Derivator av exponential- och logaritmfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Många förlopp kan beskrivas av exponential- eller logaritmfunktioner. Om man vill studera dessa förlopp över tid kan det vara bra att veta hur man deriverar funktionerna.
Regel

Derivatan av exponentialfunktioner

Härledning

D(ex)=exD(e^x) = e^x

Härledning

D(ax)=axln(a)D\left(a^x \right) = a^x \cdot \ln(a)
När man deriverar funktioner på formen ekxellerakx e^{kx} \quad \text{eller} \quad a^{kx} kan man se dem som sammansatta funktioner och därför använda kedjeregeln. De yttre funktionerna är eue^u respektive aua^u och i båda fallen är den inre funktionen u=kx.u = kx. Man får då derivatan kekxellerkakxln(a).ke^{kx} \quad \text{eller} \quad ka^{kx} \cdot \ln(a). Det är alltså inte nödvändigt att minnas de särskilda deriveringsreglerna för ekxe^{kx} respektive akxa^{kx} om man känner till kedjeregeln.
Uppgift

Lös ekvationen f(x)=0f'(x) = 0 givet att f(x)=e3x22x+1.f(x) = e^{3x^2-2x+1}.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Derivera funktionen f(x)=ex2+xln(2x).f(x)=e^{x^2+x}-\ln(2x).

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera funktionerna.

a

f(x)=9ex/3f(x)=9e^{x/3}

b

f(x)=6xf(x)=6^x

c

f(x)=12001.4xf(x)=1200\cdot1.4^x

d

f(x)=5.52.5xf(x)=5.5^{2.5x}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Många invånare i den demokratiska republiken Jonasien flyttar till grannlandet monarkin Tinanien för att de vill bidra till att bygga upp den Tinanianska jordbrukssektorn. Så många Jonasier flyttar dit att landet Jonasiens invånarantal börjar minska. Befolkningsmängden i Jonasien kan beräknas enligt formeln N(t)=130000000.97t,N(t)=13\,000\,000 \cdot 0.97^t, där tt är tiden i år sedan utvandringen började.

a

Beräkna N(17).N'(17). Svara med 22 värdesiffror.

b

Tolka resultatet i föregående deluppgift.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen y(x)=0y''(x)=0 för

a
y(x)=e3xe2xy(x)=e^{3x} - e^{2x}
b
y(x)=4ln(2x+1)2ln(3x).y'(x)= 4 \ln (2x+1) - 2 \ln(3x).
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera

a

y=ln(4x)y=\ln(4x)

b

y=ln(x3)y=\ln \left (\dfrac{x}{3} \right)

c

y=ln(kx).y=\ln(kx).

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionerna y=ex1y=e^{x-1} och y=-e-x+2ey= \text{-} e^{\text{-} x} + \frac{2}{\sqrt{e}} skär varandra i en punkt.

a
Visa att funktionerna skär varandra när x=12.x = \frac{1}{2}.
b
Visa att funktionernas grafer tangerar varandra i punkten.
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna f(2)f'(2) och svara exakt då

a

f(x)=32xf(x)=3^{2x}

b

f(x)=(ln(0.4x)+2)2f(x)=\left( \ln(0.4x)+2 \right)^2

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ekvationen för den linje som tangerar funktionen f(x)=3ln(5x)f(x)=3\ln(5x) i punkten (0.2,0).(0.2,0).

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x)=ln(x)xx2f(x) = \ln (x) -x -x^2 på intervallet 0.1x2.0.1 \leq x \leq 2. Svara med 22 decimaler.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att D(akx)=akxln(a)k.D\left(a^{kx}\right) = a^{kx} \cdot \ln(a) \cdot k.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm kk sådant att y=ln(x)y=\ln(x) och y=kx2y=kx-2 tangerar varandra.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet f(x)=-e-4x+2e-2x42x, f(x) = \dfrac{\text{-} e^{\text{-} 4x} + 2e^{\text{-} 2x}}{4} - 2x, lös ekvationen f(x)=0.f'(x) = 0.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}