Samband mellan sinus och cosinus

Vi vet värdet på cos 150^(∘) och ska utifrån det bestämma sin 240^(∘). Eftersom 240^(∘) kan skrivas som 150^(∘)+90^(∘) kan vi använda det trigonometriska sambandet cos v=sin(v+90^(∘)). Detta säger att cos 150^(∘)=sin 240^(∘). Vi vet värdet av cos 150^(∘) och sätter in det, samt byter plats på höger- och vänsterled: sin 240^(∘)=-sqrt(3)/2.

Nu ska vi istället bestämma cos(-30^(∘)) givet värdet av cos 150^(∘). Och eftersom -30^(∘) kan skrivas som 150^(∘)-180^(∘) använder vi sambandet cos v=- cos(v-180^(∘)). Detta ger att cos(150^(∘))=-cos(-30^(∘)). Vi sätter nu in värdet av cos 150^(∘) och ser till att få cos(-30^(∘)) ensamt i vänsterled.

Eftersom 150^(∘)=60^(∘)+90^(∘) kan vi använda sambandet - sin v=cos(v+90^(∘)). Med detta får vi att - sin 60^(∘)=cos 150^(∘). Till sist sätter vi in det kända värdet på cos 150^(∘) och dividerar med -1: sin 60^(∘)=sqrt(3)/2.

Vi löser ekvationen cos(v+90^(∘))+sin(v+180^(∘))=-0,8 genom att först skriva om dess vänsterled med hjälp av kända trigonometriska samband. Därefter löser vi den med vanliga ekvationslösningsmetoder.

Lösningarna till ekvationen är alltså lv≈ 23,6^(∘)+n * 360^(∘) v≈ 156,4^(∘)+n* 360^(∘).

Vi börjar med att skriva om funktionen 17sin x + 9cos x som en sinusfunktion eftersom asin(x)+bcos(x) kan skrivas som csin(x+v). Först beräknar vi c. Det gör vi med hjälp av amplituderna för sinus- coh cosinusfunktionen och de är 17 och 9.

Detta betyder att funktionen y kan skrivas y = 8 + sqrt(370)sin(x + v), där v är någon okänd förskjutning i sidled. Eftersom en förskjutning i sidled av en sinusfunktion inte påverkar dess största eller minsta värde behöver vi inte bestämma v. Sinusfunktionen är den enda delen i y vars värde varierar. Därför antar funktionen sitt största värde då sinusfunktionen har sitt största värde, 1. Det betyder att \begin{aligned} y_\text{max} = 8 + \sqrt{370}\cdot 1 =8+\sqrt{370}. \end{aligned} Funktionen antar sitt minsta värde då sinusfunktionen antar sitt minsta värde, -1. \begin{aligned} y_\text{min} = 8 + \sqrt{370} \cdot (- 1) = 8 - \sqrt{370} \end{aligned}

En funktion på formen y=asin x + b cos x kan skrivas som y=csin(x+v), där c är funktionens amplitud och beräknas med formeln c=sqrt(a^2+b^2). Detta innebär att vi kan bestämma för vilket k som funktionen f(x)=ksin x + 3cos x har amplituden 5 genom att lösa ekvationen 5=sqrt(k^2+3^2). Vi börjar med att kvadrera båda led och går vidare därifrån.

Faktorn k kan alltså ha antingen värdet 4 eller -4 för att funktionens amplitud ska vara 5.

Vi använder samma lösningsmetod igen. Nu är a=5, b=- k och c sätter vi åter till 5. Vi sätter in detta i c=sqrt(a^2+b^2) och löser ekvationen.

Funktionen har alltså amplituden 5 endast då k=0.

Vi gör på samma sätt ännu en gång. Vi har precis som tidigare c=5, samt a=k och b=-7.

Denna ekvation saknar reella lösningar, och därmed finns inget värde på k sådant att funktionen h(x)=ksin x - 7cos x kan få amplituden 5.

För att skriva om en summa av en sinus- och cosinusfunktion som en enda sinusfunktion använder vi sambanden c=sqrt(a^2+b^2) och tan v=.b /a.. För funktionen y=4sin x +3cos x är a=4 och b=3. Vi börjar med att bestämma c, dvs. amplituden för den nya sinusfunktionen.

Vi fortsätter nu med att beräkna v, dvs. den nya sinusfunktionens förskjutning i x-led.

Ekvationen har oändligt många lösningar men endast hälften löser ursprungsproblemet. Vi måste därför testa vilket värde på n som ger oss rätt lösning. Vi börjar med n=0, vilket ger v≈ 0,64. Vi avgör om det är rätt genom att sätta in våra värden samt x=0 och sedan kontrollera om likheten 4sin x + 3cos x = csin(x+v) gäller. Eftersom våra värden är avrundade räcker det att likheten är ungefärligt uppfylld.

Det betyder att vinkeln v≈ 0,64 är vårt korrekta svar och vi kan skriva den ursprungliga summan av funktioner som y≈ 5sin(x+0,64).

Vi använder samma metod som ovan. Vår funktion är nu y=-6sin x + 2cos x och därmed är a=- 6 och b=2. Låt oss nu beräkna c.

Eftersom 40 inte är någon jämn kvadrat stannar vi beräkningen här. Vi beräknar nu värdet på v.

Precis som förut har ekvationen vi löst oändligt många svar, men endast vartannat är korrekt. Vi skall nu undersöka för vilket värde på n likheten - 6sin x + 2cos x = csin(x+v) gäller. Vi börjar med att testa för n=0 vilket ger oss v≈ - 0,32.

Vänsterled och högerled har olika tecken och vi vet därför att vi har testat en felaktig lösning. Det betyder att vår korrekta lösning, den vi söker, är då n=1. Det ger oss att v≈ -0,32 + 1*π ≈ 2,82 och vårt korrekta svar är y≈ sqrt(40)sin(x+2,82).

Den sista funktionen vi skall skriva om är y=6sin x-cos x. Denna gång har vi a=6 och b=-1. Låt oss räkna ut c med hjälp av samma formel som tidigare.

Då 37 inte är någon jämn kvadrat använder vi värdet c=sqrt(37). Nu fortsätter vi med att beräkna v.

Vi prövar nu om n=0 ger oss rätt lösning, dvs. om v≈ -0,17 är rätt värde på vinkeln. Vi undersöker då om likheten 6sin x-cos x=csin(x+v) gäller för våra värden genom att sätta in x=0.

Vi ser att vänster- och högerled är ungefär lika. Det betyder att vi har hittat rätt värde på vinkeln v och att vi kan skriva vår ursprungliga funktion som y≈ sqrt(37)sin(x-0,17).