Komplexa talplanet

Kom ihåg att komplexa tal kan representeras med vektorer som utgår från origo och pekar på den punkt som motsvarar talet. Vi ser att vektor A pekar på punkten (- 5, - 5). Den representerar därmed det komplexa tal som har realdelen - 5 och imaginärdelen - 5. Talet är alltså - 5 - 5i.

Vektor B pekar istället på punkten (0, - 4). Den representerar därmed det komplexa talet med realdelen 0 och imaginärdelen - 4, vilket är talet - 4i.

Vi ser att vektor C pekar på punkten (- 1, 5). Den representerar alltså det komplexa talet - 1 + 5i.

Till sist ser vi att vektor D pekar på punkten (6, - 2). Vektorn motsvarar därmed 6 - 2i.

Den korrekta matchningen är därför följande: A& → - 5 - 5i B & → - 4i C& → - 1 + 5i D & → 6 - 2i

Vi beräknar först u + w.

Vi har nu visat att u + w = 4 - 2i. Därefter beräknar vi produkten u * w.

Vi har visat att u * w = - 18 + 16i. I det komplexa talplanet representeras ett komplext tal av en punkt. Realdelen anger punktens koordinat på Re-axeln och imaginärdelen anger punktens koordinat på Im-axeln. Vi markerar nu de tal som vi har beräknat i det komplexa talplanet.

Vi går tillväga på samma sätt som i föregående deluppgift.

Vi fick att u+w=12-4i. Nästa steg är att beräkna produkten u* w.

Resultatet av multiplikationen är alltså u * w = - 48i. Vi markerar talen i det komplexa talplanet.

I det här fallet är w komplexkonjugatet till u. Alltså är w = - 5 + 5i. Vi beräknar som vanligt först u + w.

Vi får u + w = - 10. Sista beräkningen vi gör är nu u * w.

Vi fick då u * w = 50. Vi markerar nu talen i det komplexa talplanet.

Vi ska markera alla komplexa tal med realdelen 2 i det komplexa talplanet. Tänk på att varje komplext tal kan skrivas som z = a + bi. Eftersom Re(z) = 2, måste a=2. Den imaginära delen b är inte begränsad, så den kan vara vilket reellt tal som helst. Alla sådana tal är alltså z=2+bi, b ∈ R . I det komplexa talplanet motsvarar detta en vertikal linje, eftersom alla punkter har realdelen 2 och valfri imaginärdel.

Vi ska markera alla tal med imaginärdelen - 1. I det här fallet är realdelen a inte begränsad, så den kan vara vilket reellt tal som helst. z=a+(- 1)i, a ∈ R . I det komplexa talplanet motsvarar detta en horisontell linje, eftersom alla punkter har imaginärdelen - 1.

Vi känner till komplexa talets realdel, så vi kan skriva det som z = 3 + bi där b är den positiva imaginärdelen. Vi vet också att talets absolutbelopp är ∣z∣=4,5. Med hjälp av formeln för ett komplext tals absolutbelopp kan vi ställa upp en ekvation och lösa ut b.

Imaginärdelen är alltså ungefär 3,4.

Vi börjar med att bestämma z genom att läsa av dess realdel och imaginärdel i grafen.

Av grafen ser vi att realdelen är - 3,5 och imaginärdelen är 1. Alltså är z=- 3,5+i. Därefter beräknar vi absolutbeloppet |z|.

Alltså är |z| = sqrt(13,25).

Vi bestämmer nu argumentet arg z , det vill säga vinkeln v från den positiva reella axeln till vektorn som representerar z.

För att bestämma v börjar vi med att bestämma dess sidovinkel. Vi kallar den u.

Vinkeln u är en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel med kateterna 3,5 och 1. Därför kan vi använda tangens för att beräkna vinkeln.

Eftersom u är en vinkel i en triangel måste den vara mellan 0^(∘) och 180^(∘). Därför är endast lösningen då n = 0 intressant i vårt fall. Vinkeln u är alltså cirka 15,9^(∘), vilket betyder att v ≈ 180^(∘) - 15,9^(∘) = 164,1^(∘). Vi har nu kommit fram till att arg z ≈ 164,1^(∘).

Vi ska bestämma |z| och arg z för z = 3 + 3i. Realdelen och imaginärdelen är båda positiva, så z ligger i första kvadranten. Vi markerar talet z i det komplexa talplanet och ritar en rätvinklig triangel med den reella axeln som ena katet.

Absolutbeloppet |z| är avståndet mellan origo och punkten z i det komplexa talplanet.

Absolutbeloppet för talet är 3sqrt(2). Vi kan bestämma argumentet för z, (v), med hjälp av tangens i den rätvinkliga triangel som vi ritade. tan v = 3/3 =1 ⇒ v =45^(∘) Eftersom z ligger i den första kvadranten följer att argumentet är 45^(∘). arg z = 45^(∘)

Vi ska bestämma |z| och arg z för z = - 4 + 4i. Realdelen är negativ och imaginärdelen är positiv, så z ligger i andra kvadranten. Låt oss markera z i det komplexa talplanet och betrakta vinkeln mellan vektorn från origo till z och den positiva reella axeln.

Absolutbeloppet är hypotenusan, vilket vi får med Pythagoras sats.

Absolutbeloppet för talet är 4sqrt(2). Observera att argumentet för det komplexa talet är v, vilket är supplementvinkeln till u. Vi bestämmer först u med hjälp av tangens. tan u= 44=1 ⇒ u=45^(∘) Eftersom v är supplementvinkeln till u beräknas den genom att subtrahera 45^(∘) från 180^(∘). v=180^(∘)-45^(∘)=135^(∘) Alltså är argumentet för z lika med 135^(∘).

Vi ska bestämma |z| och arg z för z = - 2sqrt(3) - 2i. Både realdelen och imaginärdelen är negativa, så z ligger i tredje kvadranten. Vi markerar z i det komplexa talplanet och bildar den rätvinkliga triangeln med realaxeln.

Absolutbeloppet är hypotenusan, vilket vi får med Pythagoras sats.

Absolutbeloppet för talet är 4. För att bestämma argumentet för z måste vi först bestämma u. tan u = 2/2sqrt(3) = 1/sqrt(3) ⇒ u = 30^(∘) Eftersom z ligger i tredje kvadranten är vinkeln moturs från den positiva realaxeln v = 180^(∘) + u = 180^(∘) + 30 ^(∘) = 210^(∘) Denna vinkel är större än 180^(∘), men huvudargumentet ska ligga i intervallet (- 180^(∘), 180^(∘)]. Därför subtraherar vi 360^(∘). arg z= 210^(∘) - 360^(∘) = - 150^(∘)

Vi ska bestämma avståndet mellan punkterna som representeras av de komplexa talen z_1=1+2i och z_2=5-5i. Avståndet mellan två komplexa tal ges av absolutbeloppet av deras differens, det vill säga |z_1-z_2|.

Vi vill beräkna avståndet mellan de punkter i det komplexa talplanet som motsvarar z_1=sqrt(3)+i och z_2=2-4i. Detta avstånd är lika med absolutbeloppet av skillnaden mellan de två komplexa talen.

Vi ska bestämma avståndet mellan z_1=4-2i och z_2=sqrt(1)-2i.

Uttrycket |z-z_0| anger avståndet mellan punkten z och punkten z_0 i det komplexa talplanet. Därför beskriver villkoret |z-z_0|=r alla punkter som ligger på cirkeln med radien r och medelpunkt i z_0. I vårt fall kan vi direkt identifiera z_0=2 och r=3.

Mängden består alltså av alla punkter som ligger på avstånd 3 från talet 2, det vill säga cirkeln med radien 3 och medelpunkt i z_0=2.

Vi ska beskriva mängden av punkter som uppfyller villkoret |z + 1 - 2i| = 4. Vi skriver om uttrycket i absolutbeloppet så att det får formen z-z_0.

Villkoret kan alltså skrivas som |z-z_0|=4, där z_0 = - 1+2i. Mängden består därför av alla punkter som ligger på avstånd 4 från z_0=- 1+2i, det vill säga en cirkel med radien 4 och medelpunkt i - 1+2i.

Vi ska beskriva mängden av punkter som uppfyller |z-(3+i)|=2. Uttrycket står redan på standardformen |z-z_0|=r, där z_0=3+i och r=2. Mängden består därför av alla punkter som ligger på avstånd 2 från z_0, det vill säga cirkeln med medelpunkt i 3+i och radie 2.