Radianer

Till vardags är grader den absolut vanligaste enheten för att mäta vinklar. En grad är definierad så att 360 grader motsvarar ett helt varv, men varför inte välja något annat? Fördelen med grader är att 360 kan delas på många olika sätt, men det finns även enheter för att mäta vinklar som har andra fördelar. En sådan är radianer, som är speciellt användbar inom trigonometri.

Begrepp

Radian

Radianer är, precis som grader, en enhet för att mäta vinklar. Om båglängden till en cirkelsektor är lika lång som cirkelns radie bildas en vinkel som är 1 radian (rad), vilket motsvarar ungefär $57 . 3^{\circ} .$

Animera 1 rad

Om båglängden istället är 2 radier lång blir vinkeln 2 radianer, osv. Radianbegreppet är alltså ett mått på antalet r som vinkeln spänner upp på cirkelranden.

I beräkningar skriver man sällan ut "rad" efter en vinkel angiven i radianer. Det betyder att om man t.ex. ska beräkna cosinusvärdena

cos (6 4^{\circ}) och cos (5)

måste man i första beräkningen ha räknaren inställd på grader och i den andra på radianer. Radianer kan upplevas som besvärliga, men de förenklar beräkningar vid bl.a. derivering och integrering. Dessutom är det SI-enheten för vinklar, så det är bra att vänja sig.

Regel

Samband mellan radianer och grader

Eftersom både grader och radianer är vanliga vinkelenheter vill man ibland växla mellan dem. Omvandlingsreglerna kan vara lätta att blanda ihop, men genom att komma ihåg ett övergripande samband kan man härleda dem för sig själv.

Regel

18 0^{\circ} = π

rad

Hur många radianer motsvarar

36 0^{\circ},

alltså ett helt varv? Cirkelbågen för ett helt varv är cirkelns omkrets, 2

π

r. Om man dividerar det med längden r, som motsvarar cirkelbågen för 1 radian, får man hur många radianer som går på ett helt varv.

Ett varv är alltså 2

π

radianer. I grader är det

36 0^{\circ},

vilket ger sambandet

36 0^{\circ} = 2 π

rad. Dividerar man sedan båda led med 2 får man

18 0^{\circ} = π rad .

Ett halvt varv motsvarar alltså

π

radianer.

Regel

Omvandlingsregler

Från sambandet $18 0^{\circ} = π$ rad kan man härleda två omvandlingsregler genom att dela båda led med antingen 180 eller $π$ .

Regel

1^{\circ} = \frac{π}{1 8 0}

rad

Genom att dela med 180 får man ett uttryck för

1^{\circ} .

18 0^{\circ} = π rad

DivEqn

$VL / 180 = HL / 180$

\frac{1 8 0}{1 8 0}^{\circ} = \frac{π}{1 8 0} rad

CalcQuot

Beräkna kvot

1^{\circ} = \frac{π}{1 8 0} rad

1^{\circ}

motsvarar alltså

\frac{π}{1 8 0} \approx 0.017

radianer. Andra vinklar i grader kan omvandlas till radianer genom att multiplicera med detta värde.

Regel

1 rad = \frac{1 8 0 ^{\circ}}{π}

Genom att dela med

π

får man ett uttryck för 1 radian.

18 0^{\circ} = π rad

DivEqn

$VL / π = HL / π$

\frac{1 8 0 ^{\circ}}{π} = \frac{π}{π} rad

CalcQuot

Beräkna kvot

\frac{1 8 0 ^{\circ}}{π} = 1 rad

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

1 rad = \frac{1 8 0 ^{\circ}}{π}

1 radian motsvarar alltså $\frac{1 8 0}{π} \approx 57.3$ grader. Andra vinklar i radianer kan omvandlas till grader genom att multiplicera med detta värde.

Omvandla mellan grader och radianer

fullscreen

Omvandla $4 5^{\circ}$ till radianer och $\frac{π}{2} rad$ till grader.

Visa Lösning

För att omvandla en vinkel från grader till radianer använder vi

1^{\circ} = \frac{π}{1 8 0} rad .

Detta anger hur många radianer

1^{\circ}

motsvarar, och

4 5^{\circ}

motsvarar då 45 gånger detta. Vi omvandlar alltså genom att multiplicera vinkeln med

\frac{π}{1 8 0} .

4 5^{\circ}

$1^{\circ} = \frac{π}{1 8 0} rad$

45 \cdot \frac{π}{1 8 0} rad

MoveLeftFacToNum

$a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}$

\frac{4 5 π}{1 8 0} rad

ReduceFrac

Förkorta med 5

\frac{9 π}{3 6} rad

ReduceFrac

Förkorta med 9

\frac{π}{4} rad

4 5^{\circ}

är alltså

\frac{π}{4}

radianer. Det går förstås att knappa in detta på räknaren och svara på decimalform, men eftersom decimalföljden blir oändlig brukar man lämna det på exakt form, alltså

4 5^{\circ} = \frac{π}{4} rad .

För att omvandla från radianer till grader använder vi istället

1 rad = \frac{1 8 0 ^{\circ}}{π} .

Detta anger hur många grader en radian motsvarar. På samma sätt som tidigare multiplicerar vi vår vinkel med den här omvandlingsfaktorn för att byta enhet.

\frac{π}{2} rad

$1 rad = \frac{1 8 0 ^{\circ}}{π}$

\frac{π}{2} \cdot \frac{1 8 0 ^{\circ}}{π}

MultFrac

Multiplicera bråk

\frac{π 1 8 0 ^{\circ}}{2 π}

ReduceFrac

Förkorta med $π$

\frac{1 8 0 ^{\circ}}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

9 0^{\circ}

\frac{π}{2}

radianer är alltså

9 0^{\circ} .

Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar

I tabeller med sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar anges vinklarna ofta i både grader och radianer.

v (grader)	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
v (radianer)	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$sin (v)$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$cos (v)$	1	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	-1
$tan (v)$	0	$\frac{1}{3}$	1	$3$	Odef.	$- 3$	-1	$- \frac{1}{3}$	0

Regel

Regel

Regel

Exempel

Omvandla mellan grader och radianer