När man deriverar sin(x) får man en annan trigonometrisk funktion, cos(x).
h (grader) | 0.1 | 0.01 | 0.001 | →0 |
---|---|---|---|---|
hcos(h)−1 | ∼-0.000015 | ∼-0.0000015 | ∼-0.00000015 | →0 |
hsin(h) | ∼0.0174532837 | ∼0.0174532924 | ∼0.0174532925 | →∼0.0174532925 |
h (radianer) | 0.1 | 0.01 | 0.001 | →0 |
hcos(h)−1 | ∼-0.0499583472 | ∼-0.0049999583 | ∼-0.00049999996 | →0 |
hsin(h) | ∼0.9983341665 | ∼0.9999833334 | ∼0.9999998333 | →1 |
Man får olika gränsvärden beroende på om h anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln D(sin(x))≈sin(x)⋅0+cos(x)⋅0.0174532925=0.0174532925cos(x) och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln D(sin(x))=sin(x)⋅0+cos(x)⋅1=cos(x). Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln D(sin(x))=cos(x) som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.
Deriverar man cos(x) får man sinusfunktionen -sin(x). Man kan bevisa detta t.ex. genom att skriva om cos(x) som en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln.
Om man deriverar tan(x) får man cos2(x)1. Detta går att bevisa med kvotregeln om man skriver tan(x) som kvoten av sin(x) och cos(x).
Bestäm f′(π) givet att f(x)=sin(tan(x))+sin(2x).