Sinusekvationer

För att hitta sinusvärdet för vinkeln 90^(∘) kan vi rita upp en enhetscirkel och läsa av värdet i den. När vinkeln är 90^(∘) står vinkelpekaren i enhetscirkeln rakt upp.

En vinkels sinusvärde kan läsas av som y-koordinaten i punkten där vinkelpekaren möter enhetscirkeln. Det innebär att sin ( 90^(∘) ) = 1.

Vinkeln 3π4 är en av standardvinklarna. Vi kan därför läsa av sinusvärdet för den i tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar.

Vi avläser direkt ur tabellen att sin(3π/4) = 1/sqrt(2).

Vinkeln 420^(∘) är större än ett varv. Vi kan dra bort ett varv utan att sinusvärdet påverkas eftersom vinkeln 420^(∘) pekar på samma punkt i enhetscirkeln som vinkeln 420^(∘) - 360^(∘) = 60^(∘). Detta är en standardvinkel och vi kan därför läsa av sinusvärdet för den i samma tabell som i föregående deluppgift.

Dess värde är sin ( 60^(∘) ) = sqrt(3)2. Det betyder att även sin (420^(∘) ) = sqrt(3)2.

Vinkeln - π6 finns inte i tabellen över standardvinklar. Däremot finns den positiva motsvarigheten, π6.

Vi kan utnyttja det trigonometriska sambandet att sin(- v) = - sin(v). Eftersom vinkeln π6 är standardvinkel vars sinusvärde är 12 kan vi slutsatsen att sin(- π/6) =-sin(π/6)= - 1/2.

Vi löser ekvationen och ser till att få med spegellösningen och perioden.

När vi löser denna ekvation gör vi på samma sätt som ovan. Åter ser vi till att få med spegellösningen och lägger till perioden.

Vi använder arcsin för att lösa ekvationen.

Vi har nu hittat de två lösningsmängderna x ≈ 27.1^(∘) + n * 360^(∘) och x ≈ 152.9^(∘) + n * 360^(∘) som fullständigt beskriver lösningarna till ekvationen.

Vi gör på samma sätt och använder arcsin för att lösa ekvationen.

x-värdena x ≈ - 21.8^(∘) + n * 360^(∘) och x ≈ 201.8^(∘) + n * 360^(∘) löser ekvationen.

Vi löser ekvationen algebraiskt med arcsin.

Vi har nu hittat lösningsmängderna x ≈ 58.2^(∘) + n * 360^(∘) och x ≈ 121.8^(∘) + n * 360^(∘) som beskriver alla lösningar till ekvationen.

Vi löser ekvationen på samma sätt som i förra deluppgiften.

Eftersom lösningsmängderna är identiska kan vi ignorera den ena. I uppgiften står det att vi skall ange med en decimal vilket ger oss lösningarna x = 90.0^(∘) + n * 360^(∘).

Vi fortsätter på samma sätt och använder arcsin för att lösa ekvationen.

Vi har nu hittat lösningsmängderna x ≈ 53.2^(∘) + n * 1440^(∘) och x ≈ 666.8^(∘) + n * 1440^(∘) som beskriver alla lösningar till ekvationen.

Vi löser den här ekvationen med den vanliga lösningsmetoden för sinusekvationer. Sedan kan man flytta över minustecknet.

Eftersom n är ett godtyckligt heltal, positivt eller negativt, spelar tecknet framför inte någon roll. Vi kan lika gärna sätta ett plustecken framför perioden. När man sätter de olika värdena för n kommer man ändå att få exakt samma lösningar som om det var ett minustecken. Lösningsmängderna &v ≈ - 0.3848 + n * 2π &v ≈ - 2.757 + n * 2π är därför helt ekvivalenta med de vi kom fram till ovan.

Till att börja med subtraherar vi bråket från båda led, för att få sinustermen ensam. Det ger ekvationen sin(x)=- 1sqrt(2). Denna löser vi som vanligt med arcussinus och kommer ihåg spegellösningen samt perioden. Den arcsin-term vi får i högerledet kan bestämmas med hjälp av tabellen för trigonometriska värden för standardvinklar.

Ekvationens lösningar ges alltså av lösningsmängderna x=-45^(∘)+n*360^(∘) och x=225^(∘)+n*360^(∘).

Vi börjar även denna deluppgift med att skriva om ekvationen så sin(x) står ensam, genom att multiplicera båda led med 1.5. sin(x)=3 Ekvationen löses alltså av de vinklar som har sinusvärdet 3. Men eftersom sinusvärden pendlar mellan -1 och 1 saknar ekvationen lösningar. Vi kan förstå detta tydligare med hjälp av enhetscirkeln, där sinusvärden motsvarar y-koordinater i punkter på cirkeln. Vi ser att ingen punkt på cirkeln har y-koordinaten 3.

Den här ekvationen består av en produkt som är 0. Om ena faktorn har värdet 0 så kommer även produkten ha det. Vi kan därför dela upp ekvationen i två enligt nollproduktmetoden och sedan lösa dem separat.

Vi har nu hittat tre lösningsmängder som tillsammans fullständigt löser ekvationen. För den som vill kan dessa lösningsmängder slås ihop till x = n * π2.

Vi får ett tecken på att det går att slå ihop lösningsmängderna när vi ignorerar perioderna för tillfället. Vi har då lösningarna - π/2, 0, π/2 och π. Mellan de fyra lösningarna är det π2, vilket motsvarar ett fjärdedels varv. Detta betyder att det går att slå samman lösningsmängderna. Vi ritar upp dem i enhetscirkeln för att lättare avgöra hur de kan slås ihop.

Vi ser nu att de är jämnt fördelade i hela enhetscirkeln och resten är av lösningarna är helvarvsförskjutningar av dessa. En lösning är 0, och vinkeln är π2 mellan lösningarna. Därför kan vi slå ihop lösningsmängderna till x = n * π/2.

Den här ekvationen löses på samma sätt som i förra deluppgiften, med hjälp av nollproduktmetoden.

Vi har nu hittat tre lösningsmängder som tillsammans löser ekvationen.

Den här ekvationen löses på samma sätt som de tidigare deluppgifterna, med hjälp av nollproduktmetoden.

Vi har nu hittat tre lösningsmängder som tillsammans löser ekvationen. För den som vill kan lösningsmängderna x_2 och x_3 slås ihop till x = n * π.

Vi får ett tecken på att det går att slå ihop lösningsmängderna när vi ignorerar perioderna hos lösningsmängderna. Vi har då lösningarna - π/4, 0, π/4 och π. Om vi tittar på de två lösningarna 0 och π ser vi att det är ett halvt varv mellan dem. Detta betyder att det går att slå samman lösningsmängderna. Vi ritar upp dem i enhetscirkeln för att lättare avgöra hur de kan slås ihop.

Vi kan nu se att de är jämnt fördelade i hela enhetscirkeln. Den ena lösningen är 0, och vinkeln är π mellan punkterna. Vi kan därför slå ihop lösningsmängderna x_2 och x_3 till x = n * π.

I enhetscirkeln motsvarar y-värden och sinusvärden varandra. Finns det några punkter på enhetscirkeln som har y-värdena 1.7 eller -1.3?

Nej, det största y-värdet som en punkt på enhetscirkeln kan ha är 1 och det minsta är -1. Det finns därför inga vinklar som ger sinusvärdena 1.7 eller -1.3 och därför saknar ekvationerna lösningar.