mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Deriveringsregler

Derivator av exponential- och logaritmfunktioner

Många förlopp kan beskrivas av exponential- eller logaritmfunktioner. Om man vill studera dessa förlopp över tid kan det vara bra att veta hur man deriverar funktionerna.

Regel

Derivatan av exponentialfunktioner

Härledning

För att visa varför derivatan till är kan man använda derivatans definition.
Eftersom inte påverkas av att går mot kan man placera utanför gränsvärdet: Man kan visa att gränsvärdet är lika med (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

Härledning

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen i exponentialfunktionen enligt sambandet . Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen

Uttrycken och är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln för att derivera Därefter skrivs om till igen.
När man deriverar funktioner på formen kan man se dem som sammansatta funktioner och därför använda kedjeregeln. De yttre funktionerna är respektive och i båda fallen är den inre funktionen Man får då derivatan Det är alltså inte nödvändigt att minnas de särskilda deriveringsreglerna för respektive om man känner till kedjeregeln.
fullscreen
Uppgift

Lös ekvationen givet att

Visa Lösning
Lösning
För att kunna lösa ekvationen behöver vi först hitta ett uttryck för derivatan Vi noterar att är en sammansatt funktion, med den yttre funktionen och den inre funktionen Vi använder alltså kedjeregeln.
Vi kan nu använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen Faktorn kan dock aldrig bli eftersom en potens med positiv bas alltid är positiv. Det räcker därför att lösa ekvationen
Lös ekvationen
Derivatan har alltså nollstället

Regel

Derivatan av

Derivatan av den naturliga logaritmen, är

Härledning

För att ta fram derivatan av kan man använda talet och definitionen för den naturliga logaritmen. Eftersom och är lika måste även deras derivator vara lika, dvs. Vänsterledet är lika med och högerledet deriveras med kedjeregeln. Den yttre funktionen är och den inre är
Genom att nu lösa ut får man ett uttryck för derivatan.
Derivatan av är alltså
Q.E.D.
fullscreen
Uppgift

Derivera funktionen

Visa Lösning
Lösning
Vi har en differens som består av två sammansatta funktioner. De yttre funktionerna är och och de inre är och Vi använder därför kedjeregeln tillsammans med deriveringsreglerna för och
Om man vill kan man multiplicera in i parentesen, men då blir uttrycket längre.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward