{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Deriveringsregler

Välj kurs
Matte 4
Deriveringsregler
Derivator av trigonometriska funktioner

Derivator av trigonometriska funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Många verkliga fenomen, t.ex. ljudvågor, kan modelleras med trigonometriska funktioner. Deras derivator är därför viktiga för att avgöra hur dessa fenomen förändras vid olika tidpunkter. Deriveringsregeln för sin⁡(x)\sin(x) kan härledas med derivatans definition och sedan användas för att bestämma derivatan av cos⁡(x).\cos(x). Härledningen för derivatan av tan⁡(x)\tan(x) kan i sin tur göras med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus.
Bevis

Derivatan av sin⁡(x)\sin(x)

När man deriverar sin⁡(x)\sin(x) får man en annan trigonometrisk funktion, cos⁡(x).\cos(x).

Härledning
D(sin⁡(x))=cos⁡(x)D(\sin(x))=\cos(x)
För att härleda derivatan används derivatans definition: f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h. f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Eftersom f(x)f(x) i det här fallet är sin⁡(x)\sin(x) är f(x+h)=sin⁡(x+h).f(x+h)=\sin(x+h). När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
Sätt in uttryck
f′(x)=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡(x)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
sin⁡(u+v)=sin⁡(u)cos⁡(v)+cos⁡(u)sin⁡(v)\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)
f′(x)=lim⁡h→0sin⁡(x)cos⁡(h)+cos⁡(x)sin⁡(h)−sin⁡(x)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}
Omarrangera termer
f′(x)=lim⁡h→0sin⁡(x)cos⁡(h)−sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(h)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)-\sin(x)+\cos(x)\sin(h)}{h}
Bryt ut sin⁡(x)\sin(x)
f′(x)=lim⁡h→0sin⁡(x)(cos⁡(h)−1)+cos⁡(x)sin⁡(h)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)+\cos(x)\sin(h)}{h}
Dela upp bråk
f′(x)=lim⁡h→0(sin⁡(x)(cos⁡(h)−1)h+cos⁡(x)sin⁡(h)h)f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}\right)
Dela upp gränsvärde
f′(x)=lim⁡h→0sin⁡(x)(cos⁡(h)−1)h+lim⁡h→0cos⁡(x)sin⁡(h)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}
I gränsvärdena finns nu både sin⁡(x)\sin(x) och cos⁡(x).\cos(x). Dessa förändras inte när hh går mot 00 så de kan flyttas ut utanför gränsvärdena. lim⁡h→0sin⁡(x)(cos⁡(h)−1)h+lim⁡h→0cos⁡(x)sin⁡(h)h=sin⁡(x)lim⁡h→0(cos⁡(h)−1)h+cos⁡(x)lim⁡h→0sin⁡(h)h\begin{aligned} &\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}=\\ &\sin(x)\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(\cos(h)-1)}{h}+\cos(x)\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(h)}{h} \end{aligned} Nu har man två gränsvärden kvar och i dessa finns cos⁡(h),\cos(h), sin⁡(h)\sin(h) och h.h. Man kan undersöka gränsvärdena numeriskt genom att sätta in mindre och mindre h.h. Men ska räknaren vara inställd på grader eller radianer? För att kunna avgöra det undersöks båda.
hh (grader) 0.10.1 0.010.01 0.0010.001 →0\to 0
cos⁡(h)−1h\dfrac{\cos(h)-1}{h} ∼-0.000015\sim \text{-}0.000015 ∼-0.0000015\sim\text{-} 0.0000015 ∼-0.00000015\sim\text{-}0.00000015 →0\to 0
sin⁡(h)h\dfrac{\sin(h)}{h} ∼0.0174532837\sim0.0174532837 ∼0.0174532924\sim0.0174532924 ∼0.0174532925\sim0.0174532925 →∼0.0174532925\to \sim0.0174532925
hh (radianer) 0.10.1 0.010.01 0.0010.001 →0\to 0
cos⁡(h)−1h\dfrac{\cos(h)-1}{h} ∼-0.0499583472\sim \text{-}0.0499583472 ∼-0.0049999583\sim\text{-} 0.0049999583 ∼-0.00049999996\sim\text{-}0.00049999996 →0\to 0
sin⁡(h)h\dfrac{\sin(h)}{h} ∼0.9983341665\sim0.9983341665 ∼0.9999833334\sim0.9999833334 ∼0.9999998333\sim0.9999998333 →1\to 1

Man får olika gränsvärden beroende på om hh anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln D(sin⁡(x))≈sin⁡(x)⋅0+cos⁡(x)⋅0.0174532925=0.0174532925cos⁡(x) D(\sin(x))\approx\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 0.0174532925=0.0174532925\cos(x) och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln D(sin⁡(x))=sin⁡(x)⋅0+cos⁡(x)⋅1=cos⁡(x). D(\sin(x))=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos(x). Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln D(sin⁡(x))=cos⁡(x)D(\sin(x))=\cos(x) som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.

Bevis

Derivatan av cos⁡(x)\cos(x)

Deriverar man cos⁡(x)\cos(x) får man sinusfunktionen -sin⁡(x).\text{-}\sin(x). Man kan bevisa detta t.ex. genom att skriva om cos⁡(x)\cos(x) som en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln.

Härledning
D(cos⁡(x))=-sin⁡(x)D(\cos(x))=\text{-} \sin(x)
Till att börja med kan man göra omskrivningen cos⁡(x)=sin⁡(x+π2). \cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right). Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är y=sin⁡(u)y=\sin(u) och inre funktionen u=x+π2.u=x+\frac{\pi}{2}. Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för sin⁡(x).\sin(x).
D(cos⁡(x))=D(sin⁡(x+π2))D(\cos(x))=D\left(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)
D(sin⁡(u))=cos⁡(u)⋅D(u)D\left( \sin(u) \right) = \cos(u)\cdot D(u)
D(cos⁡(x))=cos⁡(x+π2)⋅D(x+π2)D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot D\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)
Derivera term för term
D(cos⁡(x))=cos⁡(x+π2)⋅(D(x)+D(π2))D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot \left(D(x)+D\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)
D(a)=0D(a) = 0
D(cos⁡(x))=cos⁡(x+π2)⋅D(x)D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot D(x)
D(x)=1D\left(x\right) = 1
D(cos⁡(x))=cos⁡(x+π2)D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)
Med det trigonometriska sambandet cos⁡(x+π2)=-sin⁡(x) \cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = \text{-} \sin(x) får man till sist deriveringsregeln D(cos⁡(x))=-sin⁡(x).D(\cos(x)) = \text{-} \sin(x).
Bevis

Derivatan av tan⁡(x)\tan(x)

Om man deriverar tan⁡(x)\tan(x) får man 1cos⁡2(x).\frac{1}{\cos^2(x)}. Detta går att bevisa med kvotregeln om man skriver tan⁡(x)\tan(x) som kvoten av sin⁡(x)\sin(x) och cos⁡(x)\cos(x).

Härledning
D(tan⁡(x))=1cos⁡2(x)D(\tan(x))=\dfrac{1}{\cos^2(x)}
När man gjort omskrivningen tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x) \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} kan man använda kvotregeln för att derivera.
D(tan⁡(x))=D(sin⁡(x)cos⁡(x))D(\tan(x))=D\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)
D(fg)=D(f)⋅g−f⋅D(g)g2D\left(\dfrac{f}{g}\right) = \dfrac{D(f)\cdot g - f\cdot D(g)}{g^2}
D(tan⁡(x))=D(sin⁡(x))⋅cos⁡(x)−sin⁡(x)⋅D(cos⁡(x))cos⁡2(x)D(\tan(x))=\dfrac{D(\sin(x))\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot D(\cos(x))}{\cos^2(x)}
D(sin⁡(v))=cos⁡(v)D\left( \sin(v) \right) = \cos(v)
D(tan⁡(x))=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)−sin⁡(x)⋅D(cos⁡(x))cos⁡2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot D(\cos(x))}{\cos^2(x)}
D(cos⁡(v))=-sin⁡(v)D\left( \cos(v) \right) = \text{-} \sin(v)
D(tan⁡(x))=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)−sin⁡(x)⋅(-sin⁡(x))cos⁡2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot (\text{-}\sin(x))}{\cos^2(x)}
-a(-b)=a⋅b\text{-} a(\text{-} b)=a\cdot b
D(tan⁡(x))=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)+sin⁡(x)⋅sin⁡(x)cos⁡2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\sin(x)}{\cos^2(x)}
Multiplicera faktorer
D(tan⁡(x))=cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)D(\tan(x))=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
sin⁡2(v)+cos⁡2(v)=1 \sin^2(v) + \cos^2(v) = 1
D(tan⁡(x))=1cos⁡2(x)D(\tan(x))=\dfrac{1}{\cos^2(x)}
Nu ser man att derivatan av tan⁡(x)\tan(x) är 1cos⁡2(x).\frac{1}{\cos^2(x)}.
Uppgift

Bestäm f′(π)f'(\pi) givet att f(x)=sin⁡(tan⁡(x))+sin⁡(2x). f(x)=\sin(\tan(x))+\sin(2x).

Lösning
Vi börjar med att derivera funktionen. Båda termerna är sammansatta funktioner och deriveras med kedjeregeln. Första termen består av den yttre funktionen y=sin⁡(u)y=\sin(u) och inre funktionen u=tan⁡(x).u=\tan(x). Den andra termen består av samma yttre funktion men har istället den inre funktionen u=2x.u=2x.
f(x)=sin⁡(tan⁡(x))+sin⁡(2x)f(x)=\sin(\tan(x))+\sin(2x)
Derivera funktion
f′(x)=D(sin⁡(tan⁡(x)))+D(sin⁡(2x))f'(x)=D(\sin(\tan(x)))+D(\sin(2x))
D(sin⁡(u))=cos⁡(u)⋅D(u)D\left( \sin(u) \right) = \cos(u)\cdot D(u)
f′(x)=cos⁡(tan⁡(x))⋅D(tan⁡(x))+cos⁡(2x)⋅D(2x)f'(x)=\cos(\tan(x))\cdot D(\tan(x))+\cos(2x)\cdot D(2x)
D(ax)=aD\left(ax\right) = a
f′(x)=cos⁡(tan⁡(x))⋅D(tan⁡(x))+cos⁡(2x)⋅2f'(x)=\cos(\tan(x))\cdot D(\tan(x))+\cos(2x)\cdot 2
D(tan⁡(v))=1cos⁡2(v)D\left( \tan(v) \right) = \dfrac{1}{\cos^2(v)}
f′(x)=cos⁡(tan⁡(x))⋅1cos⁡2(x)+cos⁡(2x)⋅2f'(x)=\cos(\tan(x))\cdot \dfrac{1}{\cos^2(x)}+\cos(2x)\cdot 2
Multiplicera faktorer
f′(x)=cos⁡(tan⁡(x))cos⁡2(x)+2cos⁡(x)f'(x)=\dfrac{\cos(\tan(x))}{\cos^2(x)}+2\cos(x)
Nu sätter vi in x=πx=\pi i derivatan för att bestämma f′(π).f'(\pi).
f′(x)=cos⁡(tan⁡(x))cos⁡2(x)+2cos⁡(x)f'(x)=\dfrac{\cos(\tan(x))}{\cos^2(x)}+2\cos(x)
x=πx={\color{#0000FF}{\pi}}
f′(π)=cos⁡(tan⁡(π))cos⁡2(π)+2cos⁡(π)f'({\color{#0000FF}{\pi}})=\dfrac{\cos(\tan({\color{#0000FF}{\pi}}))}{\cos^2({\color{#0000FF}{\pi}})}+2\cos({\color{#0000FF}{\pi}})
f′(π)=cos⁡(0)cos⁡2(π)+2cos⁡(π)f'(\pi)=\dfrac{\cos(0)}{\cos^2(\pi)}+2\cos(\pi)
f′(π)=1cos⁡2(π)+2cos⁡(π)f'(\pi)=\dfrac{1}{\cos^2(\pi)}+2\cos(\pi)
f′(π)=1(-1)2+2(-1)f'(\pi)=\dfrac{1}{(\text{-}1)^2}+2(\text{-}1)
Förenkla potens & produkt
f′(π)=11+(-2)f'(\pi)=\dfrac{1}{1}+(\text{-}2)
Beräkna kvot
f′(π)=1+(-2)f'(\pi)=1+(\text{-}2)
a+(-b)=a−ba+(\text{-} b)=a-b
f′(π)=-1f'(\pi)=\text{-}1
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera

a

f(x)=cos⁡(x)+sin⁡(x)f(x)=\cos(x) + \sin(x)

b

f(x)=11sin⁡(2x)f(x)=11\sin(2x)

c

f(x)=6cos⁡(x3)f(x)=6\cos \left( \dfrac{x}{3} \right)

d

f(x)=5tan⁡(x).f(x)=5\tan(x).

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera

a

f(x)=tan⁡(x2)f(x)=\tan \left(x^2 \right)

b

f(x)=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)f(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)

c

f(x)=x⋅sin⁡(x2+3)f(x)=x\cdot \sin\left( x^2+3 \right)

d

f(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)+tan⁡2(x).f(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)+\tan^2(x).

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f′′(π2)f'' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) då

a

f(x)=8sin⁡(x2)f(x)=8\sin \left( \dfrac{x}{2} \right)

b

f(x)=0.5cos⁡(3x).f(x)=0.5\cos(3x).

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ibland skriver man att derivatan till funktionen f(x)=tan⁡(x)f(x)=\tan(x) är f′(x)=1+tan⁡2(x).f'(x)=1+\tan^2(x). Visa att detta stämmer.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Temperaturen i en sjö uppmättes under ett molnigt sommardygn. Temperaturen visade sig följa funktionen y(t)=15+2sin⁡(0.26t)y(t)=15+2\sin(0.26t) där tt är antalet timmar efter kl. 12.00.12.00.

a

Bestäm y′(t).y'(t). Endast svar fordras.

b

Beräkna y′(10).y'(10). Endast svar fordras.

c

Tolka vad y′(10)y'(10) betyder för vattnets temperatur.

Nationella provet VT99 MaD
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vilket värde konstanten kk måste ha för att grafen till funktionen f(x)=3sin⁡(kx)f(x)=3\sin(kx) skall ha lutningen 0.50.5 i origo.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla f(x)+f′′(x)f(x)+ f''(x) om f(x)=4sin⁡(3x)−5cos⁡(x).f(x)=4\sin(3x) - 5\cos(x).

Nationella provet VT97 MaD
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen f′(x)=1f'(x)=1 om

a

f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x)

b

f(x)=2cos⁡(0.5x)f(x)=2\cos(0.5x)

c

f(x)=tan⁡(x+π4)f(x)=\tan \left( x+\dfrac{\pi}{4} \right)

d

f(x)=3sin⁡(3x7).f(x)=3\sin \left( \dfrac{3x}{7} \right).

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f′(x)f'(x) om f(x)=sin⁡2(cos⁡(x)).f(x)=\sin^2(\cos(x)).

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vid ett test av en ny motor mäter man motorns vibrationer vid olika varvtal. Vid en mätning vibrerade motorn i höjdled enligt funktionen f(t)=0.03sin⁡(60t)f(t)=0.03\sin(60t) där f(t)f(t) mäts i meter och tt i sekunder.

a

Bestäm vibrationernas acceleration som funktion av tiden.

b

Vilken är den maximala accelerationen?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet nedan syns grafen till funktionen y=f′(x).y=f'(x). Bestäm en möjlig funktion f(x).f(x).

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det finns tre trigonometriska funktioner som man inte ser så ofta i läroböcker: cotangens, sekant och cosekant. De definieras enligt följande: cotangenscot⁡(x)=1tan⁡(x)sekantsec⁡(x)=1cos⁡(x)cosekantcsc⁡(x)=1sin⁡(x).\begin{aligned} &\text{cotangens} & &\cot(x)=\frac{1}{\tan(x)} \\ &\text{sekant} & &\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)} \\ &\text{cosekant} & &\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}. \end{aligned}

a
Visa att D(sec⁡(x))=tan⁡(x)cos⁡(x).D(\sec(x))=\frac{\tan(x)}{\cos(x)}.
b
Hitta för funktionen f(x)=csc⁡(x)f(x)=\csc(x) samtliga lokala extrempunkter och bestäm deras karaktär då -2π<x<2π.\text{-} 2\pi<x<2\pi.
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Om man har funktionen f(x)=cos⁡(x)f(x)=\cos(x) och drar en tangent då x=px=p och en då x=-p,x=\text{-} p, där 0<p<π2,0<p<\frac{\pi}{2}, så kommer dessa tangenter tillsammans med x-x\text{-}axeln bilda en triangel. Bestäm denna triangels area.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}