mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Deriveringsregler

Derivator av trigonometriska funktioner

Många verkliga fenomen, t.ex. ljudvågor, kan modelleras med trigonometriska funktioner. Deras derivator är därför viktiga för att avgöra hur dessa fenomen förändras vid olika tidpunkter. Deriveringsregeln för kan härledas med derivatans definition och sedan användas för att bestämma derivatan av Härledningen för derivatan av kan i sin tur göras med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus.

Bevis

Derivatan av

När man deriverar får man en annan trigonometrisk funktion,

Härledning

För att härleda derivatan används derivatans definition: Eftersom i det här fallet är är När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.
I gränsvärdena finns nu både och Dessa förändras inte när går mot så de kan flyttas ut utanför gränsvärdena. Nu har man två gränsvärden kvar och i dessa finns och Man kan undersöka gränsvärdena numeriskt genom att sätta in mindre och mindre Men ska räknaren vara inställd på grader eller radianer? För att kunna avgöra det undersöks båda.
(grader)
(radianer)

Man får olika gränsvärden beroende på om anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.

Bevis

Derivatan av

Deriverar man får man sinusfunktionen Man kan bevisa detta t.ex. genom att skriva om som en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln.

Härledning

Till att börja med kan man göra omskrivningen Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är och inre funktionen Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för
Med det trigonometriska sambandet får man till sist deriveringsregeln

Bevis

Derivatan av

Om man deriverar får man Detta går att bevisa med kvotregeln om man skriver som kvoten av och .

Härledning

När man gjort omskrivningen kan man använda kvotregeln för att derivera.
Nu ser man att derivatan av är
fullscreen
Uppgift

Bestäm givet att

Visa Lösning
Lösning
Vi börjar med att derivera funktionen. Båda termerna är sammansatta funktioner och deriveras med kedjeregeln. Första termen består av den yttre funktionen och inre funktionen Den andra termen består av samma yttre funktion men har istället den inre funktionen
Nu sätter vi in i derivatan för att bestämma
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward