Differentialekvationer

En differentialekvation är ett samband mellan en funktion, y, och en eller flera av dess derivator, som betecknas y', y'' osv. Låt oss undersöka vilka av sambanden som innehåller både funktion och någon derivata.

Av de samband som presenterades i uppgiften är det alltså B,C,D och E som är differentialekvationer.

I ekvationen förekommer både y och y'. Vi deriverar därför y en gång med deriveringsregeln för e^(kx).

Vi har nu tagit fram derivatan vi behöver. Vi går vidare genom att sätta in uttrycken för y' och y i ekvationen och testar ifall den stämmer.

Eftersom likheten inte är sann har vi nu visat att y= 3e^(6x) är inte en lösning till ekvationen 2y'-36y=0.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift, men här behöver vi istället ta fram andraderivatan y''. Funktionen y= sin(2x) är sammansatt av den yttre funktionen f(x)= sin(x) och den inre funktionen g(x) = 2x, alltså använder vi kedjeregeln.

Nu deriverar vi igen för att få andraderivatan y''.

Nu sätter vi in y och y'' i vår ekvation och testar ifall den stämmer.

Ekvationen stämmer och därmed har vi visat att y=sin(2x) löser differentialekvationen y''+4y=0.

I differentialekvationen förekommer y och y'. Funktionen vi skall undersöka känner vi till men vi behöver alltså ta reda på dess derivata. Låt oss derivera funktionen med hjälp av produktregeln samt räkneregeln för att derivera ln(x).

Vi har nu tagit fram den derivata vi behöver. Vi sätter nu in y och y' i ekvationen och undersöker om det är en lösning.

Då likheten ln(x)=ln(x) är sann för positiva värden på x vet vi att funktionen y=x(ln(x)-1) är en lösning till differentialekvationen y'= yx+1 då x>0.

I differentialekvationen förekommer y och y'. Funktionen känner vi till men vi behöver ta reda på dess derivata. Låt oss derivera funktionen med hjälp av produktregeln.

Vi sätter nu in denna derivata samt funktionen i differentialekvationen för att undersöka om funktionen är en lösning.

Då e^x för det flesta värden på x inte är lika med x^2* e^x kan vi konstatera att den angivna funktionen inte är en lösning till vår differentialekvation.

Vi har fått att mängden snö i dagbrottet beskrivs av funktionen y(t)=2400* t+C. Låt oss bestämma dydt, dvs. vi deriverar funktionen.

Vi fick att derivatan, dvs. förändringen av mängden snö i dagbrottet, är 2400 m^3/dag. Då detta är mängden snö som deponeras i dagbrottet varje dag vet vi att vi kan använda den givna funktionen för att beskriva snömängden.

Vi vet att y(1)=26 000, dvs. funktionens värde då t=1 är 26 000. Vi sätter in dessa värden i funktionen och löser ut C.

Vi kan tolka detta som att det i början av veckan fanns 23 600 m^3 snö i dagbrottet. Men svaret på frågan är att C=23 000.