body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 4 Visa detaljer

6. Tangensekvationer

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 4 /

Kapitel 1

Tangensekvationer

Tangensekvationer är en del av trigonometrin som fokuserar på att hitta vinklar med ett givet tangensvärde. Det behandlar hur man löser dessa ekvationer, liknande sinus- och cosinusekvationer, men med unika egenskaper. Till skillnad från sinus och cosinus har tangens inte samma period. Lektionen förklarar regler och metoder för att lösa tangensekvationer, inklusive användning av arctan och periodicitet. Den ger också exempel och förklaringar på hur tangens tolkas med enhetscirkeln, och hur man använder geometriska tolkningar för att lösa problem. Det är en lektionen för att studera och förstå dessa koncept inom matematik.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Tangensekvationer

Sida av 6

En tangensekvation är en trigonometrisk ekvation där man ska hitta vinklar som har ett givet tangensvärde. Man löser dessa ekvationer på liknande sätt som sinus- och cosinusekvationer, men det finns ingen motsvarande spegling i någon av axlarna för att hitta en spegellösning. Tangens har inte heller samma period som sinus och cosinus.

Regel

Period för tangens

När man avgör perioden för sinus och cosinus kan man i enhetscirkeln se hur många grader man ska rotera för att hamna på samma punkt, och därmed samma trigonometriska värde. Den geometriska tolkningen av tangens är dock inte lika intuitiv och man använder istället sambandet

tan (v) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )}

för att bestämma perioden. Sinus- och cosinusvärdet för en vinkel kan läsas av på

y

- respektive

x

-axeln.

Både sinus och cosinus har perioden $36 0^{\circ} .$ Betyder det att även tangens har det? Svaret är faktiskt nej, och det kan man se genom att undersöka en vinkel som är $18 0^{\circ}$ större än $v .$

Tangensvärdet för vinkeln

v + 18 0^{\circ}

visar sig vara samma som för

v .

Regel

tan (v + 18 0^{\circ}) = tan (v)

För att beräkna det nya tangensvärdet kan man använda kvoten mellan sinus och cosinus. När en vinkel ökar med

18 0^{\circ}

byter både sinus och cosinus tecken.

tan (v + 18 0^{\circ}) = \frac{sin ( v + 1 8 0 ^{\circ} )}{cos ( v + 1 8 0 ^{\circ} )}

SinSumToNegSin

$sin (v + 18 0^{\circ}) = - sin (v)$

tan (v + 18 0^{\circ}) = \frac{- sin ( v )}{cos ( v + 1 8 0 ^{\circ} )}

CosAddHalfPeriodToNegCos

$cos (v + 18 0^{\circ}) = - cos (v)$

tan (v + 18 0^{\circ}) = \frac{- sin ( v )}{- cos ( v )}

Minustecknen tar ut varandra och högerledet förenklas till

tan (v) .

tan (v + 18 0^{\circ}) = \frac{- sin ( v )}{- cos ( v )}

DivNegNeg

$\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}$

tan (v + 18 0^{\circ}) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )}

SinCosToTan

$\frac{sin ( v )}{cos ( v )} = tan (v)$

tan (v + 18 0^{\circ}) = tan (v)

När en vinkel ökar med

18 0^{\circ}

förändras alltså inte tangensvärdet.

För varje varv i enhetscirkeln finns det alltså två punkter med samma tangensvärde, och de skiljs åt med ett halvt varv. Man kan lägga till eller dra ifrån hur många halva varv som helst men man kommer alltid att hamna på någon av dessa punkter. Perioden för tangens är därför

18 0^{\circ},

eller

π .

Man kan skriva det

tan (v + n \cdot 18 0^{\circ}) = tan (v) eller tan (v + n \cdot π) = tan (v),

där

n

är ett godtyckligt heltal.

Metod

Lösa tangensekvationer

I en tangensekvation av typen

tan (v) = 1.75

är man ute efter alla vinklar

v

som har tangensvärdet

1.75 .

Det finns oändligt många sådana eftersom tangensfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår två moment, men när man själv löser ekvationen bör de göras i samma beräkningssteg.

Hitta en lösning med arctan

Med funktionen arcustangens bestämmer man en vinkel som har det givna tangensvärdet. I det här fallet beräknar man alltså

arctan (1.75) .

Lägg till perioder

Tangens har perioden

18 0^{\circ}

(eller

π

), så genom att addera ett godtyckligt antal halva varv bestämmer man alla lösningar. Samtliga lösningar till ekvationen är alltså

v = arctan (1.75) + n \cdot 18 0^{\circ},

där

n

är ett heltal.

Lös tangensekvationen fullständigt

fullscreen

Lös tangensekvationen $tan (v + \frac{π}{6}) = - 3 .$ Svara i radianer.

Visa Lösning

Vi använder arcustangens för att lösa ekvationen och kommer ihåg att lägga till perioden

π .

tan (v + \frac{π}{6}) = - 3

ArcTanEqn

$arctan (VL) = arctan (HL)$

v + \frac{π}{6} = arctan (- 3) + n \cdot π

För att lösa ut

v

subtraherar vi vinkeln

\frac{π}{6}

från båda led. Till sist förenklar vi högerledet.

v + \frac{π}{6} = arctan (- 3) + n \cdot π

SubEqn

$VL - \frac{π}{6} = HL - \frac{π}{6}$

v = arctan (- 3) - \frac{π}{6} + n \cdot π

ArcTanRad

v = - \frac{π}{3} - \frac{π}{6} + n \cdot π

ExpandFracII

Förläng $\frac{π}{3}$ med $2$

v = - \frac{2 π}{6} - \frac{π}{6} + n \cdot π

SubFrac

Subtrahera bråk

v = - \frac{3 π}{6} + n \cdot π

ReduceFrac

Förkorta med $3$

v = - \frac{π}{2} + n \cdot π

Ekvationen har alltså lösningarna

v = - \frac{π}{2} + n \cdot π .

Förklaring

Hur tolkas tangens med enhetscirkeln?

I enhetscirkeln kan man göra direkta avläsningar av $sin (v)$ och $cos (v)$ som koordinater. Motsvarande tolkning av $tan (v)$ är dock lite krångligare. Man utgår då från definitionen av tangens i en rätvinklig triangel.

$tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}$

För en vinkel i enhetscirkelns första kvadrant kan man alltid rita in en rätvinklig triangel med bas $x$ och höjd $y .$ Enligt definitionen ges då tangensvärdet av $tan (v) = \frac{y}{x} .$

Nu kan man förlänga vinkelstrecket tills det skär linjen $x = 1$ och låta det utgöra hypotenusan i en ny rätvinklig triangel.

Dessa trianglar har samma vinklar och är alltså likformiga. Det betyder att man lika gärna kan beräkna

tan (v)

med hjälp av de nya katetlängderna,

x_{2}

och

y_{2} :

tan (v) = \frac{y _{2}}{x _{2}} .

Triangelns bas är

1,

så man kan ersätta

x_{2}

med

1 .

tan (v) = \frac{y _{2}}{1} = y_{2}

I första kvadranten är alltså tangensvärdet höjden på den nya triangeln! En tolkning som fungerar i alla kvadranter är att

tan (v)

motsvarar

y

-värdet för skärningspunkten mellan linjen

x = 1

och det förlängda vinkelstrecket.

Är påståendena sanna eller falska?

fullscreen

Avgör om följande påståenden är sanna eller falska genom att resonera utifrån den geometriska tolkningen av tangens.

1 . tan (v) = 3 har en l \ddot{o} sning p \overset{˚}{a} intervallet 0^{\circ} \leq v \leq 9 0^{\circ} . 2 . tan (v) = - 2 har en l \ddot{o} sning p \overset{˚}{a} intervallet 18 0^{\circ} \leq v \leq 27 0^{\circ} .

Visa Lösning

Vi utreder ett påstående i taget.

Exempel

Första påståendet

Här ska vi avgöra om tangensvärdet

3

svarar mot någon vinkel på intervallet

0^{\circ} \leq v \leq 9 0^{\circ},

dvs. i första kvadranten. Vi använder att tangensvärdet kan tolkas som

y

-värdet i skärningspunkten mellan linjen

x = 1

och vinkelstrecket i enhetscirkeln. Skärningspunkten ska då ha

y

-värdet

3 .

Vilka vinklar kan skapa denna skärningspunkt? Vi ritar en rät linje som går genom origo och $(1, 3)$ . Då ser vi att det finns två vinklar på första varvet som kan ge tangensvärdet $3 .$

Det finns en vinkel i första kvadranten och en i tredje. Påstående $1$ är alltså sant.

Exempel

Andra påståendet

Nu ska vi istället avgöra om tangensvärdet

- 2

motsvarar någon vinkel på intervallet

18 0^{\circ} \leq v \leq 27 0^{\circ},

dvs. i tredje kvadranten. Vi använder en liknande figur som tidigare, men markerar istället skärningspunkten med

y

-värdet

- 2 .

Vilka vinklar ger upphov till denna skärningspunkt?

Det finns två vinklar: en i den andra och en i den fjärde kvadranten, men ingen i den tredje. Det andra påståendet måste därför vara falskt.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Tangensekvationer

Övningar

Lös ekvationen. Svara i grader med en decimal. Låt $n$ vara antalet hela varv i enhetscirkeln.

tan (x) = 0.4

tan (x) = - 2.4

Vi löser tangensekvationer genom att hitta en lösning med arctan och sedan lägga till perioder.

Vi har nu hittat en fullständig lösning till ekvationen.

Vi löser ekvationen på samma sätt som i förra deluppgiften.

Lös ekvationen. Svara med radianer och avrunda till två decimaler. Låt $n$ vara antalet hela varv i enhetscirkeln.

tan (3 x) = 0.8

tan (2 x) + 1.2 = 0

Vi löser tangensekvationer genom att hitta en lösning med arctan och sedan lägga till perioder.

Vi har nu hittat en fullständig lösning till ekvationen.

Vi löser ekvationen på samma sätt.

Lös ekvationen. Svara exakt i grader. Låt $n$ vara antalet hela varv i enhetscirkeln.

sin (x) = - cos (x)

\frac{sin ( x )}{3} = cos (x)

Vi har nu både sinus och cosinus i samma ekvation. Vi har möjligheten att få kvoten .sin(x) /cos(x). som vi sedan skriver om till tan(x). Efter den omskrivningen har vi en vanlig tangensekvation som vi löser som vanligt.

Vi löser den här ekvationen med samma metod som i förra deluppgiften, men här vill vi först flytta över sqrt(3) till högerledet.

Lös ekvationen

1.6 + 2 tan (1.5 x) = 2.6

och ange alla lösningar inom intervallet

0 \leq x \leq 2 π .

Avrunda till två värdesiffror.

Vi löser den här ekvationen som en vanlig tangensekvation, men vi behöver först skriva om den så tan(1.5x) är ensamt i ena ledet.

Vi har nu en fullständig lösning av ekvationen. För att gå vidare behöver vi undersöka vilka av lösningarna som ligger inom det specificerade intervallet. Vi sätter in n tills lösningarna hamnar utanför intervallet.

n	0.31 + n * π/1.5
-1	~ -1.8
0	~ 0.31
1	~ 2.4
2	~ 4.5
3	~ 6.6

Lösningen med n = 3 ligger utanför intervallet, eftersom 2π är cirka 6.28. Vi får alltså 3 lösningar som är inom intervallet. Dessa är x ≈ 0.31, x ≈ 2.4 och x ≈ 4.5.

Man vet att

cos (v) = \frac{3}{2}

och att

v

är en vinkel i första kvadranten. Bestäm ett exakt värde på följande.

cos^{2} (v)

sin (v)

tan (v)

Att skriva cos^2(v) är samma sak som (cos(v))^2. Det betyder att vi ska ta värdet för cos(v) och höja upp till 2.

Det betyder alltså att cos^2(v) = 34.

Vi bestämmer sin(v) genom att först hitta vinkeln v. I detta fall går det bra att få fram ett exakt värde eftersom sqrt(3)2 är cosinusvärdet för en standardvinkel, nämligen vinkeln 30^(∘). Detta är vår vinkel och den ligger i första kvadranten precis som den ska. För v i första kvadranten gäller att cos(v) = sqrt(3)/2 ⇔ v = 30^(∘). Vi kan nu bestämma sin(v) för v = 30^(∘). sin(30^(∘)) = 1/2

Tangens för en vinkeln kan skrivas som tan(v) = sin(v)/cos(v) Eftersom vi vet värdena för sin(v) och cos(v) kan vi beräkna tan(v).

Det betyder alltså att tan(v) = 1sqrt(3).

Tangensekvationer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll