Area mellan kurvor

Arean mellan två kurvor kan bestämmas genom att man beräknar differensen mellan två integraler, och med hjälp av integreringsreglerna slår ihop dem till en enda. Denna sammanslagning minimerar risken för räknefel eftersom man enbart behöver beräkna en integral, och den resulterande integranden kan dessutom bli enklare att bestämma en primitiv funktion till.

Regel

Area mellan två kurvor

Arean mellan två kurvor kan beräknas genom att man subtraherar integralen av den övre funktionen med den undre. Om integralerna har samma gränser kan de läggas ihop till en enda integral.

Subtrahera integraler

Om man kallar den övre funktionen f(x), den undre funktionen g(x) och integrationsgränserna a och b får man

\int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x .

Om f(x)≥g(x) mellan gränserna kan arean A alltså beräknas som integralen av differensen mellan f(x) och g(x).

$A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$

Den här regeln gäller alltid, men härledningen ser lite olika ut beroende på hur kurvorna befinner sig i förhållande till x-axeln. Det beror på att man måste ta hänsyn till att integraler för funktioner under x-axeln är negativa.

Härledning

En eller båda kurvor är under x-axeln

Regel

Kurvorna på vardera sida om x-axeln

När kurvorna är på vardera sida om x-axeln kan man inte direkt se på området som differensen mellan två integraler. Istället kan man se det sökta området som summan av areorna mellan kurvorna och x-axeln.

Kurvan till funktionen g(x) är dock under x-axeln, så integralen blir negativ. Därför måste man byta tecken för att få arean.

A = \int_{a}^{b} f (x) d x + (- \int_{a}^{b} g (x) d x)

AddNeg

a+(-b)=a−b

A = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x

CombIntSameLimits

Slå ihop integraler

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

Arean mellan kurvorna beräknas alltså på samma sätt när de är på vardera sida om x-axeln.

Regel

Båda kurvorna under x-axeln

Det sista fallet är om båda kurvorna befinner sig under x-axeln. Här motsvarar istället det sökta området arean mellan g(x) och x-axeln subtraherat med arean mellan f(x) och x-axeln.

Eftersom kurvorna för g(x) och f(x) är under x-axeln motsvarar deras integraler respektive areor under kurvan, men med omvänt tecken. Alltså måste man byta tecken på båda integralerna innan de subtraheras.

A = - \int_{a}^{b} g (x) d x - (- \int_{a}^{b} f (x) d x)

SubNeg

a−(-b)=a+b

A = - \int_{a}^{b} g (x) d x + \int_{a}^{b} f (x) d x

RearrangeTerms

Omarrangera termer

A = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x

CombIntSameLimits

Slå ihop integraler

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

Det spelar alltså ingen roll hur kurvorna befinner sig i förhållande till x-axeln. Arean mellan dem beräknas alltid genom att subtrahera den övre funktionen med den undre och integrera.

Bestäm arean mellan kurvorna

fullscreen

I koordinatsystemet är kurvorna till f(x)=-x+10 och g(x)=x2−2x+4 utritade.

Bestäm arean av det markerade området.

Visa Lösning

För att beräkna arean mellan två kurvor subtraherar man den undre funktionen från den övre och sedan integrerar man differensen. Men här varierar det ju vilken som är överst. Vi måste därför dela upp problemet i två integraler: en för det vänstra området och en för det högra.

Exempel

Hitta integralernas gränser

Vi känner redan till den vänstra och högra gränsen, men vi måste hitta skärningspunktens x-värde.

Vi likställer funktionsuttrycken och löser ekvationen för att hitta skärningspunktens x-värde.

x2−2x+4=-x+10

Lös med pq-formeln

SubEqn

VL−10=HL−10

x2−2x−6=-x

AddEqn

VL+x=HL+x

x2−x−6=0

UsePQ

Använd pq-formeln: p=-1,q=-6

x = - \frac{- 1}{2} \pm (\frac{- 1}{2})^{2} - (- 6)

RemoveNegFracAndNum

$- \frac{- a}{b} = \frac{a}{b}$

x = \frac{1}{2} \pm (\frac{- 1}{2})^{2} - (- 6)

PowQuot

$(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}$

x = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{4} - (- 6)

SubNeg

a−(-b)=a+b

x = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{4} + 6

NumberToFrac

$a = \frac{4 \cdot a}{4}$

x = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{4} + \frac{2 4}{4}

AddFrac

Addera bråk

x = \frac{1}{2} \pm \frac{2 5}{4}

SqrtQuot

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

x = \frac{1}{2} \pm \frac{5}{2}

StateSol

Ange lösningar

x = - 4 / 2 x = 6 / 2

CalcQuot

Beräkna kvot

x_{1} = - 2 x_{2} = 3

Graferna skär alltså varandra när x=-2 och x=3, men vi är enbart intresserade av den högra skärningspunkten, dvs. när x=3. Detta x-värde kommer att vara övre gräns åt det vänstra området och undre gräns åt det högra.