Komplexa talplanet

Re-axeln visar talens realdel och Im-axeln visar talens imaginärdel. Vi avläser koordinaterna för punkt z_1 ur koordinatsystemet.

Vi ser då att realdelen för z_1 är 1 och imaginärdelen är 2. Det innebär att z_1 = 1 + 2i. Vi avläser de övriga komplexa talen på samma sätt och får då följande.

Talen är alltså z_1 = 1 + 2i, z_2 = - 2 + 3i, z_3 = 4 - 2i och z_4 = - 3. Vi adderar nu dessa genom att lägga ihop realdelarna och imaginärdelarna separat.

Summan av de fyra komplexa talen blir alltså 3i.

Kom ihåg att komplexa tal kan representeras med vektorer som utgår från origo och pekar på den punkt som motsvarar talet. Vi ser att vektor A pekar på punkten (- 5, - 5). Den representerar därmed det komplexa tal som har realdelen - 5 och imaginärdelen - 5. Talet är alltså - 5 - 5i.

Vektor B pekar istället på punkten (0, - 4). Den representerar därmed det komplexa talet med realdelen 0 och imaginärdelen - 4, vilket är talet - 4i.

Vi ser att vektor C pekar på punkten (- 1, 5). Den representerar alltså det komplexa talet - 1 + 5i.

Till sist ser vi att vektor D pekar på punkten (6, - 2). Vektorn motsvarar därmed 6 - 2i.

Vi beräknar först u + w.

Vi vet nu att u + w = 4 - 2i. Vidare beräknar vi u * w.

Vi vet nu även att u * w = - 18 + 16i. I det komplexa talplanet motsvarar realdelens värde Re-koordinaten och imaginärdelens värde motsvarar Im-koordinaten. Vi markerar talen vi beräknat i talplanet.

Vi gör här på samma sätt som i föregående deluppgift.

Additionen gav oss u + w = 12 - 4i. Nästa steg är att beräkna u * w.

Resultatet av multiplikationen är alltså u * w = - 48i. Vi markerar talen i det komplexa talplanet.

I det här fallet är w komplexkonjugatet till u. Alltså är w = - 5 + 5i. Vi beräknar som vanligt först u + w.

Vi får u + w = - 10. Sista beräkningen vi gör är nu u * w.

Vi fick då u * w = 50. Vi markerar nu talen i det komplexa talplanet.

Innan vi kan beräkna absolutbeloppet |z| behöver vi först bestämma vad z är för tal. Vi avläser realdelen och imaginärdelen för z ur grafen.

Vi ser att realdelen är - 3.5 och imaginärdelen är 1. Därmed är z = - 3.5 + i. Vi beräknar nu |z|.

Alltså är |z| = sqrt(13.25).

Vi söker nu argumentet för z, vilket är vinkeln v från den positiva reella axeln till vektorn.

För att bestämma v börjar vi med att bestämma dess sidovinkel. Vi kallar den u.

u är en vinkel i en rätvinklig triangel med katetlängderna 3.5 och 1. Vi använder därför arctan för att beräkna den.

Eftersom u är en vinkel i en triangel måste den vara mellan 0^(∘) och 180^(∘). Därför är endast lösningen då n = 0 intressant i vårt fall. Vinkeln u är alltså cirka 15.9^(∘), vilket betyder att v ≈ 180^(∘) - 15.9^(∘) = 164.1^(∘). Vi har nu kommit fram till att arg(z) ≈ 164.1^(∘).

Här kan vi använda att absolutbeloppet för ett komplext tal med realdelen a och imaginärdelen b beräknas med formeln |a+bi|=sqrt(a^2 + b^2). Vi vet att själva absolutbeloppet är 4.5 och att realdelen är 3. Det innebär att vi kan ställa upp rotekvationen sqrt(3^2 + b^2)=4.5. Vi löser ut b för att bestämma imaginärdelen, och kommer ihåg att b måste vara positiv.

Imaginärdelen hos komplexa tal med realdelen 3, positiv imaginärdel och absolutbeloppet 4.5 måste alltså vara ca 3.4.

Vi ska markera alla komplexa tal med realdelen 2 i det komplexa talplanet. Eftersom realdelen för ett komplext tal motsvarar punktens Re-koordinat kan vi göra det genom att markera alla punkter med Re-koordinaten 2. Dessa bildar tillsammans en linje.

Nu ska vi istället markera alla tal med imaginärdelen -1. Det gör vi på liknande sätt som i förra deluppgiften, men markerar istället punkterna med Im-koordinaten -1. Dessa bildar också en linje.