De Moivres formel

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om ett komplext tal med absolutbelopp 11 upphöjs till ett heltal n,n, kan det beräknas med ett samband som kallas de Moivres formel.

(cos(v)+isin(v))n=cos(nv)+isin(nv)\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)^n = \cos(nv) + i\sin(nv)

Detta kan man visa genom att skriva det komplexa talet på exponentiell form.

Härledning

de Moivres formel
Genom att lägga till ett generellt absolutbelopp rr och använda en potenslag får man en version av de Moivres formel som gäller för alla komplexa tal.

(r(cos(v)+isin(v)))n=rn(cos(nv)+isin(nv))\left( r\left( \cos(v) + i\sin(v) \right) \right)^n = r^n \left(\cos(nv) + i\sin(nv) \right)

Ett komplext tal upphöjt till nn har alltså absolutbeloppet rnr^n och argumentet nv.nv.
Uppgift

Använd de Moivres formel för att utföra beräkningen z9z^{9} om z=2(cos(5π3)+isin(5π3)). z = 2\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right). Svara på rektangulär form.

Visa lösning Visa lösning
Förklaring

Potensekvationer med komplexa rötter

de Moivres formel är användbar för att beräkna potenser av komplexa tal, men den är speciellt användbar för att lösa potensekvationer. Man kan exempelvis använda den för att lösa ekvationen z3=-8. z^3=\text{-}8. En lösning är z=-2z=\text{-}2 eftersom (-2)3=-8,(\text{-}2)^3=\text{-}8, men det finns även icke-reella rötter, t.ex. z=1+i3.z=1+i\sqrt{3}. Alla ekvationer har alltså inte enbart helt reella lösningar, utan i många fall kan de också innehålla imaginärdelar. Faktum är att ekvationer på formen zn=w z^n=w

har nn stycken komplexa rötter. Ekvationen z3=-8z^3=\text{-}8 har alltså 33 komplexa lösningar varav två är icke-reella.
Metod

Lösa potensekvationer med komplexa rötter

För att lösa potensekvationer av typen z4=16(cos(3π2)+isin(3π2)) z^4=16\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right) använder man de Moivres formel. Om högerledet är skrivet på rektangulär form börjar man med att omvandla det till polär form.

Högerledet är ett uttryck för z4.z^4. Ett generellt uttryck för komplexa tal zz är z=r(cos(v)+isin(v)). z=r\left(\cos\left(v\right)+i\sin\left(v\right)\right). Nu kan man utveckla z4z^4 med de Moivres formel.

z4z^4
(r(cos(v)+isin(v)))4\left(r\left(\cos\left(v\right)+i\sin\left(v\right)\right)\right)^4
r4(cos(4v)+isin(4v))r^4\left(\cos\left(4v\right)+i\sin\left(4v\right)\right)

Man har nu två olika uttryck för z4:z^4\text{:} z4=r4(cos(4v)+isin(4v))z4=16(cos(3π2)+isin(3π2)).\begin{aligned} z^4 &= r^4\left(\cos\left(4v\right)+i\sin\left(4v\right)\right) \\ z^4 &= 16\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right). \end{aligned}

De två uttrycken beskriver samma komplexa tal. Därför måste absolutbeloppen vara samma: r4=16.r^4 = 16. Argumenten behöver däremot inte vara exakt samma, bara de motsvarar samma riktning i det komplexa talplanet. Är de inte lika måste de alltså vara åtskilda av ett helt antal varv: 4v=3π2+n2π.4v=\dfrac{3\pi}{2}+n\cdot 2\pi.

De två ekvationerna kan nu lösas separat. Absolutbeloppet måste vara ett reellt, icke-negativt tal så här behöver man inte ta hänsyn till några icke-reella rötter.

r4=16r^4=16
r=±164r=\pm \sqrt[4]{16}
r=±2r=\pm 2
r>0 r \gt 0
r=2r=2

Absolutbeloppet är r=2.r=2. Nu bestämmer man argumentet.

4v=3π2+n2π4v=\dfrac{3\pi}{2}+n\cdot 2\pi
v=3π24+n2π4v=\dfrac{3\pi}{2\cdot 4}+n\cdot\dfrac{2\pi}{4}
v=3π8+n2π4v=\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\dfrac{2\pi}{4}
Förkorta 2π4\dfrac{2\pi}{4} med 22
v=3π8+nπ2v=\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\dfrac{\pi}{2}

De komplexa talen som löser ekvationen har alltså argumenten v=3π8+nπ2, v=\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\dfrac{\pi}{2}, där nn är ett heltal.

Antalet lösningar är lika många som exponenten i ursprungsekvationen. I det här fallet är det 4.4. Argumentekvationen gav oändligt många lösningar, men bara fyra som motsvarar unika riktningar i talplanet. Resten är periodiska upprepningar av dessa. De fyra argumenten kan hittas med t.ex. de fyra första nn-värdena, från 00 till 3.3.

nn 3π8+nπ2\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\dfrac{\pi}{2} vv
0{\color{#0000FF}{0}} 3π8+0π2\dfrac{3\pi}{8}+{\color{#0000FF}{0}}\cdot\dfrac{\pi}{2} 3π8\dfrac{3\pi}{8}
1{\color{#0000FF}{1}} 3π8+1π2\dfrac{3\pi}{8}+{\color{#0000FF}{1}}\cdot\dfrac{\pi}{2} 7π8\dfrac{7\pi}{8}
2{\color{#0000FF}{2}} 3π8+2π2\dfrac{3\pi}{8}+{\color{#0000FF}{2}}\cdot\dfrac{\pi}{2} 11π8\dfrac{11\pi}{8}
3{\color{#0000FF}{3}} 3π8+3π2\dfrac{3\pi}{8}+{\color{#0000FF}{3}}\cdot\dfrac{\pi}{2} 15π8\dfrac{15\pi}{8}

Provar man högre eller lägre nn-värden kan man se att man bara hittar helvarvsförskjutningar av dessa fyra. Det är dock inget speciellt med just dessa, utan det går lika bra att använda t.ex. n=3,4,5,6.n=3,4,5,6. Huvudsaken är att valet motsvarar unika riktningar i talplanet, så att samtliga 44 komplexa tal hittas.

