Expandera meny menu_open Minimera Startsida kapitel Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

 Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

 play_circle_outline Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

 play_circle_outline Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

 play_circle_outline

Formelsamling

 Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

 looks_two

Kurs 2

 looks_3

Kurs 3

 looks_4

Kurs 4

 looks_5

Kurs 5

 Logga in account_circle menu_open

Integreringsregler

Välj Kurs
Matte 4
Integreringsregler
Det finns flera användbara regler för att skriva om och dela upp integraler. Oftast gäller dessa när det finns något gemensamt mellan integralerna, t.ex. samma integrationsgränser eller samma integrand.
Regel

Addera och subtrahera integraler

När man ska beräkna summan av två integraler med samma integrationsgränser kan man samla funktionsuttrycken inom en enda integral.

∫abf(x) dx+∫abg(x) dx=∫ab(f(x)+g(x)) dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) + g(x) \right) \, \text d x

Detta kan visualiseras grafiskt med integralerna av f(x)=1f(x) = 1 och g(x)=x.g(x) = \sqrt{x}. Regeln är dock generell och gäller för alla integrerbara funktioner och gränser.

Integreringsregler5.svg

Motsvarande regel gäller vid subtraktion av integraler med samma integrationsgränser.

∫abf(x) dx−∫abg(x) dx=∫ab(f(x)−g(x)) dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x - \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) - g(x) \right) \, \text d x

Dessa två samband kan härledas med integralkalkylens huvudsats.

Härledning

 ∫abf(x) dx±∫abg(x) dx=∫ab(f(x)±g(x)) dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x \pm \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \pm g(x) \right) \, \text d x
För att visa sambandet uttrycker man först vänsterledet med primitiva funktioner. Här visas för addition, men motsvarande resonemang gäller även för subtraktion.
∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x
∫abf(x) dx=[F(x)]ab\displaystyle \int_a^b f(x) \ \text dx=[F(x)]_a^b
[F(x)]ab+[G(x)]ab\left[ F(x) \right]_{a}^{b} + \left[ G(x) \right]_{a}^{b}
[F(x)]ab=F(b)−F(a)\left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)
F(b)−F(a)+G(b)−G(a)F(b) - F(a) + G(b) - G(a)
Omarrangera termer
F(b)+G(b)−F(a)−G(a)F(b) + G(b) - F(a) - G(a)
-a−b=-(a+b)\text{-} a-b=\text{-}(a+b)
F(b)+G(b)−(F(a)+G(a))F(b) + G(b) - (F(a) + G(a))

Det här uttrycket kan man skriva som [F(x)+G(x)]ab. \left[ F(x) + G(x) \right]_{a}^{b}. Nu kan man använda huvudsatsen igen, fast åt andra hållet. Då får man ∫ab(f(x)+g(x)) dx. \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) + g(x) \right) \, \text d x .

Q.E.D.
Regel

Integral av en term med koefficient

Om man integrerar en funktion med en koefficient kan denna koefficient flyttas ut ur integralen.

Härledning

 ∫abk⋅f(x) dx=k⋅∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \, \text d x = k \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x
Den här regeln visar man genom att skriva integralen som en differens med hjälp av integralkalkylens huvudsats. När man deriverar k⋅f(x)k \cdot f(x) får man k⋅f′(x)k \cdot f'(x) och på samma sätt får man k⋅F(x)k \cdot F(x) när man bestämmer den primitiva funktionen till k⋅f(x).k \cdot f(x).
∫abk⋅f(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \, \text d x
∫abg(x) dx=[G(x)]ab\displaystyle \int_a^b g(x) \ \text dx=[G(x)]_a^b
[k⋅F(x)]ab\left[ k \cdot F(x) \right]_{a}^{b}
[G(x)]ab=G(b)−G(a)\left[G(x)\right]_{{\color{#009600}{a}}}^{\color{#0000FF}{b}}=G\left({\color{#0000FF}{b}}\right)-G\left({\color{#009600}{a}}\right)
k⋅F(b)−k⋅F(a)k \cdot F({\color{#0000FF}{b}}) - k \cdot F({\color{#009600}{a}})
Bryt ut kk
k⋅(F(b)−F(a))k \cdot (F(b) - F(a))
Man kan nu skriva faktorn F(b)−F(a)F(b) - F(a) som en integral: k⋅(F(b)−F(a))=k⋅∫abf(x) dx. k \cdot (F(b) - F(a)) = k \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x .
Q.E.D.
fullscreen
Uppgift

Visa att följande likhet gäller. ∫ab3 dx−∫ab6sin⁡2(x) dx=3∫abcos⁡(2x) dx \displaystyle\int_{a}^{b}3 \, \text d x - \displaystyle\int_{a}^{b}6\sin^2(x) \, \text d x = 3\displaystyle\int_{a}^{b}\cos(2x) \, \text d x

Visa Lösning
Lösning
För att visa att vänsterledet faktiskt är samma som högerledet slår vi först ihop integralerna och bryter sedan ut 3.3.
∫ab3 dx−∫ab6sin⁡2(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}3 \, \text d x - \displaystyle\int_{a}^{b}6\sin^2(x) \, \text d x
Slå ihop integraler
∫ab(3−6sin⁡2(x)) dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(3 - 6\sin^2(x) \right) \, \text d x
Bryt ut 33
∫ab3(1−2sin⁡2(x)) dx\displaystyle\int_{a}^{b}3\left( 1 - 2\sin^2(x) \right) \, \text d x
∫abk⋅f(x) dx=k⋅∫abf(x) dx \displaystyle \int_a^b k\cdot f(x) \ \text d x = k\cdot \int_a^b f(x) \ \text d x
3∫ab(1−2sin⁡2(x)) dx3\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - 2\sin^2(x) \right) \, \text d x
Vi kan nu skriva om integranden med cosinus för dubbla vinkeln, vilket ger den sökta integralen.
3∫ab(1−2sin⁡2(x)) dx3\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - 2\sin^2(x) \right) \, \text d x
1−2sin⁡2(v)=cos⁡(2v)1- 2\sin^2(v) = \cos(2v)
3∫abcos⁡(2x) dx3\displaystyle\int_{a}^{b}\cos(2x) \, \text d x
Vi har nu visat att likheten stämmer.
Q.E.D.
Regel

Dela upp integrationsgränser

Ibland kan det vara bekvämt att dela upp en integral i flera delintervall och beräkna dessa separat. För att bestämma värdet av den ursprungliga integralen adderar man då bara integralerna för delintervallen.

