Derivator av trigonometriska funktioner

För att härleda derivatan används derivatans definition: $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$ Eftersom $f(x)$ i det här fallet är $\sin (x)$ är $f(x+h)=\sin (x+h).$ När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren. I gränsvärdena finns nu både $\sin (x)$ och $\cos (x).$ Dessa förändras inte när $h$ går mot $0$ så de kan flyttas ut utanför gränsvärdena. $$\begin{array}{rl}& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)(\cos (h)-1)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\sin (h)}{h}=\\ & \sin (x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(\cos (h)-1)}{h}+\cos (x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}\end{array}$$ Nu har man två gränsvärden kvar och i dessa finns $\cos (h),$ $\sin (h)$ och $h.$ Man kan undersöka gränsvärdena numeriskt genom att sätta in mindre och mindre $h.$ Men ska räknaren vara inställd på grader eller radianer? För att kunna avgöra det undersöks båda.

$h$ (grader)	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$\to 0$
$\frac{\cos (h)-1}{h}$	$\sim \text{-}0.000015$	$\sim \text{-}0.0000015$	$\sim \text{-}0.00000015$	$\to 0$
$\frac{\sin (h)}{h}$	$\sim 0.0174532837$	$\sim 0.0174532924$	$\sim 0.0174532925$	$\to \sim 0.0174532925$
$h$ (radianer)	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$\to 0$
$\frac{\cos (h)-1}{h}$	$\sim \text{-}0.0499583472$	$\sim \text{-}0.0049999583$	$\sim \text{-}0.00049999996$	$\to 0$
$\frac{\sin (h)}{h}$	$\sim 0.9983341665$	$\sim 0.9999833334$	$\sim 0.9999998333$	$\to 1$

Man får olika gränsvärden beroende på om $h$ anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln $$D(\sin (x))\approx \sin (x)\cdot 0+\cos (x)\cdot 0.0174532925=0.0174532925\cos (x)$$ och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln $$D(\sin (x))=\sin (x)\cdot 0+\cos (x)\cdot 1=\cos (x).$$ Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln $D(\sin (x))=\cos (x)$ som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.

Till att börja med kan man göra omskrivningen $$\cos (x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right).$$ Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är $y=\sin (u)$ och inre funktionen $u=x+\frac{\pi }{2}.$ Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för $\sin (x).$ Med det trigonometriska sambandet $$\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\text{-}\sin (x)$$ får man till sist deriveringsregeln $D(\cos (x))=\text{-}\sin (x).$

När man gjort omskrivningen $$\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$$ kan man använda kvotregeln för att derivera. Nu ser man att derivatan av $\tan (x)$ är $\frac{1}{{\cos }^2(x)}.$