Komplexa talplanet

Genom att låta den horisontella och vertikala axeln i ett koordinatsystem representera reella respektive imaginära värden får man det komplexa talplanet. En punkt i detta plan beskriver då ett komplext tal, där real- och imaginärdelen kan läsas av som punktens koordinater på reella respektive imaginära axeln.

Komplexa tal kan alltså beskrivas som punkter i det komplexa talplanet. Men de kan också beskrivas av vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkterna.

Dessa vektorer definieras av sin längd och riktning, som i detta sammanhang brukar kallas absolutbelopp och argument.

Utvidgningen av den reella tallinjen till det komplexa talplanet ger en bredare innebörd av begreppet absolutbelopp. För ett reellt tal är det avståndet mellan talet och $0,$ t.ex. är $|\text{-}3|=3.$

För ett komplext tal, $z,$ får begreppet en liknande innebörd: avståndet mellan punkten $z$ och origo.

Det komplexa talets absolutbelopp är alltså längden på den motsvarande vektorn, och därför kan absolutbeloppet av ett komplext tal beräknas med formeln för en vektors längd.

För att beskriva vektorns riktning använder man vinkeln mellan vektorn och den positiva reella axeln, på samma sätt som man representerar vinklar i enhetscirkeln. Denna vinkel kallas för det komplexa talets argument, $\arg (z).$

Man väljer ofta att argumentet ska ligga mellan $\text{-}\pi$ och $\pi ,$ men det är inte ovanligt att använda intervallet $0\le v<2\pi .$

Med hjälp av absolutbelopp och argument kan man nu entydigt bestämma alla komplexa tal. När man definierar en punkt med ett avstånd och en vinkel på detta sätt använder man så kallade polära koordinater. De brukar då betecknas med $r$ och $v.$ Ett komplext tal kan alltså beskrivas antingen på formen $a+bi,$ eller med absolutbeloppet $r$ och argumentet $v.$