6. Derivator av trigonometriska funktioner
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
6.
Derivator av trigonometriska funktioner
Innehållet handlar om derivator av trigonometriska funktioner, vilket är viktigt för att förstå hur olika fenomen, såsom ljudvågor, som förändras över tid. Det förklaras hur man kan härleda derivatans regel för sin(x) och använda den för att bestämma derivatan av cos(x). Vidare diskuteras hur man kan härleda derivatan av tan(x) med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus. Sidan förklarar också hur man kan omvandla cos(x) till en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln för att härleda dess derivata.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 6 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Derivator av trigonometriska funktioner
Sida av 6
Många verkliga fenomen, t.ex. ljudvågor, kan modelleras med trigonometriska funktioner. Deras derivator är därför viktiga för att avgöra hur dessa fenomen förändras vid olika tidpunkter. Deriveringsregeln för sin(x) kan härledas med derivatans definition och sedan användas för att bestämma derivatan av cos(x). Härledningen för derivatan av tan(x) kan i sin tur göras med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av sin x
När man deriverar sin x får man en annan trigonometrisk funktion, cos x.
D(sinx)=cosx
Eftersom derivatan av en funktion f(x) i x=a är lutningen på tangentlinjen i den punkten, kan vi bygga upp grafen till derivatan av f(x)=sin x genom att följa hur tangentlinjernas lutning förändras.
Grafisk härledning
Dra i reglaget
Bevis
För att härleda derivatan används derivatans definition:
f'(x)=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h.
Eftersom f(x) i det här fallet är sin x är f(x+h)=sin(x+h). När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.
f'(x)=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h.
Eftersom f(x) i det här fallet är sin x är f(x+h)=sin(x+h). När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.
f'(x)=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
f'(x)=lim _(h→ 0)sin(x+h)-sin x/h
SinAdd
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
f'(x)=lim _(h→ 0)sin xcos h+cos xsin h-sin x/h
RearrangeTerms
Omarrangera termer
f'(x)=lim _(h→ 0)sin xcos h-sin x+cos xsin h/h
FactorOut
Bryt ut sin x
f'(x)=lim _(h→ 0)sin x(cos h-1)+cos xsin h/h
WriteSumFrac
Dela upp bråk
f'(x)=lim _(h→ 0)(sin x(cos h-1)/h+cos xsin h/h)
WriteSumLim
Dela upp gränsvärde
f'(x)=lim _(h→ 0)sin x(cos h-1)/h+lim _(h→ 0)cos xsin h/h
I gränsvärdena finns nu både sin x och cos x. Dessa förändras inte när h går mot 0 så de kan flyttas ut utanför gränsvärdena.
&lim _(h→ 0)sin x(cos h-1)/h+lim _(h→ 0)cos xsin h/h= &=sin xlim _(h→ 0)(cos h-1)/h+cos xlim _(h→ 0)sin h/h
Nu har man två gränsvärden kvar och i dessa finns cos h, sin h och h. Man kan undersöka gränsvärdena numeriskt genom att sätta in mindre och mindre h. Men ska räknaren vara inställd på grader eller radianer? För att kunna avgöra det undersöks båda.
| h (grader) | 0,1 | 0,01 | 0,001 | → 0 |
|---|---|---|---|---|
| cos h-1/h | ~ -0,000015 | ~- 0,0000015 | ~-0,00000015 | → 0 |
| sin h/h | ~0,0174532837 | ~0,0174532924 | ~0,0174532925 | → ~0,0174532925 |
| h (radianer) | 0,1 | 0,01 | 0,001 | → 0 |
| cos h-1/h | ~ -0,0499583472 | ~- 0,0049999583 | ~-0,00049999996 | → 0 |
| sin h/h | ~0,9983341665 | ~0,9999833334 | ~0,9999998333 | → 1 |
Man får olika
gränsvärden beroende på om h anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln
D(sin x)≈sin x* 0+cos x* 0,0174532925=0,0174532925cos x
och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln
D(sin x)=sin x* 0+cos x* 1=cos x.
Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln D(sin x)=cos x som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av cos x
Deriverar man cos x får man sinusfunktionen -sin x.
D(cos x)=-sin x
Eftersom derivatan av en funktion f(x) i x=a är lutningen på tangentlinjen i den punkten, kan vi bygga upp grafen till derivatan av f(x)=cos x genom att följa hur tangentlinjernas lutning förändras.
Grafisk härledning
Dra i reglaget
Bevis
Man kan bevisa detta t.ex. genom att skriva om cos x som en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln.
cos x=sin(x+ π2)
Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är y=sin u och inre funktionen u=x+π/2. Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för sin x.
cos x=sin(x+ π2)
Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är y=sin u och inre funktionen u=x+π/2. Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för sin x.
D(cos x)=D(sin(x+π/2))
DeriveSinChain
D( sin(u) ) = cos(u)* D(u)
D(cos x)=cos(x+π/2)* D(x+π/2)
DeriveSum
Derivera term för term
D(cos x)=cos(x+π/2)* (D(x)+D(π/2))
DeriveConst
D(a) = 0
D(cos x)=cos(x+π/2)* D(x)
DeriveX
D(x) = 1
D(cos x)=cos(x+π/2)
Med det trigonometriska sambandet
cos(x+π/2) = - sin x
får man till sist deriveringsregeln D(cos x) = - sin x.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av tan(x)
Studera formeln för derivatan av tan x.
D(tan x)=1/cos^2 x
Bevis
Tangensfunktionen kan skrivas om som en kvot av sinus- och cosinusfunktionerna. När man gjort omskrivningen
tan x=sin x/cos x
kan man använda kvotregeln för att derivera.
tan x=sin x/cos x
kan man använda kvotregeln för att derivera.
D(tan x)=D(sin x/cos x)
DeriveQuot
D(f/g) = D(f)* g - f* D(g)/g^2
D(tan x)=D(sin x)*cos x-sin x* D(cos x)/cos^2 x
DeriveSin
D( sin(v) ) = cos(v)
D(tan x)=cos x*cos x-sin x* D(cos x)/cos^2 x
DeriveCos
D( cos(v) ) = - sin(v)
D(tan x)=cos x*cos x-sin x* (-sin x)/cos^2 x
MultNegNegOnePar
- a(- b)=a* b
D(tan x)=cos x*cos x+sin x*sin x/cos^2 x
Multiply
Multiplicera faktorer
D(tan x)=cos^2 x+sin^2 x/cos^2 x
PythTrigId
sin^2(v) + cos^2(v) = 1
D(tan x)=1/cos^2 x
Nu ser man att derivatan av tan x är 1/cos^2 x.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Använd deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att derivera funktionen. Båda termerna är sammansatta funktioner och deriveras med kedjeregeln. Första termen består av den yttre funktionen y=sin(u) och inre funktionen u=tan(x). Den andra termen består av samma yttre funktion men har istället den inre funktionen u=2x.
f(x)=sin(tan(x))+sin(2x)
Derive
Derivera funktion
f'(x)=D(sin(tan(x)))+D(sin(2x))
DeriveSinChain
D( sin(u) ) = cos(u)* D(u)
f'(x)=cos(tan(x))* D(tan(x))+cos(2x)* D(2x)
DeriveXCo
D(ax) = a
f'(x)=cos(tan(x))* D(tan(x))+cos(2x)* 2
DeriveTan
D( tan(v) ) = 1/cos^2(v)
f'(x)=cos(tan(x))* 1/cos^2(x)+cos(2x)* 2
Multiply
Multiplicera faktorer
f'(x)=cos(tan(x))/cos^2(x)+2cos(x)
Nu sätter vi in x=π i derivatan för att bestämma f'(π).
f'(x)=cos(tan(x))/cos^2(x)+2cos(x)
Substitute
x= π
f'( π)=cos(tan( π))/cos^2( π)+2cos( π)
TanRad
1800tan(0)=0 18030tan(π/6)=1/sqrt(3) 18045tan(π/4)=1 18060tan(π/3)=sqrt(3) 18090tan(π/2) odef. 180120tan(2π/3)=- sqrt(3) 180135tan(3π/4)=- 1 180150tan(5π/6)=- 1/sqrt(3) 180180tan(π)=0 180270tan(3π/2) odef. 180360tan(2π)=0
f'(π)=cos(0)/cos^2(π)+2cos(π)
CosRad
\ifnumequal{0}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{0}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{0}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{0}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{0}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{0}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{0}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{0}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{0}{180}{\cos\left(\pi\right)=- 1}{}\ifnumequal{0}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{0}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{0}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{0}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{0}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{0}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{0}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{0}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}
f'(π)=1/cos^2(π)+2cos(π)
CosRad
\ifnumequal{180}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{180}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{180}{\cos\left(\pi\right)=- 1}{}\ifnumequal{180}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{180}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{180}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}
f'(π)=1/(-1)^2+2(-1)
SimpPowProd
Förenkla potens & produkt
f'(π)=1/1+(-2)
CalcQuot
Beräkna kvot
f'(π)=1+(-2)
AddNeg
a+(- b)=a-b
f'(π)=-1
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Träna på derivator av trigonometriska funktioner
Använd deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner för att bestämma den efterfrågade derivatan.
Bestäm derivatan av följande funktion.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Derivator av trigonometriska funktioner
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\sin(x) + \\cos(x)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["22\\cos(2x)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2\\sin(x\/3)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{5}{\\cos^2(x)}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar funktionen med räknereglerna för derivering av sinusfunktioner samt cosinusfunktioner.
Funktionens derivata är alltså f'(x)=- sin x + cos x.
Eftersom f(x) här är en sammansatt funktion behöver vi använda kedjeregeln.
Vi har nu deriverat klart och svaret på uppgiften är f'(x)=22cos(2x).
Även här behövs kedjeregeln för att genomföra deriveringen.
Vi har nu bestämt funktionens derivata och den är f'(x)=- 2 sin ( x/3 ).
För att derivera denna funktion behöver vi känna till deriveringsregeln för en tangensfunktion.
Den sökta derivatan är f'(x)=5/cos^2 x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2x}{\\cos^2(x^2)}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\cos(2x)}","\\cos^2{x}-\\sin^2{x}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sin(x^2+3)+2x^2*\\cos(x^2+3)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2\\tan(x)}{\\cos^2(x)}","\\dfrac{2\\sin{x}}{\\cos^3{x}}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att derivera denna funktion behöver vi kombinera räkneregeln för derivering av tangensfunktioner med kedjeregeln.
Vi har nu bestämt den sökta derivatan f'(x).
I den här deluppgiften behöver vi använda deriveringsreglerna för sinusfunktioner och cosinusfunktioner samt produktregeln.
Vi har nu deriverat klart och kan nöja oss såhär om vi vill. Men vi kan känna igen högerledet som ett av uttrycken för cosinus för dubbla vinkeln. Normalt försöker vi skriva lösningar på enklast möjliga form. Därför fortsätter vi och förenklar ytterligare. f'(x)=cos^2 x - sin^2 x=cos(2x) Nu är uttrycket skrivet på enklast möjliga form och vårt svar blir f'(x)=cos(2x).
Här måste vi använda både produktregeln och kedjeregeln.
Eftersom vi inte kan förenkla detta ytterligare svarar vi med f'(x)=sin ( x^2+3 )+ 2x^2 * cos ( x^2+3 ).
Vi har här ytterligare en trigonometrisk funktion som skall deriveras. Börja med att förenkla funktionen med hjälp av trigonometriska ettan.
f(x)= sin^2x+cos^2x + tan^2x
⇓
f(x) = 1+tan^2x
För att göra det lite tydligare hur funktionen ska deriveras väljer vi att skriva om den till
f(x) = 1 + (tan x)^2.
Vi kan nu derivera funktionen med hjälp av kedjeregeln.
Av estetiska skäl föredrar vi att använda ett gemensamt bråkstreck och svarar därför med f'(x)=2tan x/cos^2 x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Uttryck derivatan till funktionen f(x)=tan x i termer av tan x.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1+\\tan^2(x)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi tar först fram ett uttryck för derivatan av tan x på vanligt vis. Sedan ser vi om vi kan skriva uttrycket på den sökta formen.
Vi använder nu trigonometriska ettan för att skriva om täljaren. Sedan delar vi upp bråket i två termer och använder definitionen för tangens för att få derivatan på den önskade formen.
Vi är klara och har alltså visat att derivatan av f(x)=tan x kan skrivas som f'(x)=1+tan^2 x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f''(\u03c0\/2)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\sqrt{2}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f''(\u03c0\/2)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
security
report
code
security
report
code
Först behöver vi hitta ett uttryck för andraderivatan f''(x), vilket vi gör genom att derivera funktionen f(x) två gånger.
Nu när vi bestämt andraderivatan sätter vi in x=π/2 för att beräkna det sökta värdet.
Vi har nu beräknat andraderivatans värde för det givna x-värdet, men vi kan förenkla resultatet ytterligare. Vi utnyttjar att 2=sqrt(2) * sqrt(2) vid förenklingen.
Vårt svar blir efter denna förenkling f'' ( π/2 )=- sqrt(2).
Vi gör på samma sätt i denna deluppgift. Först deriverar vi två gånger.
Vi sätter nu in x=π/2 i f''(x).
Svaret blir alltså att f''( π/2 )=0.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Nationella provet VT99 MaD
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["t"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y'(t)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,52\\cos(0,26t)"]}}
Nationella provet VT99 MaD
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["t"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y'(10)\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-0,45"]}}
security
report
code
security
report
code
Här kan svaret anges utan motivering men vi visar hur man kan komma fram till det. Vi använder deriveringsregeln för sinus tillsammans med kedjeregeln för att derivera funktionen.
Funktionens derivata är alltså y'(t)=0,52cos(0,26t).
Här kan svaret anges utan motivering men vi visar hur man kan komma fram till det.
Vi sätter in t=10 i derivatan för att beräkna y'(10).
Derivatans värde då t=10 är y'(10)≈ - 0,45.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm vilket värde konstanten k måste ha för att grafen till funktionen f(x)=3sin(kx) skall ha lutningen 0,5 i origo.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"k=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{6}"]}}
security
report
code
security
report
code
En grafs lutning är samma sak som dess funktions derivata, och i origo är x = 0. Vi ska alltså bestämma det värde på k som gör att ekvationen f'(0) = 0,5 är uppfylld. Vi vill därför först hitta ett uttryck för f'(x) genom att derivera funktionen.
Vi sätter nu in x=0 för att få ett uttryck för f'(0).
Vi kan nu ställa upp ekvationen f'(0) = 0,5 för att bestämma k.
Svaret på uppgiften är alltså att lutningen är 0,5 i origo då k=1/6.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Uttryck derivatan av funktionen f(x)=sinx i termer av sinx inom intervallet - π/2 ≤ x ≤ π/2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{1-\\sin^2(x)}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi tar först fram ett uttryck för derivatan av sin x på vanligt vis. Sedan ser vi om vi kan skriva uttrycket på den sökta formen.
Vi använder nu trigonometriska ettan för att skriva om cosx.
Eftersom cosinusfunktionen är positiv i intervallet - π/2 ≤ x ≤ π/2 tar vi den positiva roten. f'(x)=sqrt(1-sin^2x)
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm f''(x) av f(x)=x * sinx.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f''(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\cos{x}-x*\\sin{x}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta f''(x) behöver vi derivera f(x) två gånger. Vi börjar med att använda produktregeln.
Vi deriverar en gång till med hjälp av produktregeln.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Derivator av trigonometriska funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll