Radianer

Till vardags är grader den absolut vanligaste enheten för att mäta vinklar. En grad är definierad så att

360

grader motsvarar ett helt varv, men varför inte välja något annat? Fördelen med grader är att

360

kan delas på många olika sätt, men det finns även enheter för att mäta vinklar som har andra fördelar. En sådan är radianer, som är speciellt användbar inom trigonometri.

Begrepp

Radian

Radianer är, precis som grader, en enhet för att mäta vinklar. Om båglängden till en cirkelsektor är lika lång som cirkelns radie bildas en vinkel som är $1$ radian (rad), vilket motsvarar ungefär $57.3^\circ.$

Animera 1 rad

Om båglängden istället är $2$ radier lång blir vinkeln $2$ radianer, osv. Radianbegreppet är alltså ett mått på antalet $r$ som vinkeln spänner upp på cirkelranden.

Förhållandet mellan grader och radianer följer sambandet $180^\circ=\pi \text{ rad}$ . I beräkningar skriver man sällan ut "rad" efter en vinkel angiven i radianer. Det betyder att om man t.ex. ska beräkna cosinusvärdena $\cos(64^\circ) \quad \text{och} \quad \cos(5)$

måste man i första beräkningen ha räknaren inställd på grader och i den andra på radianer. Radianer kan upplevas som besvärliga, men de förenklar beräkningar vid bl.a. derivering och integrering. Dessutom är det SI-enheten för vinklar, så det är bra att vänja sig.

Regel

Samband mellan radianer och grader

Eftersom både grader och radianer är vanliga vinkelenheter vill man ibland växla mellan dem. Omvandlingsreglerna kan vara lätta att blanda ihop, men genom att komma ihåg ett övergripande samband kan man härleda dem för sig själv.

Regel
$180 ^\circ = \pi$ rad

Hur många radianer motsvarar $360^\circ,$ alltså ett helt varv? Cirkelbågen för ett helt varv är cirkelns omkrets, $2\pi r.$ Om man dividerar det med längden $r,$ som motsvarar cirkelbågen för $1$ radian, får man hur många radianer som går på ett helt varv. $\dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi$ Ett varv är alltså $2\pi$ radianer. I grader är det $360^\circ,$ vilket ger sambandet $360^\circ = 2\pi$ rad. Dividerar man sedan båda led med $2$ får man $180^\circ = \pi \text{ rad.}$ Ett halvt varv motsvarar alltså $\pi$ radianer.

Regel

Omvandlingsregler

Från sambandet $180^\circ = \pi$ rad kan man härleda två omvandlingsregler genom att dela båda led med antingen $180$ eller $\pi.$

Regel
$1 ^\circ = \dfrac{\pi}{180}$ rad

Genom att dela med

180

får man ett uttryck för

1^\circ.

180 ^\circ = \pi \text{ rad}

\left.\text{VL}\middle/180\right.=\left.\text{HL}\middle/180\right.

\dfrac{180}{180} ^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}

Beräkna kvot

1 ^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}

1^\circ

motsvarar alltså

\frac{\pi}{180} \approx 0.017

radianer. Andra vinklar i grader kan omvandlas till radianer genom att multiplicera med detta värde.

Regel
$1 \text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}$

Genom att dela med

\pi

får man ett uttryck för

1

radian.

180 ^\circ = \pi \text{ rad}

\left.\text{VL}\middle/\pi\right.=\left.\text{HL}\middle/\pi\right.

\dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{\pi}{\pi} \text{ rad}

Beräkna kvot

\dfrac{180^\circ}{\pi} = 1 \text{ rad}

Omarrangera ekvation

1 \text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}

$1$ radian motsvarar alltså $\frac{180}{\pi} \approx 57.3$ grader. Andra vinklar i radianer kan omvandlas till grader genom att multiplicera med detta värde.

Omvandla mellan grader och radianer

Uppgift

Omvandla $45^\circ$ till radianer och $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$ till grader.

Lösning

För att omvandla en vinkel från grader till radianer använder vi $1^\circ= \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}.$ Detta anger hur många radianer $1^\circ$ motsvarar, och $45^\circ$ motsvarar då $45$ gånger detta. Vi omvandlar alltså genom att multiplicera vinkeln med $\frac{\pi}{180}.$

45^\circ

1^\circ = \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}

45 \cdot \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}

a\cdot\dfrac{b}{c}= \dfrac{a\cdot b}{c}

\dfrac{45\pi}{180}\text{ rad}

Förkorta med

5

\dfrac{9\pi}{36}\text{ rad}

Förkorta med

9

\dfrac{\pi}{4}\text{ rad}

45^\circ

är alltså

\frac{\pi}{4}

radianer. Det går förstås att knappa in detta på räknaren och svara på decimalform, men eftersom decimalföljden blir oändlig brukar man lämna det på exakt form, alltså

45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\text{ rad.}

För att omvandla från radianer till grader använder vi istället

1\text{ rad}= \dfrac{180^\circ}{\pi}.

Detta anger hur många grader en radian motsvarar. På samma sätt som tidigare multiplicerar vi vår vinkel med den här omvandlingsfaktorn för att byta enhet.

\dfrac{\pi}{2}\text{ rad}

1\text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}

\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}

Multiplicera bråk

\dfrac{\pi 180^\circ}{2\pi}

Förkorta med

\pi

\dfrac{180^\circ}{2}

Beräkna kvot

90^\circ

\frac{\pi}{2}

radianer är alltså

90^\circ.

Visa lösning

Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar

I tabeller med sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar anges vinklarna ofta i både grader och radianer.

$v$ (grader)	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$v$ (radianer)	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$
$\sin(v)$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\cos(v)$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$\text{-}\dfrac{1}{2}$	$\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\text{-}1$
$\tan(v)$	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	Odef.	$\text{-}\sqrt{3}$	$\text{-} 1$	$\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

Radianer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Radian

Samband mellan radianer och grader

Regel

Omvandlingsregler

Regel

Regel

Exempel

Omvandla mellan grader och radianer

Trigonometriska värden för standardvinklar

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Trigonometriska samband och ekvationer

Regel

Regel

Regel

Exempel

Omvandla mellan grader och radianer

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}