{\cos(\tan(x))}{\cos^2(x)}+2\cos(x)
f(π)=cos(tan(π))cos2(π)+2cos(π)f'({\color{#0000FF}{\pi}})=\dfrac{\cos(\tan({\color{#0000FF}{\pi}}))}{\cos^2({\color{#0000FF}{\pi}})}+2\cos({\color{#0000FF}{\pi}})
f(π)=cos(0)cos2(π)+2cos(π)f'(\pi)=\dfrac{\cos(0)}{\cos^2(\pi)}+2\cos(\pi)
f(π)=1cos2(π)+2cos(π)f'(\pi)=\dfrac{1}{\cos^2(\pi)}+2\cos(\pi)
f(π)=1(-1)2+2(-1)f'(\pi)=\dfrac{1}{(\text{-}1)^2}+2(\text{-}1)
f(π)=11+(-2)f'(\pi)=\dfrac{1}{1}+(\text{-}2)
f(π)=1+(-2)f'(\pi)=1+(\text{-}2)
f(π)=-1f'(\pi)=\text{-}1
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward