2. Derivatan av en produkt
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
4.
Derivatan av en produkt
Den här lektionenen förklarar produktregeln, en viktig princip inom derivering. När två funktioner multipliceras ihop skapas en ny funktion. Denna nya funktion kan sedan deriveras med hjälp av produktregeln. Lektionenen går igenom hur man kan bevisa formeln för produktregeln med utgångspunkt i derivatans definition. Den visar också hur man kan använda produktregeln för att lösa olika typer av problem inom matematik. Detta är en viktig färdighet för alla som vill studera matematik på en högre nivå.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 3 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Derivatan av en produkt
Sida av 3
Om två funktioner f(x) och g(x) multipliceras ihop skapas en ny funktion, f(x)* g(x). Exempelvis är y=sin(x)* e^(3x)
en produkt av funktionerna f(x)=sin(x) och g(x)=e^(3x).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Bevis
Produktregeln
För att derivera funktioner som är produkter av andra funktioner använder man den så kallade produktregeln. Den säger att varje funktion ska multipliceras med derivatan av den andra funktionen och att dessa produkter ska adderas.
Bevis
D(f(x)* g(x)))=f'(x)* g(x)+f(x)* g'(x)Man kan bevisa formeln med utgångspunkt i derivatans definition:
D(f(x)) = lim _(h → 0)f(x+h) - f(x)/h.
För funktionen f(x)* g(x), där f(x) och g(x) är deriverbara funktioner, får man
D(f(x)* g(x))=lim _(h → 0)f(x+h)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h.
Hur skriver man om detta gränsvärde som summan i produktregeln? Till att börja med lägger man till och drar bort f(x)* g(x+h) i täljaren. Då kommer man nämligen kunna dela upp gränsvärdet som en summa av två gränsvärden, vilket är ett steg närmare målet.
lim _(h → 0)f(x+h)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h
AddDiffZero
a = a+ f(x)* g(x+h)- f(x)* g(x+h)
lim _(h → 0)f(x+h)* g(x+h)-f(x)* g(x)+ f(x)* g(x+h)- f(x)* g(x+h)/h
RearrangeTerms
Omarrangera termer
lim _(h → 0)f(x+h)* g(x+h)-f(x)* g(x+h)+f(x)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h
WriteSumFrac
Dela upp bråk
lim _(h → 0)(f(x+h)* g(x+h)-f(x)* g(x+h)/h+f(x)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h)
WriteSumLim
Dela upp gränsvärde
lim _(h → 0)f(x+h)* g(x+h)-f(x)* g(x+h)/h+lim _(h → 0)f(x)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h
Det första av dessa gränsvärden kan man nu skriva om och dela upp som produkten av två andra gränsvärden. Dessa kommer att motsvara första delen av produktregeln: f'(x)* g(x).
lim _(h → 0)f(x+h)* g(x+h)-f(x)* g(x+h)/h+lim _(h → 0)f(x)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h
FactorOut
Bryt ut g(x+h)
lim _(h → 0)(f(x+h)-f(x))* g(x+h)/h+lim _(h → 0)f(x)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h
MovePartNumRight
a* b/c=a/c* b
lim _(h → 0)(f(x+h)-f(x)/h* g(x+h))+lim _(h → 0)f(x)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h
Dela upp gränsvärde
lim _(h → 0)f(x+h)-f(x)/h*lim _(h → 0) g(x+h)+lim _(h → 0)f(x)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h
Det första gränsvärdet är definitionen för derivatan av f(x) och kan alltså ersättas med f'(x). Det andra gränsvärdet är lika med g(x) eftersom g(x+h) går mot g(x) när h går mot 0. Detta ger D(f(x)* g(x))=f'(x)* g(x)+lim _(h → 0)f(x)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h. Det andra gränsvärdet måste då motsvara den andra delen av produktregeln, f(x)* g'(x). För att visa detta börjar man med att bryta ut f(x) ur täljaren. Eftersom den funktionen inte påverkas av att h går mot 0 kan den placeras utanför gränsvärdet.
f'(x)* g(x)+lim _(h → 0)f(x)* g(x+h)-f(x)* g(x)/h
FactorOut
Bryt ut f(x)
f'(x)* g(x)+lim _(h → 0)f(x)* (g(x+h)-g(x))/h
LimCoToCoMultLim
lim _(x → a)( k * f(x) ) = k * lim _(x → a)f(x)
f'(x)* g(x)+f(x)* lim _(h → 0)g(x+h)-g(x)/h
Det gränsvärde som finns kvar är definitionen för derivatan av g(x). Genom att byta ut gränsvärdet mot g'(x) får man till sist produktregeln: D(f(x)* g(x))=f'(x)* g(x)+f(x)* g'(x).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Derivera med och utan produktregeln
Visa Lösning expand_more
Vi går igenom och tittar på hur Adrian och Robert skulle kunna ha tänkt när de deriverade f(x).
Regel
Adrian
Adrian talade starkt för produktregeln och trodde att det var enda sättet att derivera funktionen. Då är det bäst att vi använder den.
f(x) = ( x^2 + 19x + 2 ) (2x - 6)
Derive
Derivera funktion
f'(x) = D( ( x^2 + 19x + 2 ) (2x - 6) )
DeriveProd
D( f * g ) = D(f) * g + f * D(g)
f'(x) = D( x^2 + 19x + 2 ) * (2x - 6) + ( x^2 + 19x + 2 ) * D(2x - 6)
DeriveSum
Derivera term för term
f'(x) = ( D(x^2 ) + D(19x) + D(2) ) * (2x - 6) + ( x^2 + 19x + 2 ) * ( D(2x) - D(6) )
DeriveConst
D(a) = 0
f'(x) = ( D(x^2 ) + D(19x) ) * (2x - 6) + ( x^2 + 19x + 2 ) * D(2x)
DeriveXCo
D(ax) = a
f'(x) = ( D(x^2 ) + 19 ) * (2x - 6) + ( x^2 + 19x + 2 ) * 2
DeriveMonom
D(x^n) = nx^(n-1)
f'(x) = ( 2x + 19 ) * (2x - 6) + ( x^2 + 19x + 2 ) * 2
Vi har nu ett uttryck för derivatan. Vi kan förenkla den lite genom att multiplicera ihop parenteserna i den första termen och multiplicera in tvåan i den andra.
f'(x) = ( 2x + 19 ) * (2x - 6) + ( x^2 + 19x + 2 ) * 2
ExpandPar
Multiplicera parenteser
f'(x) = 2x * 2x - 2x * 6 + 19 * 2x - 19 * 6 + ( x^2 + 19x + 2 ) * 2
Distr
Multiplicera in 2
f'(x) = 2x * 2x - 2x * 6 + 19 * 2x - 19 * 6 + x^2 * 2 + 19x * 2 + 2 * 2
Multiply
Multiplicera faktorer
f'(x) = 4x^2 - 12x + 38x - 114 + 2x^2 + 38x + 4
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
f'(x) = 6x^2 + 64x - 110
Adrian bör alltså ha fått följande derivata: f'(x) = 6x^2 + 64x - 110.
Regel
Robert
Robert verkade väldigt övertygad om att det går att derivera funktionen utan produktregeln. Då måste man dock multiplicera ihop de två parenteserna i funktionsuttrycket först.
f(x) = ( x^2 + 19x + 2 ) (2x - 6)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
f(x) = x^2 * 2x - x^2 * 6 + 19x * 2x - 19x * 6 + 2 * 2x - 2 * 6
Multiply
Multiplicera faktorer
f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 38x^2 - 114x + 4x - 12
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
f(x) = 2x^3 + 32x^2 - 110x - 12
Nu har vi ett vanligt polynom som går bra att derivera utan att behöva använda produktregeln.
f(x) = 2x^3 + 32x^2 - 110x - 12
Derive
Derivera funktion
f'(x) = D( 2x^3 ) + D( 32x^2 ) - D(110x) - D(12)
DeriveConst
D(a) = 0
f'(x) = D( 2x^3 ) + D( 32x^2 ) - D(110x)
DeriveXCo
D(ax) = a
f'(x) = D( 2x^3 ) + D( 32x^2 ) - 110
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f'(x) = 6x^2 + 64x^2 - 110
Robert får alltså precis samma derivata som Adrian: f'(x) = 6x^2 + 64x^2 - 110.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Derivatan av en produkt
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6x^2+2x+6"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6x^2+2x+6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar med produktregeln där 1+2x en funktion som multipliceras med funktionen 3+x^2.
Funktionens derivata blir alltså y'=6x^2+2x+6.
Vi multiplicerar först ihop parenteserna. Båda termer i den första parentesen multipliceras med båda i den andra.
Nu deriverar vi.
Vi får samma derivata y'=6x^2+2x+6. Kanske inte så förvånande.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^{2x}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^{2x}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar med hjälp av produktregeln.
Derivatan är alltså y'=2e^(2x).
Låt oss först förenkla funktionen genom att lägga ihop exponenterna.
Vi deriverar nu funktionen med hjälp av regeln för derivering av exponentialfunktioner.
Även nu blev funktionens derivata y'=2e^(2x).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2 + \\ln(x)\\cdot 3x^2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^{2x}\\cdot \\sqrt{x} + \\dfrac{e^{2x}}{2\\sqrt{x}}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["28e^{4x}\\cdot 4^{7x} + 49e^{4x}\\cdot 4^{7x} \\cdot \\ln(4)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["10x\\cdot 3^x + 5x^2\\cdot 3^x\\cdot \\ln(3)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^{x^2\\cdot 2^x}\\cdot(2x\\cdot 2^x+ x^2\\cdot 2^x\\cdot \\ln(2))"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer derivatan med hjälp av produktregeln.
Vi har en produkt igen så vi använder produktregeln igen.
Vi gör på samma sätt.
Inget nytt. Vi gör på samma sätt.
För att derivera funktionen måste vi först derivera med kedjeregeln och sedan produktregeln.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-\\dfrac{1}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Innan vi kan ställa upp ekvationen måste vi bestämma f'(x) genom att derivera funktionen f(x). Eftersom f(x) är en produkt av två funktioner använder vi produktregeln.
Vi sätter nu derivatan till 0 och löser ekvationen.
Vi kan nu använda nollproduktmetoden, men potensen e^x antar aldrig värdet 0 oavsett vad x är. Alltså hittar vi alla lösningar till ekvationen genom att undersöka när parentesen är 0.
Lösningarna till vår ekvation är alltså x = - 2 och x = 0.
Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och deriverar först vår funktion.
Låt oss nu sätta vår derivata till 0 och sedan lösa ekvationen vi får.
Potensen e^(3x) kan inte anta värdet 0. Därför behöver vi endast undersöka när parentesen är 0.
Ekvationen har alltså lösningen x=- 13.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
För de två funktionerna f(x) och g(x) gäller följande. f(3)&=11 och f'(3)=5 [0,3 em] g(3)&=6 och g'(3)=2 Bestäm h'(3) givet att h(x)=f(x)* g(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"h'(3)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["52"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att derivera funktionen h(x)=f(x)* g(x) med hjälp av produktregeln.
Vi sätter nu in x=3 i derivatan och beräknar värdet av h'(3) med hjälp av följande givna värden. f(3)&=11 och f'(3)=5 [0,3 em] g(3)&=6 och g'(3)=2
Vi kan konstatera att h'(3)=52.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Derivatan av en produkt
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll