Komplexa talplanet

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

De komplexa talen innehåller bl.a. alla reella tal — de har imaginärdelen 00 och består därför bara av en realdel. Dessa tal brukar representeras på en tallinje.

Men hur representerar man övriga komplexa tal, där imaginärdelen inte är 0?0? Jo, med hjälp av ett koordinatsystem.
Begrepp

Det komplexa talplanet

Genom att låta den horisontella och vertikala axeln i ett koordinatsystem representera reella respektive imaginära värden får man det komplexa talplanet. En punkt i detta plan beskriver då ett komplext tal, där real- och imaginärdelen kan läsas av som punktens koordinater på reella respektive imaginära axeln.

Uppgift

Talen zz och ww har markerats i det komplexa talplanet.

Bestäm talet u=z+wu=z+w och markera det i talplanet.

Lösning

Vi börjar med att bestämma talen zz och ww på formen a+bia+bi genom att läsa av respektive tals real- och imaginärdel på axlarna.

Koordinaterna för zz är (-3,2)(\text{-}3,2) så talet är z=-3+2i.z=\text{-}3+2i. För ww är koordinaterna (2,1)(2,1) så det komplexa talet är w=2+i.w=2+i. Nu adderar vi zz och ww för att bestämma u.u.
u=z+wu=z+w
u=-3+2i+2+iu=\text{-}3+2i+2+i
u=-1+3iu=\text{-}1+3i
Till sist markerar vi uu i talplanet. Realdelen ska vara -1\text{-}1 och imaginärdelen 3,3, så koordinaterna är (-1,3).(\text{-}1,3).
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Komplexa tal som vektorer

Komplexa tal kan alltså beskrivas som punkter i det komplexa talplanet. Men de kan också beskrivas av vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkterna.

Dessa vektorer definieras av sin längd och riktning, som i detta sammanhang brukar kallas absolutbelopp och argument.

Begrepp

Absolutbelopp

Utvidgningen av den reella tallinjen till det komplexa talplanet ger en bredare innebörd av begreppet absolutbelopp. För ett reellt tal är det avståndet mellan talet och 0,0, t.ex. är -3=3.|\text{-}3|=3.

För ett komplext tal, z,z, får begreppet en liknande innebörd: avståndet mellan punkten zz och origo.

Det komplexa talets absolutbelopp är alltså längden på den motsvarande vektorn, och därför kan absolutbeloppet av ett komplext tal beräknas med formeln för en vektors längd.

a+bi=a2+b2\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}

Begrepp

Argument

För att beskriva vektorns riktning använder man vinkeln mellan vektorn och den positiva reella axeln, på samma sätt som man representerar vinklar i enhetscirkeln. Denna vinkel kallas för det komplexa talets argument, arg(z).\arg(z).

Man väljer ofta att argumentet ska ligga mellan -π\text{-}\pi och π,\pi, men det är inte ovanligt att använda intervallet 0v<2π.0\leq v\lt 2\pi.

Begrepp

Polära koordinater

Med hjälp av absolutbelopp och argument kan man nu entydigt bestämma alla komplexa tal. När man definierar en punkt med ett avstånd och en vinkel på detta sätt använder man så kallade polära koordinater. De brukar då betecknas med rr och v.v.

Ett komplext tal kan alltså beskrivas antingen på formen a+bi,a+bi, eller med absolutbeloppet rr och argumentet v.v.
Uppgift

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet z.z. Avrunda till en decimal.

Lösning

Absolutbeloppet kan vi beräkna om vi känner till talets real- och imaginärdel. Vi börjar därför med att läsa av dem.

Realdelen är -3.5\text{-}3.5 och imaginärdelen är 2.5,2.5, så det komplexa talet är z=-3.5+2.5i.z=\text{-}3.5+2.5i. Vi använder det för att beräkna absolutbeloppet.
z=-3.5+2.5i|z|=|\text{-}3.5+2.5i|
z=(-3.5)2+2.52|z|=\sqrt{(\text{-}3.5)^2+2.5^2}
z=12.25+6.25|z|=\sqrt{12.25+6.25}
z=18.5|z|=\sqrt{18.5}
z=4.30116|z|=4.30116\ldots
z4.3|z|\approx4.3

Absolutbeloppet är alltså ungefär 4.3.4.3. Argumentet, som vi kan kalla v,v, är vinkeln från den positiva reella axeln till vektorn som pekar på z.z.

För att bestämma vv kan vi börja med att bestämma dess sidovinkel. Vi kan kalla den u.u.

uu är en vinkel i en rätvinklig triangel med katetlängderna 3.53.5 och 2.5.2.5. Vi använder därför arctan för att beräkna den.

tan(u)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan\left(u\right)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}
tan(u)=2.53.5\tan(u)=\dfrac{2.5}{3.5}
u=arctan(2.53.5)+n180u=\arctan\left(\dfrac{2.5}{3.5}\right)+n\cdot 180^\circ
u=35.53767+n180u=35.53767\ldots^\circ+n\cdot 180^\circ
u35.5+n180u\approx35.5^\circ+n\cdot 180^\circ
Eftersom uu är en vinkel i en triangel kan den inte vara negativ eller större än 180.180^\circ. Det finns därför bara en intressant lösning till ekvationen: den där n=0.n=0. Vinkeln uu är alltså cirka 35.5,35.5^\circ, vilket betyder att v=18035.5=144.5. v=180^\circ - 35.5^\circ = 144.5^\circ. Det komplexa talet zz har alltså absolutbeloppet 4.34.3 och argumentet 144.5.144.5^\circ.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}