Talet zz ska alltså ha absolutbeloppet 22 och något av argumenten 3π8,\frac{3\pi}{8}, 7π8,\frac{7\pi}{8}, 11π8\frac{11\pi}{8} och 15π8.\frac{15\pi}{8}. Ekvationens lösningar bör nu anges som tal och inte bara som polära koordinater. Eftersom ekvationen gavs på trigonometrisk form är det lämpligt att använda det även här: z=2(cos(3π8)+isin(3π8))z=2(cos(7π8)+isin(7π8))z=2(cos(11π8)+isin(11π8))z=2(cos(15π8)+isin(15π8)).\begin{aligned} &z=2\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)\right) \\ &z=2\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)\right) \\ &z=2\left(\cos\left(\dfrac{11\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{11\pi}{8}\right)\right) \\ &z=2\left(\cos\left(\dfrac{15\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{15\pi}{8}\right)\right). \end{aligned}

Förklaring

Hur tolkar man lösningarna till en potensekvation i det komplexa talplanet?

När man löser potensekvationer av typen zn=wz^n=w får man nn st. komplexa rötter. Exempelvis har ekvationen z3=-8z^3=\text{-}8 lösningarna z=2(cos(60)+isin(60))z=2(cos(180)+isin(180))z=2(cos(300)+isin(300)).\begin{aligned} &z=2\left(\cos\left(60^\circ\right)+i\sin\left(60^\circ\right)\right) \\ &z=2\left(\cos\left(180^\circ\right)+i\sin\left(180^\circ\right)\right) \\ &z=2\left(\cos\left(300^\circ\right)+i\sin\left(300^\circ\right)\right). \end{aligned} Alla rötter har absolutbeloppet 2.2. Det betyder att om man markerar dem i det komplexa talplanet kommer de att hamna på en cirkel med radien 2.2.

Eftersom vinkelavståndet mellan varje lösning är 120120^\circ betyder det att om man drar raka streck mellan dem kommer det att bildas en regelbunden nn-hörning, i det här fallet en liksidig triangel.

Ekvationen z9=3815z^9=3815 har 99 rötter som bildar en regelbunden niohörning.

Samtliga lösningar till potensekvationer på formen zn=wz^n=w bildar alltid en regelbunden nn-hörning med origo som medelpunkt i det komplexa talplanet.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet att z=2(cos(2π3)+isin(2π3)),z = 2 \left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)\hspace{-2 pt}, ange följande tal på trigonometrisk polär form.

a
z2z^2
b
z6z^6
c
znz^n
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Markera z,z, z2,z^2, z3,z^3, z4,z^4, och z5z^5 i det komplexa talplanet givet att

a
z=cos(π6)+isin(π6)z = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
b
z=cos(-π6)+isin(-π6).z = \cos\left(\dfrac{\text{-} \pi}{6}\right) + i \sin\left(\dfrac{\text{-} \pi}{6}\right).
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen z3=27i.z^3 = 27i. Ange rötterna på trigonometrisk polär form.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm z5z^5 på formen a+bia+bi när

a

z=3(cos(π5)+isin(π5))z=3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right)

b

z=2(cos(81)+isin(81)).z=2(\cos(81^\circ)+i\sin(81^\circ)).

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer. Svara på exponentiell polär form.

a
z4=5.0625(cos(π)+isin(π))z^4 = 5.0625(\cos(\pi) + i \sin(\pi))
b
z5=1243(cos(1)+isin(1))z^5 = \dfrac{1}{243}(\cos(1)+i\sin(1))
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rötterna till ekvationen zn=wz^n=w visas i figuren.

a

Bestäm ekvationens rötter i trigonometrisk polär form.

b

Ange nn och ww i ekvationen zn=w.z^n=w.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen w4=2+3i.w^4=2+3i.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

nn är ett positivt heltal. Vilket är det minsta nn sådant att znz^n är reellt? Givet att

a
z=-1+3iz = \text{-} 1 + \sqrt{3}i
b
z=3+3i3+3i.z = \dfrac{\sqrt{3} + 3i}{3 + \sqrt{3}i}.
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket (3+i)14(3i)14.\left(\sqrt{3}+i\right)^{14}-\left(\sqrt{3}-i\right)^{14}.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Potensekvationen z5=wz^5 = w har roten -1+3i.\text{-} 1 + \sqrt{3}i. Bestäm resterande rötter med hjälp av den första. Svara på exponentiell trigonometrisk form.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Potensekvationen z133=7z^{133} = 7 har ett antal rötter.

a
Hur många av rötterna är komplexa?
b
Hur många av rötterna ligger i området 5π4<arg(z)<2π?\dfrac{5\pi}{4} < \text{arg}(z) < 2\pi?
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm arean av den figur som bildas av rötterna till ekvationen z5=32.z^5=32. Avrunda till en decimal.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}