Radianer

Till vardags är grader den absolut vanligaste enheten för att mäta vinklar. En grad är definierad så att

360

grader motsvarar ett helt varv, men varför inte välja något annat? Fördelen med grader är att

360

kan delas på många olika sätt, men det finns även enheter för att mäta vinklar som har andra fördelar. En sådan är radianer, som är speciellt användbar inom trigonometri.

Begrepp

Radian

Radianer är, precis som grader, en enhet för att mäta vinklar. Om båglängden till en cirkelsektor är lika lång som cirkelns radie bildas en vinkel som är $1$ radian (rad), vilket motsvarar ungefär $57.3^\circ.$

Animera 1 rad

Om båglängden istället är $2$ radier lång blir vinkeln $2$ radianer, osv. Radianbegreppet är alltså ett mått på antalet $r$ som vinkeln spänner upp på cirkelranden.

Förhållandet mellan grader och radianer följer sambandet $180^\circ=\pi \text{ rad}$ . I beräkningar skriver man sällan ut "rad" efter en vinkel angiven i radianer. Det betyder att om man t.ex. ska beräkna cosinusvärdena $\cos(64^\circ) \quad \text{och} \quad \cos(5)$

måste man i första beräkningen ha räknaren inställd på grader och i den andra på radianer. Radianer kan upplevas som besvärliga, men de förenklar beräkningar vid bl.a. derivering och integrering. Dessutom är det SI-enheten för vinklar, så det är bra att vänja sig.

Omvandla mellan grader och radianer

Uppgift

Omvandla $45^\circ$ till radianer och $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$ till grader.

Lösning

För att omvandla en vinkel från grader till radianer använder vi $1^\circ= \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}.$ Detta anger hur många radianer $1^\circ$ motsvarar, och $45^\circ$ motsvarar då $45$ gånger detta. Vi omvandlar alltså genom att multiplicera vinkeln med $\frac{\pi}{180}.$

45^\circ

1^\circ = \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}

45 \cdot \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}

a\cdot\dfrac{b}{c}= \dfrac{a\cdot b}{c}

\dfrac{45\pi}{180}\text{ rad}

Förkorta med

5

\dfrac{9\pi}{36}\text{ rad}

Förkorta med

9

\dfrac{\pi}{4}\text{ rad}

$45^\circ$ är alltså $\frac{\pi}{4}$ radianer. Det går förstås att knappa in detta på räknaren och svara på decimalform, men eftersom decimalföljden blir oändlig brukar man lämna det på exakt form, alltså $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\text{ rad.}$ För att omvandla från radianer till grader använder vi istället $1\text{ rad}= \dfrac{180^\circ}{\pi}.$ Detta anger hur många grader en radian motsvarar. På samma sätt som tidigare multiplicerar vi vår vinkel med den här omvandlingsfaktorn för att byta enhet.

\dfrac{\pi}{2}\text{ rad}

1\text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}

\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}

Multiplicera bråk

\dfrac{\pi 180^\circ}{2\pi}

Förkorta med

\pi

\dfrac{180^\circ}{2}

Beräkna kvot

90^\circ

$\frac{\pi}{2}$ radianer är alltså $90^\circ.$

Visa lösning

Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar

I tabeller med sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar anges vinklarna ofta i både grader och radianer.

$v$ (grader)	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$v$ (radianer)	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$
$\sin(v)$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\cos(v)$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$\text{-}\dfrac{1}{2}$	$\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\text{-}1$
$\tan(v)$	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	Odef.	$\text{-}\sqrt{3}$	$\text{-} 1$	$\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

Radianer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Radian

Exempel

Omvandla mellan grader och radianer

Trigonometriska värden för standardvinklar

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Trigonometriska samband och ekvationer

Exempel

Omvandla mellan grader och radianer

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}