Radianer är, precis som grader, en enhet för att mäta vinklar. Om båglängden till en cirkelsektor är lika lång som cirkelns radie bildas en vinkel som är 1 radian (rad), vilket motsvarar ungefär 57.3∘.
Om båglängden istället är 2 radier lång blir vinkeln 2 radianer, osv. Radianbegreppet är alltså ett mått på antalet r som vinkeln spänner upp på cirkelranden.
Förhållandet mellan grader och radianer följer sambandet 180∘=π rad. I beräkningar skriver man sällan ut "rad" efter en vinkel angiven i radianer. Det betyder att om man t.ex. ska beräkna cosinusvärdena cos(64∘)ochcos(5)
måste man i första beräkningen ha räknaren inställd på grader och i den andra på radianer. Radianer kan upplevas som besvärliga, men de förenklar beräkningar vid bl.a. derivering och integrering. Dessutom är det SI-enheten för vinklar, så det är bra att vänja sig.Hur många radianer motsvarar 360∘, alltså ett helt varv? Cirkelbågen för ett helt varv är cirkelns omkrets, 2πr. Om man dividerar det med längden r, som motsvarar cirkelbågen för 1 radian, får man hur många radianer som går på ett helt varv. r2πr=2π Ett varv är alltså 2π radianer. I grader är det 360∘, vilket ger sambandet 360∘=2π rad. Dividerar man sedan båda led med 2 får man 180∘=π rad. Ett halvt varv motsvarar alltså π radianer.
Från sambandet 180∘=π rad kan man härleda två omvandlingsregler genom att dela båda led med antingen 180 eller π.
1 radian motsvarar alltså π180≈57.3 grader. Andra vinklar i radianer kan omvandlas till grader genom att multiplicera med detta värde.
Omvandla 45∘ till radianer och 2π rad till grader.
För att omvandla en vinkel från grader till radianer använder vi 1∘=180π rad. Detta anger hur många radianer 1∘ motsvarar, och 45∘ motsvarar då 45 gånger detta. Vi omvandlar alltså genom att multiplicera vinkeln med 180π.
I tabeller med sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar anges vinklarna ofta i både grader och radianer.
v (grader) | 0∘ | 30∘ | 45∘ | 60∘ | 90∘ | 120∘ | 135∘ | 150∘ | 180∘ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
v (radianer) | 0 | 6π | 4π | 3π | 2π | 32π | 43π | 65π | π |
sin(v) | 0 | 21 | 21 | 23 | 1 | 23 | 21 | 21 | 0 |
cos(v) | 1 | 23 | 21 | 21 | 0 | -21 | -21 | -23 | -1 |
tan(v) | 0 | 31 | 1 | 3 | Odef. | -3 | -1 | -31 | 0 |