mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Integreringsregler

Area mellan kurvor

Arean mellan två kurvor kan bestämmas genom att man beräknar differensen mellan två integraler, och med hjälp av integreringsreglerna slår ihop dem till en enda. Denna sammanslagning minimerar risken för räknefel eftersom man enbart behöver beräkna en integral, och den resulterande integranden kan dessutom bli enklare att bestämma en primitiv funktion till.

Regel

Area mellan två kurvor

Arean mellan två kurvor kan beräknas genom att man subtraherar integralen av den övre funktionen med den undre. Om integralerna har samma gränser kan de läggas ihop till en enda integral.

Subtrahera integraler

Om man kallar den övre funktionen den undre funktionen och integrationsgränserna och får man Om mellan gränserna kan arean alltså beräknas som integralen av differensen mellan och

Den här regeln gäller alltid, men härledningen ser lite olika ut beroende på hur kurvorna befinner sig i förhållande till axeln. Det beror på att man måste ta hänsyn till att integraler för funktioner under axeln är negativa.

Härledning

En eller båda kurvor är under axeln

Regel

Kurvorna på vardera sida om axeln

När kurvorna är på vardera sida om axeln kan man inte direkt se på området som differensen mellan två integraler. Istället kan man se det sökta området som summan av areorna mellan kurvorna och axeln.
Kurvan till funktionen är dock under axeln, så integralen blir negativ. Därför måste man byta tecken för att få arean.
Arean mellan kurvorna beräknas alltså på samma sätt när de är på vardera sida om axeln.

Regel

Båda kurvorna under axeln

Det sista fallet är om båda kurvorna befinner sig under axeln. Här motsvarar istället det sökta området arean mellan och axeln subtraherat med arean mellan och axeln.
Eftersom kurvorna för och är under axeln motsvarar deras integraler respektive areor under kurvan, men med omvänt tecken. Alltså måste man byta tecken på båda integralerna innan de subtraheras.
Det spelar alltså ingen roll hur kurvorna befinner sig i förhållande till axeln. Arean mellan dem beräknas alltid genom att subtrahera den övre funktionen med den undre och integrera.
fullscreen
Uppgift

I koordinatsystemet är kurvorna till och utritade.

Bestäm arean av det markerade området.

Visa Lösning
Lösning
För att beräkna arean mellan två kurvor subtraherar man den undre funktionen från den övre och sedan integrerar man differensen. Men här varierar det ju vilken som är överst. Vi måste därför dela upp problemet i två integraler: en för det vänstra området och en för det högra.

Exempel

Hitta integralernas gränser

Vi känner redan till den vänstra och högra gränsen, men vi måste hitta skärningspunktens värde.
Vi likställer funktionsuttrycken och löser ekvationen för att hitta skärningspunktens värde.
Lös med -formeln
Graferna skär alltså varandra när och men vi är enbart intresserade av den högra skärningspunkten, dvs. när Detta värde kommer att vara övre gräns åt det vänstra området och undre gräns åt det högra.

Exempel

Vänstra arean

Arean av det vänstra området begränsas av och Den övre funktionen är
Detta betyder att arean kan beräknas med integralen Vi börjar med att ta fram ett uttryck för integranden som vi kan kalla
Sätt in uttryck och förenkla
För att beräkna integralen behöver vi hitta en primitiv funktion till
Bestäm en primitiv funktion
Nu när vi har en primitiv funktion kan vi beräkna integralen.
Beräkna
Det vänstra området har alltså arean ae.

Exempel

Högra arean

Här är den övre funktionen och ytan begränsas av och
Arean kan beräknas med integralen Vi bestämmer en primitiv funktion till integranden som vi kallar Men först förenklar vi den.
Sätt in uttryck och förenkla
Nu bestämmer vi en primitiv funktion till
Bestäm en primitiv funktion
Nu integrerar vi!
Beräkna
Arean för det högra området är alltså ae.

Exempel

Totala arean

Den totala arean får vi genom att summera den högra och vänstra arean: Områdets totala area är alltså ungefär ae.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward