Sinus- och cosinuskurvor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Sinus- och cosinusfunktioner

Sinus och cosinus har flera tolkningar, bl.a. som sambandet mellan sidor och vinklar i trianglar och som koordinater för punkter på enhetscirkeln. Eftersom man för varje vinkel får ut exakt ett värde är sinus och cosinus även matematiska funktioner: y=sin(x)ochy=cos(x). y=\sin(x) \quad \text{och} \quad y=\cos(x).

Man kan beräkna sinus- och cosinusvärden för alla x,x,definitionsmängden för dessa funktioner är alla reella tal. Värdemängden för både sin(x)\sin(x) och cos(x)\cos(x) är -1y1\text{-}1 \leq y \leq1, eftersom sinus och cosinus varierar mellan just -1\text{-}1 och 11.
Uppgift

Vattendjupet i en vik påverkas av tidvatten och kan under vissa perioder beskrivas med funktionen d(t)=2cos(πt6)+2d(t) = 2\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 2, där tt är tiden i timmar efter midnatt och dd är vattendjupet i meter. Med hjälp av funktionen, svara på följande frågor.

  • Vad är vattendjupet i viken klockan 55 på eftermiddagen?
  • Vad är det största vattendjupet?
  • När är vattendjupet som störst?
Lösning
Exempel

Vattendjupet klockan 55

För att bestämma djupet vid en viss tidpunkt behöver vi först bestämma hur många timmar det har gått sedan midnatt. Klockan 55 på eftermiddagen har det gått 1717 timmar, så vi söker funktionsvärdet d(17)d(17).
d(t)=2cos(πt6)+2d(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) + 2
d(17)=2cos(π176)+2d({\color{#0000FF}{17}}) = 2\cos\left(\dfrac{\pi \cdot {\color{#0000FF}{17}}}{6}\right) + 2
d(17)=0.26794d(17) = 0.26794\ldots
d(17)0.27d(17) \approx 0.27
Vattendjupet är cirka 0.270.27 m klockan 55 på eftermiddagen.
Exempel

Största vattendjupet

Det största vattendjupet, som vi kan kalla dmax,d_{\text{max}}, motsvarar det största värdet på d(t).d(t). Detta får man då cosinusvärdet i funktionsuttrycket är så stort som möjligt, dvs. 1.1. Vi behöver alltså bara sätta in 11 i funktionsuttrycket för att beräkna maxdjupet: dmax=21+2=4. d_{\text{max}} = 2 \cdot 1 + 2 = 4. Det största vattendjupet är 44 meter.

Exempel

Tidpunkt för största vattendjupet

För att hitta den eller de tidpunkter då vattendjupet är som störst sätter vi funktionen som beskriver vattendjupet, d(t),d(t), lika med 44 och löser ut tt.
2cos(πt6)+2=42\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) + 2 = 4
Lös ekvationen
2cos(πt6)=22\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 2
cos(πt6)=1\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 1
πt6=±arccos(1)+n2π\dfrac{\pi t}{6} = \pm \arccos(1) + n \cdot 2\pi
πt6=±0+n2π\dfrac{\pi t}{6} = \pm 0 + n \cdot 2\pi
πt6=n2π\dfrac{\pi t}{6} = n \cdot 2\pi
πt=n12π\pi t = n \cdot 12\pi
t=n12t = n \cdot 12
Vi vet nu att vattennivån är som störst då t=n12,t = n \cdot 12, där n0.n\geq0. Det motsvarar timme 0,0, 12,12, 2424 osv. efter midnatt. Djupet är alltså som störst klockan 1212 på natten och klockan 1212 på dagen.
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Sinus- och cosinuskurvor

Att sinus och cosinus är funktioner innebär också att de kan representeras som grafer. Men hur ser de ut? Med en värdetabell kan man bestämma några punkter som grafen till y=sin(x)y=\sin(x) går genom.

Här kan man se att sinusvärdenas variation mellan -1\text{-}1 och 11 skapar ett periodiskt mönster: Värdena ökar från -1\text{-}1 till 00 för att fortsätta stiga upp till 11 och sedan sjunka ner till 00 och -1\text{-}1 igen. Mönstret fortsätter därefter upprepas med perioden 2π2\pi. Själva kurvan kommer att bli en mjuk periodisk vågrörelse.

Sinusfunktioner kan användas för att beskriva många förlopp, bl.a. inom fysiken. Den här typen av svängningar har därför fått ett eget namn, sinusvåg. Att grafen är just vågformad kan man förstå med hjälp av enhetscirkeln. Nedan illustreras hur sinusvärdet för en vinkel xx i enhetscirkeln representeras i ett koordinatsystem.

Med ett liknande resonemang kan man ta reda på hur grafen till cos(x)\cos(x) ser ut. Man inser då att kurvan för cos(x)\cos(x) är identisk med den för sin(x)\sin(x), men förskjuten i x-x\text{-}led.

Metod

Läsa av period

Med hjälp av grafen till en sinus- eller cosinusfunktion kan man bestämma funktionens period. Eftersom en hel våg motsvarar en period kan man bestämma den genom att läsa av avståndet mellan två intilliggande toppar eller dalar. I följande figur kan man exempelvis se att cosinus har perioden 2π2\pi.

Om det är svårt att läsa av x-x\text{-}värdena i vågornas toppar eller dalar kan man välja andra punkter. För att läsa av en period är det viktiga att man väljer motsvarande punkter på intilliggande vågor.

Ibland är det inte möjligt eller praktiskt att välja punkter med en periods mellanrum — då kan man istället välja punkter med ett större eller mindre avstånd. Så länge man vet precis hur många perioder det är mellan punkterna kan man bestämma funktionens period.
Uppgift

Graferna till två funktioner har ritats i figuren. Bestäm deras perioder.

Lösning

För att bestämma perioden för en funktion kan man t.ex. läsa av avståndet mellan två intilliggande toppar eller dalar. Vi börjar med den blå grafen, där det finns två toppar men endast en dal. Det är därför lämpligt att undersöka avståndet mellan topparna.

Avståndet mellan dem är 4π,4\pi, vilket innebär att funktionen till den blå grafen har perioden 4π.4\pi. Den röda grafen har gott om både toppar och dalar, men topparna ligger inte på värden som är lätta att läsa av. Vi väljer därför två dalar bredvid varandra och läser av avståndet.

Funktionen till den röda grafen har alltså perioden π2\frac{\pi}{2}.


Visa lösning Visa lösning
Metod

Lösa trigonometriska ekvationer grafiskt

Ibland kan det vara lämpligt att lösa trigonometriska ekvationer grafiskt. Då tolkar man ekvationens led som två funktionsuttryck, där skärningspunkternas xx-värden anger lösningarna. På grund av de trigonometriska funktionernas periodicitet finns det ofta ett oändligt antal skärningspunkter som man måste ta hänsyn till när man anger lösningarna. Exempelvis kan ekvationen 5sin(2x)3=0 5 \sin(2x) - 3 = 0 lösas grafiskt. Här används en grafräknare för att rita grafer och bestämma skärningspunkter, men det går även bra med andra digitala verktyg som t.ex. Geogebra.

1

Lös ut den trigonometriska termen
Till att börja med löser man ut den trigonometriska termen så att den står ensam i höger- eller vänsterledet.
5sin(2x)3=05 \sin(2x) - 3 = 0
5sin(2x)=35 \sin(2x) = 3
sin(2x)=35\sin(2x) = \dfrac{3}{5}

2

Rita graferna till vänster- och högerledet

Man ser sedan höger- och vänsterledet som två olika funktionsuttryck och ritar graferna till dessa. Det kan vara svårt att skissa sinuskurvor för hand, så man bör använda något sorts digitalt verktyg. I det här fallet ger vänsterledet en sinuskurva och högerledet en horisontell linje.

sinuskurva på TI-82-räknare

Eftersom sinusfunktionen som störst blir 11 kan man behöva ändra på yy-axelns skala för att bättre kunna se graferna när man ritar ut dem på en räknare.

3

Bestäm skärningspunkter mellan graferna

Det kan finnas många skärningspunkter mellan graferna, men det räcker oftast att bestämma alla inom en period. På räknare använder man kommandot intersect för att bestämma skärningspunkter.

skärningspunkt med sinuskurva på TI-82-räknare

I det här fallet finns det två skärningspunkter i varje period. I första perioden till höger om yy-axeln kan man hitta lösningarna x0.32ochx1.25. x\approx0.32\quad\text{och}\quad x\approx1.25. För att underlätta när man ska bestämma den trigonometriska funktionens period är det också bra att bestämma ytterligare en punkt i en intilliggande period.


4

Bestäm den trigonometriska funktionens period

För att kunna ange hela lösningsmängderna måste man bestämma den trigonometriska funktionens period. Det kan man göra genom en direkt avläsning i grafen eller genom att beräkna avståndet mellan två motsvarande skärningspunkter. För exemplet bestäms perioden med hjälp av skärningspunkterna från förra steget: 3.460.32=3.14π. 3.46 - 0.32 = 3.14 \approx \pi.


5

Ange lösningsmängderna

Till sist bestämmer man alla lösningar till ekvationen genom att lägga till ett helt antal perioder till de lösningar man bestämde i steg 3.3. För exemplet är perioden π,\pi, så lösningsmängderna blir x0.32+nπochx1.25+nπ,\begin{aligned} &x \approx 0.32 + n \cdot \pi\quad\text{och}\\ &x \approx 1.25 + n \cdot \pi, \end{aligned} där nn är ett heltal.

Den första lösningsmängden, x0.32+nπx\approx0.32+n\pi, representeras av de röda punkterna, och de gröna punkterna motsvarar den andra, x1.25+nπx\approx 1.25+n\pi.

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}