mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Trigonometriska samband och ekvationer

Repetition av trigonometri

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens har flera geometriska förklaringar. Här repeteras deras definitioner både med rätvinkliga trianglar och enhetscirkeln.
Regel

Trigonometriska funktioner

I en rätvinklig triangel anger sinus, cosinus och tangens förhållandet mellan längderna på två av triangelns sidor, baserat på en viss vinkel. Förhållandet kan vara mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Definitionen för dessa trigonometriska funktioner ser ut på följande sätt.

Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel


Tangensfunktionen kan också definieras med sinus och cosinus.

fullscreen
Uppgift

Bestäm givet att Svara exakt.

Visa Lösning
Lösning
Vi vill bestämma tangensvärdet för vinkeln och för att göra det behöver vi båda kateterna i den högra triangeln. För tillfället saknar vi dock den ena, höjden, men den finns också i den vänstra triangeln. Där känner vi till längden på hypotenusan och sinusvärdet för vinkeln Definitionen för sinus är I det här fallet är den motstående kateten höjden på triangeln. Genom att sätta in de kända värdena kan vi bestämma höjden.
Höjden på triangeln är alltså cm. Vi använder till sist definitionen av tangens för att bestämma Svaret är alltså att
Regel

Sinus och cosinus i enhetscirkeln

Enhetscirkeln, alltså en cirkel med radien centrerad i origo, kan kopplas till sinus- och cosinusfunktionerna. En punkt på enhetscirkeln vars radie skapar vinkeln mot positiva -axeln har alltid -koordinaten och -koordinaten .

Med hjälp av dessa samband kan man med härleda exakta sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar.

Odef.
fullscreen
Uppgift


Bestäm den röda punktens -koordinat givet att tangensvärdet för vinkeln är Avrunda till tre decimaler.

Visa Lösning
Lösning
Eftersom cirkeln har radien och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att den röda punktens - och -koordinater motsvarar cosinus- respektive sinusvärdet för vinkeln Vi kan läsa av att sinusvärdet för vinkeln är Eftersom vi också känner till tangensvärdet för vinkeln kan vi använda sambandet för att bestämma cosinusvärdet. Vi sätter in de kända värdena och löser ut cos().
Den röda punktens -koordinat är alltså ca


{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward