Radianer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Till vardags är grader den absolut vanligaste enheten för att mäta vinklar. En grad är definierad så att 360360 grader motsvarar ett helt varv, men varför inte välja något annat? Fördelen med grader är att 360360 kan delas på många olika sätt, men det finns även enheter för att mäta vinklar som har andra fördelar. En sådan är radianer, som är speciellt användbar inom trigonometri.
Begrepp

Radian

Radianer är, precis som grader, en enhet för att mäta vinklar. Om båglängden till en cirkelsektor är lika lång som cirkelns radie bildas en vinkel som är 11 radian (rad), vilket motsvarar ungefär 57.3.57.3^\circ.


Animera 1 rad

Om båglängden istället är 22 radier lång blir vinkeln 22 radianer, osv. Radianbegreppet är alltså ett mått på antalet rr som vinkeln spänner upp på cirkelranden.

Förhållandet mellan grader och radianer följer sambandet 180=π rad180^\circ=\pi \text{ rad}. I beräkningar skriver man sällan ut "rad" efter en vinkel angiven i radianer. Det betyder att om man t.ex. ska beräkna cosinusvärdena cos(64)ochcos(5) \cos(64^\circ) \quad \text{och} \quad \cos(5)

måste man i första beräkningen ha räknaren inställd på grader och i den andra på radianer. Radianer kan upplevas som besvärliga, men de förenklar beräkningar vid bl.a. derivering och integrering. Dessutom är det SI-enheten för vinklar, så det är bra att vänja sig.
Regel

Samband mellan radianer och grader

Eftersom både grader och radianer är vanliga vinkelenheter vill man ibland växla mellan dem. Omvandlingsreglerna kan vara lätta att blanda ihop, men genom att komma ihåg ett övergripande samband kan man härleda dem för sig själv.

Regel

180=π180 ^\circ = \pi rad

Hur många radianer motsvarar 360,360^\circ, alltså ett helt varv? Cirkelbågen för ett helt varv är cirkelns omkrets, 2πr.2\pi r. Om man dividerar det med längden r,r, som motsvarar cirkelbågen för 11 radian, får man hur många radianer som går på ett helt varv. 2πrr=2π \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi Ett varv är alltså 2π2\pi radianer. I grader är det 360,360^\circ, vilket ger sambandet 360=2π360^\circ = 2\pi rad. Dividerar man sedan båda led med 22 får man 180=π rad. 180^\circ = \pi \text{ rad.} Ett halvt varv motsvarar alltså π\pi radianer.


Regel

Omvandlingsregler

Från sambandet 180=π180^\circ = \pi rad kan man härleda två omvandlingsregler genom att dela båda led med antingen 180180 eller π.\pi.

Regel

1=π1801 ^\circ = \dfrac{\pi}{180} rad
Genom att dela med 180180 får man ett uttryck för 1.1^\circ.
180=π rad180 ^\circ = \pi \text{ rad}
180180=π180 rad\dfrac{180}{180} ^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}
1=π180 rad1 ^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}
11^\circ motsvarar alltså π1800.017\frac{\pi}{180} \approx 0.017 radianer. Andra vinklar i grader kan omvandlas till radianer genom att multiplicera med detta värde.

Regel

1 rad=180π1 \text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}
Genom att dela med π\pi får man ett uttryck för 11 radian.
180=π rad180 ^\circ = \pi \text{ rad}
180π=ππ rad\dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{\pi}{\pi} \text{ rad}
180π=1 rad\dfrac{180^\circ}{\pi} = 1 \text{ rad}
1 rad=180π1 \text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}

11 radian motsvarar alltså 180π57.3\frac{180}{\pi} \approx 57.3 grader. Andra vinklar i radianer kan omvandlas till grader genom att multiplicera med detta värde.

Uppgift

Omvandla 4545^\circ till radianer och π2 rad\frac{\pi}{2} \text{ rad} till grader.

Lösning

För att omvandla en vinkel från grader till radianer använder vi 1=π180 rad. 1^\circ= \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}. Detta anger hur många radianer 11^\circ motsvarar, och 4545^\circ motsvarar då 4545 gånger detta. Vi omvandlar alltså genom att multiplicera vinkeln med π180.\frac{\pi}{180}.

4545^\circ
1=π180 rad1^\circ = \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}
45π180 rad45 \cdot \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}
45π180 rad\dfrac{45\pi}{180}\text{ rad}
9π36 rad\dfrac{9\pi}{36}\text{ rad}
π4 rad\dfrac{\pi}{4}\text{ rad}
4545^\circ är alltså π4\frac{\pi}{4} radianer. Det går förstås att knappa in detta på räknaren och svara på decimalform, men eftersom decimalföljden blir oändlig brukar man lämna det på exakt form, alltså 45=π4 rad. 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\text{ rad.} För att omvandla från radianer till grader använder vi istället 1 rad=180π. 1\text{ rad}= \dfrac{180^\circ}{\pi}. Detta anger hur många grader en radian motsvarar. På samma sätt som tidigare multiplicerar vi vår vinkel med den här omvandlingsfaktorn för att byta enhet.
π2 rad\dfrac{\pi}{2}\text{ rad}
1 rad=180π1\text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}
π2180π\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}
π1802π\dfrac{\pi 180^\circ}{2\pi}
1802\dfrac{180^\circ}{2}
9090^\circ
π2\frac{\pi}{2} radianer är alltså 90.90^\circ.
Visa lösning Visa lösning
Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar

I tabeller med sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar anges vinklarna ofta i både grader och radianer.

vv (grader) 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
vv (radianer) 00 π6\dfrac{\pi}{6} π4\dfrac{\pi}{4} π3\dfrac{\pi}{3} π2\dfrac{\pi}{2} 2π3\dfrac{2\pi}{3} 3π4\dfrac{3\pi}{4} 5π6\dfrac{5\pi}{6} π\pi
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00 -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
tan(v) \tan(v) 00 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3} Odef. -3\text{-}\sqrt{3} -1\text{-} 1 -13\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}} 00

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}