När man ska beräkna summan av två integraler med samma integrationsgränser kan man samla funktionsuttrycken inom en enda integral.
∫abf(x)dx+∫abg(x)dx=∫ab(f(x)+g(x))dx
Detta kan visualiseras grafiskt med integralerna av f(x)=1 och g(x)=x. Regeln är dock generell och gäller för alla integrerbara funktioner och gränser.
Motsvarande regel gäller vid subtraktion av integraler med samma integrationsgränser.
∫abf(x)dx−∫abg(x)dx=∫ab(f(x)−g(x))dx
Dessa två samband kan härledas med integralkalkylens huvudsats.
Det här uttrycket kan man skriva som [F(x)+G(x)]ab. Nu kan man använda huvudsatsen igen, fast åt andra hållet. Då får man ∫ab(f(x)+g(x))dx.
Om man integrerar en funktion med en koefficient kan denna koefficient flyttas ut ur integralen.
Visa att följande likhet gäller. ∫ab3dx−∫ab6sin2(x)dx=3∫abcos(2x)dx
Ibland kan det vara bekvämt att dela upp en integral i flera delintervall och beräkna dessa separat. För att bestämma värdet av den ursprungliga integralen adderar man då bara integralerna för delintervallen.
∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx
Man kan visa detta med hjälp av integralkalkylens huvudsats.
Om man byter plats på integrationsgränserna för en integral blir värdet samma, fast negativt.
∫abf(x)dx=-∫baf(x)dx
Den undre gränsen kan alltså vara större än den övre.
Det som står innanför parentesen kan nu skrivas som en integral igen. -(F(a)−F(b))=-∫baf(x)dx Integrationsgränserna har nu bytt plats och samtidigt har ett minustecken dykt upp.
Skriv om uttrycket så att det bara består av en integral. ∫ab(1−x2)dx+∫cb(x2−1)dx