Logga in
| 5 sidor teori |
| 13 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Radianer är, precis som grader, en enhet för att mäta vinklar. Om båglängden till en cirkelsektor är lika lång som cirkelns radie bildas en vinkel som är 1 radian (rad), vilket motsvarar ungefär 57.3∘.
Om båglängden istället är 2 radier lång blir vinkeln 2 radianer, osv. Radianbegreppet är alltså ett mått på antalet r som vinkeln spänner upp på cirkelranden.
Från sambandet 180∘=π rad kan man härleda två omvandlingsregler genom att dela båda led med antingen 180 eller π.
VL/π=HL/π
Beräkna kvot
Omarrangera ekvation
1 radian motsvarar alltså π180≈57.3 grader. Andra vinklar i radianer kan omvandlas till grader genom att multiplicera med detta värde.
Omvandla 45∘ till radianer och 2π rad till grader.
1∘=180π rad
a⋅cb=ca⋅b
Förkorta med 5
Förkorta med 9
1 rad=π180∘
Multiplicera bråk
Förkorta med π
Beräkna kvot
I tabeller med sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar anges vinklarna ofta i både grader och radianer.
v (grader) | 0∘ | 30∘ | 45∘ | 60∘ | 90∘ | 120∘ | 135∘ | 150∘ | 180∘ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
v (radianer) | 0 | 6π | 4π | 3π | 2π | 32π | 43π | 65π | π |
sin(v) | 0 | 21 | 21 | 23 | 1 | 23 | 21 | 21 | 0 |
cos(v) | 1 | 23 | 21 | 21 | 0 | −21 | −21 | −23 | −1 |
tan(v) | 0 | 31 | 1 | 3 | Odef. | −3 | −1 | −31 | 0 |
Beräkna med räknare och avrunda till två decimaler.
Enheten för talet 3 innanför parentesen är grader och räknaren måste därför vara inställd på grader. Nu kan vi slå in beräkningen.
sin(3^(∘)) är alltså ungefär 0.05.
Nu står det ingen enhet för talet 3 och då är det radianer som används. Vi måste därför ändra enheten till radianer på räknaren.
sin(3) är ungefär 0.14.
Omvandla vinkeln till radianer. Avrunda till tre decimaler.
Grader och radianer är två olika enheter för vinklar. För att omvandla mellan dessa använder vi sambandet 1^(∘)= π180 rad. Vi multiplicerar därför 36.7 med π180.
Det betyder att 36.7^(∘) är ungefär 0.641 rad.
Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften och multiplicerar 187.5 med π180.
187.5^(∘) är ungefär 3.272 rad.
Återigen använder vi sambandet mellan grader och radianer. Vi multiplicerar alltså 221.4 med π180.
Vi har nu fått att 221.4^(∘) ungefär är 3.864 rad.
Vinkeln är angiven i radianer. Avgör hur många grader den är och avrunda till två decimaler.
Grader och radianer är två olika enheter för vinklar. För att omvandla från radianer till grader använder vi att 1 rad = 180^(∘)π. Vi multiplicerar därför 2.286 med 180π.
Det betyder att 2.286 radianer är ungefär 130.98^(∘).
Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften och multiplicerar 0.397 med 180π.
Vinkeln 0.397 radianer är alltså ungefär 22.75^(∘).
Bestäm triangelns största vinkel utan att använda räknaren. Svara i radianer.
En rät vinkel är utritad, så vi kan börja med att konstatera att triangeln har en vinkel som är 90^(∘) eller, uttryckt i radianer, 90*π/180=π/2rad. Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi bestämma övriga vinklar, som vi kallar v_1 och v_2, med sinus och cosinus.
Vi börjar med att bestämma v_1 med cosinus eftersom vi vet närliggande katet och hypotenusan. cos(v_1)=Närliggande katet/Hypotenusa= 1/2 Från de trigonometriska värdena för standardvinklar får vi att v_1=60^(∘), eller 60*π/180=π/3rad. Den sista vinkeln, v_2, kan nu bestämmas med triangelns vinkelsumma men vi väljer att göra det med sinus. sin(v_2)=Motstående katet/Hypotenusa= 12 Sinusvärdet 12 motsvarar standardvinkeln 30^(∘), eller 30*π/180=π/6rad. Triangeln har alltså vinklarna 30^(∘), 60^(∘) och 90^(∘) eller, uttryckt i radianer, π6, π3 och π2.
Bestäm storleken av vinkeln v i radianer. Avrunda till två decimaler.
Radianer beskriver förhållandet mellan en cirkelsektors båglängd och cirkelns radie. För att hitta vinkeln v i radianer delar vi bågens längd med radien. 8.2/13=0.63076...≈0.63 Vinkeln v är ungefär 0.63 radianer.
Precis som i förra uppgiften kan vi beräkna en vinkel genom att dela båglängden med radien.
6/1.6=3.75
Vinkeln är alltså 3.75 radianer, men det är inte den vinkeln vi söker. Vi har räknat ut vinkeln till båglängden 6 dm.
Ett varv är uttryckt i radianer är 2 π rad. Vinklarna 3.75 och v utgör tillsammans ett helt varv, vi kan därför räkna ut v.
Den sökta vinkeln v är alltså cirka 2.53 radianer.
Bestäm vinkeln v i radianer. Avrunda till två värdesiffror.
Från figuren vet vi att den motstående kateten till vinkeln v är 5.8 m och att hypotenusan är 6.5 m. Med denna information kan vi bestämma sinusvärdet för vinkeln. sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa=5.8/6.5 Nu använder vi arcussinus för att bestämma den vinkel som svarar mot sinusvärdet 5.86.5. Vi måste komma ihåg att ha räknaren inställd på radianer.
Vinkeln v är cirka 1.1 rad.
Nu vet vi istället längden på den närliggande kateten och hypotenusan. Då kan vi bestämma cosinusvärdet för vinkeln:
cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa=27/32.
Till sist använder vi arcuscosinus för att bestämma själva vinkeln.
Vinkeln v är alltså ungefär 0.57 rad.