Derivator av trigonometriska funktioner

Många verkliga fenomen, t.ex. ljudvågor, kan modelleras med trigonometriska funktioner. Deras derivator är därför viktiga för att avgöra hur dessa fenomen förändras vid olika tidpunkter. Deriveringsregeln för

\sin(x)

kan härledas med derivatans definition och sedan användas för att bestämma derivatan av

\cos(x).

Härledningen för derivatan av

\tan(x)

kan i sin tur göras med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus.

Bevis

Derivatan av $\sin(x)$

När man deriverar $\sin(x)$ får man en annan trigonometrisk funktion, $\cos(x).$

Härledning
$D(\sin(x))=\cos(x)$

För att härleda derivatan används derivatans definition: $f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.$ Eftersom $f(x)$ i det här fallet är $\sin(x)$ är $f(x+h)=\sin(x+h).$ När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.

\displaystyle f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

Sätt in uttryck

f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}

\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)

f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}

Omarrangera termer

f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)-\sin(x)+\cos(x)\sin(h)}{h}

Bryt ut

\sin(x)

f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)+\cos(x)\sin(h)}{h}

Dela upp bråk

f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}\right)

Dela upp gränsvärde

f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}

I gränsvärdena finns nu både $\sin(x)$ och $\cos(x).$ Dessa förändras inte när $h$ går mot $0$ så de kan flyttas ut utanför gränsvärdena. $\begin{aligned} &\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}=\\ &\sin(x)\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(\cos(h)-1)}{h}+\cos(x)\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(h)}{h} \end{aligned}$ Nu har man två gränsvärden kvar och i dessa finns $\cos(h),$ $\sin(h)$ och $h.$ Man kan undersöka gränsvärdena numeriskt genom att sätta in mindre och mindre $h.$ Men ska räknaren vara inställd på grader eller radianer? För att kunna avgöra det undersöks båda.

$h$ (grader)	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$\to 0$
$\dfrac{\cos(h)-1}{h}$	$\sim \text{-}0.000015$	$\sim\text{-} 0.0000015$	$\sim\text{-}0.00000015$	$\to 0$
$\dfrac{\sin(h)}{h}$	$\sim0.0174532837$	$\sim0.0174532924$	$\sim0.0174532925$	$\to \sim0.0174532925$
$h$ (radianer)	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$\to 0$
$\dfrac{\cos(h)-1}{h}$	$\sim \text{-}0.0499583472$	$\sim\text{-} 0.0049999583$	$\sim\text{-}0.00049999996$	$\to 0$
$\dfrac{\sin(h)}{h}$	$\sim0.9983341665$	$\sim0.9999833334$	$\sim0.9999998333$	$\to 1$

Man får olika gränsvärden beroende på om $h$ anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln $D(\sin(x))\approx\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 0.0174532925=0.0174532925\cos(x)$ och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln $D(\sin(x))=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos(x).$ Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln $D(\sin(x))=\cos(x)$ som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.

Bevis

Derivatan av $\cos(x)$

Deriverar man $\cos(x)$ får man sinusfunktionen $\text{-}\sin(x).$ Man kan bevisa detta t.ex. genom att skriva om $\cos(x)$ som en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln.

Härledning
$D(\cos(x))=\text{-} \sin(x)$

Till att börja med kan man göra omskrivningen $\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right).$ Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är $y=\sin(u)$ och inre funktionen $u=x+\frac{\pi}{2}.$ Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för $\sin(x).$

D(\cos(x))=D\left(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)

D\left( \sin(u) \right) = \cos(u)\cdot D(u)

D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot D\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)

Derivera term för term

D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot \left(D(x)+D\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)

D(a) = 0

D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot D(x)

D\left(x\right) = 1

D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)

Med det trigonometriska sambandet $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = \text{-} \sin(x)$ får man till sist deriveringsregeln $D(\cos(x)) = \text{-} \sin(x).$

Bevis

Derivatan av $\tan(x)$

Om man deriverar $\tan(x)$ får man $\frac{1}{\cos^2(x)}.$ Detta går att bevisa med kvotregeln om man skriver $\tan(x)$ som kvoten av $\sin(x)$ och $\cos(x)$ .

Härledning
$D(\tan(x))=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$

När man gjort omskrivningen $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ kan man använda kvotregeln för att derivera.

D(\tan(x))=D\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)

D\left(\dfrac{f}{g}\right) = \dfrac{D(f)\cdot g - f\cdot D(g)}{g^2}

D(\tan(x))=\dfrac{D(\sin(x))\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot D(\cos(x))}{\cos^2(x)}

D\left( \sin(v) \right) = \cos(v)

D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot D(\cos(x))}{\cos^2(x)}

D\left( \cos(v) \right) = \text{-} \sin(v)

D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot (\text{-}\sin(x))}{\cos^2(x)}

\text{-} a(\text{-} b)=a\cdot b

D(\tan(x))=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\sin(x)}{\cos^2(x)}

Multiplicera faktorer

D(\tan(x))=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}

\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1

D(\tan(x))=\dfrac{1}{\cos^2(x)}

Nu ser man att derivatan av $\tan(x)$ är $\frac{1}{\cos^2(x)}.$

Använd deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner

Uppgift

Bestäm $f'(\pi)$ givet att $f(x)=\sin(\tan(x))+\sin(2x).$

Lösning

Vi börjar med att derivera funktionen. Båda termerna är sammansatta funktioner och deriveras med kedjeregeln. Första termen består av den yttre funktionen $y=\sin(u)$ och inre funktionen $u=\tan(x).$ Den andra termen består av samma yttre funktion men har istället den inre funktionen $u=2x.$

f(x)=\sin(\tan(x))+\sin(2x)

Derivera funktion

f'(x)=D(\sin(\tan(x)))+D(\sin(2x))

D\left( \sin(u) \right) = \cos(u)\cdot D(u)

f'(x)=\cos(\tan(x))\cdot D(\tan(x))+\cos(2x)\cdot D(2x)

D\left(ax\right) = a

f'(x)=\cos(\tan(x))\cdot D(\tan(x))+\cos(2x)\cdot 2

D\left( \tan(v) \right) = \dfrac{1}{\cos^2(v)}

f'(x)=\cos(\tan(x))\cdot \dfrac{1}{\cos^2(x)}+\cos(2x)\cdot 2

Multiplicera faktorer

f'(x)=\dfrac{\cos(\tan(x))}{\cos^2(x)}+2\cos(x)

Nu sätter vi in $x=\pi$ i derivatan för att bestämma $f'(\pi).$

f'(x)=\dfrac{\cos(\tan(x))}{\cos^2(x)}+2\cos(x)

x={\color{#0000FF}{\pi}}

f'({\color{#0000FF}{\pi}})=\dfrac{\cos(\tan({\color{#0000FF}{\pi}}))}{\cos^2({\color{#0000FF}{\pi}})}+2\cos({\color{#0000FF}{\pi}})

f'(\pi)=\dfrac{\cos(0)}{\cos^2(\pi)}+2\cos(\pi)

f'(\pi)=\dfrac{1}{\cos^2(\pi)}+2\cos(\pi)

f'(\pi)=\dfrac{1}{(\text{-}1)^2}+2(\text{-}1)

Förenkla potens & produkt

f'(\pi)=\dfrac{1}{1}+(\text{-}2)

Beräkna kvot

f'(\pi)=1+(\text{-}2)

a+(\text{-} b)=a-b

f'(\pi)=\text{-}1

Visa lösning

Derivator av trigonometriska funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Derivatan av $\sin(x)$

Härledning

Derivatan av $\cos(x)$

Härledning

Derivatan av $\tan(x)$

Härledning

Exempel

Använd deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Deriveringsregler

Härledning

Härledning

Härledning

Exempel

Använd deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}