{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Komplexa tal

Komplexa talplanet

De komplexa talen innehåller bl.a. alla reella tal — de har imaginärdelen 0 och består därför bara av en realdel. Dessa tal brukar representeras på en tallinje.

Men hur representerar man övriga komplexa tal, där imaginärdelen inte är 0? Jo, med hjälp av ett koordinatsystem.

Begrepp

Det komplexa talplanet

Genom att låta den horisontella och vertikala axeln i ett koordinatsystem representera reella respektive imaginära värden får man det komplexa talplanet. En punkt i detta plan beskriver då ett komplext tal, där real- och imaginärdelen kan läsas av som punktens koordinater på reella respektive imaginära axeln.

Exempel

Läs av och markera tal i det komplexa talplanet

fullscreen

Talen z och w har markerats i det komplexa talplanet.

Bestäm talet u=z+w och markera det i talplanet.

Visa Lösning expand_more

Vi börjar med att bestämma talen z och w på formen a+bi genom att läsa av respektive tals real- och imaginärdel på axlarna.

Koordinaterna för z är (-3,2) så talet är z=-3+2i. För w är koordinaterna (2,1) så det komplexa talet är w=2+i. Nu adderar vi z och w för att bestämma u.
u=z+w
u=-3+2i+2+i
u=-1+3i
Till sist markerar vi u i talplanet. Realdelen ska vara -1 och imaginärdelen 3, så koordinaterna är (-1,3).

Begrepp

Komplexa tal som vektorer

Komplexa tal kan alltså beskrivas som punkter i det komplexa talplanet. Men de kan också beskrivas av vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkterna.

Dessa vektorer definieras av sin längd och riktning, som i detta sammanhang brukar kallas absolutbelopp och argument.

Begrepp

Absolutbelopp

Utvidgningen av den reella tallinjen till det komplexa talplanet ger en bredare innebörd av begreppet absolutbelopp. För ett reellt tal är det avståndet mellan talet och 0, t.ex. är -3∣=3.

För ett komplext tal, z, får begreppet en liknande innebörd: avståndet mellan punkten z och origo.

Det komplexa talets absolutbelopp är alltså längden på den motsvarande vektorn, och därför kan absolutbeloppet av ett komplext tal beräknas med formeln för en vektors längd.

Begrepp

Argument

För att beskriva vektorns riktning använder man vinkeln mellan vektorn och den positiva reella axeln, på samma sätt som man representerar vinklar i enhetscirkeln. Denna vinkel kallas för det komplexa talets argument,

Man väljer ofta att argumentet ska ligga mellan -π och π, men det är inte ovanligt att använda intervallet

Begrepp

Polära koordinater

Med hjälp av absolutbelopp och argument kan man nu entydigt bestämma alla komplexa tal. När man definierar en punkt med ett avstånd och en vinkel på detta sätt använder man så kallade polära koordinater. De brukar då betecknas med r och v.
Ett komplext tal kan alltså beskrivas antingen på formen a+bi, eller med absolutbeloppet r och argumentet v.

Exempel

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet

fullscreen

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet z. Avrunda till en decimal.

Visa Lösning expand_more

Absolutbeloppet kan vi beräkna om vi känner till talets real- och imaginärdel. Vi börjar därför med att läsa av dem.

Realdelen är -3.5 och imaginärdelen är 2.5, så det komplexa talet är z=-3.5+2.5i. Vi använder det för att beräkna absolutbeloppet.
z=-3.5+2.5i

Absolutbeloppet är alltså ungefär 4.3. Argumentet, som vi kan kalla v, är vinkeln från den positiva reella axeln till vektorn som pekar på z.

För att bestämma v kan vi börja med att bestämma dess sidovinkel. Vi kan kalla den u.

u är en vinkel i en rätvinklig triangel med katetlängderna 3.5 och 2.5. Vi använder därför arctan för att beräkna den.

Eftersom u är en vinkel i en triangel kan den inte vara negativ eller större än Det finns därför bara en intressant lösning till ekvationen: den där n=0. Vinkeln u är alltså cirka vilket betyder att
Det komplexa talet z har alltså absolutbeloppet 4.3 och argumentet
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community