Sinus- och cosinuskurvor

Lösningarna till ekvationen hittar vi genom att betrakta högerledet i ekvationen som en funktion, rita grafen till denna i koordinatsystemet och se var de två graferna skär varandra.

Nu läser vi av lösningarna inom en och samma period samt själva perioden. Vi väljer att avläsa lösningarna i första perioden räknat från y-axeln.

Två av ekvationens lösningar är alltså x=0 och x=π/2. Den trigonometriska funktionens period kan vi t.ex. läsa av som avståndet mellan två motsvarande punkter i intilliggande perioder.

Perioden är alltså π. Nu lägger vi till ett helt antal perioder till lösningarna vi läste av för att få alla lösningar till ekvationen. &x=0+n* π [0.5em] &x=π/2+n* π Om vi representerar den övre lösningsmängden med gröna punkter och den nedre med röda punkter ser vi att avståndet mellan lösningarna är π2.

Detta innebär att vi kan skriva ekvationens lösningar som en enda lösningsmängd: x=π/2* n, där n är ett godtyckligt heltal.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift, dvs. ser högerledet som en funktion, ritar in dess graf och söker efter skärningspunkter.

Här ser vi att det bara finns en skärningspunkt per period. Vi läser av lösningen i första perioden räknat från y-axeln.

Perioden för den trigonometriska funktionen kan vi läsa av som avståndet mellan exempelvis två dalar.

Perioden är alltså 2π. Vi lägger nu till ett helt antal perioder till lösningen vi läste av för att få ekvationens samtliga rötter: x=π+n*2π.

Vi gör på samma sätt igen och börjar därför med att rita ut grafen till högerledet.

Vi läser av funktionens period samt lösningarna i en av perioderna period.

Vi ser att två av ekvationens lösningar är x= π2 och x= 5π2, samt att perioden är 4π. Ekvationens samtliga lösningar ges alltså av följande två lösningsmängder. &x=π/2+n* 4π [0.7em] &x=5π/2+n* 4π Genom att representerar den övre lösningsmängden med gröna punkter och den nedre med röda punkter ser vi att avståndet mellan varje lösning är 2π.

Ekvationens lösningar kan alltså skrivas som en enda lösningsmängd: x=π/2+ n* 2π, där n är ett godtyckligt heltal.

Vi börjar med att titta närmare på funktionen: Den består av en produkt av en cosinusfunktion och en konstant. Funktionen U(t) kommer anta sitt maximala värde då cosinusfunktionen är som störst, och eftersom den har maxvärdet 1 måste det största värdet på U(t) vara 325*1=325. Den maximala spänningen i kretsen är alltså 325 volt.

Låt oss först bestämma vid vilka tidpunkter spänningstopparna infaller. Vi vet att de har värdet 325 volt och för att hitta tidpunkterna löser vi cosinusekvationen 325cos(100 π t)=325.

En av spänningstopparna infaller när n=0, dvs. vid t=0 sekunder. Nästa spänningstopp får vi då n=1, dvs. vid t= 150 sekunder. Detta innebär att det är 150=0.02sekunder mellan två spänningstoppar.

Eftersom en period för en cosinusfunktion kan definieras som avståndet mellan två intilliggande toppar motsvarar tiden vi bestämde i föregående deluppgift just en period. Att en period tar 150 sekund innebär att 50 perioder tar 1 sekund. Det går alltså 50perioder på1sekund.

Effektivvärdet beräknas som maxspänningen dividerat med sqrt(2). Vi vet sedan första deluppgiften att maximala spänningen är 325 volt.

Effektivvärdet för kretsen är alltså 230 volt.

Först vill vi hitta en punkt på grafen som är enkel att läsa av. Eftersom grafen skär genom origo kan vi välja den punkten. Därefter går vi en period åt höger och ser att grafen där skär x-axeln i x = π.

Funktionens period är därmed π.

Vi vill hitta två punkter på grafen som är lätta att avläsa och som vi sedan kan använda för att hitta periodlängden. Vi har en vågdal i x=- 2π och efterföljande vågtopp är i x=2π.

Punkterna ligger en halv period från varandra, vilket motsvarar 4 π. En hel period är då dubbelt så lång, dvs. 8π.

Som i föregående deluppgift kan vi inte heller här avläsa en hel period direkt, men det finns flera lättavlästa punkter. Vi väljer här att jämföra punkterna då x=0 och då x = π, men vilka två andra lättavlästa punkter som helst fungerar också.

Skillnaden mellan dessa två punkter är en och en halv period, och motsvarar π. Funktionens period är därmed π/1.5 ⇔ 2π/3. Om man vet skillnaden i x-led mellan två punkter och hur många perioder skillnaden motsvarar så kan man alltid beräkna funktionens period genom att dividera skillnaden i x-led med antalet perioder skillnaden motsvarar.

En funktion är periodisk om dess värden upprepas i regelbundna intervall. Grafen ser då ut som att en kortare sekvens upprepas om och om igen. För att hitta periodens längd för vår funktion vill vi hitta ett så kort stycke som möjligt som upprepar sig. Vi tittar på den del som går från x=- π2 till x= π2.

Vi ser när vi jämför med intilliggande segment att detta stycke upprepar sig. Eftersom vår valda delsträcka sträcker sig från en minimipunkt till nästa motsvarande minimipunkt är det även den kortaste möjliga del av funktionen som är periodisk. Nu beräknar vi periodens längd genom att subtrahera - π2 från π2.

Perioden är alltså π.

Vi saknar verktyg för att lösa denna ekvation algebraiskt, så vi försöker lösa den grafiskt istället. Då börjar vi med att lösa ut cos(2x) genom att flytta över x5 till högerledet. cos(2x) = -x/5 + 2 Vi kan sedan se vänster- och högerledet som funktionsuttrycken till varsin funktion, y = cos(2x) och y = - x/5 + 2. Ritar vi ut dessa på en grafräknare får vi en cosinuskurva och en rät linje med negativ lutning. Det är inte säkert att man ser var dessa skär varandra med standardinställningarna på räknaren, så man kan behöva ställa om fönstret. I figuren nedan visas x från -2 till 18 och y från -2 till 2.

Vi ser att det finns ett antal ställen där de två graferna skär varandra. Varje skärningspunkt motsvarar en lösning till ekvationen och till en början är vi intresserade av den minsta av dessa lösningar. Vi använder funktionen intersect på räknaren och väljer ut skärningspunkten längst till vänster.

Avrundad till tre värdesiffror är den minsta lösningen till ekvationen alltså x ≈ 5.97

Vi vill nu bestämma antalet lösningar till ekvationen. Det gör vi enklast genom att räkna antalet skärningspunkter mellan de två graferna vi ritade upp tidigare. Varje sådan punkt motsvarar en lösning.

Eftersom den räta linjen fortsätter uppåt till vänster och neråt till höger vet vi att den inte kommer att skära cosinuskurvan igen, så vi ser alla skärningspunkterna. Graferna skär varandra 7 gånger och det finns alltså 7 lösningar till ekvationen.

Vi börjar med att ta reda på perioderna för de tre ritade funktionerna genom att bestämma avståndet mellan motsvarande punkter på intilliggande vågor. För funktionerna y=sin(x) och y=sin(2x) kan vi läsa av att perioden är 2π respektive π.

Kvar är nu y=sin(3x). Vi kan inte se exakt hur lång en period är men vi ser att det går en och halv perioder mellan x=0 och x=π.

Detta kan vi formulera som följande samband, där perioden kallas P: 3/2* P=π. Vi bestämmer perioden för y=sin(3x) genom att lösa ut P.

Nu har vi bestämt perioderna för de tre ritade funktionerna. Vi gör en tabell för att se om vi kan hitta något mönster mellan koefficienten i sinusfunktionens argument och längden för en period.

Den tredje raden kan få oss att fundera på om en funktion på formen y=sin(nx) har perioden 2πn. Vi undersöker om detta mönster fungerar för y=sin(x). Koefficienten är 1 och genom att skriva perioden som 2π1 ser vi att mönstret stämmer även här.

Funktionen y=sin(2x) har koefficienten 2 och perioden π. Om vi förlänger perioden med 2 kan vi skriva den som 2π2 och vi ser att mönstret gäller här med.

Det verkar alltså som att en funktion y=sin(nx) har perioden 2πn. Vi utnyttjar det på funktionen y=sin(24x) och får att dess period bör vara 2π24, vilket vi förkortar till π/12.