De Moivres formel

Om ett komplext tal med absolutbelopp $1$ upphöjs till ett heltal $n,$ kan det beräknas med ett samband som kallas de Moivres formel.

$\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)^n = \cos(nv) + i\sin(nv)$

Detta kan man visa genom att skriva det komplexa talet på exponentiell form.

Härledning
de Moivres formel

Man börjar med att använda Eulers formel och sedan en av potenslagarna.

\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)^n

\cos(v) + i \sin(v) = e^{iv}

\left( e^{iv} \right)^n

\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}

e^{inv}

Nu kan man använda Eulers formel åt andra hållet för att byta tillbaka till trigonometrisk form. Argumentet kan man läsa av som

nv.

e^{inv}=\cos\left(nv\right)+i\sin\left(nv\right)

Genom att lägga till ett generellt absolutbelopp

r

och använda en potenslag får man en version av de Moivres formel som gäller för alla komplexa tal.

$\left( r\left( \cos(v) + i\sin(v) \right) \right)^n = r^n \left(\cos(nv) + i\sin(nv) \right)$

Ett komplext tal upphöjt till

n

har alltså absolutbeloppet

r^n

och argumentet

nv.

Använd de Moivres formel

Uppgift

Använd de Moivres formel för att utföra beräkningen $z^{9}$ om $z = 2\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right).$ Svara på rektangulär form.

Lösning

Vi sätter in uttrycket för det komplexa talet i

z^9.

Det ger

z^9=\left(2\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right)\right)^9.

Nu använder vi de Moivres formel för att beräkna potensen.

z^9=\left( 2\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right) \right)^9

\left(r\left(\cos\left(v\right)+i\sin\left(v\right)\right)\right)^n=r^n\left(\cos\left(nv\right)+i\sin\left(nv\right)\right)

z^9=2^9 \left(\cos\left(9 \cdot \dfrac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(9 \cdot \dfrac{5\pi}{3}\right) \right)

a\cdot\dfrac{b}{c}= \dfrac{a\cdot b}{c}

z^9=2^9 \left(\cos\left(\dfrac{45\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{45\pi}{3}\right) \right)

Förenkla kvot

z^9=2^9 \left(\cos\left(15\pi\right)+i\sin\left(15\pi\right) \right)

Beräkna potens

z^9=512 \left(\cos\left(15\pi\right)+i\sin\left(15\pi\right) \right)

Eftersom man kan dra bort hela varv utan att trigonometriska värden förändras kan vi dra bort multiplar av

2\pi

från argumentet. Genom att dra bort

14\pi,

dvs. sju hela varv, får vi standardvinkeln

\pi

som vi känner till de trigonometriska värdena för.

z^9=512 \left(\cos\left(\pi\right)+i\sin\left(\pi\right) \right)

,

z^9=512(\text{-}1)

Multiplicera faktorer

z^9=\text{-}512

Svaret blir alltså det reella talet

\text{-}512.

Visa lösning

Förklaring

Potensekvationer med komplexa rötter

de Moivres formel är användbar för att beräkna potenser av komplexa tal, men den är speciellt användbar för att lösa potensekvationer. Man kan exempelvis använda den för att lösa ekvationen $z^3=\text{-}8.$ En lösning är $z=\text{-}2$ eftersom $(\text{-}2)^3=\text{-}8,$ men det finns även icke-reella rötter, t.ex. $z=1+i\sqrt{3}.$ Alla ekvationer har alltså inte enbart helt reella lösningar, utan i många fall kan de också innehålla imaginärdelar. Faktum är att ekvationer på formen $z^n=w$

har

n

stycken komplexa rötter. Ekvationen

z^3=\text{-}8

har alltså

3

komplexa lösningar varav två är icke-reella.

Metod

Lösa potensekvationer med komplexa rötter

För att lösa potensekvationer av typen $z^4=16\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right)$ använder man de Moivres formel. Om högerledet är skrivet på rektangulär form börjar man med att omvandla det till polär form.

1

Använd de Moivres formel

Högerledet är ett uttryck för

z^4.

Ett generellt uttryck för komplexa tal

z

är

z=r\left(\cos\left(v\right)+i\sin\left(v\right)\right).

Nu kan man utveckla

z^4

med de Moivres formel.

z^4

Sätt in uttryck

\left(r\left(\cos\left(v\right)+i\sin\left(v\right)\right)\right)^4

\left(r\left(\cos\left(v\right)+i\sin\left(v\right)\right)\right)^n=r^n\left(\cos\left(nv\right)+i\sin\left(nv\right)\right)

r^4\left(\cos\left(4v\right)+i\sin\left(4v\right)\right)

Man har nu två olika uttryck för

z^4\text{:}

\begin{aligned} z^4 &= r^4\left(\cos\left(4v\right)+i\sin\left(4v\right)\right) \\ z^4 &= 16\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right). \end{aligned}

2

Likställ absolutbeloppen och argumenten

De två uttrycken beskriver samma komplexa tal. Därför måste absolutbeloppen vara samma: $r^4 = 16.$ Argumenten behöver däremot inte vara exakt samma, bara de motsvarar samma riktning i det komplexa talplanet. Är de inte lika måste de alltså vara åtskilda av ett helt antal varv: $4v=\dfrac{3\pi}{2}+n\cdot 2\pi.$

3

Lös ekvationerna

De två ekvationerna kan nu lösas separat. Absolutbeloppet måste vara ett reellt, icke-negativt tal så här behöver man inte ta hänsyn till några icke-reella rötter.

r^4=16

\sqrt[4]{\text{VL}}=\sqrt[4]{\text{HL}}

r=\pm \sqrt[4]{16}

Beräkna rot

r=\pm 2

r \gt 0

r=2

Absolutbeloppet är

r=2.

