Radianer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Till vardags är grader den absolut vanligaste enheten för att mäta vinklar. En grad är definierad så att 360360 grader motsvarar ett helt varv, men varför inte välja något annat? Fördelen med grader är att 360360 kan delas på många olika sätt, men det finns även enheter för att mäta vinklar som har andra fördelar. En sådan är radianer, som är speciellt användbar inom trigonometri.
Begrepp

Radian

Radianer är, precis som grader, en enhet för att mäta vinklar. Om båglängden till en cirkelsektor är lika lång som cirkelns radie bildas en vinkel som är 11 radian (rad), vilket motsvarar ungefär 57.3.57.3^\circ.


Animera 1 rad

Om båglängden istället är 22 radier lång blir vinkeln 22 radianer, osv. Radianbegreppet är alltså ett mått på antalet rr som vinkeln spänner upp på cirkelranden.

Förhållandet mellan grader och radianer följer sambandet 180=π rad180^\circ=\pi \text{ rad}. I beräkningar skriver man sällan ut "rad" efter en vinkel angiven i radianer. Det betyder att om man t.ex. ska beräkna cosinusvärdena cos(64)ochcos(5) \cos(64^\circ) \quad \text{och} \quad \cos(5)

måste man i första beräkningen ha räknaren inställd på grader och i den andra på radianer. Radianer kan upplevas som besvärliga, men de förenklar beräkningar vid bl.a. derivering och integrering. Dessutom är det SI-enheten för vinklar, så det är bra att vänja sig.
Uppgift

Omvandla 4545^\circ till radianer och π2 rad\frac{\pi}{2} \text{ rad} till grader.

Visa lösning Visa lösning
Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar

I tabeller med sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar anges vinklarna ofta i både grader och radianer.

vv (grader) 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
vv (radianer) 00 π6\dfrac{\pi}{6} π4\dfrac{\pi}{4} π3\dfrac{\pi}{3} π2\dfrac{\pi}{2} 2π3\dfrac{2\pi}{3} 3π4\dfrac{3\pi}{4} 5π6\dfrac{5\pi}{6} π\pi
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00 -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
tan(v) \tan(v) 00 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3} Odef. -3\text{-}\sqrt{3} -1\text{-} 1 -13\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}} 00

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna med räknare och avrunda till två decimaler.

a

sin(3)\sin(3^\circ)

b

sin(3)\sin(3)

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Omvandla följande vinklar till radianer. Avrunda till tre decimaler.

a

36.736.7^\circ

b

187.5187.5^\circ

c

221.4221.4^\circ

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vinklarna nedan är angivna i radianer. Avgör hur många grader de är och avrunda till två decimaler.

a

2.2862.286 rad

b

0.3970.397 rad

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm triangelns vinklar utan att använda räknaren. Svara i både radianer och grader.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm storleken av vinkeln vv i radianer.

a
b
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln vv i radianer.

a
b
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.

a

sin2(π3)+cos2(π3)\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

b

cos2(3π4)+sin2(3π4)\cos^2\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna den likbenta triangelns vinklar. Svara i radianer med två decimaler.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkelsumman för en sjuhörning. Svara i radianer.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Finns det någon vinkel som har samma värde i radianer och grader?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Skriv talen i storleksordning med det minsta först, utan att använda räknare.
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två punkter PP och QQ ligger på enhetscirkeln i första kvadranten. De har xx-koordinaterna 0.10.1 och 0.6.0.6. Hur lång är den kortaste cirkelbågen mellan PP och Q?Q? Svara i radianer med två decimaler.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Fem identiska cirklar är placerade så att de tangerar varandra och bildar en regelbunden femhörning då deras mittpunkter förbinds enligt bilden.

Är det kortare att gå ett varv längs båglängderna inuti femhörningen (blå) eller längs femhörningens kanter (röd)? Bestäm förhållandet mellan dessa sträckor.

b

Vad blir förhållandet om man istället gör en motsvarande figure med 66 cirklar?

c

Vad blir förhållandet då antalet cirklar i figuren går mot oändligheten?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}