2. Radianer
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
2.
Radianer
Den angivna Lektionen handlar om radianer, en enhet för att mäta vinklar som är särskilt användbar inom trigonometri. I vardagen är grader den vanligaste enheten för att mäta vinklar, definierad så att 360 grader motsvarar en hel cirkel. Men radianer erbjuder vissa fördelar, särskilt i beräkningar som involverar derivata och integration. Relationen mellan radianer och grader utforskas, med exempel på konvertering mellan de två. Innehållet inkluderar också övningar och lösningar för att beräkna och konvertera vinklar i radianer och grader. Informationen presenteras klart och förståeligt, och är lämplig för dem som studerar matematik.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 7 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Radianer
Sida av 7
Till vardags är grader den absolut vanligaste enheten för att mäta vinklar. En grad är definierad så att 360 grader motsvarar ett helt varv, men varför inte välja något annat? Fördelen med grader är att 360 kan delas på många olika sätt, men det finns även enheter för att mäta vinklar som har andra fördelar. En sådan är radianer, som är speciellt användbar inom trigonometri.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Radian
- Samband mellan radianer och grader
- Trigonometriska värden för standardvinklar
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Radian
Radianer är, precis som grader, en enhet för att mäta vinklar. Om båglängden till en cirkelsektor är lika lång som cirkelns radie bildas en vinkel som är 1 radian (rad), vilket motsvarar ungefär 57,3^(∘).
1 rad=57,3^(∘)
Se hur vinkeln 1 rad mäts i en cirkel.
Om båglängden istället är 2 radier lång blir vinkeln 2 radianer, osv. Radianbegreppet är alltså ett mått på antalet r som vinkeln spänner upp på cirkelranden.
Sambandet mellan radianer och grader
I beräkningar skriver man sällan ut rad
efter en vinkel angiven i radianer. Det betyder att:
- för cos 64^(∘) ska räknaren vara inställd på grader.
- för cos 5 ska räknaren vara inställd på radianer.
Radianer kan upplevas som besvärliga, men de förenklar beräkningar vid bl.a. derivering och integrering. Dessutom är det SI-enheten för vinklar, så det är bra att vänja sig.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Samband mellan radianer och grader
Eftersom både grader och radianer är vanliga vinkelenheter vill man ibland växla mellan dem. Omvandlingsreglerna kan vara lätta att blanda ihop, men genom att komma ihåg ett övergripande samband kan man härleda dem för sig själv.
360^(∘) = 2π rad eller 180^(∘) = π rad
Från sambandet 180^(∘) = π rad kan man härleda två omvandlingsregler genom att dela båda led med antingen 180 eller π.
Regel
180 ^(∘) = π radHur många radianer motsvarar 360^(∘), alltså ett helt varv? Cirkelbågen för ett helt varv är cirkelns omkrets, 2π r. Om man dividerar det med längden r, som motsvarar cirkelbågen för 1 radian, får man hur många radianer som går på ett helt varv.
2π r/r = 2π
Ett varv är alltså 2π radianer. I grader är det 360^(∘), vilket ger sambandet 360^(∘) = 2π rad. Dividerar man sedan båda led med 2 får man
180^(∘) = π rad.
Ett halvt varv motsvarar alltså π radianer.
2π r/r = 2π
Ett varv är alltså 2π radianer. I grader är det 360^(∘), vilket ger sambandet 360^(∘) = 2π rad. Dividerar man sedan båda led med 2 får man
180^(∘) = π rad.
Ett halvt varv motsvarar alltså π radianer.
Regel
1 ^(∘) = π/180 radRegel
1 rad = 180^(∘)/πGenom att dela med π får man ett uttryck för 1 radian.
180 ^(∘) = π rad
DivEqn
.VL /π.=.HL /π.
180^(∘)/π = π/π rad
CalcQuot
Beräkna kvot
180^(∘)/π = 1 rad
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
1 rad = 180^(∘)/π
1 radian motsvarar alltså 180/π ≈ 57,3 grader. Andra vinklar i radianer kan omvandlas till grader genom att multiplicera med detta värde.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Omvandla mellan grader och radianer
Omvandla 45^(∘) till radianer och π/2 rad till grader.
Svar
45^(∘) = π/4rad och π/2rad=90^(∘)
Ledtråd
Kom ihåg sambandet mellan radianer och grader.
Lösning
För att omvandla en vinkel från grader till radianer använder vi
1^(∘)= π/180rad. Detta anger hur många radianer 1^(∘) motsvarar, och 45^(∘) motsvarar då 45 gånger detta.
45^(∘)
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
45 * 1^(∘)
Substitute
1^(∘)= π/180rad
45 * π/180rad
MoveLeftFacToNum
a*b/c= a* b/c
45π/180rad
ReduceFrac
Förkorta med 5
9π/36rad
ReduceFrac
Förkorta med 9
π/4rad
45^(∘) är alltså π4 radianer. Det går förstås att knappa in detta på räknaren och svara på decimalform, men eftersom decimalföljden blir oändlig brukar man lämna det på exakt form, alltså 45^(∘) = π/4rad. För att omvandla från radianer till grader använder vi istället 1rad= 180^(∘)/π. Detta anger hur många grader en radian motsvarar. På samma sätt som tidigare multiplicerar vi vår vinkel med den här omvandlingsfaktorn för att byta enhet.
π/2rad
Substitute
1rad= 180^(∘)/π
π/2* 180^(∘)/π
MultFrac
Multiplicera bråk
π 180^(∘)/2π
ReduceFrac
Förkorta med π
180^(∘)/2
CalcQuot
Beräkna kvot
90^(∘)
π/2 radianer är alltså 90^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Öva omvandling mellan grader och radianer
Använd sambandet mellan grader och radianer för att omvandla dem. Avrunda svaren enligt instruktionerna.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Memo
Trigonometriska värden för standardvinklar
I tabeller med sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar anges vinklarna ofta i både grader och radianer. Dessa vinklar har exakta trigonometriska värden. Värdena kan skrivas med enkla bråk och kvadratrötter. Detta gör dem särskilt användbara för exakta beräkningar.
| v (grader) | 0^(∘) | 30^(∘) | 45^(∘) | 60^(∘) | 90^(∘) | 120^(∘) | 135^(∘) | 150^(∘) | 180^(∘) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| v (radianer) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π |
| sin(v) | 0 | 1/2 | 1/sqrt(2) | sqrt(3)/2 | 1 | sqrt(3)/2 | 1/sqrt(2) | 1/2 | 0 |
| cos(v) | 1 | sqrt(3)/2 | 1/sqrt(2) | 1/2 | 0 | -1/2 | -1/sqrt(2) | -sqrt(3)/2 | -1 |
| tan(v) | 0 | 1/sqrt(3) | 1 | sqrt(3) | Odef. | -sqrt(3) | - 1 | -1/sqrt(3) | 0 |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Bemästra trigonometriska värden för standardvinklar
Trigonometriska värden för standardvinklar är grundläggande inom matematiken och används ofta både i problemlösning och vidare studier. Genom att lära dig de exakta värdena för dessa vinklar kan du arbeta snabbare och mer säkert med trigonometriska uttryck.
I följande uppgifter får du öva på att återge de exakta värdena för vanliga standardvinklar.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Radianer
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"rad","answer":{"text":["0,641"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"rad","answer":{"text":["3,272"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"rad","answer":{"text":["3,864"]}}
security
report
code
security
report
code
Grader och radianer är två olika enheter för vinklar. För att omvandla mellan dessa använder vi sambandet 1^(∘)=π/180rad. Vi multiplicerar därför 36,7 med π/180.
Det betyder att 36,7^(∘) är ungefär 0,641rad.
Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften och multiplicerar 187,5 med π/180.
187,5^(∘) är ungefär 3,272 rad.
Återigen använder vi sambandet mellan grader och radianer. Vi multiplicerar alltså 221,4 med π/180.
Vi har nu fått att 221,4^(∘) ungefär är 3,864 rad.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"v\u2248","formTextAfter":"rad","answer":{"text":["0,63"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"v\u2248","formTextAfter":"rad","answer":{"text":["2,53"]}}
security
report
code
security
report
code
Radianer beskriver förhållandet mellan en cirkelsektors båglängd och cirkelns radie. För att hitta vinkeln v i radianer delar vi bågens längd med radien.
Vinkeln v är ungefär 0,63 radianer.
Precis som i förra uppgiften kan vi beräkna en vinkel genom att dela båglängden med radien.
6/1,6=3,75
Vinkeln är alltså 3,75 radianer, men det är inte den vinkeln vi söker. Vi har räknat ut vinkeln till båglängden 6dm.
Ett varv är uttryckt i radianer är 2 πrad. Vinklarna 3,75 och v utgör tillsammans ett helt varv, vi kan därför räkna ut v.
Den sökta vinkeln v är alltså cirka 2,53 radianer.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,05"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,14"]}}
security
report
code
security
report
code
Enheten för talet 3 innanför parentesen är grader och räknaren måste därför vara inställd på grader. Nu kan vi slå in beräkningen.
sin 3^(∘) är alltså ungefär 0,05.
Nu står det ingen enhet för talet 3 och då är det radianer som används. Vi måste därför ändra enheten till radianer på räknaren.
sin 3 är ungefär 0,14.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["130,98"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["22,75"]}}
security
report
code
security
report
code
Grader och radianer är två olika enheter för vinklar. För att omvandla från radianer till grader använder vi att 1 rad=180^(∘)/π. Vi multiplicerar därför 2,286 med 180/π.
Det betyder att 2,286 radianer är ungefär 130,98^(∘).
Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften och multiplicerar 0,397 med 180/π.
Vinkeln 0,397 radianer är alltså ungefär 22,75^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"v\u2248","formTextAfter":"rad","answer":{"text":["1,1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"v\u2248","formTextAfter":"rad","answer":{"text":["0,57"]}}
security
report
code
security
report
code
Från figuren vet vi att den motstående kateten till vinkeln v är 5,8m och att hypotenusan är 6,5m. Med denna information kan vi bestämma sinusvärdet för vinkeln. sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa=5,8/6,5 Nu använder vi arcussinus för att bestämma den vinkel som svarar mot sinusvärdet 5,8/6,5. Vi måste komma ihåg att ha räknaren inställd på radianer.
Vinkeln v är cirka 1,1rad.
Nu vet vi istället längden på den närliggande kateten och hypotenusan. Då kan vi bestämma cosinusvärdet för vinkeln:
cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa=27/32.
Till sist använder vi arcuscosinus för att bestämma själva vinkeln.
Vinkeln v är alltså ungefär 0,57rad.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm triangelns vinklar utan att använda miniräknare. Svara i radianer.
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false,"ordermatters":false,"numinput":3,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{\\pi}{2}","\\dfrac{\\pi}{3}","\\dfrac{\\pi}{6}"]}}
security
report
code
security
report
code
En rät vinkel är utritad, så vi kan börja med att konstatera att triangeln har en vinkel som är 90^(∘) eller, uttryckt i radianer, 90*π/180=π/2rad. Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi bestämma övriga vinklar, som vi kallar v_1 och v_2, med sinus och cosinus.
Vi börjar med att bestämma v_1 med cosinus eftersom vi vet närliggande katet och hypotenusan. cos(v_1)=Närliggande katet/Hypotenusa= 1/2 Från de trigonometriska värdena för standardvinklar får vi att v_1=60^(∘), eller 60*π/180=π/3rad. Den sista vinkeln, v_2, kan nu bestämmas med triangelns vinkelsumma men vi väljer att göra det med sinus. sin(v_2)=Motstående katet/Hypotenusa= 1/2 Sinusvärdet 1/2 motsvarar standardvinkeln 30^(∘), eller 30*π/180=π/6rad. Triangeln har alltså vinklarna 30^(∘), 60^(∘) och 90^(∘) eller, uttryckt i radianer, π/6, π/3 och π/2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["grader","radianer"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["135"]},{"type":1,"text":["\\dfrac{3\\pi}{4}"]}]}}
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["grader","radianer"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["240"]},{"type":1,"text":["\\dfrac{4\\pi}{3}"]}]}}
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["grader","radianer"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["288"]},{"type":1,"text":["\\dfrac{8\\pi}{5}"]}]}}
security
report
code
security
report
code
De streckade linjerna tillsammans med x- och y-axlarna delar in ett helt varv i 8 lika stora vinklar.
Eftersom ett helt varv är 360^(∘), blir varje sådan vinkel: 360^(∘)/8 = 45^(∘) Vinkeln v i figuren omfattar 3 av dessa lika stora vinklar, alltså är: v = 3 * 45^(∘) = 135 ^(∘) Nu uttrycker vi vinkeln i radianer. Ett helt varv motsvarar 2π radianer, så varje av de 8 vinklarna är: 2π/8 = π/4 Därför är vinkeln v, som omfattar 3 sådana delar: v = 3 * π/4 = 3π/4 Vinkeln v mäter 135^(∘), vilket motsvarar 3π/4 radianer.
I den givna figuren kan vi se att 6 lika stora vinklar utgör ett helt varv.
Eftersom ett helt varv är 360^(∘), är varje liten vinkel: 360^(∘)/6 = 60^(∘) Vinkeln v omfattar 4 av dessa vinklar, alltså är: v = 4 * 60^(∘) = 240^(∘) I radianer motsvarar ett helt varv 2π, så varje liten vinkel är: 2π/6 = π/3 Därför är vinkeln v: v = 4 * π/3 = 4π/3
I den givna figuren kan vi se att 5 lika stora vinklar utgör ett helt varv.
Eftersom ett helt varv är 360^(∘), är varje liten vinkel: 360^(∘)/5 = 72^(∘) Vinkeln v omfattar 4 av dessa vinklar, alltså är: v = 4 * 72^(∘) = 288^(∘) Nu konverterar vi 288^(∘) till radianer.
Därför är vinkeln v: v = 288 ^(∘) = 8π/5
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Beräkna x- och y-koordinaterna för punkten p. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":"P=","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-\\sqrt{3}","text2":"-1"}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill bestämma koordinaterna för punkten P, som ligger på en cirkel med radien 2 och centrum i origo. För att göra detta använder vi trigonometriska samband och rätvinkliga trianglar.
Först bestämmer vi referensvinkeln v. Vi subtraherar π från 7π/6.
Detta innebär att vi kan betrakta en rätvinklig triangel med vinkeln π/6. Låt x och y beteckna längderna på triangelns kateter.
Med hjälp av trigonometriska samband kan vi bestämma kateternas längder och därmed koordinaterna för punkten P.
| Cosinusvärde | Sinusvärde |
|---|---|
| cos ( π/6 ) = x/2 | sin ( π/6 ) = y/2 |
| sqrt(3)/2 = x/2 | 1/2 = y/2 |
| x = sqrt(3) | y = 1 |
Koordinaterna för punkten P är alltså (- sqrt(3), - 1).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Radianer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll