Area mellan kurvor

Arean mellan två kurvor kan bestämmas genom att man beräknar differensen mellan två integraler, och med hjälp av integreringsreglerna slår ihop dem till en enda. Denna sammanslagning minimerar risken för räknefel eftersom man enbart behöver beräkna en integral, och den resulterande integranden kan dessutom bli enklare att bestämma en primitiv funktion till.

Regel

Area mellan två kurvor

Arean mellan två kurvor kan beräknas genom att man subtraherar integralen av den övre funktionen med den undre. Om integralerna har samma gränser kan de läggas ihop till en enda integral.

Subtrahera integraler

Om man kallar den övre funktionen $f(x),$ den undre funktionen $g(x)$ och integrationsgränserna $a$ och $b$ får man $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x - \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x) \right) \, \text d x .$ Om $f(x) \geq g(x)$ mellan gränserna kan arean $A$ alltså beräknas som integralen av differensen mellan $f(x)$ och $g(x).$

$A = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) - g(x) \right) \, \text d x$

Den här regeln gäller alltid, men härledningen ser lite olika ut beroende på hur kurvorna befinner sig i förhållande till $x\text{-}$ axeln. Det beror på att man måste ta hänsyn till att integraler för funktioner under $x\text{-}$ axeln är negativa.

Härledning
En eller båda kurvor är under $x\text{-}$ axeln

Regel

Kurvorna på vardera sida om $x\text{-}$ axeln

När kurvorna är på vardera sida om $x\text{-}$ axeln kan man inte direkt se på området som differensen mellan två integraler. Istället kan man se det sökta området som summan av areorna mellan kurvorna och $x\text{-}$ axeln.

Kurvan till funktionen

g(x)

är dock under

x\text{-}

axeln, så integralen blir negativ. Därför måste man byta tecken för att få arean.

A = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \left( \text{-} \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x \right)

a+(\text{-} b)=a-b

A = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x - \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x

Slå ihop integraler

A = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) - g(x) \right) \, \text d x

Arean mellan kurvorna beräknas alltså på samma sätt när de är på vardera sida om

x\text{-}

axeln.

Regel

Båda kurvorna under $x\text{-}$ axeln

Det sista fallet är om båda kurvorna befinner sig under $x\text{-}$ axeln. Här motsvarar istället det sökta området arean mellan $g(x)$ och $x\text{-}$ axeln subtraherat med arean mellan $f(x)$ och $x\text{-}$ axeln.

Eftersom kurvorna för

g(x)

och

f(x)

är under

x\text{-}

axeln motsvarar deras integraler respektive areor under kurvan, men med omvänt tecken. Alltså måste man byta tecken på båda integralerna innan de subtraheras.

A = \text{-} \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x - \left( \text{-} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x \right)

a-(\text{-} b)=a+b

A = \text{-} \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x

Omarrangera termer

A = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x - \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x

Slå ihop integraler

A = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) - g(x) \right) \, \text d x

Det spelar alltså ingen roll hur kurvorna befinner sig i förhållande till

x\text{-}

axeln. Arean mellan dem beräknas alltid genom att subtrahera den övre funktionen med den undre och integrera.

Bestäm arean mellan kurvorna

Uppgift

I koordinatsystemet är kurvorna till $f(x)=\text{-} x+10$ och $g(x)=x^2-2x+4$ utritade.

Bestäm arean av det markerade området.

Lösning

För att beräkna arean mellan två kurvor subtraherar man den undre funktionen från den övre och sedan integrerar man differensen. Men här varierar det ju vilken som är överst. Vi måste därför dela upp problemet i två integraler: en för det vänstra området och en för det högra.

Exempel

Hitta integralernas gränser

Vi känner redan till den vänstra och högra gränsen, men vi måste hitta skärningspunktens $x\text{-}$ värde.

Vi likställer funktionsuttrycken och löser ekvationen för att hitta skärningspunktens

x\text{-}

värde.

x^2-2x+4=\text{-} x+10

Lös med

pq

-formeln

\text{VL}-10=\text{HL}-10

x^2-2x-6=\text{-} x

\text{VL}+x=\text{HL}+x

x^2-x-6=0

Använd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{\text{-}1}}, \, q={\color{#009600}{\text{-}6}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}1}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}1}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}6}}\right)}

\text{-} \dfrac{\text{-} a}{b}= \dfrac{a}{b}

x=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-}1}{2}\right)^2-(\text{-}6)}

\left(\dfrac{a}{b}\right)^{c}=\dfrac{a^{c}}{b^{c}}

x=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-(\text{-}6)}

a-(\text{-} b)=a+b

x=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+6}

a = \dfrac{4\cdot a}{4}

x=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{24}{4}}

Addera bråk

x=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}

\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

x=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{5}{2}

Ange lösningar

\begin{array}{l}x=\text{-}4/2 \\ x=6/2 \end{array}

Beräkna kvot

\begin{array}{l}x_1=\text{-}2 \\ x_2=3 \end{array}

Graferna skär alltså varandra när

x=\text{-}2

och

x=3,

men vi är enbart intresserade av den högra skärningspunkten, dvs. när

x=3.

Detta

x\text{-}

värde kommer att vara övre gräns åt det vänstra området och undre gräns åt det högra.

Exempel

Vänstra arean

Arean av det vänstra området begränsas av $x=0$ och $x=3.$ Den övre funktionen är $f(x).$

Detta betyder att arean kan beräknas med integralen

\displaystyle\int_{0}^{3}\left(f(x)-g(x) \right) \, \text d x .

Vi börjar med att ta fram ett uttryck för integranden som vi kan kalla

h(x).

h(x)=f(x)-g(x)

Sätt in uttryck och förenkla

Sätt in uttryck

h(x)=\text{-} x+10-\left(x^2-2x+4\right)

Ta bort parentes & byt tecken

h(x)=\text{-} x+10-x^2+2x-4

Förenkla termer

h(x)=\text{-} x^2+x+6

För att beräkna integralen behöver vi hitta en primitiv funktion till

h(x).

h(x)=\text{-} x^2+x+6

Bestäm en primitiv funktion

H(x)=\text{-} D ^{\text{-}1}\left(x^2\right)+D ^{\text{-}1}(x)+D ^{\text{-}1}(6)

D^{\text{-}1}\left(x^n\right) = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1}

H(x)=\text{-} \dfrac{x^3}{3}+D ^{\text{-}1}(x)+D ^{\text{-}1}(6)

D ^{\text{-}1}(x) = \dfrac{x^{2}}{2}

H(x)=\text{-} \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+D ^{\text{-}1}(6)

D ^{\text{-}1}(a) = ax

H(x)=\text{-} \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+6x

Nu när vi har en primitiv funktion kan vi beräkna integralen.

\displaystyle\int_{0}^{3}h(x) \, \text d x

\displaystyle \int_a^b h(x) \ \text dx=[H(x)]_a^b

\left[ \text{-} \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+6x \right]_{0}^{3}

Beräkna

\left[H(x)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{3}}=H\left({\color{#0000FF}{3}}\right)-H\left({\color{#009600}{0}}\right)

\text{-} \dfrac{{\color{#0000FF}{3}}^3}{3}+\dfrac{{\color{#0000FF}{3}}^2}{2}+6\cdot{\color{#0000FF}{3}}-\left(\text{-} \dfrac{{\color{#009600}{0}}^3}{3}+\dfrac{{\color{#009600}{0}}^2}{2}+6\cdot{\color{#009600}{0}}\right)

Beräkna potens & produkt

\text{-} \dfrac{27}{3}+\dfrac{9}{2}+18-\left(\text{-} \dfrac{0}{3}+\dfrac{0}{2}\right)

Beräkna kvot

\text{-} 9+4.5+18

Förenkla termer

13.5

Det vänstra området har alltså arean

13.5

ae.

Exempel

Högra arean

Här är $g(x)$ den övre funktionen och ytan begränsas av $x=3$ och $x=4.$

Arean kan beräknas med integralen

\displaystyle\int_{3}^{4}\left(g(x)-f(x) \right) \, \text d x .

Vi bestämmer en primitiv funktion till integranden som vi kallar

p(x).

Men först förenklar vi den.

p(x)=g(x)-f(x)

Sätt in uttryck och förenkla

Sätt in uttryck

p(x)=x^2-2x+4-(\text{-} x+10)

Ta bort parentes & byt tecken

p(x)=x^2-2x+4+ x-10

Förenkla termer

p(x)=x^2-x-6

Nu bestämmer vi en primitiv funktion till

p(x).

p(x)=x^2-x-6

Bestäm en primitiv funktion

P(x)=D ^{\text{-}1}\left(x^2\right)-D ^{\text{-}1}(x)-D ^{\text{-}1}(6)

D^{\text{-}1}\left(x^n\right) = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1}

P(x)=\dfrac{x^3}{3}-D ^{\text{-}1}(x)-D ^{\text{-}1}(6)

D ^{\text{-}1}(x) = \dfrac{x^{2}}{2}

P(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-D ^{\text{-}1}(6)

D ^{\text{-}1}(a) = ax

P(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-6x

Nu integrerar vi!

\displaystyle\int_{3}^{4}p(x) \, \text d x

\displaystyle \int_a^b p(x) \ \text dx=[P(x)]_a^b

\left[ \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-6x \right]_{3}^{4}

Beräkna

\left[H(x)\right]_{{\color{#009600}{3}}}^{\color{#0000FF}{4}}=H\left({\color{#0000FF}{4}}\right)-H\left({\color{#009600}{3}}\right)

\dfrac{{\color{#0000FF}{4}}^3}{3}-\dfrac{{\color{#0000FF}{4}}^2}{2}-6\cdot{\color{#0000FF}{4}}-\left(\dfrac{{\color{#009600}{3}}^3}{3}-\dfrac{{\color{#009600}{3}}^2}{2}-6\cdot{\color{#009600}{3}}\right)

Beräkna potens & produkt

\dfrac{64}{3}-\dfrac{16}{2}-24-\left(\dfrac{27}{3}-\dfrac{9}{2}-18\right)

Ta bort parentes & byt tecken

\dfrac{64}{3}-\dfrac{16}{2}-24-\dfrac{27}{3}+\dfrac{9}{2}+18

Beräkna kvot

\dfrac{64}{3}-8-24-9+4.5+18

Förenkla termer

\dfrac{64}{3}-18.5

Arean för det högra området är alltså

\frac{64}{3}-18.5

ae.

Exempel

Totala arean

Den totala arean får vi genom att summera den högra och vänstra arean: $\dfrac{64}{3}-18.5+13.5\approx 16.3.$ Områdets totala area är alltså ungefär $16.3$ ae.

Visa lösning

Area mellan kurvor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Area mellan två kurvor

Härledning

Kurvorna på vardera sida om $x\text{-}$ axeln

Båda kurvorna under $x\text{-}$ axeln

Exempel

Bestäm arean mellan kurvorna

Hitta integralernas gränser

Vänstra arean

Högra arean

Totala arean

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Integreringsregler

Härledning

Exempel

Bestäm arean mellan kurvorna

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}