Repetition av trigonometri

Triangeln är rätvinklig. Den motstående sidan är 2 le. och den närliggande är 4 le. Sätter vi in dessa värden i definitionen för tangens kan vi bestämma tangensvärdet.

Vinkelns tangensvärde är 0,5.

Triangeln är rätvinklig. Den motstående kateten är x le. och den närliggande är 1,25 x le. Sätter vi in dessa värden i definitionen för tangens kan vi bestämma tangensvärdet.

Vinkelns tangensvärde är 0,8.

Vi har en rätvinklig triangel. Utgår vi från den kända vinkeln, 62 ^(∘), är x den närliggande kateten och hypotenusan är 17cm. Vi kan då använda oss av cosinus. Glöm inte att räknaren ska vara inställd på grader.

Vi slår nu in högerledet ovan på räknaren för att beräkna x.

Triangelns höjd är alltså ca 8cm.

Här är den kända vinkeln 37 ^(∘), och den kända sidan är motstående katet till hypotenusan x. Vi kan då använda sinus.

Vi beräknar ännu en gång värdet av högerledet på räknaren.

Vi konstaterar att hypotenusan x är ungefär 15cm.

Lägg märke till att sidan som är 10cm är hypotenusan. Sidan x blir därmed motstående katet till vinkeln 53 ^(∘) och vi tar sinus till hjälp.

Som tidigare får vi reda på resultatet med räknaren.

Sidan x är ungefär 8cm.

Vi kan beräkna uttrycket genom att ersätta sin(30^(∘)) och cos(60^(∘)) med sina exakta trigonometriska värden ur tabellen och därefter förenkla.

Vi ersätter sin(45^(∘)) och tan(45^(∘)) med exakta trigonometriska värden och förenklar bråket så långt det går.

Samma sak här. Vi ersätter cos(30^(∘)) och tan(60^(∘)) med exakta trigonometriska värden och förenklar.

Eftersom triangeln är liksidig är alla sidor 16cm och triangelns samtliga vinklar är lika stora, dvs. 180^(∘)/3=60^(∘). Vi skissar triangeln och ritar in dess höjd h som är vinkelrät mot triangelns bas.

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar med vinklar och sidor som i figuren.

För att beräkna höjden kan vi använda Pythagoras sats, men då måste vi utföra beräkningen 16^2 som kan vara jobbig att ta i huvudet. Därför väljer vi att bestämma höjden med exempelvis tangens. Vi kan då utnyttja tangensvärdet för standardvinkeln 60 ^(∘) vilket är sqrt(3).

Nu kan vi bestämma triangelns area genom att multiplicera höjden med basen, som vi vet är 16, och dela med 2: Area=8sqrt(3)* 16/2=64sqrt(3). Triangelns area är alltså 64sqrt(3)cm^2.

Koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln kan alltid beskrivas med hjälp av vinkeln som skapas mellan den positiva x-axeln och radien ut till punkten. Om denna vinkel kallas v har punkten koordinaterna (cos(v), sin(v)).

För punkten P är v lika med 33^(∘), vilket vi sätter in i uttrycket.

Punkten P har alltså koordinaterna (0,84; 0,54).

Vinkeln 315^(∘) är inte någon standardvinkel, men om vi ritar ut den i enhetscirkeln kan vi se hur den relaterar till andra vinklar som är det.

Vi ser här att vinkeln 315^(∘) går nästan hela vägen runt enhetscirkeln, och den delen som är kvar är 360^(∘) - 315^(∘) = 45^(∘). Att gå 45^(∘) medurs runt enhetscirkeln är alltså samma sak som att gå 315^(∘) moturs. Vinklar medurs anges som negativa, dvs v=-45^(∘). Det ger att sin(315^(∘)) = sin(-45^(∘)). Genom att utnyttja att sinusvärdet av en negativ vinkel är lika med det negativa sinusvärdet av motsvarande positiva vinkel kan vi sedan skriva om sin(315^(∘)) exakt med tabellen för standardvinklar.

Vinkeln 270^(∘) är inte heller någon standardvinkel, så vi gör på samma sätt igen och ritar ut den i enhetscirkeln.

Här kan man direkt läsa av att cos(270^(∘))=0 eftersom punkten ligger på y-axeln, där x-värdet är lika med 0.

Vi kan också resonera på liknande sätt som i förra deluppgiften. Vinkeln v som går medurs blir den här gången -90 ^(∘). Vi söker cosinusvärdet för denna vinkel eftersom det är lika med cosinusvärdet för 270^(∘): cos(270^(∘)) = cos(-90^(∘)). Cosinus för negativa vinklar är lika med cosinus för motsvarande positiva vinkel, så cos(-90^(∘)) = cos(90^(∘)). Detta är cosinusvärdet av en standardvinkel och är lika med 0, vilket ger cos(270^(∘)) = 0.

Vinkeln -210^(∘) är negativ, men vi kan fortfarande tänka på samma sätt som tidigare. Vi kommer ihåg att negativa vinklar går medurs från x-axeln och ritar ut den i enhetscirkeln.

Om den kända vinkeln är 210^(∘) av ett helt varv blir det 360^(∘) - 210^(∘) = 150^(∘) över till vinkeln v. Den vinkeln måste vara positiv eftersom den går moturs från den positiva x-axeln, så v = 150^(∘), vilket är en standardvinkel. Vi får då sin(-210^(∘)) = sin(150^(∘)) Sinusvärdet av 150^(∘) är 1/2, vilket ger sin(-210^(∘)) = 1/2.

Givet att cos θ=7/10, vill vi beräkna de övriga fem trigonometriska förhållandena för θ. Vi börjar med att rita en rätvinklig triangel där θ är måttet på en spetsig vinkel.

Att rita triangeln

I en rätvinklig triangel definieras cosinus för en spetsig vinkel som förhållandet mellan den närliggande kateten och hypotenusan. cos θ =7/10 ⇔ cos θ = närliggande/hypotenusa Därför vet vi att triangelns närliggande katet är 7 och att hypotenusan är 10.

Vi kan hitta längden på den saknade kateten genom att sätta in b= 7 och c= 10 i Pythagoras sats.

Notera att när vi löste ekvationen tog vi endast hänsyn till den positiva roten. Detta beror på att a representerar en sidolängd och måste därför vara ett positivt tal. Vi kan nu rita den rätvinkliga triangeln och markera dess tre sidor.

Beräkning av trigonometriska förhållanden

Genom att ha de tre sidorna i den rätvinkliga triangeln kan vi hitta de fem återstående trigonometriska förhållandena. Kom ihåg att rationalisera nämnare vid behov.

Att rationalisera en nämnare innebär att man eliminerar alla rotuttryck från nämnaren. I arbetet ovan behövde vi rationalisera nämnarna för två uttryck, 10/sqrt(51) and 7/sqrt(51). Låt oss först titta på hur detta gjordes för 10/sqrt(51).

Låt oss nu följa samma procedur för att rationalisera nämnaren i 7/sqrt(51).

Betrakta den givna vinkeln. Vi kan använda den för att rita en rätvinklig triangel med en av dess kateter på x-axeln i ett koordinatsystem.

Längden på kateten längs x-axeln är x-koordinaten för P, vilket är cos α. Längden på den andra kateten är y-koordinaten för P, vilket är sin α. Kom ihåg att P ligger i kvadrant II. Därför är x-koordinaten negativ. P(x,y) = P(- cos α, sin α)

Vi kan hitta värdet på α genom att utgå från att en halvcirkel är 180^(∘) och att den givna vinkeln är 120^(∘) i moturs riktning. α=180^(∘)-120^(∘) ⇔ α = 60^(∘) Vi fokuserar nu på den rätvinkliga triangeln.

Genom att använda sidlängderna för en 30^(∘)-60^(∘)-90^(∘)-triangel vet vi att kateten markerad som cos 60^(∘) är hälften av hypotenusan. På samma sätt är kateten markerad som sin 60^(∘) sqrt(3) gånger den andra kateten. cos 60^(∘):& 1/2 sin 60^(∘):& sqrt(3)* 1/2=sqrt(3)/2 Vi kan nu ange koordinaterna för P. Kom ihåg att längderna på en triangels kateter alltid är positiva, så vi måste ändra tecknet på x-koordinaten.

P(-1/2, sqrt(3)/2) Detta motsvarar svar D.

Anta att en vinkel i standardposition har måttet θ. x-koordinaten för den punkt där vinkelns terminalsida skär enhetscirkeln definieras som cos θ. På motsvarande sätt är sin θ y-koordinaten för den punkten.

Kom ihåg att enhetscirkelns radie är 1. Om vi ritar en rätvinklig triangel med en av dess kateter på x-axeln, kommer dess hypotenusa därför att vara 1.

Notera att längden på den katet som ligger på x-axeln är lika med x-koordinaten för P, vilket är cos θ. På samma sätt är längden på den andra kateten lika med sin θ.