Komplexa talplanet
De komplexa talen innehåller bl.a. alla reella tal — de har imaginärdelen och består därför bara av en realdel. Dessa tal brukar representeras på en tallinje.
Det komplexa talplanet
Genom att låta den horisontella och vertikala axeln i ett koordinatsystem representera reella respektive imaginära värden får man det komplexa talplanet. En punkt i detta plan beskriver då ett komplext tal, där real- och imaginärdelen kan läsas av som punktens koordinater på reella respektive imaginära axeln.
Talen och har markerats i det komplexa talplanet.
Bestäm talet och markera det i talplanet.
Vi börjar med att bestämma talen och på formen genom att läsa av respektive tals real- och imaginärdel på axlarna.
Komplexa tal som vektorer
Komplexa tal kan alltså beskrivas som punkter i det komplexa talplanet. Men de kan också beskrivas av vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkterna.
Dessa vektorer definieras av sin längd och riktning, som i detta sammanhang brukar kallas absolutbelopp och argument.
Absolutbelopp
Utvidgningen av den reella tallinjen till det komplexa talplanet ger en bredare innebörd av begreppet absolutbelopp. För ett reellt tal är det avståndet mellan talet och t.ex. är
För ett komplext tal, får begreppet en liknande innebörd: avståndet mellan punkten och origo.
Det komplexa talets absolutbelopp är alltså längden på den motsvarande vektorn, och därför kan absolutbeloppet av ett komplext tal beräknas med formeln för en vektors längd.
Argument
För att beskriva vektorns riktning använder man vinkeln mellan vektorn och den positiva reella axeln, på samma sätt som man representerar vinklar i enhetscirkeln. Denna vinkel kallas för det komplexa talets argument,
Man väljer ofta att argumentet ska ligga mellan och men det är inte ovanligt att använda intervallet
Polära koordinater
Med hjälp av absolutbelopp och argument kan man nu entydigt bestämma alla komplexa tal. När man definierar en punkt med ett avstånd och en vinkel på detta sätt använder man så kallade polära koordinater. De brukar då betecknas med och
Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet Avrunda till en decimal.
Absolutbeloppet kan vi beräkna om vi känner till talets real- och imaginärdel. Vi börjar därför med att läsa av dem.
Absolutbeloppet är alltså ungefär Argumentet, som vi kan kalla är vinkeln från den positiva reella axeln till vektorn som pekar på
För att bestämma kan vi börja med att bestämma dess sidovinkel. Vi kan kalla den
är en vinkel i en rätvinklig triangel med katetlängderna och Vi använder därför arctan för att beräkna den.
Eftersom är en vinkel i en triangel kan den inte vara negativ eller större än Det finns därför bara en intressant lösning till ekvationen: den där Vinkeln är alltså cirka vilket betyder att Det komplexa talet har alltså absolutbeloppet och argumentet