Skivmetoden är en metod för att beräkna volymer av rotationskroppar och används främst för kroppar som uppkommer genom rotation kring x-axeln.
Volymen av den kropp som bildas när man roterar området under grafen till funktionen f(x) runt x-axeln kan enligt skivmetoden beräknas med en integral.
V=π∫ab(f(x))2dx
Man kan härleda denna formel genom att tänka sig att kroppen är uppbyggd av skivor, där varje skiva är en cylinder med höjden Δx och radien f(x).
Summerar man skivornas volymer får man en uppskattning av rotationskroppens volym. Man kan bestämma ett uttryck för volymen av respektive skiva med volymformeln för en cylinder: Vcylinder=πr2h. Varje skiva har tjockleken Δx, men radierna varierar. Första skivan har radien f(x1) så dess volym är π(f(x1))2Δx. På samma sätt kan man uttrycka övriga skivors volymer. När man summerar dem får man volymsapproximationen V≈π(f(x1))2Δx+π(f(x2))2Δx+…+π(f(xn))2Δx. Ju fler skivor man använder desto tunnare blir de, vilket gör uppskattningen bättre. Om man låter antalet skivor gå mot oändligheten, vilket innebär att deras tjocklek går mot 0, kommer summan att beskriva rotationskroppens exakta volym. Detta gränsvärde kan skrivas som integralen V=∫abπ(f(x))2dx, där a och b är rotationskroppens undre respektive övre gräns i x-led. Koefficienten π kan flyttas ut ur integralen och man får då formeln för skivmetoden.
V=π∫ab(f(x))2dxBestäm volymen av den rotationskropp som bildas när det blå området roteras kring x-axeln. Avrunda till heltal.
Vi kan börja med att skissa den kropp som bildas när det markerade området mellan graferna roteras.
Rotationskroppen kan liknas vid en tunna som det går ett hål genom. För att bestämma volymen av denna kropp kan vi se den som en differens mellan två andra kroppar: den som bildas när hela området under f(x) roteras runt x-axeln samt den som bildas när man roterar området under g(x).
Subtraherar man volymen av den lilla kroppen, som representerar hålet i tunnan, från volymen av den stora kroppen får man precis volymen av tunnan med hål i.
Med hjälp av skivmetoden kan vi nu bestämma volymen av de två kropparna, och då använder vi formeln V=π∫ab(f(x))2dx. För den stora kroppen sätter vi in f(x)=-0.05x2+5 samt gränserna -6 och 6. Volymen av denna rotationskropp är alltså π∫-66(-0.05x2+5)2dx.
Vi bestämmer volymen av den lilla kroppen med samma formel, men sätter in funktionen g(x)=1 istället. Integrationsgränserna är samma som tidigare. Vi får då att den lilla kroppen har volymen π∫-6612dx.
Bestäm volymen man får om man roterar det markerade området kring y-axeln.
Roterar vi området runt y-axeln får vi en kropp som ser ut på följande sätt.
Skivmetoden kan även användas för rotation kring y-axeln, men då måste man tänka på ett lite annorlunda sätt. Skivorna kommer då att få sin radie från grafens x-värden och tjockleken blir Δy.