Komplexa talplanet

De komplexa talen innehåller bl.a. alla reella tal — de har imaginärdelen $0$ och består därför bara av en realdel. Dessa tal brukar representeras på en tallinje.

Men hur representerar man övriga komplexa tal, där imaginärdelen inte är

0?

Jo, med hjälp av ett koordinatsystem.

Begrepp

Det komplexa talplanet

Genom att låta den horisontella och vertikala axeln i ett koordinatsystem representera reella respektive imaginära värden får man det komplexa talplanet. En punkt i detta plan beskriver då ett komplext tal, där real- och imaginärdelen kan läsas av som punktens koordinater på reella respektive imaginära axeln.

Läs av och markera tal i det komplexa talplanet

fullscreen

Uppgift

Talen $z$ och $w$ har markerats i det komplexa talplanet.

Bestäm talet $u=z+w$ och markera det i talplanet.

Visa Lösning

Lösning

Vi börjar med att bestämma talen $z$ och $w$ på formen $a+bi$ genom att läsa av respektive tals real- och imaginärdel på axlarna.

Koordinaterna för

z

är

(\text{-}3,2)

så talet är

z=\text{-}3+2i.

För

w

är koordinaterna

(2,1)

så det komplexa talet är

w=2+i.

Nu adderar vi

z

och

w

för att bestämma

u.

u=z+w

SubstituteValuesSätt in värden

u=\text{-}3+2i+2+i

AddTermsFörenkla termer

u=\text{-}1+3i

Till sist markerar vi

u

i talplanet. Realdelen ska vara

\text{-}1

och imaginärdelen

3,

så koordinaterna är

(\text{-}1,3).

Begrepp

Komplexa tal som vektorer

Komplexa tal kan alltså beskrivas som punkter i det komplexa talplanet. Men de kan också beskrivas av vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkterna.

Dessa vektorer definieras av sin längd och riktning, som i detta sammanhang brukar kallas absolutbelopp och argument.

Begrepp

Absolutbelopp

Utvidgningen av den reella tallinjen till det komplexa talplanet ger en bredare innebörd av begreppet absolutbelopp. För ett reellt tal är det avståndet mellan talet och $0,$ t.ex. är $|\text{-}3|=3.$

För ett komplext tal, $z,$ får begreppet en liknande innebörd: avståndet mellan punkten $z$ och origo.

Det komplexa talets absolutbelopp är alltså längden på den motsvarande vektorn, och därför kan absolutbeloppet av ett komplext tal beräknas med formeln för en vektors längd.

$\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Begrepp

Argument

För att beskriva vektorns riktning använder man vinkeln mellan vektorn och den positiva reella axeln, på samma sätt som man representerar vinklar i enhetscirkeln. Denna vinkel kallas för det komplexa talets argument, $\arg(z).$

Man väljer ofta att argumentet ska ligga mellan $\text{-}\pi$ och $\pi,$ men det är inte ovanligt att använda intervallet $0\leq v\lt 2\pi.$

Begrepp

Polära koordinater

Med hjälp av absolutbelopp och argument kan man nu entydigt bestämma alla komplexa tal. När man definierar en punkt med ett avstånd och en vinkel på detta sätt använder man så kallade polära koordinater. De brukar då betecknas med $r$ och $v.$

Ett komplext tal kan alltså beskrivas antingen på formen

a+bi,

eller med absolutbeloppet

r

och argumentet

v.

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet

fullscreen

Uppgift

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet $z.$ Avrunda till en decimal.

Visa Lösning

Lösning

Absolutbeloppet kan vi beräkna om vi känner till talets real- och imaginärdel. Vi börjar därför med att läsa av dem.

Realdelen är

\text{-}3.5

och imaginärdelen är

2.5,

så det komplexa talet är

z=\text{-}3.5+2.5i.

Vi använder det för att beräkna absolutbeloppet.

|z|=|\text{-}3.5+2.5i|

CompCartAbs

\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}

|z|=\sqrt{(\text{-}3.5)^2+2.5^2}

CalcPowBeräkna potens

|z|=\sqrt{12.25+6.25}

AddTermsFörenkla termer

|z|=\sqrt{18.5}

UseCalcSlå in på räknare

|z|=4.30116\ldots

RoundDecAvrunda till

1

|z|\approx4.3

Absolutbeloppet är alltså ungefär $4.3.$ Argumentet, som vi kan kalla $v,$ är vinkeln från den positiva reella axeln till vektorn som pekar på $z.$

För att bestämma $v$ kan vi börja med att bestämma dess sidovinkel. Vi kan kalla den $u.$

$u$ är en vinkel i en rätvinklig triangel med katetlängderna $3.5$ och $2.5.$ Vi använder därför arctan för att beräkna den.

\tan\left(u\right)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

SubstituteExpressionsSätt in uttryck

\tan(u)=\dfrac{2.5}{3.5}

ArcTanEqn

\arctan(\text{VL}) = \arctan(\text{HL})

u=\arctan\left(\dfrac{2.5}{3.5}\right)+n\cdot 180^\circ

UseCalcSlå in på räknare

u=35.53767\ldots^\circ+n\cdot 180^\circ

RoundDecAvrunda till

1

u\approx35.5^\circ+n\cdot 180^\circ

Eftersom

u

är en vinkel i en triangel kan den inte vara negativ eller större än

180^\circ.

Det finns därför bara en intressant lösning till ekvationen: den där

n=0.

Vinkeln

u

är alltså cirka

35.5^\circ,

vilket betyder att

v=180^\circ - 35.5^\circ = 144.5^\circ.

Det komplexa talet

z

har alltså absolutbeloppet

4.3

och argumentet

144.5^\circ.

Komplexa talplanet

Det komplexa talplanet

Exempel

Läs av och markera tal i det komplexa talplanet

Komplexa tal som vektorer

Absolutbelopp

Argument

Polära koordinater

Exempel

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet