Rotationsvolymer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

När man roterar en funktion kan man inte förlita sig på att man får en kropp vars volym enkelt kan beräknas. Då behöver man mer generella metoder som gör det möjligt att beräkna volymen av godtyckliga rotationskroppar. Ett exempel på en sådan är skivmetoden, som kan användas för att beräkna rotationsvolymer runt både xx- och yy-axeln.
Regel

Skivmetoden

Skivmetoden är en metod för att beräkna volymer av rotationskroppar och används främst för kroppar som uppkommer genom rotation kring xx-axeln.

Volymen av den kropp som bildas när man roterar området under grafen till funktionen f(x)f(x) runt xx-axeln kan enligt skivmetoden beräknas med en integral.

V=πab(f(x))2dxV=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x

Man kan härleda denna formel genom att tänka sig att kroppen är uppbyggd av skivor, där varje skiva är en cylinder med höjden Δx\Delta x och radien f(x).f(x).

Skivmetoden2.svg

Summerar man skivornas volymer får man en uppskattning av rotationskroppens volym. Man kan bestämma ett uttryck för volymen av respektive skiva med volymformeln för en cylinder: Vcylinder=πr2h. V_{\text{cylinder}}=\pi r^2 h. Varje skiva har tjockleken Δx,\Delta x, men radierna varierar. Första skivan har radien f(x1)f(x_1) så dess volym är π(f(x1))2Δx.\pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x. På samma sätt kan man uttrycka övriga skivors volymer. När man summerar dem får man volymsapproximationen Vπ(f(x1))2Δx+π(f(x2))2Δx++π(f(xn))2Δx. V \approx \pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x + \pi\,(f(x_2))^2\,\Delta x + \ldots + \pi\,(f(x_{n}))^2\,\Delta x. Ju fler skivor man använder desto tunnare blir de, vilket gör uppskattningen bättre. Om man låter antalet skivor gå mot oändligheten, vilket innebär att deras tjocklek går mot 0,0, kommer summan att beskriva rotationskroppens exakta volym. Detta gränsvärde kan skrivas som integralen V=abπ(f(x))2dx, V=\displaystyle\int_{a}^{b}\pi\,(f(x))^2 \, \text d x , där aa och bb är rotationskroppens undre respektive övre gräns i xx-led. Koefficienten π\pi kan flyttas ut ur integralen och man får då formeln för skivmetoden.

V=πab(f(x))2dx V=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x
Uppgift

Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas när det blå området roteras kring xx-axeln. Avrunda till heltal.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm volymen man får om man roterar det markerade området kring yy-axeln.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rotera följande områden kring xx-axeln och bestäm kropparnas volym.

a
b


1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
I figuren visas en rät linje som går genom bl.a. origo och punkten (4,3).(4,3).

När området under denna linje, från x=0x=0 till x=4,x=4, roteras kring xx-axeln bildas en rotationskropp. Bestäm volymen av denna kropp genom att ställa upp volymen som en integral.

b
Här visas istället en linje som går genom origo och punkten (h,r).(h,r).

När området under denna linje, från x=0x=0 till x=h,x=h, roteras kring xx-axeln bildas också en rotationskropp. Bestäm ett uttryck för volymen av denna kropp på samma sätt som i föregående deluppgift. Tolka också resultatet.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)=3x2+axπf(x)=\frac{3x^2+ax}{\sqrt{\pi}} roteras kring xx-axeln mellan x=0x=0 och x=1.x=1. Bestäm konstanten aa så att volymen av den kropp som bildas är 9215\frac{92}{15} ve.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När följande område roteras kring xx-axeln bildas en rotationskropp.

Beräkna volymen av rotationskroppen genom att

a
använda skivmetoden
b
skissa rotationskroppen och använda en lämplig volymformel.
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm volymen på den kropp som bildas om man roterar det markerade området kring yy-axeln. Svara exakt.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

De två funktionerna f(x)=xf(x)=x och g(x)=x2g(x)=x^2 innesluter i första kvadranten ett område med begränsad area. Hur stor volym får den kropp som bildas då detta område roteras runt x-x\text{-}axeln?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Om man låter funktionen f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} rotera kring xx-axeln från x=1x=1 till någon övre gräns x=ax=a får man en trumpetliknande form.

Om man låter aa gå mot oändligheten kan man visa att begränsningsarean av trumpeten är oändlig. Bestäm volymen av den oändligt långa trumpeten.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det markerade området i figuren roteras runt yy-axeln och bildar då en kropp. Bestäm värdet på tt om rotationskroppen som bildas har volymen 54π.54\pi.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En yta begränsas av funktionen y=x2,y=x^2, linjen x=ax=a och xx-axeln. När denna yta roteras runt yy-axeln skapas en rotationskropp med en grop i. Visa att rotationskroppen får samma volym som gropen för alla värden på a.a.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En konstnär ska göra ett par örhängen. Dess form kan beskrivas av den rotationskropp som bildas när följande område mellan f(x),f(x), g(x)g(x) och xx-axeln roteras kring xx-axeln.

Hur mycket material kommer det att gå åt? Svara i hela mm3.\text{mm}^3. Du får använda digitala hjälpmedel.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Volymen för ett klot, V=4πr33, V=\frac{4\pi r^3}{3}, där rr är radien, kan härledas med hjälp av en integral. Gör det genom att använda att ett klot är en rotationskropp.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}