Nu bestämmer man argumentet.

4v=\dfrac{3\pi}{2}+n\cdot 2\pi

\left.\text{VL}\middle/4\right.=\left.\text{HL}\middle/4\right.

v=\dfrac{3\pi}{2\cdot 4}+n\cdot\dfrac{2\pi}{4}

Multiplicera faktorer

v=\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\dfrac{2\pi}{4}

Förkorta

\dfrac{2\pi}{4}

med

2

v=\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\dfrac{\pi}{2}

De komplexa talen som löser ekvationen har alltså argumenten

v=\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\dfrac{\pi}{2},

där

n

är ett heltal.

4

Välj argument

Antalet lösningar är lika många som exponenten i ursprungsekvationen. I det här fallet är det $4.$ Argumentekvationen gav oändligt många lösningar, men bara fyra som motsvarar unika riktningar i talplanet. Resten är periodiska upprepningar av dessa. De fyra argumenten kan hittas med t.ex. de fyra första $n$ -värdena, från $0$ till $3.$

$n$	$\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\dfrac{\pi}{2}$	$v$
${\color{#0000FF}{0}}$	$\dfrac{3\pi}{8}+{\color{#0000FF}{0}}\cdot\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{3\pi}{8}$
${\color{#0000FF}{1}}$	$\dfrac{3\pi}{8}+{\color{#0000FF}{1}}\cdot\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{7\pi}{8}$
${\color{#0000FF}{2}}$	$\dfrac{3\pi}{8}+{\color{#0000FF}{2}}\cdot\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{11\pi}{8}$
${\color{#0000FF}{3}}$	$\dfrac{3\pi}{8}+{\color{#0000FF}{3}}\cdot\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{15\pi}{8}$

Provar man högre eller lägre $n$ -värden kan man se att man bara hittar helvarvsförskjutningar av dessa fyra. Det är dock inget speciellt med just dessa, utan det går lika bra att använda t.ex. $n=3,4,5,6.$ Huvudsaken är att valet motsvarar unika riktningar i talplanet, så att samtliga $4$ komplexa tal hittas.

5

Skriv på rätt form

Talet $z$ ska alltså ha absolutbeloppet $2$ och något av argumenten $\frac{3\pi}{8},$ $\frac{7\pi}{8},$ $\frac{11\pi}{8}$ och $\frac{15\pi}{8}.$ Ekvationens lösningar bör nu anges som tal och inte bara som polära koordinater. Eftersom ekvationen gavs på trigonometrisk form är det lämpligt att använda det även här: $\begin{aligned} &z=2\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)\right) \\ &z=2\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)\right) \\ &z=2\left(\cos\left(\dfrac{11\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{11\pi}{8}\right)\right) \\ &z=2\left(\cos\left(\dfrac{15\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{15\pi}{8}\right)\right). \end{aligned}$

Förklaring

Hur tolkar man lösningarna till en potensekvation i det komplexa talplanet?

När man löser potensekvationer av typen $z^n=w$ får man $n$ st. komplexa rötter. Exempelvis har ekvationen $z^3=\text{-}8$ lösningarna $\begin{aligned} &z=2\left(\cos\left(60^\circ\right)+i\sin\left(60^\circ\right)\right) \\ &z=2\left(\cos\left(180^\circ\right)+i\sin\left(180^\circ\right)\right) \\ &z=2\left(\cos\left(300^\circ\right)+i\sin\left(300^\circ\right)\right). \end{aligned}$ Alla rötter har absolutbeloppet $2.$ Det betyder att om man markerar dem i det komplexa talplanet kommer de att hamna på en cirkel med radien $2.$

Eftersom vinkelavståndet mellan varje lösning är $120^\circ$ betyder det att om man drar raka streck mellan dem kommer det att bildas en regelbunden $n$ -hörning, i det här fallet en liksidig triangel.

Ekvationen $z^9=3815$ har $9$ rötter som bildar en regelbunden niohörning.

Samtliga lösningar till potensekvationer på formen

z^n=w

bildar alltid en regelbunden

n

-hörning med origo som medelpunkt i det komplexa talplanet.

De Moivres formel

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Härledning

Exempel

Använd de Moivres formel

Potensekvationer med komplexa rötter

Lösa potensekvationer med komplexa rötter

1

2

3

4

5

Hur tolkar man lösningarna till en potensekvation i det komplexa talplanet?

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Komplexa tal

Härledning

Exempel

Använd de Moivres formel

1

2

3

4

5

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}