Om ett komplext tal med absolutbelopp 1 upphöjs till ett heltal n, kan det beräknas med ett samband som kallas de Moivres formel.
(cos(v)+isin(v))n=cos(nv)+isin(nv)
(r(cos(v)+isin(v)))n=rn(cos(nv)+isin(nv))
Använd de Moivres formel för att utföra beräkningen z9 om z=2(cos(35π)+isin(35π)). Svara på rektangulär form.
de Moivres formel är användbar för att beräkna potenser av komplexa tal, men den är speciellt användbar för att lösa potensekvationer. Man kan exempelvis använda den för att lösa ekvationen z3=-8. En lösning är z=-2 eftersom (-2)3=-8, men det finns även icke-reella rötter, t.ex. z=1+i3. Alla ekvationer har alltså inte enbart helt reella lösningar, utan i många fall kan de också innehålla imaginärdelar. Faktum är att ekvationer på formen zn=w
har n stycken komplexa rötter. Ekvationen z3=-8 har alltså 3 komplexa lösningar varav två är icke-reella.För att lösa potensekvationer av typen z4=16(cos(23π)+isin(23π)) använder man de Moivres formel. Om högerledet är skrivet på rektangulär form börjar man med att omvandla det till polär form.
De två uttrycken beskriver samma komplexa tal. Därför måste absolutbeloppen vara samma: r4=16. Argumenten behöver däremot inte vara exakt samma, bara de motsvarar samma riktning i det komplexa talplanet. Är de inte lika måste de alltså vara åtskilda av ett helt antal varv: 4v=23π+n⋅2π.
Antalet lösningar är lika många som exponenten i ursprungsekvationen. I det här fallet är det 4. Argumentekvationen gav oändligt många lösningar, men bara fyra som motsvarar unika riktningar i talplanet. Resten är periodiska upprepningar av dessa. De fyra argumenten kan hittas med t.ex. de fyra första n-värdena, från 0 till 3.
n | 83π+n⋅2π | v |
---|---|---|
0 | 83π+0⋅2π | 83π |
1 | 83π+1⋅2π | 87π |
2 | 83π+2⋅2π | 811π |
3 | 83π+3⋅2π | 815π |
Provar man högre eller lägre n-värden kan man se att man bara hittar helvarvsförskjutningar av dessa fyra. Det är dock inget speciellt med just dessa, utan det går lika bra att använda t.ex. n=3,4,5,6. Huvudsaken är att valet motsvarar unika riktningar i talplanet, så att samtliga 4 komplexa tal hittas.
Talet z ska alltså ha absolutbeloppet 2 och något av argumenten 83π, 87π, 811π och 815π. Ekvationens lösningar bör nu anges som tal och inte bara som polära koordinater. Eftersom ekvationen gavs på trigonometrisk form är det lämpligt att använda det även här: z=2(cos(83π)+isin(83π))z=2(cos(87π)+isin(87π))z=2(cos(811π)+isin(811π))z=2(cos(815π)+isin(815π)).
När man löser potensekvationer av typen zn=w får man n st. komplexa rötter. Exempelvis har ekvationen z3=-8 lösningarna z=2(cos(60∘)+isin(60∘))z=2(cos(180∘)+isin(180∘))z=2(cos(300∘)+isin(300∘)). Alla rötter har absolutbeloppet 2. Det betyder att om man markerar dem i det komplexa talplanet kommer de att hamna på en cirkel med radien 2.
Eftersom vinkelavståndet mellan varje lösning är 120∘ betyder det att om man drar raka streck mellan dem kommer det att bildas en regelbunden n-hörning, i det här fallet en liksidig triangel.
Ekvationen z9=3815 har 9 rötter som bildar en regelbunden niohörning.