∫acf(x) dx=∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{c}f(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}f(x) \, \text d x

Man kan visa detta med hjälp av integralkalkylens huvudsats.

Härledning

 ∫acf(x) dx=∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{c}f(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}f(x) \, \text d x
För att visa likheten börjar man med att skriva om integralerna i högerledet som differenser av primitiva funktioner. Förenklar man uttrycket blir det bara två termer kvar.
∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}f(x) \, \text d x
∫abf(x) dx=[F(x)]ab\displaystyle \int_a^b f(x) \ \text dx=[F(x)]_a^b
[F(x)]ab+[F(x)]bc\left[ F(x) \right]_a^b + \left[ F(x) \right]_b^c
[F(x)]ab=F(b)−F(a)\left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)
F(b)−F(a)+F(c)−F(b)F(b) - F(a) + F(c) - F(b)
Omarrangera termer
F(b)−F(b)+F(c)−F(a)F(b) - F(b) + F(c) - F(a)
Förenkla termer
F(c)−F(a)F(c) - F(a)
När man nu går tillbaka till en integral går gränserna över hela intervallet. F(c)−F(b)=∫acf(x) dx F(c) - F(b) = \displaystyle\int_{a}^{c}f(x) \, \text d x Summan av integralerna över delintervallen är alltså lika med integralen över hela intervallet.
Q.E.D.
Regel

Byta plats på integrationsgränser

Om man byter plats på integrationsgränserna för en integral blir värdet samma, fast negativt.

∫abf(x) dx=-∫baf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x = \text{-} \displaystyle\int_{b}^{a}f(x) \, \text d x

Den undre gränsen kan alltså vara större än den övre.

Härledning

 ∫abf(x) dx=-∫baf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x = \text{-} \displaystyle\int_{b}^{a}f(x) \, \text d x
Genom att använda integralkalkylens huvudsats kan man skriva om integralen som en differens mellan primitiva funktioner. Bryter man ut ett minustecken ur detta uttryck får man en ny differens där termerna har bytt plats.
∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x
∫abf(x) dx=[F(x)]ab\displaystyle \int_a^b f(x) \ \text dx=[F(x)]_a^b
[F(x)]ab\left[ F(x) \right]_a^b
[F(x)]ab=F(b)−F(a)\left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)
F(b)−F(a)F(b) - F(a)
a−b=-(b−a)a-b=\text{-}(b-a)
-(F(a)−F(b))\text{-} \left( F(a) - F(b) \right)

Det som står innanför parentesen kan nu skrivas som en integral igen. -(F(a)−F(b))=-∫baf(x) dx \text{-} \left( F(a) - F(b) \right) = \text{-}\displaystyle\int_{b}^{a}f(x) \, \text d x Integrationsgränserna har nu bytt plats och samtidigt har ett minustecken dykt upp.

Q.E.D.
fullscreen
Uppgift

Skriv om uttrycket så att det bara består av en integral. ∫ab(1−x2) dx+∫cb(x2−1) dx \displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x + \displaystyle\int_{c}^{b}\left(x^2 - 1 \right) \, \text d x

Visa Lösning
Lösning
Eftersom integralerna varken har samma integrand eller samma integrationsgränser kan vi inte lägga ihop dem som de är. Vi ser dock att integrationsgränsen bb är gemensam. Om vi vänder på gränserna för den andra integralen kommer den då att börja där den första slutar.
∫ab(1−x2) dx+∫cb(x2−1) dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x + \displaystyle\int_{c}^{b}\left(x^2 - 1 \right) \, \text d x
∫abf(x) dx=-∫baf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text{d}x = \text{-} \int_b^a f(x) \ \text{d}x
∫ab(1−x2) dx+(-∫bc(x2−1) dx)\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x +\left(\text{-}\displaystyle\int_{b}^{c}\left(x^2 - 1 \right) \, \text d x \right)
Om vi nu multiplicerar in minustecknet i den andra integralen får den samma integrand som den första integralen.
∫ab(1−x2) dx+(-∫bc(x2−1) dx)\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x +\left(\text{-}\displaystyle\int_{b}^{c}\left(x^2 - 1 \right) \, \text d x \right)
-∫abf(x) dx=∫ab-f(x) dx \displaystyle \text{-} \int_a^b f(x) \ \text d x = \int_a^b \text{-} f(x) \, \text d x
∫ab(1−x2) dx+∫bc-(x2−1) dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}\text{-}\left(x^2 - 1\right) \, \text d x
-(b−a)=a−b\text{-}(b-a)=a-b
∫ab(1−x2) dx+∫bc(1−x2) dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x
Nu står det samma sak innanför båda integralerna och den första slutar där den andra börjar. Det betyder att vi kan skriva dem som en enda integral över hela intervallet.
∫ab(1−x2) dx+∫bc(1−x2) dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x
Slå ihop integraler
∫ac(1−x2) dx\displaystyle\int_{a}^{c}\left(1 - x^2 \right) \, \text d x
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-recommended-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward