Trigonometri: Repetera Trigonometriska Samband

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens har flera geometriska förklaringar. Här repeteras deras definitioner både med rätvinkliga trianglar och enhetscirkeln.

Regel

Trigonometriska funktioner

I en rätvinklig triangel anger sinus, cosinus och tangens förhållandet mellan längderna på två av triangelns sidor, baserat på en viss vinkel. Förhållandet kan vara mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Definitionen för dessa trigonometriska funktioner ser ut på följande sätt.

$sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}$

$cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}$

$tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}$

Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Tangensfunktionen kan också definieras med sinus och cosinus.

$tan (v) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )}$

Bestäm tangensvärdet

fullscreen

Bestäm $tan (v)$ givet att $sin (w) = \frac{1}{2} .$ Svara exakt.

Visa Lösning

Vi vill bestämma tangensvärdet för vinkeln

v

och för att göra det behöver vi båda kateterna i den högra triangeln. För tillfället saknar vi dock den ena, höjden, men den finns också i den vänstra triangeln. Där känner vi till längden på hypotenusan och sinusvärdet för vinkeln

w .

Definitionen för sinus är

sin (w) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa} .

I det här fallet är den motstående kateten höjden på triangeln. Genom att sätta in de kända värdena kan vi bestämma höjden.

sin (w) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteII

$sin (w) = \frac{1}{2}$ och $Hypotenusa = 4$

\frac{1}{2} = \frac{Motst a ˚ ende katet}{4}

MultEqn

$VL \cdot 4 = HL \cdot 4$

2 = Motst \overset{˚}{a} ende katet

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

Motst \overset{˚}{a} ende katet = 2

Höjden på triangeln är alltså

2

cm. Vi använder till sist definitionen av tangens för att bestämma

tan (v) .

tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet} = \frac{2}{3}

Svaret är alltså att

tan (v) = \frac{2}{3} .

Regel

Sinus och cosinus i enhetscirkeln

Enhetscirkeln, alltså en cirkel med radien $1$ centrerad i origo, kan kopplas till sinus- och cosinusfunktionerna. En punkt på enhetscirkeln vars radie skapar vinkeln $v$ mot positiva $x$ -axeln har alltid $x$ -koordinaten $cos (v)$ och $y$ -koordinaten $sin (v)$ .

$x = cos (v) och y = sin (v)$

Med hjälp av dessa samband kan man med härleda exakta sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar.

$v$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tan (v)$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	Odef.	$- 3$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	$0$

Bestäm punkten på enhetscirkeln

fullscreen

Bestäm den röda punktens $x$ -koordinat givet att tangensvärdet för vinkeln $v$ är $- 1.280 .$ Avrunda till tre decimaler.

Visa Lösning

Eftersom cirkeln har radien

1

och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att den röda punktens

x

- och

y

-koordinater motsvarar cosinus- respektive sinusvärdet för vinkeln

v .

Vi kan läsa av att sinusvärdet för vinkeln är

0.788 .

Eftersom vi också känner till tangensvärdet för vinkeln kan vi använda sambandet

tan (v) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )}

för att bestämma cosinusvärdet. Vi sätter in de kända värdena och löser ut cos(

v

tan (v) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )}

SubstituteII

$tan (v) = - 1.280$ och $sin (v) = 0.788$

- 1.280 = \frac{0 . 7 8 8}{cos ( v )}

MultEqn

$VL \cdot cos (v) = HL \cdot cos (v)$

- 1.280 \cdot cos (v) = 0.788

DivEqn

$VL / (- 1.280) = HL / (- 1.280)$

cos (v) = \frac{0 . 7 8 8}{- 1 . 2 8 0}

UseCalc

Slå in på räknare

cos (v) = - 0.61566 \dots

RoundDec

Avrunda till $3$ decimal(er)

cos (v) = - 0.616

Den röda punktens

x

-koordinat är alltså ca

- 0.616 .

{{ article.displayTitle }}

Trigonometriska funktioner

Exempel

Bestäm tangensvärdet

Sinus och cosinus i enhetscirkeln

Exempel

Bestäm punkten på enhetscirkeln

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}