Komplexa talplanet

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

De komplexa talen innehåller bl.a. alla reella tal — de har imaginärdelen 00 och består därför bara av en realdel. Dessa tal brukar representeras på en tallinje.

Men hur representerar man övriga komplexa tal, där imaginärdelen inte är 0?0? Jo, med hjälp av ett koordinatsystem.
Begrepp

Det komplexa talplanet

Genom att låta den horisontella och vertikala axeln i ett koordinatsystem representera reella respektive imaginära värden får man det komplexa talplanet. En punkt i detta plan beskriver då ett komplext tal, där real- och imaginärdelen kan läsas av som punktens koordinater på reella respektive imaginära axeln.

Uppgift

Talen zz och ww har markerats i det komplexa talplanet.

Bestäm talet u=z+wu=z+w och markera det i talplanet.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Komplexa tal som vektorer

Komplexa tal kan alltså beskrivas som punkter i det komplexa talplanet. Men de kan också beskrivas av vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkterna.

Dessa vektorer definieras av sin längd och riktning, som i detta sammanhang brukar kallas absolutbelopp och argument.

Begrepp

Absolutbelopp

Utvidgningen av den reella tallinjen till det komplexa talplanet ger en bredare innebörd av begreppet absolutbelopp. För ett reellt tal är det avståndet mellan talet och 0,0, t.ex. är -3=3.|\text{-}3|=3.

För ett komplext tal, z,z, får begreppet en liknande innebörd: avståndet mellan punkten zz och origo.

Det komplexa talets absolutbelopp är alltså längden på den motsvarande vektorn, och därför kan absolutbeloppet av ett komplext tal beräknas med formeln för en vektors längd.

a+bi=a2+b2\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}

Begrepp

Argument

För att beskriva vektorns riktning använder man vinkeln mellan vektorn och den positiva reella axeln, på samma sätt som man representerar vinklar i enhetscirkeln. Denna vinkel kallas för det komplexa talets argument, arg(z).\arg(z).

Man väljer ofta att argumentet ska ligga mellan -π\text{-}\pi och π,\pi, men det är inte ovanligt att använda intervallet 0v<2π.0\leq v\lt 2\pi.

Begrepp

Polära koordinater

Med hjälp av absolutbelopp och argument kan man nu entydigt bestämma alla komplexa tal. När man definierar en punkt med ett avstånd och en vinkel på detta sätt använder man så kallade polära koordinater. De brukar då betecknas med rr och v.v.

Ett komplext tal kan alltså beskrivas antingen på formen a+bi,a+bi, eller med absolutbeloppet rr och argumentet v.v.
Uppgift

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet z.z. Avrunda till en decimal.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka komplexa tal visas i figuren?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka komplexa tal representerar vektorerna i figuren?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Markera u+wu + w samt uwu \cdot w i det komplexa talplanet för följande tal.

a
u=73iu = 7-3i och w=-3+iw = \text{-} 3 + i
b
u=-4iu = \text{-} 4i och w=12w = 12
c
u=-55iu = \text{-} 5 - 5i och w=uˉw = \bar{u}
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En vektorrepresentation av det komplexa talet zz syns i grafen nedan.


a
Beräkna z|z| exakt.
b
Beräkna arg(z),\text{arg}(z), svara i grader med 11 decimal.
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad kan imaginärdelen vara hos komplexa tal med realdelen 33 och absolutbeloppet 4.5?4.5? Avrunda till en decimal.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I det komplexa talplanet, markera alla tal zz som uppfyller

a
Re(z)=2\text{Re}(z) = 2
b
Im(z)=-1.\text{Im}(z) = \text{-}1.
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Rita en vektorrepresentation av talen z=23iz = 2 - 3i och w=-1+6iw = \text{-} 1 + 6i samt ziz \cdot i och wi.w \cdot i.
b
Undersök vad som händer med ett komplext tals vektor när det multipliceras med i.i.
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

De två talen zz och ww är båda icke-reella och markerade i det komplexa talplanet. Tolka följande olikheter.

a
z>wz > w
b
z>w|z| > |w|
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tre olika komplexa tal har argument mellan 00 och 2π.2\pi. Är det möjligt att dessa ligger på en rät linje om två av dem har samma argument medan det tredje inte har det?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Markera i det komplexa talplanet de områden som bildas av följande olikheter.

a
1<z31 < |z| \leq 3
b
{z4Re(z)>-2\begin{cases}|z| \geq 4 \\ \text{Re}(z) > \text{-} 2 \end{cases}
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren är åtta olika områden i det komplexa talplanet markerade med A,B,C,D,E,F,GA, B, C, D, E, F, G och H.H. Cirkeln är en enhetscirkel med centrum i origo. Cirkeln och koordinataxlarna ingår inte i något av de markerade områdena. Bestäm i vilket eller vilka områden talet 1z\frac{1}{z} kan ligga i om zz ligger i B.B.

Nationella provet MaE VT05
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka punkter zz gäller att

a

z1=zi|z-1|=|z-i|

b

z+3i=z5i|z+3i|=|z-5i|?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}