Derivator av trigonometriska funktioner

Vi deriverar funktionen med räknereglerna för derivering av sinusfunktioner samt cosinusfunktioner.

Funktionens derivata är alltså f'(x)=- sin(x) + cos(x).

Eftersom f(x) här är en sammansatt funktion behöver vi använda kedjeregeln.

Vi har nu deriverat klart och svaret på uppgiften är f'(x)=22cos(2x).

Även här behövs kedjeregeln för att genomföra deriveringen.

Vi har nu bestämt funktionens derivata och den är f'(x)=- 2 sin ( x/3 ).

För att derivera denna funktion behöver vi känna till deriveringsregeln för en tangensfunktion.

Den sökta derivatan är f'(x)=5/cos^2(x).

För att derivera denna funktion behöver vi kombinera räkneregeln för derivering av tangensfunktioner med kedjeregeln.

Vi har nu bestämt den sökta derivatan f'(x).

I den här deluppgiften behöver vi använda deriveringsreglerna för sinusfunktioner och cosinusfunktioner samt produktregeln.

Vi har nu deriverat klart och kan nöja oss såhär om vi vill. Men vi kan känna igen högerledet som ett av uttrycken för cosinus för dubbla vinkeln. Normalt försöker vi skriva lösningar på enklast möjliga form. Därför fortsätter vi och förenklar ytterligare. f'(x)=cos^2(x)- sin^2(x)=cos(2x) Nu är uttrycket skrivet på enklast möjliga form och vårt svar blir f'(x)=cos(2x).

Här måste vi använda både produktregeln och kedjeregeln.

Eftersom vi inte kan förenkla detta ytterligare svarar vi med f'(x)=sin ( x^2+3 )+ 2x^2 * cos ( x^2+3 ).

Vi har här ytterligare en trigonometrisk funktion som skall deriveras. För att göra det lite tydligare hur funktionen ska deriveras väljer vi att skriva om den till f(x) = (sin(x))^2 + (cos(x))^2 + (tan(x))^2. Vi kan nu derivera funktionen med hjälp av kedjeregeln.

Av estetiska skäl föredrar vi att använda ett gemensamt bråkstreck och svarar därför med f'(x)=2tan(x)/cos^2(x).

Först behöver vi hitta ett uttryck för andraderivatan f''(x), vilket vi gör genom att derivera funktionen f(x) två gånger.

Nu när vi bestämt andraderivatan sätter vi in x= π2 för att beräkna det sökta värdet.

Vi har nu beräknat andraderivatans värde för det givna x-värdet, men vi kan förenkla resultatet ytterligare. Vi utnyttjar att 2=sqrt(2) * sqrt(2) vid förenklingen.

Vårt svar blir efter denna förenkling f'' ( π/2 )=- sqrt(2).

Vi gör på samma sätt i denna deluppgift. Först deriverar vi två gånger.

Vi sätter nu in x= π2 i f''(x).

Svaret blir alltså att f''( π/2 )=0.

Vi tar först fram ett uttryck för derivatan av tan(x) på vanligt vis. Sedan ser vi om vi kan skriva uttrycket på den sökta formen.

Vi använder nu trigonometriska ettan för att skriva om täljaren. Sedan delar vi upp bråket i två termer och använder definitionen för tangens för att få derivatan på den önskade formen.

Vi är klara och har alltså visat att derivatan av f(x)=tan(x) kan skrivas som f'(x)=1+tan^2(x).

Här kan svaret anges utan motivering men vi visar hur man kan komma fram till det.

Vi använder deriveringsregeln för sinus tillsammans med kedjeregeln för att derivera funktionen.

Funktionens derivata är alltså y'(t)=0.52cos(0.26t).

Här kan svaret anges utan motivering men vi visar hur man kan komma fram till det.

Vi sätter in t=10 i derivatan för att beräkna y'(10).

Derivatans värde då t=10 är y'(10)≈ - 0.45.

En grafs lutning är samma sak som dess funktions derivata, och i origo är x = 0. Vi ska alltså bestämma det värde på k som gör att ekvationen f'(0) = 0.5 är uppfylld. Vi vill därför först hitta ett uttryck för f'(x) genom att derivera funktionen.

Vi sätter nu in x=0 för att få ett uttryck för f'(0).

Vi kan nu ställa upp ekvationen f'(0) = 0.5 för att bestämma k.

Svaret på uppgiften är alltså att lutningen är 0.5 i origo då k=1/6.