Area mellan kurvor

En primitiv funktion till - x^3+4x är - x^4/4+2x^2. Du kan beräkna integralen.

Alltså är ∫_(-2)^1- x^3+4x d x =-9/4.

Areorna beräknas genom att dela upp grafen i två intervall och ta absolutbeloppet när grafen ligger under x-axeln. För område A ligger grafen över x-axeln på intervallet [−2,0]. Arean blir därför enligt följande. ∫_(-2)^0-x^3+4x d x Antiderivatan från del a) kan användas här. Du kan beräkna integralen.

Eftersom area inte kan vara negativ blir A=4.

Integralen beskriver den tecknade arean mellan grafen och x-axeln. Områden ovanför x-axeln räknas positivt och områden under x-axeln räknas negativt. Därför subtraheras området B från området A.

Grafen ligger både ovanför och under x-axeln i intervallet [-2,284;1,751]. En bestämd integral motsvarar den signerade arean mellan grafen och x-axeln:

• area ovanför x-axeln räknas positiv,
• area under x-axeln räknas negativ.

I figuren är den negativa arean större än den positiva arean. Därför blir integralens värde negativt.

Funktionen är uppdelad i fyra delar. Först tittar du på intervallet från x=0 till x=2. Där är funktionen konstant och lika med −1. Grafen ligger alltså under x-axeln. Området bildar en rektangel med bredd 2 och höjd −1. 2*(-1)=-2 Arean blir därför -2. Det betyder att ∫_0^2f(x) d x =-2. Sedan tittar vi på intervallet mellan x=2 och x=4. f(x)=2x-6 Grafen skär x-axeln vid x=3. Det betyder att ena halvan ligger under axeln och den andra halvan över axeln. De två trianglarna har lika stor area men olika tecken. Därför tar de ut varandra och den totala arean blir 0. ∫_2^4f(x) d x =0 Nu tittar du på intervallet från x=4 till x=6. Där är funktionen konstant och lika med 2. Området bildar en rektangel med bredd 2 och höjd 2. 2*2=4 Alltså gäller ∫_4^6f(x) d x =4. Till sist tittar du på intervallet från x=6 till x=9. Där är funktionen konstant och lika med 1. Området bildar ännu en rektangel med bredd 3 och höjd 1. 3*1=3 Alltså gäller ∫_6^9f(x) d x =3. Nu summerar du alla delintegraler: ∫_0^9f(x) d x &= ∫_0^2f(x) d x + ∫_2^4f(x) d x + ∫_4^6f(x) d x + ∫_6^9f(x) d x &= -2+0+4+3=5 Alltså gäller ∫_0^9f(x) d x =5.

Du följer hur integralen byggs upp stegvis. Från tidigare delresultat vet du:

• ∫_0^2f(x) d x =−2
• ∫_2^4f(x) d x =0
• ∫_4^6f(x) d x =4

Därför får du integralsumman. ∫_0^6f(x) d x =−2+0+4=2 Du vill nu hitta a> 0 så att ∫_0^af(x) d x =3. Du behöver alltså få ytterligare 3−2=1 area efter x=6. För intervallet 6≤ x≤ 9 är f(x)=1, alltså ökar integralen med hastigheten 1. För att få area 1 krävs bredden: a−6=1 Alltså a=7.

Du börjar med att konstatera att området kan tolkas som arean mellan två kurvor. Detta innebär att arean representeras av integralen av differensen mellan funktionerna, där den undre subtraheras från den övre: A = ∫_a^b(g(x) - f(x) ) d x . Konstanterna a och b är områdets undre respektive övre gräns, dvs. -5 och 13. Du bestämmer integranden, som du kan kalla h(x), genom att sätta in funktionsuttrycken för f(x) och g(x) och sedan förenkla.

Integralen som beskriver arean av det markerade området är alltså ∫_(-5)^(13)(-0,1x^2+0,8x+6,5 ) d x .

Eftersom integralen vi ställde upp i föregående deluppgift motsvarar just arean av området kan vi beräkna denna integral för att bestämma arean. Till att börja med bestämmer vi en primitiv funktion till integranden.

Nu använder vi denna primitiva funktion för att beräkna integralen.

Arean av det markerade området är alltså 97,2a.e.

Du kan se att integranden är en differens mellan två olika funktioner, där y=x^2-5 har subtraherats från y=- x+1. Det verkar alltså som att den givna integralen, ∫_(-3)^2((- x+1)-(x^2-5) ) d x , följer mönstret för hur man kan beskriva arean av ett område mellan två kurvor: A= ∫_a^b(f(x) - g(x) ) d x . För att integralen faktiskt ska motsvara arean mellan y = - x + 1 och y = x^2 - 5 måste kurvan y = - x + 1 vara överst i hela intervallet. Du ritar kurvorna med ett grafiskt hjälpmedel för att avgöra om det verkar stämma.

Du ser här att y = - x + 1 verkar vara överst precis från x = - 3 till x = 2. Att det faktiskt är så kan du bekräfta algebraiskt genom att likställa kurvorna och lösa ekvationen som fås.

Den givna integralen kan alltså tolkas som arean mellan kurvorna y=- x + 1 och y=x^2-5, från x=-3 till x=2.

Istället för att tänka på integranden som differensen mellan två funktioner kan du förenkla den.

Integralen kan alltså skrivas som ∫_(-3)^2(- x^2 - x + 6 ) d x . Du ritar integrandens kurva för att få oss en idé om hur integralen kan tolkas grafiskt.

Här ser det ut som om x = - 3 och x = 2 är nollställen till integranden. Det kan bekräftas genom att lösa ekvationen - x^2 - x + 6 = 0, men du har redan löst en ekvation som är ekvivalent med denna i huvudlösningen. Då fick du just lösningarna x = - 3 och x = 2. Integralen kan därför även tolkas som arean under kurvan y = - x^2 - x + 6 mellan dess nollställen x = - 3 och x = 2.

Du kan bestämma arean med en integral, men först måste du ta reda på vilka x-värden som avgränsar området. I det här fallet motsvaras dessa av funktioneras skärningspunkter så du börjar med att bestämma x-värdena för dem.

Nu vet du att området begränsas av x-värdena x=-sqrt(2) och x=sqrt(2). Ytan ligger mellan funktionerna så du kan beräkna arean genom att subtrahera den undre funktionen från den övre och integrera differensen. Den övre kurvan representeras av f(x)=-3x+6 så du ska integrera över h(x)=f(x)-g(x).

För att integrera behöver du en primitiv funktion till integranden h(x).

Nu har du en primitiv funktion och kan beräkna integralen av h(x) mellan x=-sqrt(2) och x=sqrt(2) för att bestämma områdets area.

Arean är ungefär 7,54 a.e.

Detta är också en area mellan två kurvor och du börjar med att bestämma x-värdena för skärningspunkterna.

Nu har du integrationsgränserna så nästa steg är att bestämma integranden. Den övre funktionen är f(x) så du bestämmer h(x)=f(x)-g(x).

För att integrera behöver du en primitiv funktion till h(x). Du bestämmer en sådan.

Nu integrerar du!

Arean är alltså ungefär 83,34 a.e.

Du gör på samma sätt igen och börjar med att bestämma x-värdena för funktionernas skärningspunkter.

Kurvorna skär varandra oändligt många gånger men du är bara intresserade av skärningspunkterna precis till höger och vänster om y-axeln. De får du om n=0 och n=-1, så skärningspunkternas x-värden är x=-3π/8 och x=π/8. Nu när du har integralens gränser behöver du integranden. Du ser att f(x) är den övre kurvan för hela området så integranden är h(x)=cos(2x)-sin(2x). Du bestämmer en primitiv funktion till den.

Nu kan du integrera.

Områdets area är cirka 1,41 a.e.

För att beräkna arean mellan två kurvor subtraherar man den undre funktionen från den övre och sedan integrerar man differensen. Men här varierar det ju vilken som är överst. Du måste därför dela upp problemet i två integraler: en för det vänstra området och en för det högra.

Hitta integralernas gränser

Du känner redan till den vänstra och högra gränsen, men du måste hitta skärningspunktens x -värde.

Du likställer funktionsuttrycken och löser ekvationen för att hitta detta x.

Graferna skär alltså varandra när x=1. Detta x -värde kommer att vara den övre gränsen för det vänstra området och den undre gränsen för det högra.

Vänstra arean

Arean av det vänstra området begränsas av x=-2 och x=1. Den övre funktionen är g(x).

Detta betyder att arean kan beräknas med integralen ∫_(-2)^1(g(x)-f(x) ) d x . Du börjar med att ta fram ett uttryck för integranden, som du kan kalla h(x).

För att beräkna integralen behöver du hitta en primitiv funktion till h(x).

Nu när du har en primitiv funktion kan du beräkna integralen.

Det vänstra området har alltså arean 13,5 a.e.

Högra arean

Här är f(x) den övre funktionen och ytan begränsas av x=1 och x=2.

Arean kan beräknas med integralen ∫_1^2(f(x)-g(x) ) d x . Du kan kalla integranden p(x) när du nu sätter in funktionsuttrycken för f(x) och g(x) och förenklar.

Nu bestämmer du en primitiv funktion till p(x).

Och nu integrerar du.

Arean för det högra området är alltså 1,5 a.e.

Totala arean

Den totala arean får du genom att summera den högra och vänstra arean: 1,5+13,5=15. Områdets totala area är alltså 15 a.e.

Du undersöker ett lite enklare exempel där två räta linjer korsar varandra och skapar ett område som finns på båda sidor av skärningspunkten.

Det markerade området är två trianglar: den vänstra med basen 2 och höjden 1 och den högra med basen 4 och höjden 2. Det betyder att den totala arean blir 2*1/2+4*2/2=1+4=5 ae. Nu testar du Armins metod och ställer upp en integral. Funktionen y = - x + 2 ligger överst först, så du låter den vara först i formeln för arean mellan två kurvor, ∫_a^b(f(x)-g(x) ) d x . Du ska alltså bestämma integralen ∫_0^3(- x+2 - x ) d x . Du bestämmer en primitiv funktion till integranden h(x) = - x + 2 - x innan du integrerar.

Nu kan du integrera.

Nu fick du ett negativt resultat, och enligt Armin ska det räcka med att du byter tecken för att få arean. Då får du dock 3 a.e., vilket inte stämmer. Du fick ju 5 a.e. tidigare, så vad har hänt? Om du tar en till titt på de två triangulära områdena blir det lite klarare.

För den vänstra triangeln ligger y= +2 överst, så integralen från 0 till 1 blir positiv och ger 1. För den högra triangeln byter graferna plats, vilket ger −4. Tillsammans blir det 1−4=−3.

Om du bara hade integrerat över den vänstra eller högra triangeln hade du kunnat byta tecken på resultatet. Men när du integrerar över båda så tar positiva och negativa områden ut varandra, vilket gör att arean blir för liten. Armins metod fungerar alltså inte.