| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
De komplexa talen innehåller bl.a. alla reella tal — de har imaginärdelen 0 och består därför bara av en realdel. Dessa tal brukar representeras på en tallinje.
Men hur representerar man övriga komplexa tal, där imaginärdelen inte är 0? Jo, med hjälp av ett koordinatsystem.Genom att låta den horisontella och vertikala axeln i ett koordinatsystem representera reella respektive imaginära värden får man det komplexa talplanet. En punkt i detta plan beskriver då ett komplext tal, där real- och imaginärdelen kan läsas av som punktens koordinater på reella respektive imaginära axeln.
Talen z och w har markerats i det komplexa talplanet.
Bestäm talet u=z+w och markera det i talplanet.
Vi börjar med att bestämma talen z och w på formen a+bi genom att läsa av respektive tals real- och imaginärdel på axlarna.
Koordinaterna för z är (-3,2) så talet är z=-3+2i. För w är koordinaterna (2,1) så det komplexa talet är w=2+i. Nu adderar vi z och w för att bestämma u. Till sist markerar vi u i talplanet. Realdelen ska vara -1 och imaginärdelen 3, så koordinaterna är (-1,3).Komplexa tal kan alltså beskrivas som punkter i det komplexa talplanet. Men de kan också beskrivas av vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkterna.
Dessa vektorer definieras av sin längd och riktning, som i detta sammanhang brukar kallas absolutbelopp och argument.
För ett komplext tal, z, får begreppet en liknande innebörd: avståndet mellan punkten z och origo.
Det komplexa talets absolutbelopp är alltså längden på den motsvarande vektorn, och därför kan absolutbeloppet av ett komplext tal beräknas med formeln för en vektors längd.
∣a+bi∣=a2+b2
Man väljer ofta att argumentet ska ligga mellan -π och π, men det är inte ovanligt att använda intervallet 0≤v<2π.
Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet z. Avrunda till en decimal.
Absolutbeloppet kan vi beräkna om vi känner till talets real- och imaginärdel. Vi börjar därför med att läsa av dem.
Realdelen är -3.5 och imaginärdelen är 2.5, så det komplexa talet är z=-3.5+2.5i. Vi använder det för att beräkna absolutbeloppet.∣a+bi∣=a2+b2
Beräkna potens
Addera termer
Slå in på räknare
Avrunda till 1 decimal(er)
Absolutbeloppet är alltså ungefär 4.3. Argumentet, som vi kan kalla v, är vinkeln från den positiva reella axeln till vektorn som pekar på z.
För att bestämma v kan vi börja med att bestämma dess sidovinkel. Vi kan kalla den u.
u är en vinkel i en rätvinklig triangel med katetlängderna 3.5 och 2.5. Vi använder därför arctan för att beräkna den.
Sätt in uttryck
arctan(VL)=arctan(HL)
Slå in på räknare
Avrunda till 1 decimal(er)