Derivator av exponential- och logaritmfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Många förlopp kan beskrivas av exponential- eller logaritmfunktioner. Om man vill studera dessa förlopp över tid kan det vara bra att veta hur man deriverar funktionerna.
Regel

Derivatan av exponentialfunktioner

Härledning

D(ex)=exD(e^x) = e^x
För att visa varför derivatan till exe^x är exe^x kan man använda derivatans definition.
f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) =\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
f(x+h)=ex+hf(x+h)={\color{#0000FF}{e^{x+h}}}, f(x)=exf(x)={\color{#009600}{e^x}}
f(x)=limh0ex+hexhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{e^{x+h}}} - {\color{#009600}{e^x}}}{h}
ab+c=abac a^{b+c}=a^{b}\cdot{a}^{c}
f(x)=limh0exehexhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}
Dela upp i faktorer
f(x)=limh0exehex1hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^x \cdot e^h- e^x\cdot 1}{h}
f(x)=limh0ex(eh1)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^x\left(e^h - 1\right)}{h}
f(x)=limh0(exeh1h)f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \left(e^x \cdot \dfrac{e^h - 1}{h}\right)
Eftersom exe^x inte påverkas av att hh går mot 00 kan man placera exe^x utanför gränsvärdet: f(x)=exlimh0eh1h. f'(x) = e^x \cdot \, \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h}. Man kan visa att gränsvärdet limh0eh1h\lim \limits_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} är lika med 11 (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att f(x)=ex1=ex. f'(x)=e^x\cdot 1=e^x.

Härledning

D(ax)=axln(a)D\left(a^x \right) = a^x \cdot \ln(a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen aa i exponentialfunktionen f(x)=axf(x)=a^x enligt sambandet a=eln(a)a=e^{\ln(a)}. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.e.

f(x)=axf(x)=a^x
f(x)=(eln(a))xf(x)=\left(e^{\ln(a)}\right)^x
f(x)=eln(a)xf(x)=e^{\ln(a)\cdot x}
Uttrycken axa^x och eln(a)xe^{\ln(a)\cdot x} är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln D(ekx)=kekxD\left(e^{kx}\right)=ke^{kx} för att derivera ax.a^x. Därefter skrivs eln(a)e^{\ln(a)} om till aa igen.
f(x)=eln(a)xf(x)= e^{\ln(a)\cdot x}
f(x)=D(eln(a)x)f'(x) =D\left(e^{\ln(a)\cdot x}\right)
f(x)=ln(a)eln(a)xf'(x) =\ln(a)\cdot e^{\ln(a)\cdot x}
abc=(ab)c a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}
f(x)=ln(a)(eln(a))xf'(x) =\ln(a)\cdot \left(e^{\ln(a)}\right)^x
eln(a)=ae^{\ln(a)}= a
f(x)=ln(a)axf'(x) =\ln(a)\cdot a^x
När man deriverar funktioner på formen ekxellerakx e^{kx} \quad \text{eller} \quad a^{kx} kan man se dem som sammansatta funktioner och därför använda kedjeregeln. De yttre funktionerna är eue^u respektive aua^u och i båda fallen är den inre funktionen u=kx.u = kx. Man får då derivatan kekxellerkakxln(a).ke^{kx} \quad \text{eller} \quad ka^{kx} \cdot \ln(a). Det är alltså inte nödvändigt att minnas de särskilda deriveringsreglerna för ekxe^{kx} respektive akxa^{kx} om man känner till kedjeregeln.
Uppgift

Lös ekvationen f(x)=0f'(x) = 0 givet att f(x)=e3x22x+1.f(x) = e^{3x^2-2x+1}.

Lösning
För att kunna lösa ekvationen behöver vi först hitta ett uttryck för derivatan f(x).f'(x). Vi noterar att f(x)f(x) är en sammansatt funktion, med den yttre funktionen y=euy = e^u och den inre funktionen u=3x22x+1.u = 3x^2 - 2x + 1. Vi använder alltså kedjeregeln.
f(x)=e3x22x+1f(x) = e^{3x^2-2x+1}
f(x)=D(e3x22x+1)f'(x) = D\left( e^{3x^2-2x+1} \right)
f(x)=e3x22x+1D(3x22x+1)f'(x) = e^{3x^2 - 2x + 1} \cdot D\left( 3x^2 - 2x + 1 \right)
f(x)=e3x22x+1(D(3x2)D(2x)+D(1))f'(x) = e^{3x^2 - 2x + 1} \cdot \left( D\left( 3x^2 \right) - D(2x) + D(1) \right)
f(x)=e3x22x+1(D(3x2)2)f'(x) = e^{3x^2 - 2x + 1} \cdot \left( D\left( 3x^2 \right) - 2 \right)
f(x)=e3x22x+1(6x2)f'(x) = e^{3x^2 - 2x + 1} \cdot \left( 6x - 2 \right)
Vi kan nu använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen f(x)=0.f'(x)=0. Faktorn e3x22x+1e^{3x^2 - 2x + 1} kan dock aldrig bli 00 eftersom en potens med positiv bas alltid är positiv. Det räcker därför att lösa ekvationen 6x2=0.6x-2=0.
6x2=06x - 2 = 0
Lös ekvationen
6x=26x = 2
x=26x = \dfrac{2}{6}
x=13x = \dfrac{1}{3}
Derivatan har alltså nollstället x=13.x = \dfrac{1}{3}.
Visa lösning Visa lösning
Regel

Derivatan av ln(x)\ln(x)

Derivatan av den naturliga logaritmen, ln(x),\ln(x), är 1x.\frac{1}{x}.

Härledning

D(ln(x))=1xD\left(\ln(x)\right)=\dfrac{1}{x}
För att ta fram derivatan av ln(x)\ln(x) kan man använda talet ee och definitionen för den naturliga logaritmen. x=eln(x) x=e^{\ln(x)} Eftersom xx och eln(x)e^{\ln(x)} är lika måste även deras derivator vara lika, dvs. D(x)=D(eln(x)). D(x)=D\left(e^{\ln(x)}\right). Vänsterledet är lika med 11 och högerledet deriveras med kedjeregeln. Den yttre funktionen är eue^{u} och den inre är u=ln(x).u=\ln(x).
D(x)=D(eln(x))D(x)=D\left(e^{\ln(x)}\right)
1=D(eln(x))1=D\left(e^{\ln(x)}\right)
1=eln(x)D(ln(x))1=e^{\ln(x)}\cdot D(\ln(x))
eln(a)=ae^{\ln(a)}= a
1=xD(ln(x))1=x\cdot D(\ln(x))
Genom att nu lösa ut D(ln(x))D(\ln(x)) får man ett uttryck för derivatan.
1=xD(ln(x))1=x\cdot D(\ln(x))
1x=D(ln(x))\dfrac{1}{x}=D(\ln(x))
D(ln(x))=1xD(\ln(x))=\dfrac{1}{x}
Derivatan av ln(x)\ln(x) är alltså 1x.\frac{1}{x}.
Q.E.D.
Uppgift

Derivera funktionen f(x)=ex2+xln(2x).f(x)=e^{x^2+x}-\ln(2x).

Lösning
Vi har en differens som består av två sammansatta funktioner. De yttre funktionerna är exe^x och ln(x),\ln(x), och de inre är x2+xx^2+x och 2x.2x. Vi använder därför kedjeregeln tillsammans med deriveringsreglerna för exe^x och ln(x).\ln(x).
f(x)=ex2+xln(2x)f(x)=e^{x^2+x}-\ln(2x)
f(x)=D(ex2+x)D(ln(2x))f'(x)=D\left(e^{x^2+x}\right)-D\left(\ln(2x)\right)
f(x)=ex2+xD(x2+x)D(ln(2x))f'(x)=e^{x^2+x}\cdot D\left(x^2+x\right)-D\left(\ln(2x)\right)
f(x)=ex2+x(D(x2)+D(x))D(ln(2x))f'(x)=e^{x^2+x}\cdot \left(D\left(x^2\right)+D(x)\right)-D\left(\ln(2x)\right)
f(x)=ex2+x(2x+D(x))D(ln(2x))f'(x)=e^{x^2+x}\cdot \left(2x+D(x)\right)-D\left(\ln(2x)\right)
f(x)=ex2+x(2x+1)D(ln(2x))f'(x)=e^{x^2+x}\cdot \left(2x+1\right)-D\left(\ln(2x)\right)
f(x)=ex2+x(2x+1)12xD(2x)f'(x)=e^{x^2+x}\cdot \left(2x+1\right)-\dfrac{1}{2x}\cdot D(2x)
f(x)=ex2+x(2x+1)12x2f'(x)=e^{x^2+x}\cdot \left(2x+1\right)-\dfrac{1}{2x}\cdot 2
f(x)=ex2+x(2x+1)22xf'(x)=e^{x^2+x}\cdot \left(2x+1\right)-\dfrac{2}{2x}
f(x)=ex2+x(2x+1)1xf'(x)=e^{x^2+x}\cdot \left(2x+1\right)-\dfrac{1}{x}
Om man vill kan man multiplicera in ex2+xe^{x^2+x} i parentesen, men då blir uttrycket längre.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera funktionerna.

a

f(x)=9ex/3f(x)=9e^{x/3}

b

f(x)=6xf(x)=6^x

c

f(x)=12001.4xf(x)=1200\cdot1.4^x

d

f(x)=5.52.5xf(x)=5.5^{2.5x}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Många invånare i den demokratiska republiken Jonasien flyttar till grannlandet monarkin Tinanien för att de vill bidra till att bygga upp den Tinanianska jordbrukssektorn. Så många Jonasier flyttar dit att landet Jonasiens invånarantal börjar minska. Befolkningsmängden i Jonasien kan beräknas enligt formeln N(t)=130000000.97t,N(t)=13\,000\,000 \cdot 0.97^t, där tt är tiden i år sedan utvandringen började.

a

Beräkna N(17).N'(17). Svara med 22 värdesiffror.

b

Tolka resultatet i föregående deluppgift.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen y(x)=0y''(x)=0 för

a
y(x)=e3xe2xy(x)=e^{3x} - e^{2x}
b
y(x)=4ln(2x+1)2ln(3x).y'(x)= 4 \ln (2x+1) - 2 \ln(3x).
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera

a

y=ln(4x)y=\ln(4x)

b

y=ln(x3)y=\ln \left (\dfrac{x}{3} \right)

c

y=ln(kx).y=\ln(kx).

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionerna y=ex1y=e^{x-1} och y=-e-x+2ey= \text{-} e^{\text{-} x} + \frac{2}{\sqrt{e}} skär varandra i en punkt.

a
Visa att funktionerna skär varandra när x=12.x = \frac{1}{2}.
b
Visa att funktionernas grafer tangerar varandra i punkten.
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna f(2)f'(2) och svara exakt då

a

f(x)=32xf(x)=3^{2x}

b

f(x)=(ln(0.4x)+2)2f(x)=\left( \ln(0.4x)+2 \right)^2

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ekvationen för den linje som tangerar funktionen f(x)=3ln(5x)f(x)=3\ln(5x) i punkten (0.2,0).(0.2,0).

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x)=ln(x)xx2f(x) = \ln (x) -x -x^2 på intervallet 0.1x2.0.1 \leq x \leq 2. Svara med 22 decimaler.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att D(akx)=akxln(a)k.D\left(a^{kx}\right) = a^{kx} \cdot \ln(a) \cdot k.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm kk sådant att y=ln(x)y=\ln(x) och y=kx2y=kx-2 tangerar varandra.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet f(x)=-e-4x+2e-2x42x, f(x) = \dfrac{\text{-} e^{\text{-} 4x} + 2e^{\text{-} 2x}}{4} - 2x, lös ekvationen f(x)=0.f'(x) = 0.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}